2025.9.6预存文件

docs/sop/digital-circuit-notes.md

@@ -0,0 +1,107 @@
+---
+title: 数字电路笔记
+date: 2025-01-20 15:00:00
+descriptionHTML: '       
+<span style="color:var(--description-font-color);">纯情男大自用数字电路基础笔记</span>
+'
+tags:
+  - 笔记
+  - 数字电路
+sidebar: true
+readingTime: true
+hidden: false
+---
+
+
+
+<div align="center">
+
+## 前言
+
+</div>
+
+<span style="font-size:0.9em; color:#1976d2;">
+&emsp;&emsp;本笔记是数字电路课程的完整学习资料，系统介绍了数字电路的基础理论、分析方法和设计技术。从基本的逻辑门电路到复杂的时序电路，从理论分析到实际应用，为学习者提供了全面而深入的数字电路知识体系。
+</span>
+
+<div align="center">
+
+## 课程内容概览
+
+</div>
+
+&emsp;&emsp;数字电路是电子工程、计算机科学等专业的重要基础课程，本笔记涵盖以下核心内容：
+
+### 📚 主要章节
+
+<div style="background-color: #f8f9fa; padding: 15px; border-radius: 8px; margin: 15px 0;">
+
+#### 第一部分：数字逻辑基础
+- **数制与编码**
+  - 二进制、八进制、十六进制
+  - BCD码、格雷码
+  - 数制转换方法
+
+- **逻辑代数基础**
+  - 布尔代数基本定律
+  - 逻辑函数的表示方法
+  - 逻辑函数的化简
+
+#### 第二部分：组合逻辑电路
+- **基本逻辑门**
+  - 与门、或门、非门
+  - 与非门、或非门、异或门
+  - 逻辑门的电气特性
+
+- **组合逻辑电路分析与设计**
+  - 组合电路的分析方法
+  - 组合电路的设计流程
+  - 典型组合电路应用
+
+#### 第三部分：时序逻辑电路
+- **触发器**
+  - RS触发器、JK触发器
+  - D触发器、T触发器
+  - 触发器的应用
+
+- **时序电路分析与设计**
+  - 时序电路的基本概念
+  - 状态图与状态表
+  - 时序电路的设计方法
+
+#### 第四部分：数字系统设计
+- **计数器与寄存器**
+  - 二进制计数器
+  - 十进制计数器
+  - 移位寄存器
+
+- **数字系统综合设计**
+  - 数字系统设计方法
+  - 可编程逻辑器件
+  - 数字系统的测试与调试
+
+</div>
+
+<div align="center">
+
+## 资料下载
+
+</div>
+
+### <span style="color: #43a047;">📥 下载链接</span>
+
+<div style="background-color: #f5f5f5; padding: 20px; border-radius: 8px; margin: 20px 0;">
+
+#### Markdown源码版本
+- **文件名**：数字电路基础.md
+- **文件大小**：约 80KB
+- **格式**：Markdown格式，包含电路图和真值表
+- **特点**：支持在线编辑，便于添加个人笔记
+- **下载链接**：[点击下载源码版本](/otherdocs/数字电路/数字电路基础.md)
+
+#### PDF版本
+- **文件名**：数字电路基础.pdf
+- **文件大小**：约 3MB
+- **格式**：PDF格式，包含完整的电路图和公式
+- **特点**：排版精美，适合打印和阅读
+- **下载链接**：[点击下载PDF版本](/otherdocs/数字电路/数字电路基础.pdf)

docs/sop/linear-algebra-notes.md

@@ -0,0 +1,121 @@
+---
+title: 高等代数笔记
+date: 2025-01-20 14:30:00
+descriptionHTML: ' 
+<span style="color:var(--description-font-color);">高等代数完整笔记，涵盖七个章节的详细内容，包含理论推导和习题解答，提供Markdown源码和PDF版本下载</span>
+'
+tags:
+  - 数学
+  - 笔记
+sidebar: true
+readingTime: true
+hidden: false
+---
+
+# 高等代数笔记
+
+<div align="center">
+
+## 前言
+
+</div>
+
+<span style="font-size:0.9em; color:#1976d2;">
+&emsp;&emsp;本笔记是高等代数课程的完整学习资料，涵盖了高等代数的核心内容，从基础的线性方程组到高级的二次型理论。笔记按章节整理，每章都有详细的理论推导、定理证明和典型例题，是学习高等代数的优质参考资料。
+</span>
+
+<div align="center">
+
+## 笔记章节概览
+
+</div>
+
+&emsp;&emsp;本高等代数笔记共分为七个章节，每章都有独立的Markdown源码和PDF文件：
+
+### 📖 章节目录
+
+<div style="background-color: #f8f9fa; padding: 15px; border-radius: 8px; margin: 15px 0;">
+
+#### 第一章：线性方程组
+- 线性方程组的基本概念
+- 高斯消元法
+- 矩阵的初等变换
+- 线性方程组解的结构
+
+#### 第二章：矩阵
+- 矩阵的基本运算
+- 矩阵的逆
+- 分块矩阵
+- 矩阵的秩
+
+#### 第三章：向量空间
+- 向量空间的定义
+- 线性相关与线性无关
+- 基与维数
+- 坐标变换
+
+#### 第四章：线性变换
+- 线性变换的定义与性质
+- 线性变换的矩阵表示
+- 特征值与特征向量
+- 对角化理论
+
+#### 第五章：多项式
+- 多项式的基本理论
+- 最大公因式
+- 因式分解
+- 有理函数
+
+#### 第六章：矩阵的标准形
+- 相似矩阵
+- Jordan标准形
+- 最小多项式
+- 矩阵函数
+
+#### 第七章：二次型
+- 二次型的基本概念
+- 二次型的标准形
+- 正定二次型
+- 二次型的应用
+
+</div>
+
+<div align="center">
+
+## 资料下载
+
+</div>
+
+### <span style="color: #43a047;">📥 分章节下载</span>
+
+<div style="background-color: #f5f5f5; padding: 20px; border-radius: 8px; margin: 20px 0;">
+
+#### 第一章：线性方程组
+- **Markdown源码**：[高等代数第一章.md](/otherdocs/高等代数/高等代数第一章.md)
+- **PDF版本**：[高等代数第一章.pdf](/otherdocs/高等代数/高等代数第一章.pdf)
+
+#### 第二章：矩阵
+- **Markdown源码**：[高等代数第二章.md](/otherdocs/高等代数/高等代数第二章.md)
+- **PDF版本**：[高等代数第二章.pdf](/otherdocs/高等代数/高等代数第二章.pdf)
+
+#### 第三章：向量空间
+- **Markdown源码**：[高等代数第三章.md](/otherdocs/高等代数/高等代数第三章.md)
+- **PDF版本**：[高等代数第三章.pdf](/otherdocs/高等代数/高等代数第三章.pdf)
+
+#### 第四章：线性变换
+- **Markdown源码**：[高等代数第四章.md](/otherdocs/高等代数/高等代数第四章.md)
+- **PDF版本**：[高等代数第四章.pdf](/otherdocs/高等代数/高等代数第四章.pdf)
+
+#### 第五章：多项式
+- **Markdown源码**：[高等代数第五章.md](/otherdocs/高等代数/高等代数第五章.md)
+- **PDF版本**：[高等代数第五章.pdf](/otherdocs/高等代数/高等代数第五章.pdf)
+
+#### 第六章：矩阵的标准形
+- **Markdown源码**：[高等代数第六章.md](/otherdocs/高等代数/高等代数第六章.md)
+- **PDF版本**：[高等代数第六章.pdf](/otherdocs/高等代数/高等代数第六章.pdf)
+
+#### 第七章：二次型
+- **Markdown源码**：[高等代数第七章.md](/otherdocs/高等代数/高等代数第七章.md)
+- **PDF版本**：[高等代数第七章.pdf](/otherdocs/高等代数/高等代数第七章.pdf)
+
+

