第 2 章矩阵代数

2.1 矩阵运算

加减乘

2.2 矩阵的逆

不可逆矩阵有时称为奇异矩阵，而可逆矩阵也称为非奇异矩阵.

A^{-1}A=I A^{-1}=\frac{1}{det A} \times A_{adj}

$A_{adj}$是伴随矩阵（adjugate matrix）

(A^{-1})^{-1}=A (AB)^{-1}=A^{-1}B^{-1}

若干个n \times n 可逆矩阵的积也是可逆的，其逆等于这些矩阵的逆按相反顺序的乘积 ~~看不懂，不爱用这种方法~~

求法（我常用）：

[\ A\ \ \ I\ ]=[\ I\ \ \ A^{-1}\ ]

2.3 矩阵的特征

挺多的

2.4 分块矩阵

没什么特别的

2.5 LU分解

L 是 m \times m 下三角矩阵，主对角线元素全是1，
A=LU
AI写的：

Doolittle分解（LU分解的一种常见形式）
原理对于一个$n \times n$矩阵 $A$，将其分解为一个下三角矩阵L,主对角线元素为1和一个上三角矩阵$U$的乘积，即$A = LU$。

计算步骤

设定矩阵形式 设

A=\left[\begin{array}{cccc}a_{11}&a_{12}&\cdots&a_{1n}\\a_{21}&a_{22}&\cdots&a_{2n}\\\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\a_{n1}&a_{n2}&\cdots&a_{nn}\end{array}\right]

L=\left[\begin{array}{cccc}1&0&\cdots&0\\l_{21}&1&\cdots&0\\\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\l_{n1}&l_{n2}&\cdots&1\end{array}\right]

U=\left[\begin{array}{cccc}u_{11}&u_{12}&\cdots&u_{1n}\\0&u_{22}&\cdots&u_{2n}\\\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\0&0&\cdots&u_{nn}\end{array}\right]

计算$U$的第一行和$L$的第一列

u_{1j}=a_{1j}(j = 1,2,\cdots,n) l_{i1}=\frac{a_{i1}}{u_{11}}(i = 2,3,\cdots,n)

对于$k = 2,3,\cdots,n$，分别计算$U$的第$k$行和$L$的第$k$列计算$U$的第$k$行：

u_{kj}=a_{kj}-\sum_{m = 1}^{k - 1}l_{km}u_{mj}(j = k,k + 1,\cdots,n)

计算$L$的第$k$列：

l_{ik}=\frac{1}{u_{kk}}(a_{ik}-\sum_{m = 1}^{k - 1}l_{im}u_{mk})(i = k + 1,k + 2,\cdots,n)

示例
对于矩阵

A=\left[\begin{array}{ccc}2&1&1\\4&3&3\\8&7&9\end{array}\right]

第一步计算 首先$u_{11}=2$， $u_{12}=1$，$u_{13}=1$，$l_{21}=\frac{4}{2}=2$，l_{31}=\frac{8}{2}=4

第二步计算 然后计算
$u_{22}=a_{22}-l_{21}u_{12}=3 - 2×1 = 1$， u_{23}=a_{23}-l_{21}u_{13}=3 - 2×1 = 1

第三步计算

l_{32}=\frac{1}{u_{22}}(a_{32}-l_{31}u_{12})=\frac{1}{1}(7 - 4×1)=3

第四步计算 最后

u_{33}=a_{33}-l_{31}u_{13}-l_{32}u_{23}=9 - 4×1 - 3×1 = 2

得出结果 得到

L=\left[\begin{array}{ccc}1&0&0\\2&1&0\\4&3&1\end{array}\right] U=\left[\begin{array}{ccc}2&1&1\\0&1&1\\0&0&2\end{array}\right]

2.6 KiB Raw Blame History Unescape Escape

第 2 章 矩阵代数