+
+#### Markdown源码版本
+- **文件名**：数字电路基础.md
+- **文件大小**：约 80KB
+- **格式**：Markdown格式，包含电路图和真值表
+- **特点**：支持在线编辑，便于添加个人笔记
+- **下载链接**：[点击下载源码版本](/otherdocs/数字电路/数字电路基础.md)
+
+#### PDF版本
+- **文件名**：数字电路基础.pdf
+- **文件大小**：约 3MB
+- **格式**：PDF格式，包含完整的电路图和公式
+- **特点**：排版精美，适合打印和阅读
+- **下载链接**：[点击下载PDF版本](/otherdocs/数字电路/数字电路基础.pdf)
diff --git a/docs/sop/linear-algebra-notes.md b/docs/sop/linear-algebra-notes.md
new file mode 100644
index 0000000..31876fb
--- /dev/null
+++ b/docs/sop/linear-algebra-notes.md
@@ -0,0 +1,121 @@
+---
+title: 高等代数笔记
+date: 2025-01-20 14:30:00
+descriptionHTML: '
+
+'
+tags:
+ - 数学
+ - 笔记
+sidebar: true
+readingTime: true
+hidden: false
+---
+
+# 高等代数笔记
+
+
+
+#### 第一章：线性方程组
+- 线性方程组的基本概念
+- 高斯消元法
+- 矩阵的初等变换
+- 线性方程组解的结构
+
+#### 第二章：矩阵
+- 矩阵的基本运算
+- 矩阵的逆
+- 分块矩阵
+- 矩阵的秩
+
+#### 第三章：向量空间
+- 向量空间的定义
+- 线性相关与线性无关
+- 基与维数
+- 坐标变换
+
+#### 第四章：线性变换
+- 线性变换的定义与性质
+- 线性变换的矩阵表示
+- 特征值与特征向量
+- 对角化理论
+
+#### 第五章：多项式
+- 多项式的基本理论
+- 最大公因式
+- 因式分解
+- 有理函数
+
+#### 第六章：矩阵的标准形
+- 相似矩阵
+- Jordan标准形
+- 最小多项式
+- 矩阵函数
+
+#### 第七章：二次型
+- 二次型的基本概念
+- 二次型的标准形
+- 正定二次型
+- 二次型的应用
+
+
+
+#### 第一章：线性方程组
+- **Markdown源码**：[高等代数第一章.md](/otherdocs/高等代数/高等代数第一章.md)
+- **PDF版本**：[高等代数第一章.pdf](/otherdocs/高等代数/高等代数第一章.pdf)
+
+#### 第二章：矩阵
+- **Markdown源码**：[高等代数第二章.md](/otherdocs/高等代数/高等代数第二章.md)
+- **PDF版本**：[高等代数第二章.pdf](/otherdocs/高等代数/高等代数第二章.pdf)
+
+#### 第三章：向量空间
+- **Markdown源码**：[高等代数第三章.md](/otherdocs/高等代数/高等代数第三章.md)
+- **PDF版本**：[高等代数第三章.pdf](/otherdocs/高等代数/高等代数第三章.pdf)
+
+#### 第四章：线性变换
+- **Markdown源码**：[高等代数第四章.md](/otherdocs/高等代数/高等代数第四章.md)
+- **PDF版本**：[高等代数第四章.pdf](/otherdocs/高等代数/高等代数第四章.pdf)
+
+#### 第五章：多项式
+- **Markdown源码**：[高等代数第五章.md](/otherdocs/高等代数/高等代数第五章.md)
+- **PDF版本**：[高等代数第五章.pdf](/otherdocs/高等代数/高等代数第五章.pdf)
+
+#### 第六章：矩阵的标准形
+- **Markdown源码**：[高等代数第六章.md](/otherdocs/高等代数/高等代数第六章.md)
+- **PDF版本**：[高等代数第六章.pdf](/otherdocs/高等代数/高等代数第六章.pdf)
+
+#### 第七章：二次型
+- **Markdown源码**：[高等代数第七章.md](/otherdocs/高等代数/高等代数第七章.md)
+- **PDF版本**：[高等代数第七章.pdf](/otherdocs/高等代数/高等代数第七章.pdf)
+
+
diff --git a/docs/sop/math-analysis-notes.md b/docs/sop/math-analysis-notes.md
new file mode 100644
index 0000000..8b882ac
--- /dev/null
+++ b/docs/sop/math-analysis-notes.md
@@ -0,0 +1,87 @@
+---
+title: 数学分析笔记
+date: 2025-01-20 14:00:00
+descriptionHTML: '
+
数学分析完整笔记，包含详细的理论推导和习题解答，提供Markdown源码和PDF版本下载
+'
+tags:
+ - 数学
+ - 笔记
+sidebar: true
+readingTime: true
+hidden: false
+---
+
+# 数学分析笔记
+
+
+
+## 前言
+
+
+
+
+ 本笔记是数学分析课程的完整学习资料，涵盖了数学分析的核心内容，包括极限理论、连续性、微分学、积分学等重要章节。笔记内容详实，理论推导严谨，适合数学专业学生和数学爱好者学习参考。
+
+
+
+
+## 笔记内容概览
+
+
+
+ 本数学分析笔记包含以下主要内容：
+
+### 主要章节
+
+- **第一章：实数理论与数列极限**
+ - 实数的完备性
+ - 数列极限的定义与性质
+ - 单调有界定理
+
+- **第二章：函数极限与连续性**
+ - 函数极限的定义
+ - 连续函数的性质
+ - 一致连续性
+
+- **第三章：导数与微分**
+ - 导数的定义与几何意义
+ - 求导法则
+ - 微分中值定理
+
+- **第四章：积分理论**
+ - 定积分的定义
+ - 牛顿-莱布尼茨公式
+ - 积分技巧与应用
+
+- **第五章：级数理论**
+ - 数项级数
+ - 幂级数
+ - 傅里叶级数
+
+- **第六章：多元函数微积分**
+ - 偏导数与全微分
+ - 多重积分
+ - 向量分析
+
+
+
+## 资料下载
+
+
+
+###
📥 下载链接
+
+
+
+#### Markdown源码版本
+- **文件名**：数学分析完整笔记.md
+- **文件大小**：约 150KB
+- **格式**：Markdown格式，支持数学公式渲染