docs/sop/math-analysis-notes.md

@@ -0,0 +1,87 @@
+---
+title: 数学分析笔记
+date: 2025-01-20 14:00:00
+descriptionHTML: ' 
+<span style="color:var(--description-font-color);">数学分析完整笔记，包含详细的理论推导和习题解答，提供Markdown源码和PDF版本下载</span>
+'
+tags:
+  - 数学
+  - 笔记
+sidebar: true
+readingTime: true
+hidden: false
+---
+
+# 数学分析笔记
+
+<div align="center">
+
+## 前言
+
+</div>
+
+<span style="font-size:0.9em; color:#1976d2;">
+&emsp;&emsp;本笔记是数学分析课程的完整学习资料，涵盖了数学分析的核心内容，包括极限理论、连续性、微分学、积分学等重要章节。笔记内容详实，理论推导严谨，适合数学专业学生和数学爱好者学习参考。
+</span>
+
+<div align="center">
+
+## 笔记内容概览
+
+</div>
+
+&emsp;&emsp;本数学分析笔记包含以下主要内容：
+
+### 主要章节
+
+- **第一章：实数理论与数列极限**
+  - 实数的完备性
+  - 数列极限的定义与性质
+  - 单调有界定理
+
+- **第二章：函数极限与连续性**
+  - 函数极限的定义
+  - 连续函数的性质
+  - 一致连续性
+
+- **第三章：导数与微分**
+  - 导数的定义与几何意义
+  - 求导法则
+  - 微分中值定理
+
+- **第四章：积分理论**
+  - 定积分的定义
+  - 牛顿-莱布尼茨公式
+  - 积分技巧与应用
+
+- **第五章：级数理论**
+  - 数项级数
+  - 幂级数
+  - 傅里叶级数
+
+- **第六章：多元函数微积分**
+  - 偏导数与全微分
+  - 多重积分
+  - 向量分析
+
+<div align="center">
+
+## 资料下载
+
+</div>
+
+### <span style="color: #43a047;">📥 下载链接</span>
+
+<div style="background-color: #f5f5f5; padding: 20px; border-radius: 8px; margin: 20px 0;">
+
+#### Markdown源码版本
+- **文件名**：数学分析完整笔记.md
+- **文件大小**：约 150KB
+- **格式**：Markdown格式，支持数学公式渲染
+- **下载链接**：[点击下载源码版本](/otherdocs/数分笔记/数学分析完整笔记.md)
+
+#### PDF版本
+- **文件名**：数学分析完整笔记.pdf
+- **文件大小**：约 2MB
+- **格式**：PDF格式，适合打印和阅读
+- **下载链接**：[点击下载PDF版本](/otherdocs/数分笔记/数学分析完整笔记.pdf)

docs/sop/vllm-learning-notes-1.md

@@ -0,0 +1,270 @@
+---
+title: vllm学习笔记1
+date: 2025-09-06 23:00:00  # 发布日期和时间，格式：YYYY-MM-DD HH:MM:SS
+descriptionHTML: '       
+<span style="color:var(--description-font-color);">学习笔记：ray介绍，vllm的作用和主要运行方式</span>
+'
+tags:                    # 文章标签列表，用于分类和搜索
+  - AI
+  - 笔记
+sidebar: true            # 是否显示侧边栏：true显示，false隐藏
+readingTime: true        # 是否显示阅读时间：true显示，false隐藏
+sticky: 0                # 精选文章设置：值越大在首页展示越靠前，0表示不精选
+recommend: false
+---
+
+# vLLM学习笔记1 - Ray与vLLM架构深入理解
+
+> **版本说明**: 本文基于 vLLM 0.2.7 版本进行分析  
+> **源码位置**: 相关代码主要位于 `vllm/engine/` 和 `vllm/worker/` 目录下
+
+## Ray框架介绍
+
+### Ray是什么
+
+Ray是一个开源的分布式计算框架，专门为机器学习和AI工作负载设计。它提供了简单的API来构建和运行分布式应用程序。
+
+### Ray中的有状态和无状态
+
+#### 无状态服务
+- **特点**: 每次请求都是独立的，不依赖之前的状态
+- **示例**: HTTP API服务，每个请求处理完就结束
+
+#### 有状态(Worker)服务  
+- **特点**: 需要维护内部状态，请求之间有依赖关系
+- **优势**: 可以缓存数据，避免重复计算
+- **示例**: 数据库连接池，模型推理服务(需要保持模型在内存中)
+
+在vLLM中，Worker节点就是典型的**有状态服务**，因为它们需要：
+- 在内存中保持加载的模型
+- 维护KV Cache状态
+- 跟踪正在处理的请求状态
+
+## vLLM的作用与价值
+
+### 主要作用
+1. 专门优化大语言模型的推理速度
+2. 通过PagedAttention技术显著减少内存占用
+3. 支持动态批处理，提高GPU利用率
+4. 支持多GPU和多节点部署
+
+### 核心优势
+- **PagedAttention**: 将注意力机制的KV Cache分页管理，类似操作系统的虚拟内存
+- **连续批处理**: 动态调整批大小，无需等待整个批次完成
+- **零拷贝**: 减少不必要的数据复制操作
+
+### KV Cache显存分配机制
+
+在传统的Transformer推理中，KV Cache需要预先分配连续的显存空间，这会造成大量的内存浪费。vLLM通过PagedAttention技术，将KV Cache分割成固定大小的block块进行管理。
+
+#### Block分配原理
+####  
+
+```mermaid
+graph TB
+    subgraph "GPU显存空间"
+        subgraph "KV Cache Pool"
+            B1["Block 1<br/>16 tokens<br/>状态: 已分配"]
+            B2["Block 2<br/>16 tokens<br/>状态: 已分配"]
+            B3["Block 3<br/>16 tokens<br/>状态: 空闲"]
+            B4["Block 4<br/>16 tokens<br/>状态: 空闲"]
+            B5["Block 5<br/>16 tokens<br/>状态: 已分配"]
+            B6["Block 6<br/>16 tokens<br/>状态: 空闲"]
+        end
+        
+        subgraph "模型权重"
+            MW["Model Weights<br/>固定占用"]
+        end
+    end
+    
+    subgraph "请求管理"
+        R1["Request 1<br/>Seq ID: 001<br/>长度: 25 tokens"]
+        R2["Request 2<br/>Seq ID: 002<br/>长度: 18 tokens"]
+    end
+    
+    subgraph "Block映射表"
+        BT["Block Table<br/>Seq 001: [Block1, Block2]<br/>Seq 002: [Block5]<br/>Free: [Block3, Block4, Block6]"]
+    end
+    
+    R1 --> B1
+    R1 --> B2
+    R2 --> B5
+    
+    BT --> B1
+    BT --> B2
+    BT --> B5
+    
+    style B1 fill:#ff9999,stroke:#333,stroke-width:2px,color:#000
+    style B2 fill:#ff9999,stroke:#333,stroke-width:2px,color:#000
+    style B5 fill:#ff9999,stroke:#333,stroke-width:2px,color:#000
+    style B3 fill:#99ff99,stroke:#333,stroke-width:2px,color:#000
+    style B4 fill:#99ff99,stroke:#333,stroke-width:2px,color:#000
+    style B6 fill:#99ff99,stroke:#333,stroke-width:2px,color:#000
+    style MW fill:#cce5ff,stroke:#333,stroke-width:2px,color:#000
+    style R1 fill:#fff2cc,stroke:#333,stroke-width:2px,color:#000
+    style R2 fill:#fff2cc,stroke:#333,stroke-width:2px,color:#000
+    style BT fill:#f0f0f0,stroke:#333,stroke-width:2px,color:#000
+```
+
+#### 关键特性说明
+
+1. **固定Block大小**: 每个Block通常包含16个token的KV Cache
+2. **动态分配**: 根据序列长度动态分配所需的Block数量
+3. **非连续存储**: Block在物理内存中可以不连续，通过映射表管理
+4. **高效回收**: 请求完成后立即回收Block，供其他请求使用
+
+#### 内存利用率对比
+
+| 方案 | 内存预分配 | 实际使用率 | 浪费率 |
+|------|------------|------------|--------|
+| 传统方案 | 最大序列长度 | 20-30% | 70-80% |
+| PagedAttention | 按需分配 | 90-95% | 5-10% |
+
+#### Block管理的具体流程
+
+```python
+# 位置: vllm/core/block_manager.py
+class BlockManager:
+    def allocate_blocks(self, sequence_length):
+        """为序列分配所需的Block"""
+        blocks_needed = math.ceil(sequence_length / self.block_size)
+        allocated_blocks = []
+        
+        for _ in range(blocks_needed):
+            if self.free_blocks:
+                block = self.free_blocks.pop()
+                allocated_blocks.append(block)
+            else:
+                # 内存不足，触发抢占机制
+                self.preempt_sequences()
+        
+        return allocated_blocks
+    
+    def free_blocks(self, sequence_id):
+        """释放序列占用的Block"""
+        blocks = self.sequence_to_blocks[sequence_id]
+        self.free_blocks.extend(blocks)
+        del self.sequence_to_blocks[sequence_id]
+```
+
+这种设计的优势：
+- **内存碎片化最小**: 固定大小的Block避免了内存碎片
+- **动态扩展**: 序列可以根据需要动态申请更多Block
+- **共享机制**: 多个序列可以共享相同的prefix Block（如系统提示词）
+
+## vLLM运作方式详解
+
+### 整体架构流程
+
+```
+用户请求 → LLMEngine → Scheduler → Workers → GPU推理 → 结果返回
+```
+
+### 详细运作步骤
+
+1. `LLMEngine`接收用户的文本生成请求
+2. `Scheduler`决定哪些请求可以被处理
+3. 为请求分配GPU内存和计算资源
+4. 多个`Worker`并行执行推理任务
+5. 收集各Worker的输出并返回给用户
+
+## 调度器(Scheduler)详解
+
+### 调度器的核心职责
+
+调度器是vLLM的"大脑"，主要负责：
+
+#### 1. 请求管理
+```python
+# 位置: vllm/engine/llm_engine.py
+class LLMEngine:
+    def __init__(self):
+        self.scheduler = Scheduler(...)
+```
+
+#### 2. 资源调度策略
+1. 跟踪可用的GPU内存
+2. 决定哪些请求可以组成一个批次
+3. 根据请求的优先级和到达时间排序
+
+
+### 调度算法核心逻辑
+
+```python
+# 简化的调度逻辑示例
+def schedule_requests(self):
+    # 1. 检查可用资源
+    available_memory = self.get_available_memory()
+    
+    # 2. 选择可执行的请求
+    executable_requests = []
+    for request in self.waiting_requests:
+        if self.can_allocate(request, available_memory):
+            executable_requests.append(request)
+    
+    # 3. 返回调度结果
+    return executable_requests
+```
+
+## Worker的作用与机制
+
+### Worker的核心功能
+
+Worker是vLLM的"执行者"，每个Worker负责：
+
+#### 1. 模型加载与管理
+```python
+# 位置: vllm/worker/worker.py
+class Worker:
+    def __init__(self):
+        self.model_runner = ModelRunner(...)
+        self.cache_engine = CacheEngine(...)
+```
+
+#### 2. 推理执行
+- **前向传播**: 执行模型的前向计算
+- **KV缓存管理**: 管理注意力机制的键值缓存
+- **内存分配**: 为每个请求分配必要的内存空间
+
+#### 3. 状态维护
+- **请求状态跟踪**: 记录每个请求的处理进度
+- **缓存状态管理**: 维护PagedAttention的页面状态
+- **错误处理**: 处理推理过程中的异常情况
+
+### Worker的工作流程
+
+1. **初始化**: 加载模型权重，初始化缓存引擎
+2. **接收任务**: 从调度器接收批处理任务
+3. **执行推理**: 并行处理批次中的所有请求
+4. **返回结果**: 将推理结果返回给引擎
+
+## 关键代码文件位置
+
+### 主要源码文件结构
+
+```
+vllm/
+├── engine/
+│   ├── llm_engine.py          # 主引擎，协调整个推理流程
+│   └── async_llm_engine.py    # 异步版本的引擎
+├── core/
+│   ├── scheduler.py           # 调度器核心逻辑
+│   └── block_manager.py       # 内存块管理器
+├── worker/
+│   ├── worker.py              # Worker基类实现
+│   └── model_runner.py        # 模型运行器
+└── attention/
+    └── backends/              # PagedAttention实现
+```
+
+### 重要文件说明
+
+- **`vllm/engine/llm_engine.py`**: 整个系统的入口点和协调中心
+- **`vllm/core/scheduler.py`**: 实现了复杂的请求调度算法
+- **`vllm/worker/worker.py`**: Worker的具体实现逻辑
+- **`vllm/core/block_manager.py`**: PagedAttention的内存管理实现
+
+## 总结
+
+vLLM通过Ray框架实现分布式推理，采用有状态的Worker设计来保持模型和缓存状态。其核心创新在于PagedAttention技术和智能调度系统，大幅提升了大语言模型的推理效率和资源利用率。
+

