**Copyright © 2024 Simon**
# 第 2 章 矩阵代数
# 2.1 矩阵运算
加减乘
# 2.2 矩阵的逆
>不可逆矩阵有时称为**奇异矩阵**，而可逆矩阵也称为**非奇异矩阵**.
$$A^{-1}A=I$$
$$A^{-1}=\frac{1}{det A} \times A_{adj}$$
$A_{adj}$是伴随矩阵（adjugate matrix）
$$(A^{-1})^{-1}=A$$
$$(AB)^{-1}=A^{-1}B^{-1}$$

>若干个$n \times  n$ 可逆矩阵的积也是可逆的，其逆等于这些矩阵的逆按相反顺序的乘积
>~~看不懂，不爱用这种方法~~

求法（我常用）：
$$[\ A\ \ \ I\ ]=[\ I\ \ \ A^{-1}\ ]  $$

# 2.3 矩阵的特征

* 挺多的


# 2.4  分块矩阵
* 没什么特别的

# 2.5 LU分解
>L 是 $m \times m$ 下三角矩阵， 主对角线元素全是1，  
>$A=LU$  
>AI写的： 

* Doolittle分解（LU分解的一种常见形式）
* 原理 对于一个$n \times n$矩阵 $A$，将其分解为一个下三角矩阵$L$,主对角线元素为1和一个上三角矩阵$U$的乘积，即$A = LU$。
> 计算步骤   
> 1. **设定矩阵形式** 设
$$A=\left[\begin{array}{cccc}a_{11}&a_{12}&\cdots&a_{1n}\\a_{21}&a_{22}&\cdots&a_{2n}\\\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\a_{n1}&a_{n2}&\cdots&a_{nn}\end{array}\right]$$
$$L=\left[\begin{array}{cccc}1&0&\cdots&0\\l_{21}&1&\cdots&0\\\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\l_{n1}&l_{n2}&\cdots&1\end{array}\right]$$ 
$$U=\left[\begin{array}{cccc}u_{11}&u_{12}&\cdots&u_{1n}\\0&u_{22}&\cdots&u_{2n}\\\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\0&0&\cdots&u_{nn}\end{array}\right]$$
> 2. **计算$U$的第一行和$L$的第一列** 
$$u_{1j}=a_{1j}(j = 1,2,\cdots,n)$$ 
$$l_{i1}=\frac{a_{i1}}{u_{11}}(i = 2,3,\cdots,n)$$
> 3. **对于$k = 2,3,\cdots,n$，分别计算$U$的第$k$行和$L$的第$k$列计算$U$的第$k$行**： 
$$u_{kj}=a_{kj}-\sum_{m = 1}^{k - 1}l_{km}u_{mj}(j = k,k + 1,\cdots,n)$$
>**计算$L$的第$k$列**： 
$$l_{ik}=\frac{1}{u_{kk}}(a_{ik}-\sum_{m = 1}^{k - 1}l_{im}u_{mk})(i = k + 1,k + 2,\cdots,n)$$

>*示例*  
>对于矩阵
$$A=\left[\begin{array}{ccc}2&1&1\\4&3&3\\8&7&9\end{array}\right]$$
>1. **第一步计算**
>首先$u_{11}=2$， $u_{12}=1$，$u_{13}=1$，$l_{21}=\frac{4}{2}=2$，$l_{31}=\frac{8}{2}=4$
>2. **第二步计算** 然后计算  
>   $u_{22}=a_{22}-l_{21}u_{12}=3 - 2×1 = 1$，
>   $u_{23}=a_{23}-l_{21}u_{13}=3 - 2×1 = 1$
>4. **第三步计算**
$$l_{32}=\frac{1}{u_{22}}(a_{32}-l_{31}u_{12})=\frac{1}{1}(7 - 4×1)=3$$
>5. **第四步计算** 最后
$$u_{33}=a_{33}-l_{31}u_{13}-l_{32}u_{23}=9 - 4×1 - 3×1 = 2$$
>6. **得出结果** 得到
$$L=\left[\begin{array}{ccc}1&0&0\\2&1&0\\4&3&1\end{array}\right]$$
$$U=\left[\begin{array}{ccc}2&1&1\\0&1&1\\0&0&2\end{array}\right]$$