+- **下载链接**：[点击下载源码版本](/otherdocs/数分笔记/数学分析完整笔记.md)
+
+#### PDF版本
+- **文件名**：数学分析完整笔记.pdf
+- **文件大小**：约 2MB
+- **格式**：PDF格式，适合打印和阅读
+- **下载链接**：[点击下载PDF版本](/otherdocs/数分笔记/数学分析完整笔记.pdf)
diff --git a/docs/sop/vllm-learning-notes-1.md b/docs/sop/vllm-learning-notes-1.md
new file mode 100644
index 0000000..edf9437
--- /dev/null
+++ b/docs/sop/vllm-learning-notes-1.md
@@ -0,0 +1,270 @@
+---
+title: vllm学习笔记1
+date: 2025-09-06 23:00:00 # 发布日期和时间，格式：YYYY-MM-DD HH:MM:SS
+descriptionHTML: '
+学习笔记：ray介绍，vllm的作用和主要运行方式
+'
+tags: # 文章标签列表，用于分类和搜索
+ - AI
+ - 笔记
+sidebar: true # 是否显示侧边栏：true显示，false隐藏
+readingTime: true # 是否显示阅读时间：true显示，false隐藏
+sticky: 0 # 精选文章设置：值越大在首页展示越靠前，0表示不精选
+recommend: false
+---
+
+# vLLM学习笔记1 - Ray与vLLM架构深入理解
+
+> **版本说明**: 本文基于 vLLM 0.2.7 版本进行分析
+> **源码位置**: 相关代码主要位于 `vllm/engine/` 和 `vllm/worker/` 目录下
+
+## Ray框架介绍
+
+### Ray是什么
+
+Ray是一个开源的分布式计算框架，专门为机器学习和AI工作负载设计。它提供了简单的API来构建和运行分布式应用程序。
+
+### Ray中的有状态和无状态
+
+#### 无状态服务
+- **特点**: 每次请求都是独立的，不依赖之前的状态
+- **示例**: HTTP API服务，每个请求处理完就结束
+
+#### 有状态(Worker)服务
+- **特点**: 需要维护内部状态，请求之间有依赖关系
+- **优势**: 可以缓存数据，避免重复计算
+- **示例**: 数据库连接池，模型推理服务(需要保持模型在内存中)
+
+在vLLM中，Worker节点就是典型的**有状态服务**，因为它们需要：
+- 在内存中保持加载的模型
+- 维护KV Cache状态
+- 跟踪正在处理的请求状态
+
+## vLLM的作用与价值
+
+### 主要作用
+1. 专门优化大语言模型的推理速度
+2. 通过PagedAttention技术显著减少内存占用
+3. 支持动态批处理，提高GPU利用率
+4. 支持多GPU和多节点部署
+
+### 核心优势
+- **PagedAttention**: 将注意力机制的KV Cache分页管理，类似操作系统的虚拟内存
+- **连续批处理**: 动态调整批大小，无需等待整个批次完成
+- **零拷贝**: 减少不必要的数据复制操作
+
+### KV Cache显存分配机制
+
+在传统的Transformer推理中，KV Cache需要预先分配连续的显存空间，这会造成大量的内存浪费。vLLM通过PagedAttention技术，将KV Cache分割成固定大小的block块进行管理。
+
+#### Block分配原理
+####
+
+```mermaid
+graph TB
+ subgraph "GPU显存空间"
+ subgraph "KV Cache Pool"
+ B1["Block 1
16 tokens
状态: 已分配"]
+ B2["Block 2
16 tokens
状态: 已分配"]
+ B3["Block 3
16 tokens
状态: 空闲"]
+ B4["Block 4
16 tokens
状态: 空闲"]
+ B5["Block 5
16 tokens
状态: 已分配"]
+ B6["Block 6
16 tokens
状态: 空闲"]
+ end
+
+ subgraph "模型权重"
+ MW["Model Weights
固定占用"]
+ end
+ end
+
+ subgraph "请求管理"
+ R1["Request 1
Seq ID: 001
长度: 25 tokens"]
+ R2["Request 2
Seq ID: 002
长度: 18 tokens"]
+ end
+
+ subgraph "Block映射表"
+ BT["Block Table
Seq 001: [Block1, Block2]
Seq 002: [Block5]
Free: [Block3, Block4, Block6]"]
+ end
+
+ R1 --> B1
+ R1 --> B2
+ R2 --> B5
+
+ BT --> B1
+ BT --> B2
+ BT --> B5
+
+ style B1 fill:#ff9999,stroke:#333,stroke-width:2px,color:#000
+ style B2 fill:#ff9999,stroke:#333,stroke-width:2px,color:#000
+ style B5 fill:#ff9999,stroke:#333,stroke-width:2px,color:#000
+ style B3 fill:#99ff99,stroke:#333,stroke-width:2px,color:#000
+ style B4 fill:#99ff99,stroke:#333,stroke-width:2px,color:#000
+ style B6 fill:#99ff99,stroke:#333,stroke-width:2px,color:#000
+ style MW fill:#cce5ff,stroke:#333,stroke-width:2px,color:#000
+ style R1 fill:#fff2cc,stroke:#333,stroke-width:2px,color:#000
+ style R2 fill:#fff2cc,stroke:#333,stroke-width:2px,color:#000
+ style BT fill:#f0f0f0,stroke:#333,stroke-width:2px,color:#000
+```
+
+#### 关键特性说明
+
+1. **固定Block大小**: 每个Block通常包含16个token的KV Cache
+2. **动态分配**: 根据序列长度动态分配所需的Block数量
+3. **非连续存储**: Block在物理内存中可以不连续，通过映射表管理
+4. **高效回收**: 请求完成后立即回收Block，供其他请求使用