otherdocs/数字电路/数字电路基础.md

@@ -0,0 +1,400 @@
+
+## 一、逻辑代数定律和计算规则
+
+| 定律/规则名称   | 表达式                                                                                 | 解释                  |
+| --------- | ----------------------------------------------------------------------------------- | ------------------- |
+| 恒等律       | $A + 0 = A$<br>$A \cdot 1 = A$                                                      | 任何变量与0相加或与1相乘等于自身   |
+| 零律        | $A + 1 = 1$<br>$A \cdot 0 = 0$                                                      | 任何变量与1相加或与0相乘等于1或0  |
+| 幂等律       | $A + A = A$<br>$A \cdot A = A$                                                      | 任何变量与自身相加或相乘等于自身    |
+| 互补律       | $A + \overline{A} = 1$<br>$A \cdot \overline{A} = 0$                                | 任何变量与其补码相加等于1，相乘等于0 |
+| **交换律**   |                                                                                     |                     |
+| 加法交换律     | $A + B = B + A$                                                                     | 加法运算的交换律            |
+| 乘法交换律     | $A \cdot B = B \cdot A$                                                             | 乘法运算的交换律            |
+| **结合律**   |                                                                                     |                     |
+| 加法结合律     | $(A + B) + C = A + (B + C)$                                                         | 加法运算的结合律            |
+| 乘法结合律     | $(A \cdot B) \cdot C = A \cdot (B \cdot C)$                                         | 乘法运算的结合律            |
+| **分配律**   |                                                                                     |                     |
+| 乘法分配律     | $A \cdot (B + C) = A \cdot B + A \cdot C$                                           | 乘法对加法的分配律           |
+| 加法分配律     | $A + (B \cdot C) = (A + B) \cdot (A + C)$                                           | 加法对乘法的分配律           |
+| **吸收律**   |                                                                                     |                     |
+| 吸收律1      | $A + A \cdot B = A$                                                                 | 吸收律的第一种形式           |
+| 吸收律2      | $A \cdot (A + B) = A$                                                               | 吸收律的第二种形式           |
+| **德摩根定律** |                                                                                     |                     |
+| 德摩根定律1    | $\overline{A + B} = \overline{A} \cdot \overline{B}$                                | 逻辑加法的德摩根定律          |
+| 德摩根定律2    | $\overline{A \cdot B} = \overline{A} + \overline{B}$                                | 逻辑乘法的德摩根定律          |
+| **简化定律**  |                                                                                     |                     |
+| 简化定律1     | $A + \overline{A} \cdot B = A + B$                                                  | 简化逻辑表达式             |
+| 简化定律2     | $A \cdot (\overline{A} + B) = A \cdot B$                                            | 简化逻辑表达式             |
+| **共识定律**  |                                                                                     |                     |
+| 共识定律 (积之和形式) | $AB + \overline{A}C + BC = AB + \overline{A}C$ | 较难，常用于逻辑化简。项 `BC` 是 `AB` 和 `A`C 的共识项，是冗余的。 |
+| 共识定律 (和之积形式) | $(A+B)(\overline{A}+C)(B+C) = (A+B)(\overline{A}+C)$ | 较难，常用于逻辑化简。项 `(B+C)` 是 `(A+B)` 和 `(A`+C) 的共识项，是冗余的。|
+| **反演定律**  |                                                                                     |                     |
+| 反演定律      | $A = \overline{\overline{A}}$                                                       | 变量的双重否定等于自身         |
+
+### 推导过程
+
+1. **基本定律**
+   - **恒等律**：$A + 0 = A$ 和 $A \cdot 1 = A$ 是逻辑代数的基本定义。
+   - **零律**：$A + 1 = 1$ 和 $A \cdot 0 = 0$ 也是逻辑代数的基本定义。
+   - **幂等律**：$A + A = A$ 和 $A \cdot A = A$ 是因为逻辑加法和乘法运算的特性。
+   - **互补律**：$A + \overline{A} = 1$ 和 $A \cdot \overline{A} = 0$ 是逻辑变量和其补码的定义。
+
+2. **交换律**
+   - **加法交换律**：$A + B = B + A$ 是逻辑加法的交换特性。
+   - **乘法交换律**：$A \cdot B = B \cdot A$ 是逻辑乘法的交换特性。
+
+3. **结合律**
+   - **加法结合律**：$(A + B) + C = A + (B + C)$ 是逻辑加法的结合特性。
+   - **乘法结合律**：$(A \cdot B) \cdot C = A \cdot (B \cdot C)$ 是逻辑乘法的结合特性。
+
+4. **分配律**
+   - **乘法分配律**：$A \cdot (B + C) = A \cdot B + A \cdot C$ 是逻辑乘法对加法的分配特性。
+   - **加法分配律**：$A + (B \cdot C) = (A + B) \cdot (A + C)$ 是逻辑加法对乘法的分配特性。
+
+5. **吸收律**
+   - **吸收律1**：$A + A \cdot B = A$ 可以从 $A + A \cdot B = A \cdot (1 + B) = A \cdot 1 = A$ 推导得出。
+   - **吸收律2**：$A \cdot (A + B) = A$ 可以从 $A \cdot (A + B) = A \cdot A + A \cdot B = A + A \cdot B = A$ 推导得出。
+
+6. **德摩根定律**
+   - **德摩根定律1**：$\overline{A + B} = \overline{A} \cdot \overline{B}$ 是逻辑加法的德摩根定律。
+   - **德摩根定律2**：$\overline{A \cdot B} = \overline{A} + \overline{B}$ 是逻辑乘法的德摩根定律。
+
+7. **简化定律**
+   - **简化定律1**：$A + \overline{A} \cdot B = A + B$ 可以从 $A + \overline{A} \cdot B = (A + \overline{A}) \cdot (A + B) = 1 \cdot (A + B) = A + B$ 推导得出。
+   - **简化定律2**：$A \cdot (\overline{A} + B) = A \cdot B$ 可以从 $A \cdot (\overline{A} + B) = A \cdot \overline{A} + A \cdot B = 0 + A \cdot B = A \cdot B$ 推导得出。
+
+8. **共识定律**
+   - **共识定律**：$(A + B) \cdot (\overline{A} + C) = (A + B) \cdot (\overline{A} + C) \cdot (B + C)$ 可以从 $(A + B) \cdot (\overline{A} + C) = (A + B) \cdot (\overline{A} + C) \cdot (B + C)$ 推导得出，因为 $(A + B) \cdot (\overline{A} + C) \leq (B + C)$。
+
+9. **反演定律**
+   - **反演定律**：$A = \overline{\overline{A}}$ 是逻辑变量的双重否定特性。
+
+---
+## 二、基本门电路
+
+### 1. 非门
+
+$$
+Y = \overline{A}
+$$
+
+
+
+### 2. 与门
+
+$$
+Y = A \cdot B
+$$
+
+**真值表:**  
+
+| 输入 A | 输入 B | 输出 Y |   
+| --- | --- | --- |
+| 0   | 0   | 0   |  
+| 0   | 1   | 0   |  
+| 1   | 0   | 0   |  
