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第5章 特征值与特征向量

5.1 特征向量(eigenvector)与特征值(eigenvalue)

定义 A 为 n \times n 矩阵，x 为非零向量， 若存在数 λ 使 Ax=λx 有非平凡解 $x$， 则称 λ 为 $A$的特征值,$x$ 称为对应于 λ 的特征向量
也可写作(A-λI)x=0

定理1
三角矩阵的主对角线的元素是其特征值.

定理2
λ_1,\cdots,λ_r 是 n \times n 矩阵 A 相异的特征值，$v_1,\cdots,v_r$是与$λ_1,\cdots,λ_r$对应的特征向量，那么向量集合{$v_1,\cdots,v_r$}线性无关.

• 一、逆矩阵的特征值
  若矩阵$A$可逆，$\lambda$是$A$的特征值，则$A^{-1}$的特征值是$\displaystyle \frac{1}{\lambda}$，特征向量不变。

• 二、转置矩阵的特征值
  矩阵$A$与其转置矩阵$A^T$具有相同的特征值。

• 三、伴随矩阵的特征值
  若$A$可逆，$A$的特征值为$\lambda_i$（$i = 1,2,\cdots,n$，$\lambda_i\neq0$），则伴随矩阵$A^*$的特征值为$\displaystyle \frac{\vert A\vert}{\lambda_i}$，特征向量不变。

5.2 特征方程(eigen equation)

定理(可逆矩阵定理(续))
设 A 是 n \times n 矩阵，则 A 是可逆的当且仅当
a.0不是 A 的特征值.
b.$A$ 的行列式不等于零.

定理3 (行列式的性质)
设 A 和 B 是 n \times n 矩阵.
a. A 可逆的元要条件是 det$A \neq 0$.
b. det AB = (det A) (det$B$).
c. det A^T = det A.
d. 若 A 是三角形矩阵，那么det A 是 A 主对角线元素的乘积.
e. 对 A 作行替换不改变其行列式值.作一次行交换，行列式值符号改变一次数来一行后， 行列式值等于用此数来原来的行列式值.

定理4
若 n \times n 矩阵 A 和 B 是相似的，那么它们有相同的特征多项式，从而有相同的特征值(和相同的重数).

5.3 对角化(diagonalize)

定理5 (对角化定理)
n \times n 矩阵 A 可对角化的充分必要条件是 A 有 n 个线性无关的特征向量.
事实上， A=PDP^{-1} , D 为对角矩阵的充分必要条件是 P 的列向量是 A 的 n 个线性无关的特征向量.此时，D 的主对角线上的元素分别是 A 的对应于 P 中特征向量的特征值.

定理6
有 n 个相异特征值的n \times n 矩阵可对角化.

定理7
似乎不重要，因为我也读不懂

定理8 (对角矩阵表示)
设 A=PDP^{-1} ， 其中 D 为 n \times n 对角矩阵，若 $R$ⁿ 的基$\beta$由 P 的列向量组成，那么 D 是变换 x → $Ax$的$\beta$-矩阵.