+
+#### 内存利用率对比
+
+| 方案 | 内存预分配 | 实际使用率 | 浪费率 |
+|------|------------|------------|--------|
+| 传统方案 | 最大序列长度 | 20-30% | 70-80% |
+| PagedAttention | 按需分配 | 90-95% | 5-10% |
+
+#### Block管理的具体流程
+
+```python
+# 位置: vllm/core/block_manager.py
+class BlockManager:
+ def allocate_blocks(self, sequence_length):
+ """为序列分配所需的Block"""
+ blocks_needed = math.ceil(sequence_length / self.block_size)
+ allocated_blocks = []
+
+ for _ in range(blocks_needed):
+ if self.free_blocks:
+ block = self.free_blocks.pop()
+ allocated_blocks.append(block)
+ else:
+ # 内存不足，触发抢占机制
+ self.preempt_sequences()
+
+ return allocated_blocks
+
+ def free_blocks(self, sequence_id):
+ """释放序列占用的Block"""
+ blocks = self.sequence_to_blocks[sequence_id]
+ self.free_blocks.extend(blocks)
+ del self.sequence_to_blocks[sequence_id]
+```
+
+这种设计的优势：
+- **内存碎片化最小**: 固定大小的Block避免了内存碎片
+- **动态扩展**: 序列可以根据需要动态申请更多Block
+- **共享机制**: 多个序列可以共享相同的prefix Block（如系统提示词）
+
+## vLLM运作方式详解
+
+### 整体架构流程
+
+```
+用户请求 → LLMEngine → Scheduler → Workers → GPU推理 → 结果返回
+```
+
+### 详细运作步骤
+
+1. `LLMEngine`接收用户的文本生成请求
+2. `Scheduler`决定哪些请求可以被处理
+3. 为请求分配GPU内存和计算资源
+4. 多个`Worker`并行执行推理任务
+5. 收集各Worker的输出并返回给用户
+
+## 调度器(Scheduler)详解
+
+### 调度器的核心职责
+
+调度器是vLLM的"大脑"，主要负责：
+
+#### 1. 请求管理
+```python
+# 位置: vllm/engine/llm_engine.py
+class LLMEngine:
+ def __init__(self):
+ self.scheduler = Scheduler(...)
+```
+
+#### 2. 资源调度策略
+1. 跟踪可用的GPU内存
+2. 决定哪些请求可以组成一个批次
+3. 根据请求的优先级和到达时间排序
+
+
+### 调度算法核心逻辑
+
+```python
+# 简化的调度逻辑示例
+def schedule_requests(self):
+ # 1. 检查可用资源
+ available_memory = self.get_available_memory()
+
+ # 2. 选择可执行的请求
+ executable_requests = []
+ for request in self.waiting_requests:
+ if self.can_allocate(request, available_memory):
+ executable_requests.append(request)
+
+ # 3. 返回调度结果
+ return executable_requests
+```
+
+## Worker的作用与机制
+
+### Worker的核心功能
+
+Worker是vLLM的"执行者"，每个Worker负责：
+
+#### 1. 模型加载与管理
+```python
+# 位置: vllm/worker/worker.py
+class Worker:
+ def __init__(self):
+ self.model_runner = ModelRunner(...)
+ self.cache_engine = CacheEngine(...)
+```
+
+#### 2. 推理执行
+- **前向传播**: 执行模型的前向计算
+- **KV缓存管理**: 管理注意力机制的键值缓存
+- **内存分配**: 为每个请求分配必要的内存空间
+
+#### 3. 状态维护
+- **请求状态跟踪**: 记录每个请求的处理进度
+- **缓存状态管理**: 维护PagedAttention的页面状态
+- **错误处理**: 处理推理过程中的异常情况
+
+### Worker的工作流程
+
+1. **初始化**: 加载模型权重，初始化缓存引擎
+2. **接收任务**: 从调度器接收批处理任务
+3. **执行推理**: 并行处理批次中的所有请求
+4. **返回结果**: 将推理结果返回给引擎
+
+## 关键代码文件位置
+
+### 主要源码文件结构
+
+```
+vllm/
+├── engine/
+│ ├── llm_engine.py # 主引擎，协调整个推理流程
+│ └── async_llm_engine.py # 异步版本的引擎
+├── core/
+│ ├── scheduler.py # 调度器核心逻辑
+│ └── block_manager.py # 内存块管理器
+├── worker/
+│ ├── worker.py # Worker基类实现
+│ └── model_runner.py # 模型运行器
+└── attention/
+ └── backends/ # PagedAttention实现
+```
+
+### 重要文件说明
+
+- **`vllm/engine/llm_engine.py`**: 整个系统的入口点和协调中心
+- **`vllm/core/scheduler.py`**: 实现了复杂的请求调度算法
+- **`vllm/worker/worker.py`**: Worker的具体实现逻辑
+- **`vllm/core/block_manager.py`**: PagedAttention的内存管理实现
+
+## 总结
+
+vLLM通过Ray框架实现分布式推理，采用有状态的Worker设计来保持模型和缓存状态。其核心创新在于PagedAttention技术和智能调度系统，大幅提升了大语言模型的推理效率和资源利用率。
+