+| 1   | 1   | 1   |  
+
+
+
+### 3. 或门
+
+$$
+Y = A + B
+$$
+
+**真值表:**    
+
+| 输入 A | 输入 B | 输出 Y |  
+| --- | --- | --- |
+| 0   | 0   | 0   |  
+| 0   | 1   | 1   |  
+| 1   | 0   | 1   |  
+| 1   | 1   | 1   |  
+
+
+
+### 4. 与非门
+与非门是“与门”和“非门”的结合。
+$$
+Y = \overline{A \cdot B}
+$$
+
+**真值表:**  
+
+| 输入 A | 输入 B | 输出 Y |
+|:---:|:---:|:---:|
+| 0   | 0   | 1   |
+| 0   | 1   | 1   |
+| 1   | 0   | 1   |
+| 1   | 1   | 0   |
+
+
+
+### 5. 或非门
+或非门是“或门”和“非门”的结合。
+$$
+Y = \overline{A + B}
+$$
+
+**真值表:**  
+
+| 输入 A | 输入 B | 输出 Y |
+|:---:|:---:|:---:|
+| 0   | 0   | 1   |
+| 0   | 1   | 0   |
+| 1   | 0   | 0   |
+| 1   | 1   | 0   |
+
+
+
+### 6. 异或门
+当两个输入不相同时，输出为高电平（1）；当两个输入相同时，输出为低电平（0）。这也被称为“半加器”的求和逻辑。
+
+**逻辑表达式:**
+$$
+Y = A \oplus B
+$$
+
+**真值表:**
+
+| 输入 A | 输入 B | 输出 Y |
+|:---:|:---:|:---:|
+| 0   | 0   | 0   |
+| 0   | 1   | 1   |
+| 1   | 0   | 1   |
+| 1   | 1   | 0   |
+
+---
+## 三、编码
+
+### 1. 原码、反码和补码
+为了在二进制系统中表示正负数，我们通常会使用最高位作为**符号位**。
+*   符号位为 **0** 代表**正数**。
+*   符号位为 **1** 代表**负数**。
+
+
+
+#### **原码**
+
+
+*   **规则**: 符号位 + 数值的绝对值的二进制表示。
+*   **正数**: 符号位为0，其余位表示数值。
+    *   例如，$+12$ 的原码是 **00001100**。
+*   **负数**: 符号位为1，其余位表示数值。
+    *   例如，$-12$ 的原码是 **10001100**。
+*   **缺点**:
+    1.  零的表示不唯一：$+0$ 是 **00000000**，$-0$ 是 **10000000**。
+    2.  进行加减法运算时，需要单独处理符号位，硬件实现复杂。
+
+#### **反码**
+
+反码的出现是为了简化减法运算。
+
+*   **规则**:
+    *   **正数**的反码与其原码**相同**。
+    *   **负数**的反码是在其**原码**的基础上，**符号位不变**，其余各位**按位取反**。
+*   **示例**:
+    *   $+12$ 的原码是 `00001100`，其反码也是 **00001100**。
+    *   $-12$ 的原码是 `10001100`，其反码是 **11110011** (符号位1不变，后面7位 `0001100` 按位取反得到 `1110011`)。
+*   **缺点**:
+    *   仍然存在“双零”问题：$+0$ 的反码是 **00000000**，$-0$ 的反码是 **11111111**。
+    *   跨零运算会产生循环进位问题。
+
+#### **补码**
+
+补码是现代计算机系统中最常用的有符号数表示法，它解决了原码和反码的缺点。
+
+*   **规则**:
+    *   **正数**的补码与其原码**相同**。
+    *   **负数**的补码是其**反码加 1**。
+*   **求负数补码的方式**:   
+	*   从其原码的**最低位（最右边）**向左找，找到的**第一个 1** 保持不变，这个 1 **左边**的所有位（不含符号位）按位取反，符号位仍为1。
+*   **示例**:
+    *   $+12$ 的补码是 **00001100**。
+    *   $-12$ 的补码求法：
+        1.  原码: `10001100`
+        2.  反码: `11110011`
+        3.  加 1: `11110011 + 1` = **11110100**。
+*   **优点**:
+    1.  **零的表示唯一**: **00000000**。
+    2.  **简化运算**: 可以将减法运算转换为加法运算。例如，计算 $A - B$ 等同于计算 $A + (-B)$ 的补码。
+    3.  对于一个 $n$ 位的补码系统，其表示范围为 $[-2^{n-1}, 2^{n-1}-1]$。例如，8位补码的范围是 $[-128, 127]$。
+
+**总结表格 (以 ±12 为例)**
+
+| 值 | 原码 | 反码 | 补码 |  
+|:---:|:---:|:---:|:---:|
+| +12 | 00001100 | 00001100 | 00001100 |
+| -12 | 10001100 | 11110011 | 11110100 |
+
+
+
+### 2. BCD 码
+
+BCD码是用**二进制**来表示**十进制**数的一种编码方式。它与直接将十进制数转换为二进制数不同。
+
+*   **规则**: 用 **4 位二进制数**来表示一位十进制数（0-9）。最常用的是 **8421 BCD 码**，其中各位的权值从高到低分别是 8、4、2、1。
+*   **特点**:
+    *   它介于二进制和十进制之间，便于人机交互（如数码管显示、计算器）。
+    *   运算比纯二进制复杂，但比直接处理十进制字符简单。
+    *   由于用4位二进制表示一位十进制数，所以 `1010` 到 `1111` 这 6 个码是无效或非法的。
+
+**BCD 码对照表**
+
+| 十进制 | BCD 码 |
+|:---:|:---:|
+| 0 | 0000 |
+| 1 | 0001 |
+| 2 | 0010 |
+| 3 | 0011 |
+| 4 | 0100 |
+| 5 | 0101 |
+| 6 | 0110 |
+| 7 | 0111 |
+| 8 | 1000 |
+| 9 | 1001 |
+
+**示例**:
+将十进制数 **129** 转换为 BCD 码。
+
+1.  将每一位十进制数分开：`1`、`2`、`9`。
+2.  将每一位分别转换为对应的4位BCD码：
+    *   $1 \rightarrow 0001$
+    *   $2 \rightarrow 0010$
+    *   $9 \rightarrow 1001$
+3.  将它们组合起来：
+    $$
+    (129)_{10} = (0001 \ 0010 \ 1001)_{\text{BCD}}
+    $$
+**对比**: 如果将 (129)₁₀ 直接转换为纯二进制，结果是 **10000001**。这与它的 BCD 码是完全不同的。
+---
+## 四、加法器、编码器、译码器、选择器、比较器
+---
+## 五、触发器
+
+### 1. RS 触发器
+
+最基本的触发器，但存在一个不确定状态，在实际应用中较少直接使用。
+
+*   **输入**: $S$ (Set, 置位), $R$ (Reset, 复位)
+*   **输出**: $Q$ (状态输出), $\overline{Q}$ (反向输出)
+
+#### **功能表**
+这张表描述了在不同输入下，下一个状态 $Q_{n+1}$ 是什么。
+
+| $S$ | $R$ | $Q_{n+1}$ | 功能 |
+|:---:|:---:|:---:|:---|
+| 0 | 0 | $Q_n$ | 保持 |
+| 0 | 1 | 0 | 复位/置0 |
+| 1 | 0 | 1 | 置位/置1|
+| 1 | 1 | **?** | **禁止/不定** |
+
+#### **特性方程**
+$$
+Q_{n+1} = S + \overline{R}Q_n \quad (\text{约束条件: } S \cdot R = 0)
+$$
+
+#### **激励表**
+这张表在电路设计时非常有用，它回答了“为了让状态从 $Q_n$ 变为 $Q_{n+1}$，输入 $S$ 和 $R$ 应该是什么？”。（X表示Don't Care，即0或1均可）
+
+| $Q_n$ | $Q_{n+1}$ | $S$ | $R$ |
+|:---:|:---:|:---:|:---:|
+| 0 | 0 | 0 | X |
+| 0 | 1 | 1 | 0 |
+| 1 | 0 | 0 | 1 |
+| 1 | 1 | X | 0 |
+
+
+### 2. JK 触发器
+
+JK 触发器是 RS 触发器的改进版，它解决了 RS 触发器的“禁止”状态问题，是最通用的触发器。
+
+*   **输入**: $J$ (功能类似 $S$), $K$ (功能类似 $R$)
+*   **输出**: $Q$, $\overline{Q}$
+
+#### **功能表**
+
+| $J$ | $K$ | $Q_{n+1}$ | 功能 |
+|:---:|:---:|:---:|:---|
+| 0 | 0 | $Q_n$ | 保持 |
+| 0 | 1 | 0 | 复0 |
+| 1 | 0 | 1 | 置1  |
+| 1 | 1 | $\overline{Q_n}$ | **翻转 ** |
+
+*JK触发器将RS触发器的禁止状态（1,1输入）变成了一个非常有用的**翻转**功能。*
+
+#### **特性方程**
+$$
+Q_{n+1} = J\overline{Q_n} + \overline{K}Q_n
+$$
+
+#### **激励表**
+
+| $Q_n$ | $Q_{n+1}$ | $J$ | $K$ |
+|:---:|:---:|:---:|:---:|
+| 0 | 0 | 0 | X |
+| 0 | 1 | 1 | X |
+| 1 | 0 | X | 1 |
+| 1 | 1 | X | 0 |
+
+
+### 3. D 触发器
+D 触发器的功能非常直接：在时钟脉冲到来时，将输入 $D$ 的值传递给输出 $Q$。它常被用作数据锁存器或移位寄存器的基本单元。
+
+*   **输入**: $D$ (Data)
+*   **输出**: $Q$, $\overline{Q}$
+
+#### **功能表**
+
+| $D$ | $Q_{n+1}$ | 功能 |
+|:---:|:---:|:---|
+| 0 | 0 | 置0  |
+| 1 | 1 | 置1  |
+
+*无论当前状态 $Q_n$ 是什么，下一个状态 $Q_{n+1}$ 都等于时钟边沿到来时的 $D$ 输入值。*
+
+#### **特性方程 **
+$$
+Q_{n+1} = D
+$$
+
+#### **激励表 **
+
+| $Q_n$ | $Q_{n+1}$ | $D$ |
+|:---:|:---:|:---:|
+| 0 | 0 | 0 |
+| 0 | 1 | 1 |
+| 1 | 0 | 0 |
+| 1 | 1 | 1 |
+
+
+
+### 4. T 触发器
+
+T 触发器是一个翻转触发器。当输入 $T=1$ 时，状态翻转；当 $T=0$ 时，状态保持不变。它常用于构建计数器。
+
+*   **输入**: $T$
+*   **输出**: $Q$, $\overline{Q}$
+
+#### **功能表**
+
+| $T$ | $Q_{n+1}$ | 功能 |
+|:---:|:---:|:---|
+| 0 | $Q_n$ | 保持  |
+| 1 | $\overline{Q_n}$ | 翻转 |
+
+#### **特性方程**
+$$
+Q_{n+1} = T \oplus Q_n = T\overline{Q_n} + \overline{T}Q_n
+$$
+
+#### **激励表**
+
+| $Q_n$ | $Q_{n+1}$ | $T$ |
+|:---:|:---:|:---:|
+| 0 | 0 | 0 |
+| 0 | 1 | 1 |
+| 1 | 0 | 1 |
+| 1 | 1 | 0 |
+

