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**Copyright © 2024 Simon**
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# 第 2 章 矩阵代数
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# 2.1 矩阵运算
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加减乘
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# 2.2 矩阵的逆
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>不可逆矩阵有时称为**奇异矩阵**，而可逆矩阵也称为**非奇异矩阵**.
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$$A^{-1}A=I$$
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$$A^{-1}=\frac{1}{det A} \times A_{adj}$$
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$A_{adj}$是伴随矩阵（adjugate matrix）
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$$(A^{-1})^{-1}=A$$
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$$(AB)^{-1}=A^{-1}B^{-1}$$
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>若干个$n \times n$ 可逆矩阵的积也是可逆的，其逆等于这些矩阵的逆按相反顺序的乘积
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>~~看不懂，不爱用这种方法~~
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求法（我常用）：
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$$[\ A\ \ \ I\ ]=[\ I\ \ \ A^{-1}\ ] $$
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# 2.3 矩阵的特征
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* 挺多的
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# 2.4 分块矩阵
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* 没什么特别的
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# 2.5 LU分解
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>L 是 $m \times m$ 下三角矩阵， 主对角线元素全是1，
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>$A=LU$
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>AI写的：
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* Doolittle分解（LU分解的一种常见形式）
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* 原理 对于一个$n \times n$矩阵 $A$，将其分解为一个下三角矩阵$L$,主对角线元素为1和一个上三角矩阵$U$的乘积，即$A = LU$。
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> 计算步骤
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> 1. **设定矩阵形式** 设
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$$A=\left[\begin{array}{cccc}a_{11}&a_{12}&\cdots&a_{1n}\\a_{21}&a_{22}&\cdots&a_{2n}\\\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\a_{n1}&a_{n2}&\cdots&a_{nn}\end{array}\right]$$
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$$L=\left[\begin{array}{cccc}1&0&\cdots&0\\l_{21}&1&\cdots&0\\\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\l_{n1}&l_{n2}&\cdots&1\end{array}\right]$$
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$$U=\left[\begin{array}{cccc}u_{11}&u_{12}&\cdots&u_{1n}\\0&u_{22}&\cdots&u_{2n}\\\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\0&0&\cdots&u_{nn}\end{array}\right]$$
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> 2. **计算$U$的第一行和$L$的第一列**
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$$u_{1j}=a_{1j}(j = 1,2,\cdots,n)$$
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$$l_{i1}=\frac{a_{i1}}{u_{11}}(i = 2,3,\cdots,n)$$
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> 3. **对于$k = 2,3,\cdots,n$，分别计算$U$的第$k$行和$L$的第$k$列计算$U$的第$k$行**：
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$$u_{kj}=a_{kj}-\sum_{m = 1}^{k - 1}l_{km}u_{mj}(j = k,k + 1,\cdots,n)$$
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>**计算$L$的第$k$列**：
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$$l_{ik}=\frac{1}{u_{kk}}(a_{ik}-\sum_{m = 1}^{k - 1}l_{im}u_{mk})(i = k + 1,k + 2,\cdots,n)$$
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>*示例*
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>对于矩阵
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$$A=\left[\begin{array}{ccc}2&1&1\\4&3&3\\8&7&9\end{array}\right]$$
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>1. **第一步计算**
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>首先$u_{11}=2$， $u_{12}=1$，$u_{13}=1$，$l_{21}=\frac{4}{2}=2$，$l_{31}=\frac{8}{2}=4$
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>2. **第二步计算** 然后计算
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> $u_{22}=a_{22}-l_{21}u_{12}=3 - 2×1 = 1$，
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> $u_{23}=a_{23}-l_{21}u_{13}=3 - 2×1 = 1$
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>4. **第三步计算**
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$$l_{32}=\frac{1}{u_{22}}(a_{32}-l_{31}u_{12})=\frac{1}{1}(7 - 4×1)=3$$
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>5. **第四步计算** 最后
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$$u_{33}=a_{33}-l_{31}u_{13}-l_{32}u_{23}=9 - 4×1 - 3×1 = 2$$
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>6. **得出结果** 得到
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$$L=\left[\begin{array}{ccc}1&0&0\\2&1&0\\4&3&1\end{array}\right]$$
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$$U=\left[\begin{array}{ccc}2&1&1\\0&1&1\\0&0&2\end{array}\right]$$ |