diff --git a/otherdocs/数分笔记/数学分析完整笔记.md b/otherdocs/数分笔记/数学分析完整笔记.md
new file mode 100644
index 0000000..089a9a8
--- /dev/null
+++ b/otherdocs/数分笔记/数学分析完整笔记.md
@@ -0,0 +1,1450 @@
+**Copyright © 2024 Simon**
+
+# 数学分析完整笔记
+
+# 第一章 序章
+
+* 暂无
+
+# 第二章 函数
+
+* 反函数
+
+## 三角函数和反函数
+
+**倒数关系：**
+
+$$
+\cos\theta \cdot \sec\theta = 1
+$$
+
+$$
+\sin\theta \cdot \csc\theta = 1
+$$
+
+$$
+\tan\theta \cdot \cot\theta = 1
+$$
+
+**商数关系：**
+
+$$
+\tan\theta = \frac{\sin\theta}{\cos\theta}
+$$
+
+$$
+\cot\theta = \frac{\cos\theta}{\sin\theta}
+$$
+
+**平方关系：**
+
+$$
+\sin^{2}\theta + \cos^{2}\theta = 1
+$$
+
+$$
+1 + \tan^{2}\theta = \sec^{2}\theta
+$$
+
+$$
+1 + \cot^{2}\theta = \csc^{2}\theta
+$$
+
+**积化和差公式：**
+
+$$
+sin\alpha\cos\beta=\frac{1}{2}[\ \sin(\alpha + \beta)+\sin(\alpha-\beta)]
+$$
+
+$$
+cos\alpha\sin\beta=\frac{1}{2}[\ \sin(\alpha + \beta)-\sin(\alpha-\beta)]
+$$
+
+$$
+cos\alpha\cos\beta=\frac{1}{2}[\ \cos(\alpha + \beta)+\cos(\alpha-\beta)]
+$$
+
+$$
+sin\alpha\sin\beta=-\frac{1}{2}[\ \cos(\alpha + \beta)-\cos(\alpha-\beta)]
+$$
+
+**和差化积：**
+
+1. **正弦函数的和差化积公式：**
+
+ $$
+ sin\alpha+\sin\beta = 2\sin\frac{\alpha + \beta}{2}\cos\frac{\alpha-\beta}{2}
+ $$
+
+ $$
+ sin\alpha-\sin\beta = 2\cos\frac{\alpha + \beta}{2}\sin\frac{\alpha-\beta}{2}
+ $$
+2. **余弦函数的和差化积公式：**
+
+ $$
+ cos\alpha+\cos\beta = 2\cos\frac{\alpha + \beta}{2}\cos\frac{\alpha-\beta}{2}
+ $$
+
+ $$
+ cos\alpha-\cos\beta=2\sin\frac{\alpha + \beta}{2}\sin\frac{\alpha-\beta}{2}
+ $$
+
+### 三角函数
+
+* **余切函数**：
+ 定义：
+
+ $$
+ \cot\theta = \frac{\cos\theta}{\sin\theta}
+ $$
+
+ 在直角三角形中
+
+ $$
+ \cot\theta = \frac{邻边}{对边}
+ $$
+
+ 值域：$R$，定义域：$\theta \neq k\pi, k \in Z$
+* **正割函数**：
+ 定义：
+
+ $$
+ \sec\theta = \frac{1}{\cos\theta}
+ $$
+
+ 值域：$(-\infty, 1]\cup[1,\infty)$，定义域：$\displaystyle \theta \neq k\pi + \frac{\pi}{2}, k \in Z$。
+* **余割函数**：
+ 定义：
+
+ $$
+ \csc\theta = \frac{1}{\sin\theta}
+ $$
+
+ 值域：$(-\infty, 1]\cup[1,\infty)$，定义域：$\theta \neq k\pi, k \in Z$。
+
+### 反三角函数
+
+1. **反正弦函数**：
+ 符号：
+
+ $$
+ y = \arcsin x
+ $$
+
+ 定义域：$[-1,1]$，值域：$\displaystyle\left[-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right]$
+ 性质：
+
+ $$
+ \sin(\arcsin x) = x, x \in [1,1]
+ $$
+
+ $$
+ \arcsin(\sin y) = y, y \in \left[-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right]
+ $$
+2. **反余弦函数**：
+ 符号：
+
+ $$
+ y = \arccos x
+ $$
+
+ 定义域：$[-1,1]$，值域：$[0,\pi]$
+ 性质：
+
+ $$
+ \cos(\arccos x) = x, x \in [-1,1]
+ $$
+
+ $$
+ \arccos(\cos y) = y, y \in [0,\pi]
+ $$
+3. **反正切函数**：
+ 符号：
+
+ $$
+ y = \arctan x
+ $$
+
+ 定义域：$R$，值域：$\left(-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right)$
+ 性质：
+
+ $$
+ \tan(\arctan x) = x, x \in R
+ $$
+
+ $$
+ \arctan(\tan y) = y, y \in \left(-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right)
+ $$
+4. **反余切函数**：
+ 符号：
+
+ $$
+ y = \text{arccot} x
+ $$
+
+ 定义域：$R$，值域：$(0,\pi)$
+ 性质：
+
+ $$
+ \cot(\text{arccot} x) = x, x \in R
+ $$
+
+ $$
+ \text{arccot}(\cot y) = y, y \in (0,\pi)
+ $$
+
+# 第三章 极限
+
+## 数列的极限
+
+### 数列极限的$\varepsilon - N$语言证明
+
+1. **定义**