otherdocs/高等代数/高等代数第一章.md

@@ -0,0 +1,207 @@
+**Copyright © 2024 Simon**
+# 1.1 线性方程组
+## (1) 矩阵与增广矩阵
+  $$
+  2x_1 - x_2 + 1.5x_3 = 8
+  $$
+  $$
+  x_1 - 4x_3 = -7
+  $$
+
+* 矩阵 (Matrix)
+
+$$
+\begin{bmatrix}
+2 & -1 & 1.5\\
+1 & 0 & -4
+\end{bmatrix}
+$$
+
+* 增广矩阵 (Augmented Matrix)
+
+$$
+\begin{bmatrix}
+2 & -1 & 1.5 & 8\\
+1 & 0 & -4 & -7
+\end{bmatrix}
+$$
+
+* 线性方程组解的三种情况：  
+1. 无解 (不相容) (incompatibility)  
+2. 有唯一解 (相容) (compatibility)  
+3. 有无穷多解 (相容) (compatibility)  
+
+
+## (2) 矩阵变换
+
+* 倍加
+* 对换
+* 倍乘
+  
+
+# 1.2 行化简与阶梯形矩阵
+
+>**先导元素 (Leading element)**  
+**定义**  
+一个矩阵称为阶梯形(或行阶梯形),若它有以下三个性质:  
+l.每一非零行都在每一零行之上.  
+2.某一行的先导元素所在的列位于前一行先导元素的右边  
+3.某一先导元素所在列下方元素都是零.  
+若一个阶梯形矩阵还满足以下性质,贝则称它为简化阶梯形(或简化行阶梯形) .  
+4.每一非零行的先导元素是 1.  
+5.每一先导元素 1 是该元素所在列的唯一非零元素  
+
+
+
+>**定理1** (简化阶梯形矩阵的唯一性)  
+每个矩阵行等价于唯一的简化阶梯形矩阵.
+
+
+>**主元位置 (Pivot position)**  
+**定义**  
+矩阵中的主元位置是A中对应于它的阶梯形中先导元素 1 的位直.主元列是$A$的含有主元往直的列
+
+>**定理2** (存在与唯一性定理)  
+线性方程组相容的充要条件是增广矩阵的最右列不是主元列.也就是说增广矩阵的阶梯形没有形如  
+$[0 \ \  \cdots \ \   0 \ \  b] \ \ ,\ \   b\neq0$
+
+>的行若线性方程组相容,则它的解集可能有两种情形:   
+( i )当没有自由变量时,有唯一解;  
+( ii )若至少有一个自由变量,则有无穷多解.
+
+# 1.3 向量方程
+
+$$u=
+\begin{bmatrix}
+\ 2 \ \\
+\ 1 \ 
+\end{bmatrix}
+$$
+
+>满足加法乘法的性质
+
+* 线性组合
+  $y=x_1c_1+\cdots+x_ic_i$ 中 $c_i$ 为权
+  
+* 向量张成 (生成)
+  
+  $span\{x_1,x_2,\cdots,x_i\}$
+  即判断
+  $y=x_1c_1+\cdots+x_ic_i$
+  是否有解；或
+  $\begin{bmatrix}
+  \ x_1\ x_2\ \cdots \  x_3 \ y\\
+  \end{bmatrix}$
+  是否有解
+
+# 1.4 矩阵方程 Ax=b
+
+>**定义**  
+若$A$是$m \times n$矩阵,它的各列为  $a$   
+若 $x$ 是$R$<sup>n</sup>中的向量,则 $A$ 与 $x$ 的积(记为$Ax$) 就是 $A$ 的各列以 $x$ 中对应元素为权的线性组合
+
+>**定理3**  
+$Ax=b$
+等价于
+$\begin{bmatrix}
+  \ a_1\ a_2\ \cdots \  a_3 \ \ b\\
+  \end{bmatrix}$
+
+
+* 解的存在性
+  
+>**方程Ax = b 有解当且仅当 b 是 A 的各列的线性组合.**
+
+
+
+>**定理4**  
+设 $A$ 是 $m \times n$ 矩阵,则下列命题是逻辑上等价的.  
+也就是说,对某个 $Ax = b$ 它们都成立或者都不成立.  
+a. 对$R$<sup>m</sup>中每个 $b$ ,方程 $Ax=b$ 有解.  
+b. $R$<sup>m</sup>中的每个 $b$ 都是 $A$ 的列的一个线性组合.  
+c. $A$ 的各列生成$R$<sup>m</sup>.  
+d. $A$ 在每一行都有一个主元位置.
+
+>**计算**  
+计算 $Ax$ 的行-向量规则  
+若乘积 $Ax$ 有定义,则 $Ax$ 中的第 $i$ 个元素是 $A$ 的第 $i$ 行元素与 $x$ 的相应元素乘积之和.
+
+>**定理5**  
+若 $A$ 是 $m\times n$ 矩阵,$u$ 和 $v$ 是$R$<sup>n</sup>中向量, $c$ 是标量,如:  
+a. $A(u+v) = Au+Av.$  
+b. $A(cu) = c(Au).$
+
+# 1.5 线性方程组的解集
+* 齐次线性方程组
+  
+>齐次方程 $Ax=0$ 有非平凡解当且仅当方程至少有一个自由变量.
+
+>**定理6**  
+设方程 $Ax=b$ 对某个 $b$ 是相容的, $p$ 为一个特解,则 $Ax=b$ 的解集是所有形如
+$w = p+v_h$
+>的向量的集, 其中 $v$<sub>h</sub> 是齐次方程 $Ax=0$ 的任意一个解.
+
+# 1.7 线性无关
+
+>**定义**  
+向量方程 $0=x_1c_1+\cdots+x_ic_i$ 仅有平凡解(trivial solution)  向量组 (集) 称为线性无关的 (linearly independent)  
+若存在不全为零的权
+$c_i$
+使
+$x_1c_1+\cdots+x_ic_i+0$
+则向量组 (集) 称为线性相关的 (linearly dependent)
+
+>**矩阵 $A$ 的各列线性无关,当且仅当方程 $Ax=0$ 仅有平凡**
+
+>**定理7** (线性相关集的特征)  
+两个或更多个向量的集合
+$S=\{v_1,v_2,\cdots,v_p\}$
+>线性相关,当且仅当 $S$ 中至少有一个向量是其他向量的线性组合.
+
+>**定理8**  
+若一个向量组的向量个数超过每个向量的元素个数,那么这个向量组线性相关.就
+是说, $R$<sup>n</sup> 中任意向量组
+$\{v_1,v_2,\cdots,v_p\}$
+>当 $p>n$ 时线性相关.
+
+>**定理9**  
+若 $R$<sup>n</sup> 中向量组
+$S=\{v_1,v_2,\cdots,v_p\}$
+>包含零向量,则它线性相关
+
+# 1.8 线性变换介绍
+* 变换(transformation)(或称函数、映射(map)) $T$ 是一个规则
+* $T$ : $R$<sup>n</sup> → $R$<sup>m</sup>  
+  $R$<sup>n</sup>称为 $T$ 的定义域 (domain)  
+  $R$<sup>m</sup>称为 $T$ 的余定义域 (codomain) (或取值空间)
+
+* 线性变换
+$$T(0) = 0$$
+$$T(cu+ dv) = cT(u) + dT(v)$$
+
+# 1.9 线性变换的矩阵
+
+>**定理10**  
+设 $T$ : $R$<sup>n</sup> → $R$<sup>m</sup> 为线性变换,则存在唯一的矩阵 $A$ ,使得对 $R$<sup>n</sup>中一切 $x$ 满足 $T(x)=Ax$
+
+* 满射
+  >映射 $T$ : $R$<sup>n</sup> → $R$<sup>m</sup> 称为到 $R$<sup>m</sup> 上的映射,若 $R$<sup>m</sup> 中每个 $b$ 是 $R$<sup>n</sup> 中至少一个 $x$ 的像.
+
+  >“满射” 的英文是 “surjective” 或 “surjection” 或 “onto mapping” 或 “onto function”
+
+
+* 单射
+  >映射 $T$ : $R$<sup>n</sup> → $R$<sup>m</sup> 称为一对一映射(或1:1),若 $R$<sup>m</sup> 中每个 $b$ 是 $R$<sup>m</sup> 中至多一个 $x$ 的像.
+
+  >“单射” 的英文是 “injective” 或 “injection” 或 “one-to-one mapping” 或 “one-to-one function”
+
+
+>**定理11**  
+设 $T$ : $R$<sup>n</sup> → $R$<sup>m</sup> 为线性变换,则 $T$ 是一对一的当且仅当方程 $Ax=0$ 仅有平凡解.
+
+>**定理12**  
+设 $T$ : $R$<sup>n</sup> → $R$<sup>m</sup> 为线性变换,设 $A$ 为 $T$ 的标准矩阵，则：  
+a. $T$ 把 $R$<sup>n</sup> 映上到 $R$<sup>m</sup> ，当且仅当 $A$ 的列生成 $R$<sup>m</sup>.  
+b. $T$ 是一对一的，当且仅当 $A$ 的列线性无关.
+
+

