第 3 章行列式（determinant）

3.1 行列式介绍

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我的方法：
1、选择一行零最多的，
2、他的位置是第（$i$，$j$）,那就删去第$i$行，第$j$列，剩下的就是（余因子）
3、这一行每个数都这样算$a_{ij} \times |C_{ij}| \times (-1)^{i+j}$，最后求和

定理 2
若 A 为三角阵，则 det$A$ 等于 A 的主对角线上元素的乘积

3.2 行列式的性质

定理3 (行变换)
令 A 是一个方阵.
a. 若 A 的某一行的倍数加到另一行得矩阵B ，则det B = det A .
b 若 A 的两行互换得矩阵 B ，则 det B = - det A.
c. 若 A 的某行来以 k 倍得到矩阵 B ，则det B = k det A .
** 补充
\vert A^T\vert=\vert A\vert \vert A^{-1}\vert=\frac{1}{\vert A\vert} |A^{*}|=|A|^{n - 1} \vert kA\vert=k^{n}\vert A\vert

定理4
方阵 A 是可逆的当且仅当 det A \neq 0

定理5
若 A 为一个 n \times n 矩阵，则det A^T = det A.

定理6 (乘法的性质)
若 A 和 B 均为 n \times n 矩阵，则 det AB = (det A)( det B) .

行列式与秩的关系

$\text{det}(A)\neq0$那么矩阵$A$是满秩的，秩$\text{rank}(A) = n$。这是因为行列式不为零意味着矩阵的列（行）向量组是线性无关的
也就是齐次线性方程组$Ax=0$的充要条件是系数矩阵秩\text{rank}(A) = n

$r(A) = n$ \Leftrightarrow $|A| \neq 0$ \Leftrightarrow 齐次线性方程组 Ax = 0 只有零解 \Leftrightarrow 可逆

3.3 克拉默法则

定理7 (克拉默法则)
设 A 是一个可逆的 n \times n 矩阵，对 $R$^m 中任意向量 b ，方程 Ax =b 的唯一解可由下式给出:

\displaystyle x_i=\frac{det \ \ A_i(b)}{det \ \ A},i=1,2,\cdots,,n

~~不太能解释~~

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3.1 行列式介绍

3.2 行列式的性质

3.3 克拉默法则

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