+ 数列$\{a_{n}\}$极限是$A$（记为$\lim_{n\rightarrow\infty}a_{n}=A$）的$\varepsilon - N$定义：对于任意给定的正数$\varepsilon\gt0$，存在正整数$N$，使得当$n > N$时，$\vert a_{n}-A\vert\lt\varepsilon$成立。
+2. **证明步骤**
+ - **步骤一：给定$\varepsilon\gt0$**
+ - **步骤二：寻找$N$**
+
+ - 通过分析$\vert a_{n}-A\vert\lt\varepsilon$，对$a_{n}$表达式变形来确定与$\varepsilon$有关的正整数$N$。
+ - 例如，对于数列$\displaystyle a_{n}=\frac{1}{n}$证明$\displaystyle\lim_{n\rightarrow\infty}a_{n}=0$，由$\displaystyle\vert a_{n}-0\vert=\vert\frac{1}{n}-0\vert=\frac{1}{n}$，要使$\displaystyle \frac{1}{n}\lt\varepsilon$，得$\displaystyle n>\frac{1}{\varepsilon}$，可取$\displaystyle N = [\frac{1}{\varepsilon}]+1$（$[x]$表示不超过 $x$ 的最大整数）。
+ - **步骤三：验证$n > N$时$\vert a_{n}-A\vert\lt\varepsilon$成立**
+
+ - 仍以上例说明，当$\displaystyle n > N = [\frac{1}{\varepsilon}]+1$时，$n>\frac{1}{\varepsilon}$，则$\displaystyle \frac{1}{n}\lt\varepsilon$，即$\displaystyle \vert a_{n}-0\vert\lt\varepsilon$，证得$\displaystyle \lim_{n\rightarrow\infty}\frac{1}{n}=0$。
+
+### 利用夹迫性证明数列极限
+
+1. **夹迫性定理**
+ 若存在三个数列$\{a_{n}\}$，$\{b_{n}\}$，$\{c_{n}\}$，满足当$n$足够大（比如$n > N_{0}$，$N_{0}$为某个正整数）时，$a_{n}\leq b_{n}\leq c_{n}$，且$\lim_{n\rightarrow\infty}a_{n}=\lim_{n\rightarrow\infty}c_{n}=A$，那么$\lim_{n\rightarrow\infty}b_{n}=A$。
+
+## 函数的极限
+
+1. **当$x\to0$时**
+ - **$x$与$\sin x$是等价无穷小**：
+ - 根据等价无穷小的定义，
+ $$
+ \lim_{x \to 0}\frac{\sin x}{x}=1
+ $$
+ - **$x$与$\tan x$是等价无穷小**：
+ - 同样有
+ $$
+ \lim_{x \to 0}\frac{\tan x}{x}=1
+ $$
+ - **$1 - \cos x$与$\frac{1}{2}x^{2}$是高阶等价无穷小**：
+ - 由
+ $$
+ \lim_{x \to 0}\frac{1 - \cos x}{\frac{1}{2}x^{2}} = 1
+ $$
+
+- 补充：
+- $$
+ x-\sin x\sim\frac{1}{6}x^{3}
+ $$
+
+1. **当$x\to+\infty$时**
+ - **$\ln x$与$\sqrt{x}$的关系**：
+ - 对于任意正整数$n$，
+ $$
+ \lim_{x \to +\infty}\frac{\ln x}{x^{n}} = 0
+ $$
+ - **$x^{n}$与$e^{x}$（$n$为常数）**：
+ - 对于任意常数$n$，
+ $$
+ \lim_{x \to +\infty}\frac{x^{n}}{e^{x}} = 0
+ $$
+
+* 当$x\to0$时
+
+$$
+\arctan{x}\to\sin{x}\to x\to \arcsin{x}\to \tan{x} \ \ \ \ \ \ {他们相差}\ \ \frac{x^3}{6}
+$$
+
+***重点：！！！！！（如果考试要用的话就要用泰勒展开写出来）***
+
+## 函数连续性
+
+暂无
+
+## 无限小量和无限大量
+
+暂无
+
+# 第四章 微分和微商
+
+## 各种函数的导数
+
+1. $(kx)' = k$
+2. $(x^n)' = nx^{n - 1}$
+3. $(a^x)' = a^x \ln a$
+4. $(e^x)' = e^x$
+5. $(\log_a x)' = \frac{1}{x \ln a}$
+6. $(\ln x)' = \frac{1}{x}$
+7. $(\sin x)' = \cos x$
+8. $(\cos x)' = - \sin x$
+
+*以下是重点*
+
+**9. $(\tan x)' = \sec^2 x$**
+
+**10. $(\cot x)' = - \csc^2 x$**
+
+**11. $(\sec x)' = \sec x \tan x$**
+
+**12. $(\csc x)' = - \csc x \cot x$**
+
+**13. $\displaystyle( \arcsin x)' = \frac{1}{\sqrt{1 - x^2}}$**
+
+**14. $\displaystyle( \arccos x)' = - \frac{1}{\sqrt{1 - x^2}}$**
+
+**15. $\displaystyle( \arctan x)' = \frac{1}{1 + x^2}$**
+
+**16. $\displaystyle( \text{arccot} x)' = - \frac{1}{1 + x^2}$**
+
+1. **双曲正弦函数（sinh x）**
+ - 定义：$\displaystyle\sinh x=\frac{e^{x}-e^{-x}}{2}$
+ - 导数：$\displaystyle(\sinh x)'=\cosh x$
+2. **双曲余弦函数（cosh x）**
+ - 定义：$\displaystyle\cosh x=\frac{e^{x}+e^{-x}}{2}$
+ - 导数：$\displaystyle(\cosh x)'=\sinh x$
+
+## 莱布尼兹公式
+
+### 公式表述
+
+若函数$u(x)$和$v(x)$都有$n$阶导数，则
+
+$$
+(uv)^{(n)}=\sum_{k = 0}^{n}C_{n}^{k}u^{(n - k)}v^{(k)}
+$$
+
+其中：
+
+- $\displaystyle C_{n}^{k}=\frac{n!}{k!(n - k)!}$是二项式系数
+- $\displaystyle u^{(n-k)}$表示$u$的$(n - k)$阶导数，当$n-k = 0$时，$u^{(0)}=u$