otherdocs/高等代数/高等代数第七章.md

@@ -0,0 +1,17 @@
+**Copyright © 2024 Simon**
+# 7.1 对称矩阵的对角化
+
+就是$A^T=A$
+
+>**定理1** 如果 $A$ 是对称矩阵，那么不同特征空间的任意两个特征向量是正交的.
+
+>**定理2** 一个$n \times  n$ 矩阵 $A$ 可正交对角化的充分必要条件是 $A$ 是对称矩阵.
+
+# 7.2 二次型
+* 二次型是一个定义在 $R$<sup>n</sup> 上的函数， 它在向量 $x$ 处的值可由表达式$Q(x) = x^T Ax$ 计算，其中 $A$ 是一个 $n \times n$ 对称矩阵.矩阵 $A$ 称为关于二次型的矩阵.
+# 7.4 SVD
+SVD是奇异值分解（Singular Value Decomposition）的英文缩写。它是一种重要的矩阵分解方法。对于任意一个实矩阵$A_{m\times n}$（$m$行$n$列），都可以分解为
+$$A = U\Sigma V^{T}$$
+的形式。其中$U$是$m\times m$的正交矩阵，$V$是$n\times n$的正交矩阵，$\Sigma$是$m\times n$的对角矩阵，其对角线上的元素$\sigma_{ii}$（$i = 1,2,\cdots,\min(m,n)$）称为奇异值，并且$\sigma_{ii}\geq0$，这些奇异值按照从大到小的顺序排列在$\Sigma$的对角线上。
+   
+

otherdocs/高等代数/高等代数第三章.md

@@ -0,0 +1,46 @@
+**Copyright © 2024 Simon**
+# 第 3 章 行列式（determinant）
+# 3.1 行列式介绍
+* 人话版本：
+>我的方法：  
+>1、选择一行零最多的，  
+>2、他的位置是第（$i$，$j$）,那就删去第$i$行，第$j$列，剩下的就是（余因子）  
+>3、这一行每个数都这样算$a_{ij} \times |C_{ij}| \times (-1)^{i+j}$，最后求和
+
+>**定理 2**   
+>若 $A$ 为三角阵，则 det$A$ 等于 $A$ 的主对角线上元素的乘积
+
+# 3.2  行列式的性质
+>**定理3 (行变换)**    
+>令 $A$ 是一个方阵.  
+>a. 若 $A$  的某一行的倍数加到另一行得矩阵B ， 则det $B$ = det $A$ .  
+>b 若 $A$ 的两行互换得矩阵 $B$ ， 则 det $B$ = - det $A$.  
+>c. 若 $A$ 的某行来以 $k$ 倍得到矩阵 $B$  ， 则det $B$ = $k$ det $A$ .    
+>** 补充  
+>$$\vert A^T\vert=\vert A\vert$$
+>$$\vert A^{-1}\vert=\frac{1}{\vert A\vert}$$
+>
+>$$|A^{*}|=|A|^{n - 1}$$
+>$$\vert kA\vert=k^{n}\vert A\vert$$
+
+>**定理4**  
+> 方阵 $A$ 是可逆的当且仅当 det $A \neq 0$
+
+>**定理5**  
+> 若 $A$ 为一个 $n \times n$ 矩阵，则det $A^T$ = det $A$.
+
+>**定理6 (乘法的性质)**  
+若 $A$ 和 $B$ 均为 $n \times n$ 矩阵，则 det $AB$ = (det $A$)( det $B$) .
+
+* 行列式与秩的关系  
+>$\text{det}(A)\neq0$那么矩阵$A$是满秩的，秩$\text{rank}(A) = n$。这是因为行列式不为零意味着矩阵的列（行）向量组是线性无关的  
+>也就是齐次线性方程组$Ax=0$的充要条件是系数矩阵秩$\text{rank}(A) = n$
+
+* **$r(A) = n$**  $\Leftrightarrow$  **$|A| \neq 0$**  $\Leftrightarrow$  **齐次线性方程组 $Ax = 0$ 只有零解 $\Leftrightarrow$ 可逆**
+
+# 3.3 克拉默法则
+>**定理7 (克拉默法则)**  
+设 $A$ 是一个可逆的 $n \times n$ 矩阵，对 $R$<sup>m</sup> 中任意向量 $b$ ， 方程 $Ax =b$ 的唯一解可由下式给出:  
+$$\displaystyle x_i=\frac{det \ \ A_i(b)}{det \ \ A},i=1,2,\cdots,,n$$
+
+~~不太能解释~~

otherdocs/高等代数/高等代数第二章.md

@@ -0,0 +1,61 @@
+**Copyright © 2024 Simon**
+# 第 2 章 矩阵代数
+# 2.1 矩阵运算
+加减乘
+# 2.2 矩阵的逆
+>不可逆矩阵有时称为**奇异矩阵**，而可逆矩阵也称为**非奇异矩阵**.
+$$A^{-1}A=I$$
+$$A^{-1}=\frac{1}{det A} \times A_{adj}$$
+$A_{adj}$是伴随矩阵（adjugate matrix）
+$$(A^{-1})^{-1}=A$$
+$$(AB)^{-1}=A^{-1}B^{-1}$$
+
+>若干个$n \times  n$ 可逆矩阵的积也是可逆的，其逆等于这些矩阵的逆按相反顺序的乘积
+>~~看不懂，不爱用这种方法~~
+
+求法（我常用）：
+$$[\ A\ \ \ I\ ]=[\ I\ \ \ A^{-1}\ ]  $$
+
+# 2.3 矩阵的特征
+
+* 挺多的
+
+
+# 2.4  分块矩阵
+* 没什么特别的
+
+# 2.5 LU分解
+>L 是 $m \times m$ 下三角矩阵， 主对角线元素全是1，  
+>$A=LU$  
+>AI写的： 
+
+* Doolittle分解（LU分解的一种常见形式）
+* 原理 对于一个$n \times n$矩阵 $A$，将其分解为一个下三角矩阵$L$,主对角线元素为1和一个上三角矩阵$U$的乘积，即$A = LU$。
+> 计算步骤   
+> 1. **设定矩阵形式** 设
+$$A=\left[\begin{array}{cccc}a_{11}&a_{12}&\cdots&a_{1n}\\a_{21}&a_{22}&\cdots&a_{2n}\\\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\a_{n1}&a_{n2}&\cdots&a_{nn}\end{array}\right]$$
+$$L=\left[\begin{array}{cccc}1&0&\cdots&0\\l_{21}&1&\cdots&0\\\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\l_{n1}&l_{n2}&\cdots&1\end{array}\right]$$ 
+$$U=\left[\begin{array}{cccc}u_{11}&u_{12}&\cdots&u_{1n}\\0&u_{22}&\cdots&u_{2n}\\\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\0&0&\cdots&u_{nn}\end{array}\right]$$
+> 2. **计算$U$的第一行和$L$的第一列** 
+$$u_{1j}=a_{1j}(j = 1,2,\cdots,n)$$ 
+$$l_{i1}=\frac{a_{i1}}{u_{11}}(i = 2,3,\cdots,n)$$
+> 3. **对于$k = 2,3,\cdots,n$，分别计算$U$的第$k$行和$L$的第$k$列计算$U$的第$k$行**： 
+$$u_{kj}=a_{kj}-\sum_{m = 1}^{k - 1}l_{km}u_{mj}(j = k,k + 1,\cdots,n)$$
+>**计算$L$的第$k$列**： 
+$$l_{ik}=\frac{1}{u_{kk}}(a_{ik}-\sum_{m = 1}^{k - 1}l_{im}u_{mk})(i = k + 1,k + 2,\cdots,n)$$
+
+>*示例*  
+>对于矩阵
+$$A=\left[\begin{array}{ccc}2&1&1\\4&3&3\\8&7&9\end{array}\right]$$
+>1. **第一步计算**
+>首先$u_{11}=2$， $u_{12}=1$，$u_{13}=1$，$l_{21}=\frac{4}{2}=2$，$l_{31}=\frac{8}{2}=4$
+>2. **第二步计算** 然后计算  
+>   $u_{22}=a_{22}-l_{21}u_{12}=3 - 2×1 = 1$，
+>   $u_{23}=a_{23}-l_{21}u_{13}=3 - 2×1 = 1$
+>4. **第三步计算**
+$$l_{32}=\frac{1}{u_{22}}(a_{32}-l_{31}u_{12})=\frac{1}{1}(7 - 4×1)=3$$
+>5. **第四步计算** 最后
+$$u_{33}=a_{33}-l_{31}u_{13}-l_{32}u_{23}=9 - 4×1 - 3×1 = 2$$
+>6. **得出结果** 得到
+$$L=\left[\begin{array}{ccc}1&0&0\\2&1&0\\4&3&1\end{array}\right]$$
+$$U=\left[\begin{array}{ccc}2&1&1\\0&1&1\\0&0&2\end{array}\right]$$

otherdocs/高等代数/高等代数第五章.md

@@ -0,0 +1,57 @@
+**Copyright © 2024 Simon**
+# 第5章 特征值与特征向量
+# 5.1 特征向量(eigenvector)与特征值(eigenvalue)
+  >定义 $A$ 为 $n \times n$ 矩阵，$x$ 为非零向量， 若存在数 $λ$ 使 $Ax=λx$ 有非平凡解 $x$， 则称 $λ$ 为 $A$的特征值,$x$ 称为对应于 $λ$ 的特征向量  
+也可写作$(A-λI)x=0$
+
+>**定理1**  
+三角矩阵的主对角线的元素是其特征值.
+
+>**定理2**  
+$λ_1,\cdots,λ_r$ 是 $n \times n$ 矩阵 $A$ 相异的特征值，$v_1,\cdots,v_r$是与$λ_1,\cdots,λ_r$对应的特征向量，那么向量集合{$v_1,\cdots,v_r$}线性无关.
+
+
+
+* 一、逆矩阵的特征值  
+若矩阵$A$可逆，$\lambda$是$A$的特征值，则$A^{-1}$的特征值是$\displaystyle \frac{1}{\lambda}$，特征向量不变。
+
+* 二、转置矩阵的特征值  
+矩阵$A$与其转置矩阵$A^T$具有相同的特征值。
+
+* 三、伴随矩阵的特征值  
+若$A$可逆，$A$的特征值为$\lambda_i$（$i = 1,2,\cdots,n$，$\lambda_i\neq0$），则伴随矩阵$A^*$的特征值为$\displaystyle \frac{\vert A\vert}{\lambda_i}$，特征向量不变。
+
+# 5.2 特征方程(eigen equation)
+>**定理(可逆矩阵定理(续))**  
+设 $A$ 是 $n \times n$ 矩阵，则 $A$ 是可逆的当且仅当  
+a.0不是 $A$ 的特征值.  
+b.$A$ 的行列式不等于零.
+
+
+
+>**定理3 (行列式的性质)**  
+设 $A$ 和 $B$ 是 $n \times n$ 矩阵.  
+a. $A$ 可逆的元要条件是 det$A \neq 0$.  
+b. det $AB =$ (det $A$)  (det$B$).  
+c. det $A^T$ = det $A$.  
+d. 若 $A$ 是三角形矩阵，那么det $A$ 是 $A$ 主对角线元素的乘积.  
+e. 对 $A$ 作行替换不改变其行列式值.作一次行交换，行列式值符号改变一次数来一行后，
+行列式值等于用此数来原来的行列式值.
+
+>**定理4**  
+若 $n \times n$ 矩阵 $A$ 和 $B$ 是相似的，那么它们有相同的特征多项式，从而有相同的特征值(和相同的重数).
+
+# 5.3 对角化(diagonalize)
+>**定理5 (对角化定理)**  
+$n \times n$ 矩阵 $A$ 可对角化的充分必要条件是 $A$ 有 $n$ 个线性无关的特征向量.  
+事实上， $A=PDP^{-1}$ , $D$ 为对角矩阵的充分必要条件是 $P$ 的列向量是 $A$ 的 $n$ 个线性无关的特征向量.此时，$D$ 的主对角线上的元素分别是 $A$ 的对应于 $P$ 中特征向量的特征值.
+
+>**定理6**  
+有 $n$ 个相异特征值的$n \times n$ 矩阵可对角化.
+
+>**定理7**  
+~~似乎不重要，因为我也读不懂~~
+
+>**定理8 (对角矩阵表示)**  
+设 $A=PDP^{-1}$ ， 其中 $D$ 为 $n \times n$ 对角矩阵，若  $R$<sup>n</sup> 的基$\beta$由 $P$ 的列向量组成，那么 $D$ 是变换 $x$ → $Ax$的$\beta$-矩阵.
+