+- $\displaystyle v^{(k)}$表示$v$的$k$阶导数，当$k = 0$时，$v^{(0)}=v$
+
+> **应用举例**
+> 求$y=x^{2}e^{x}$的$n$阶导数。
+> 令$u = x^{2}$，$v=e^{x}$
+> $u' = 2x$，$u''=2$，$u^{(k)}=0$ for $k>2$
+> $v^{(k)}=e^{x}$ for all $k\geqslant0$
+> 根据莱布尼兹公式$(x^{2}e^{x})^{(n)}=C_{n}^{0}x^{2}e^{x}+C_{n}^{1}(2x)e^{x}+C_{n}^{2}(2)e^{x}$
+> 即$(x^{2}e^{x})^{(n)}=(x^{2}+2nx + n(n - 1))e^{x}$
+
+# 第五章 中值定理
+
+## 拉格朗日中值定理
+
+**定理内容**
+
+- 若函数$y = f(x)$满足：
+ - 在闭区间$[a,b]$上连续；
+ - 在开区间$(a,b)$内可导。
+- 那么在$(a,b)$内至少存在一点$\xi$，使得
+- $$
+ f(b)-f(a)=f^{\prime}(\xi)(b - a)
+ $$
+
+> **应用举例**
+> 例如，证明不等式$\displaystyle \frac{b - a}{1 + b^{2}}<\arctan b-\arctan a<\frac{b - a}{1 + a^{2}}$，其中$a < b$。
+> 设$f(x)=\arctan x$，$f(x)$在$[a,b]$上连续，在$(a,b)$内可导，且$\displaystyle f^{\prime}(x)=\frac{1}{1 + x^{2}}$。
+> 根据拉格朗日中值定理，存在$\xi\in(a,b)$，使得$\displaystyle \arctan b-\arctan a=\frac{1}{1+\xi^{2}}(b - a)$。
+> 因为$\displaystyle \frac{1}{1 + b^{2}}<\frac{1}{1+\xi^{2}}<\frac{1}{1 + a^{2}}$
+> 所以$\displaystyle \frac{b - a}{1 + b^{2}}<\arctan b-\arctan a<\frac{b - a}{1 + a^{2}}$。
+
+## 洛必达
+
+没什么好说的
+
+## 函数的极限
+
+1. **函数极限存在的第一充分条件**
+
+ - **内容**：设函数$f(x)$在$x_0$的某去心邻域$\dot{U}(x_0,\delta)$内有定义。
+ - 若当$x \in (x_0 - \delta,x_0)$时，$f(x)$单调递增且有上界，当$x\in(x_0,x_0+\delta)$时，$f(x)$单调递减且有下界，则$\lim_{x \to x_0}f(x)$存在。
+ - 反之，若当$x\in(x_0 - \delta,x_0)$时，$f(x)$单调递减且有下界，当$x\in(x_0,x_0+\delta)$时，$f(x)$单调递增且有上界，则$\lim_{x \to x_0}f(x)$存在。
+2. **函数极限存在的第二充分条件（重点看这个）**
+
+ - **内容**：设函数$y = f(x)$在点$x_0$处具有二阶导数且$f^{\prime}(x_0)=0$，$f^{\prime\prime}(x_0)\neq0$。
+ - 若$f^{\prime\prime}(x_0)>0$，则函数$y = f(x)$在$x = x_0$处取得极小值；
+ - 若$f^{\prime\prime}(x_0)<0$，则函数$y = f(x$在$x = x_0$处取得极大值。
+
+## 函数凹凸性
+
+**利用二阶导数判定**
+设函数$y = f(x)$在区间$I$内具有二阶导数。
+如果$f^{\prime\prime}(x)>0$，$x\in I$，那么函数$y = f(x)$在区间$I$上是凹的。
+如果$f^{\prime\prime}(x)<0$，$x\in I$，那么函数$y = f(x)$在区间$I$上是凸的。
+
+**定义5.2**
+设$f(x)$在$(a,b)$有定义。若对任意$x_1$，$x_2\in(a,b)$和任意$\lambda\in(0,1)$，有
+
+$$
+f(\lambda x_1+(1 - \lambda)x_2)\leq\lambda f(x_1)+(1 - \lambda)f(x_2)
+$$
+
+则称$f(x)$在$(a,b)$为下凸函数；若对任意$x_1$，$x_2\in(a,b)$和任意$\lambda\in(0,1)$，有
+
+$$
+f(\lambda x_1+(1 - \lambda)x_2)\geq\lambda f(x_1)+(1 - \lambda)f(x_2)
+$$
+
+则称$f(x)$在$(a,b)$为上凸函数。
+
+## 函数拐点
+
+**判定方法**
+
+- **二阶导数法**
+ - 一般地，若函数$y = f(x)$在点$x_0$处二阶可导，且在$x_0$的某邻域内二阶导数$f^{\prime\prime}(x)$变号（即函数的凹凸性发生改变），同时$f^{\prime\prime}(x_0) = 0$，那么点$(x_0,f(x_0))$是函数$y = f(x)$的一个拐点。
+
+> **二阶导数不存在的点也可能是拐点**
+
+# 第六章&第七章&第八章 积分
+
+* 常见积分公式
+
+# 不定积分基本公式
+
+$$
+\int kdx = kx + c
+$$
+
+$$
+\int x^{n}dx = \frac{x^{n + 1}}{n + 1}+c
+$$
+
+$$
+\int e^{x}dx = e^{x}+c
+$$
+
+$$
+\int a^{x}dx = \frac{a^{x}}{\ln a}+c
+$$
+
+$$
+\int \frac{1}{x}dx = \ln |x|+c
+$$
+
+$$
+\int \sin xdx = -\cos x + c
+$$
+
+$$
+\int \cos xdx = \sin x + c
+$$
+
+$$
+\int \tan xdx = -\ln |\cos x|+c
+$$
+
+$$
+\int \cot xdx = \ln |\sin x|+c
+$$
+
+$$
+\int \csc xdx = \ln |\csc x - \cot x|+c
+$$
+
+$$
+\int \sec xdx = \ln |\sec x + \tan x|+c
+$$
+
+$$
+\int x^{2}dx = \frac{1}{3}x^{3}+c
+$$
+
+$$
+\int \frac{1}{x^{2}}dx = -\frac{1}{x}+c
+$$
+
+$$
+\int \frac{1}{\sin x}dx = \int \csc^{2}xdx = -\cot x + c
+$$
+
+$$
+\int \frac{1}{\cos^{2}x}dx = \int \sec^{2}xdx = \tan x + c
+$$
+
+$$
+\int \frac{1}{1 + x^{2}}dx = \arctan x + c
+$$
+
+$$
+\int \frac{1}{\sqrt{1 - x^{2}}}dx = \arcsin x + c
+$$
+
+$$
+\int \sec x\tan xdx = \sec x + c
+$$
+
+$$
+\int \csc x\cot xdx = -\csc x + c
+$$
+
+$$
+\int \frac{dx}{a^{2}+x^{2}}=\frac{1}{a}\arctan\frac{x}{a}+c
+$$
+
+$$
+\int \frac{dx}{x^{2}-a^{2}}=\frac{1}{2a}\ln|\frac{x - a}{x + a}|+c
+$$
+
+$$
+\int \frac{dx}{\sqrt{a^{2}-x^{2}}}=\arcsin\frac{x}{a}+c
+$$
+
+$$
+\int \frac{dx}{\sqrt{x^{2}+a^{2}}}=\ln|x+\sqrt{x^{2}+a^{2}}|+c
+$$
+
+$$
+\int \frac{dx}{\sqrt{x^{2}-a^{2}}}=\ln|x+\sqrt{x^{2}-a^{2}}|+c
+$$
+
+$$
+\int \frac{x^{2}}{1 + x^{2}}dx=\frac{1}{2}\ln(1 + x^{2})+c
+$$
+
+$$
+\int \frac{1}{1 + x^{2}}dx=\arctan x + c
+$$
+
+### 补充
+
+$$
+\int \frac{x^2}{1 + x^{2}}dx = x - \arctan x + C
+$$
+
+过程如下（懂了吧）
+
+$$
+\begin{align*}
+\frac{x^2}{1 + x^{2}}&=\frac{x^2 + 1 - 1}{1 + x^{2}}\\
+&=\frac{x^2 + 1}{1 + x^{2}} - \frac{1}{1 + x^{2}}\\
+&= 1 - \frac{1}{1 + x^{2}}
+\end{align*}
+$$
+
+$$
+\int\ln xdx=x\ln x - x + C
+$$
+
+## 换元积分
+
+1. **第一类换元法（凑微分法）**
+
+ - **示例**：计算$\displaystyle \int 2x\cos(x^{2})dx$。
+
+ - 令$u = x^{2}$，则$du=2xdx$。
+ - 原积分$\displaystyle \int 2x\cos(x^{2})dx=\int\cos udu=\sin u + C$。
+ - 再把$u = x^{2}$代回，得到$\sin(x^{2})+C$。
+ - **常见的凑微分形式**：
+
+ - $\displaystyle \int f(ax + b)dx=\frac{1}{a}\int f(ax + b)d(ax + b)(a\neq0)$
+ - $\displaystyle \int f(x^{n})x^{n - 1}dx=\frac{1}{n}\int f(x^{n})d(x^{n})$。
+ - $\displaystyle \int f(\sin x)\cos xdx=\int f(\sin x)d(\sin x)$。
+2. **第二类换元法**
+
+ - **根式代换**
+ - 当被积函数中含有$\displaystyle \sqrt{a^{2}-x^{2}}(a>0)$时，可令$x = a\sin t$，$t\displaystyle \in\left(-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right)$。
+ - 示例：计算$\displaystyle \int\frac{1}{\sqrt{1 - x^{2}}}dx$。
+ - 令$x=\sin t$，$\displaystyle t\in\left(-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right)$，则$dx=\cos tdt$。
+ - 原积分
+ - $$
+ \displaystyle \int\frac{1}{\sqrt{1 - x^{2}}}dx=\int\frac{1}{\sqrt{1-\sin^{2}t}}\cos tdt=\int 1dt=t + C
+ $$
+ - 因为$\displaystyle x = \sin t$，所以$t=\arcsin x$，最终结果为$\arcsin x + C$
+ - 当被积函数中含有$\displaystyle \sqrt{x^{2}+a^{2}}(a>0)$时，可令$x = a\tan t$，$\displaystyle t\in\left(-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right)$。
+ - 当被积函数中含有$\displaystyle \sqrt{x^{2}-a^{2}}(a>0)$时，可令$x = a\sec t$，$\displaystyle t\in\left(0,\frac{\pi}{2}\right)\cup\left(\frac{\pi}{2},\pi\right)$。
+ - **倒代换**
+ - 当分母的次数比分子的次数高很多时，可考虑倒代换，即令$\displaystyle x=\frac{1}{t}$。
+ - 示例：计算$\displaystyle \int\frac{1}{x^{4}(1 + x^{2})}dx$。
+
+ - 令$\displaystyle x=\frac{1}{t}$，则$\displaystyle dx=-\frac{1}{t^{2}}dt$。
+ - 原积分
+
+ $$
+ \displaystyle \int\frac{1}{x^{4}(1 + x^{2})}dx=\int\frac{t^{4}}{1 + t^{2}}\left(-\frac{1}{t^{2}}\right)dt=-\int\frac{t^{2}}{1 + t^{2}}dt
+ $$
+
+ - 进一步化简
+ $$
+ \displaystyle =-\int\left(1-\frac{1}{1 + t^{2}}\right)dt=-t+\arctan t + C
+ $$
+ - 再把$\displaystyle t=\frac{1}{x}$代回，得到$\displaystyle -\frac{1}{x}+\arctan\frac{1}{x}+C$。
+3. **三角代换与双曲代换（补充方法）**
+
+ - **三角代换**：三角代换主要是利用三角函数之间的关系
+ $\sin^{2}t+\cos^{2}t = 1$，$\sec^{2}t-\tan^{2}t = 1$等来化简根式。