otherdocs/高等代数/高等代数第六章.md

@@ -0,0 +1,166 @@
+**Copyright © 2024 Simon**
+# 6.1 内积、长度和正交性
+
+* 内积  
+  内积的英文是 “inner product” 或 “dot product”
+> **定理1**  
+> 设 $v$，$u$ 和 $w$ 是 $R$<sup>n</sup> 中的向量, $c$ 是一个数,那么  
+
+
+$a. \ \ \ u \cdot v = v \cdot u$
+
+$b.\ \ \ (u +v) \cdot w = u \cdot w +v \cdot w$
+
+$c. \ \ \ (cu) \cdot v=c(u \cdot v)=u \cdot (cv)$
+
+$d. \ \ \ u \cdot u \geq 0，并且u \cdot u=0 成立的充分必要条件是u=0$
+
+
+* 向量的长度  
+
+  $$||v|| ^2 = v \cdot v$$
+
+$$dist(u,v)=||u-v||$$
+ 
+* 正交向量  
+  正交向量的英文是 “orthogonal vectors” 或 “perpendicular vectors”
+  
+>定义如果 $u \cdot v  = 0$ ，如 $R$<sup>n</sup> 中的两个向量 $u$ 和 $v$ 是(相互) 正交的.  
+
+>对于一个方阵$A$，Col$A$中的向量与Nul$A$中的向量正交。
+
+>**定理2 (毕达哥拉斯(勾股)定理)**
+
+$$||u+v||^2=||u||^2+||v||^2$$
+
+* 正交补  
+  正交补的英文是 “orthogonal complement”
+ 
+>1.向量 $x$ 属于 $W$<sup>⊥</sup> 的充分必要条件是向量 $x$ 与生成空间 $W$ 的任一向量都正交.  
+>2. $W$<sup>⊥</sup> 止是 $R$<sup>n</sup> 的一个子空间.
+
+>**定理3**  
+$( Row A )$<sup>⊥</sup> = $Nul A$ 且  $( ColA )$<sup>⊥</sup> = $Nul A$<sup>T</sup>
+
+# 6.2 正交集
+ * 正交集的英文是 “orthogonal set” 或 “orthonormal set”
+>**定理4**  
+如果 $S=\{x_1,x_2,\cdots,x_i\}$ 是由 $R$<sup>n</sup> 中非零向量构成的正交集，那么 $S$ 是线性无关集，因此构成 $S$ 所生成的子空间的一组基.
+
+>**定理5**  
+假设$\{x_1,x_2,\cdots,x_i\}$是 $R$<sup>n</sup> 中于空间 $W$ 的正文基,对 $W$ 中的每个向量y,线性组合 $y=x_1c_1+\cdots+x_ic_i$ 中的权可以由 $c_j=(y \cdot u_j)/(u_j \cdot u_j)$计算
+
+## 正交投影  **先欠着**  ~~懒得写~~
+
+
+>**定理6**  
+一个 $m \times n$ 矩阵 U 具有单位正交列向量的充分必要条件是 $U$<sup>T</sup> $U$ = $I$.
+
+>**定理7**  
+假设 $U$ 是一个具有单位正交列的 $m \times n$ 矩阵，且 $x$ 和 $y$ 是 $R$<sup>n</sup> 中的向量，那么  
+a. $||Ux|| = ||x|| .$  
+b. $(Ux) \cdot (Uy) =x \cdot y$  
+c. $(Ux) \cdot (Uy) = 0$ 的充分必要条件是 $x \cdot y = 0$
+
+>**定理9 (最佳逼近定理)**  
+假设 $W$ 是 $R$<sup>n</sup> 的一个子空间，$y$ 是 $R$<sup>n</sup> 中的任意向量， $\widehat{y}$ 是 $y$ 在 $W$ 上的正支投影，那么 $\widehat{y}$ 是 $W$ 中最接近 $y$ 的点，也就是  
+$$||y-\widehat{y}||<||y-v||$$
+>对所有属于 $W$ 又异于 $\widehat{y}$ 的 $v$ 成立.
+
+# 6.4 格拉姆-施密特方法
+
+## 格拉姆 - 施密特方法
+
+设$\left\{\boldsymbol{v}_{1},\boldsymbol{v}_{2},\cdots,\boldsymbol{v}_{n}\right\}$是内积空间$V$中的一组线性无关向量。  
+首先$\boldsymbol{u}_{1}=\boldsymbol{v}_{1}$；对于$k = 2,3,\cdots,n$，
+$$\boldsymbol{u}_{k}=\boldsymbol{v}_{k}-\sum_{j = 1}^{k - 1}\frac{\left\langle\boldsymbol{v}_{k},\boldsymbol{u}_{j}\right\rangle}{\left\langle\boldsymbol{u}_{j},\boldsymbol{u}_{j}\right\rangle}\boldsymbol{u}_{j}$$
+即从$\boldsymbol{v}_{k}$中减去它在已构造正交向量$\boldsymbol{u}_{1},\boldsymbol{u}_{2},\cdots,\boldsymbol{u}_{k - 1}$上的投影，得到新正交向量$\boldsymbol{u}_{k}$。
+
+
+# 6.5 最小二乘问题
+* 最小二乘的英文是 “least squares” 或 “least square method”；  
+最小二乘解的英文是 “least squares solution”。
+
+* **定义**
+  $$||b-A\widehat{x}||\leq||b-Ax||$$
+
+>**定理13**  
+方程 $Ax=b$ 的最小二乘解集和法方程 $A$<sup>T</sup> $Ax = A$<sup>T</sup> $b$ 的非空解集一致.
+
+>**定理14**  
+设 $A$ 是 $m \times n$ 矩阵. 下面的条件是逻辑等价的:  
+a.对于 $R$<sup>n</sup> 中的每个 $b$ ， 方程 $Ax =b$ 有唯一最小二乘解.  
+b.$A$ 的列是线性无关的.  
+c.矩阵 $A$<sup>T</sup> $A$是可逆的.  
+当这些条件成立时，最小二乘解￡有下面的表示:
+$$\widehat{x}=( A^T A)^{-1}A^Tb$$
+
+
+# 6.7 内积空间
+
+>**定义**  
+向量空间 $V$ 上的内积是一个函数，对每一对属于$V$的向量 $u$ 和 $v$，存在一个实数$\langle u,v \rangle$满足下面公理，其中 $u$，$v$，$w$ 属于$V$，$C$ 为所有数.   
+1.$\langle u,v\rangle= \langle v,u \rangle$  
+2.$\langle u +v, w\rangle =\langle u, w\rangle +\langle v,w\rangle$  
+3.$\langle$c$u,v\rangle=$c$\langle u, v\rangle$  
+4.$\langle u,u\rangle \geq 0$且$\langle u,u\rangle =0$ 的充分必要条件是  $u=0$  
+一个赋予上面内积的向量空间称为**内积空间**
+
+* 内积空间的英文是 “inner product space” 或 “pre-Hilbert space”
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+>**定理16 (柯西-施瓦茨不等式)**  
+对 $V$ 中任意向量 $u$ 和 $v$，有
+$$|\langle u,v \rangle| \leq ||u||\ \  ||v||$$
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+>**定理17 (三角不等式)**  
+对属于$V$ 的所有向量$u$,$v$，有
+$$||u-v||\leq||u||+||v||$$
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otherdocs/高等代数/高等代数第四章.md

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+**Copyright © 2024 Simon**
+# 第4章 向量空间
+# 4.1 向量空间(vector space)与子空间(subspace)
+>向量空间和向量计算法则一样
+
+* 子空间
+  >定义向量空间 $V$ 的一个子空间是 $V$ 的一个满足以下三个性质的子集 $H$:  
+  a. $V$ 中的零向量在 $H$ 中  
+  b. $H$ 对向量加法封闭，即对 $H$ 中任意向量 $U$，$V$ ， 和 $u + v$ 仍在 $H$ 中.  
+  c. $H$ 对标量乘法封闭， 即对 $H$ 中任意向量 $u$ 和任意标量 $C$ ，向量 $cu$ 仍在 $H$ 中.
+
+
+>**定理1** 若 $v_1,v_2,\cdots,v_p$ 在向量空间 $V$ 中，则$span\{x_1,x_2,\cdots,x_i\}$是 $V$ 的一个子空间.
+
+# 4.2 零空间、列空间和线性变换
+* 矩阵的零空间(null space)
+  
+  >**定义**  
+  矩阵 $A$ 的零空间写成 $NulA$ ， 是齐次方程 $Ax = 0$ 的全体解的集合.
+
+>**定理2** $m \times n$ 矩阵 $A$ 的零空间是$R$<sup>m</sup>的一个子空间.等价地, $m$ 个方程、$n$ 个未知数的齐次线性方程组 $Ax = 0$ 的全体解的集合是$R$<sup>m</sup>的一个子空间
+
+* 矩阵的列空间(column space)
+  >**定义**  
+  $m \times n$矩阵 $A$ 的列空间(记为 $ColA$ ) 是由 $A$ 的列的所有线性组合组成的集合.若 $A=\begin{bmatrix}
+  \ x_1\ x_2\ \cdots \  x_3 \ \\
+  \end{bmatrix}$，则 $ColA = span\{x_1,x_2,\cdots,x_i\}$.
+
+>**定理3** $m \times n$ 矩阵 $A$ 的列空间是 $R$<sup>m</sup> 的一个子空间.
+
+* 线性变换的核与值域
+  >线性变换 见1.8
+  * 核(零空间 $Nul A$)
+  >线性变换 $T$ 的核(或零空间)是 $V$ 中所有满足 $T(u) = 0$ 的向量 $u$ 的集合
+
+# 4.3 线性无关集(linearly independent set)和基(basis)
+* 线性无关 见1.7
+  
+>**定理5 (生成集定理)**  
+令$S = \{v_1,v_2,\cdots,v_p\}$是$V$中的向量集，$H = span\{v_1,v_2,\cdots,v_p\}$.  
+a.若 $S$ 中某一个向量(比如说 $v_k$ ) 是 $S$ 中其余向量的线性组合，则 $S$ 中去掉$v_k$ 后形成的集合仍然可以生成 $H$.  
+b. 若$H \neq \{0\}$ ，则 $S$ 的某一子集是 $H$ 的一个基.
+
+* NulA 和ColA 的基
+  >**定理6**  
+  矩阵 $A$ 的主元列构成 $ColA$ 的一个基.
+
+
+# 4.5 向量空间的维数(dimension)
+>**定理9**  
+若向量空间 $V$ 具有一组基(n个基向量)， 则 $V$ 中任意包含多于 $n$ 个向量的集合一
+定线性相关.
+
+~~这是期中考证明题，没做出来~~
+
+>**定理10** 若向量空间 $V$ 有一组基含有 $n$ 个向量，则 $V$ 的每一组基一定恰好含有 $n$ 个向量.
+
+* $NulA$ 的维数是方程 $Ax=0$ 中自由变量的个数，$ColA$ 的维数是 $A$ 中主元列的个数.
+
+# 4.6 秩(rank)
+
+* $ColA^T = Row A$.
+>**定理13** 若两个矩阵 $A$ 和 $B$ 行等价，则它们的行空间相同.若 $B$ 是阶梯形矩阵，则 $B$ 的非零行构成 $A$ 的行空间的一个基同时也是 $B$ 的行空间的一个基
+
+~~?看不太懂~~
+
+*以下比较重要*
+
+>**定义**  
+$A$ 的秩即 $A$ 的列空间的维数
+
+>**定理14 (秩定理)**
+$m \times n$ 矩阵 $A$ 的列空间和行空间的维数相等，这个公共的维数(即 $A$ 的秩)还等于 $A$ 的主元位置的个数且,满足方程
+$$rank\  A+dim\ \ Nul \ A = n$$
+
+>**定理 (可逆矩阵定理(续))**  
+令 $A$ 是一个 $n \times n$ 矩阵，则下列命题中的每一个均等价于 $A$ 是可逆矩阵:  
+a. $A$ 的列构成$R$<sup>n</sup>的一个基.  
+b. $ColA=$$R$<sup>n</sup>.  
+c. $dim \ ColA = n$.  
+d. $rank A = n$.  
+e. $Nul A = \{0\}$.  
+f. $dim \ NulA=0$.  
+
+
+# 4.7 基的变换
+~~先欠着~~