+ - **双曲代换(暂时没遇过)**：
+ - 双曲函数定义为$\displaystyle \sinh x=\frac{e^{x}-e^{-x}}{2}$，$\displaystyle \cosh x=\frac{e^{x}+e^{-x}}{2}$，且$\cosh^{2}x-\sinh^{2}x = 1$。
+ - 当被积函数含有$\displaystyle \sqrt{x^{2}+a^{2}}$时，也可令$x = a\sinh t$，因为$\displaystyle \sqrt{x^{2}+a^{2}}=\sqrt{a^{2}\sinh^{2}t+a^{2}}=a\cosh t$，这样代换后可以简化积分运算。
+
+## 分部积分法
+
+**分部积分公式**
+
+- 设函数$u = u(x)$及$v = v(x)$具有连续导数，那么
+
+ $$
+ \int u(x)v^{\prime}(x)dx = u(x)v(x)-\int v(x)u^{\prime}(x)dx
+ $$
+
+ 也可以写成
+
+ $$
+ \int udv = uv-\int vdu
+ $$
+
+## 有理函数的积分
+
+就是拆开
+
+## 定积分
+
+暂无
+
+## 积分中值定理
+
+**积分第一中值定理**
+
+- 若函数$f(x)$在闭区间$[a,b]$上连续，则在$[a,b]$上至少存在一点$\xi$，使得
+ $$
+ \displaystyle \int_{a}^{b}f(x)dx = f(\xi)(b - a)
+ $$
+
+> 这个定理的几何意义是：对于在区间$[a,b]$上连续的函数$y = f(x)$，由曲线$y = f(x)$、$x=a$、$x = b$以及$x$轴所围成的曲边梯形的面积等于以区间$[a,b]$为底，以这个区间内某一点$\xi$处的函数值$f(\xi)$为高的矩形的面积。
+
+**积分第二中值定理**
+
+- 第一形式：设$f(x)$在$[a,b]$上可积，$g(x)$在$[a,b]$上单调递减且$g(x)\geq0$，则存在$\xi\in[a,b]$，使得
+
+$$
+\int_{a}^{b}f(x)g(x)dx = g(a)\int_{a}^{\xi}f(x)dx
+$$
+
+- 第二形式：设$f(x)$在$[a,b]$上可积，$g(x)$在$[a,b]$上单调，那么存在$\xi\in[a,b]$，使得
+
+$$
+\int_{a}^{b}f(x)g(x)dx = g(a)\int_{a}^{\xi}f(x)dx+g(b)\int_{\xi}^{b}f(x)dx
+$$
+
+## 泰勒公式
+
+### 带佩亚诺余项
+
+若函数$f(x)$在点$x_0$存在直至$n$阶导数，则
+
+$$
+\displaystyle f(x)=f(x_0)+f'(x_0)(x - x_0)+\frac{f''(x_0)}{2!}(x - x_0)^2+\cdots+\frac{f^{(n)}(x_0)}{n!}(x - x_0)^n+o((x - x_0)^n)
+$$
+
+其中$o((x - x_0)^n)$为佩亚诺余项，表示当$x\to x_0$时，余项是比$(x - x_0)^n$高阶的无穷小.
+
+### 带拉格朗日余项
+
+若函数$f(x)$在含有$x_0$的某个开区间$(a,b)$内具有$n + 1$阶导数，则对于$\forall x\in(a,b)$，有
+
+$$
+f(x)=f(x_0)+f'(x_0)(x - x_0)+\frac{f''(x_0)}{2!}(x - x_0)^2+\cdots+\frac{f^{(n)}(x_0)}{n!}(x - x_0)^n+R_n(x)
+$$
+
+其中$\displaystyle R_n(x)=\frac{f^{(n + 1)}(\xi)}{(n + 1)!}(x - x_0)^{n + 1}$，$\xi$是介于$x_0$与$x$之间的某个值.
+
+## 常见泰勒公式
+
+### 指数函数
+
+$$
+e^x = 1 + x +\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!}+\cdots+\frac{x^n}{n!}+\cdots
+$$
+
+### 对数函数
+
+$$
+\ln(1 + x)=x-\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{3}-\cdots+(-1)^{n - 1}\frac{x^n}{n}+\cdots
+$$
+
+### 三角函数
+
+- **正弦函数**：
+
+$$
+\sin x = x -\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}-\cdots+(-1)^{n - 1}\frac{x^{2n - 1}}{(2n - 1)!}+\cdots
+$$
+
+- **余弦函数**：
+
+$$
+\cos x = 1 -\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}-\cdots+(-1)^{n}\frac{x^{2n}}{(2n)!}+\cdots
+$$
+
+- **正切函数**：
+
+$$
+\tan x = x +\frac{x^3}{3}+\frac{2x^5}{15}+\cdots
+$$
+
+### 反三角函数
+
+- **反正弦函数**：
+
+$$
+\arcsin x = x +\frac{1}{2}\cdot\frac{x^3}{3}+\frac{1\cdot3}{2\cdot4}\cdot\frac{x^5}{5}+\cdots
+$$
+
+- **反正切函数**：
+
+$$
+\arctan x = x -\frac{x^3}{3}+\frac{x^5}{5}-\cdots+(-1)^{k - 1}\frac{x^{2k - 1}}{2k - 1}+\cdots
+$$
+
+### 双曲函数
+
+- **双曲正弦函数**：
+
+$$
+\sinh x = x +\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}+\cdots+(-1)^{k - 1}\frac{x^{2k - 1}}{(2k - 1)!}+\cdots
+$$
+
+- **双曲余弦函数**：
+
+$$
+\cosh x = 1 +\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}+\cdots+(-1)^{k}\frac{x^{2k}}{(2k)!}+\cdots
+$$
+
+### 幂函数
+
+$$
+(1 + x)^{\alpha}=1+\alpha x+\frac{\alpha(\alpha - 1)}{2!}x^{2}+\cdots+\frac{\alpha(\alpha - 1)\cdots(\alpha - n + 1)}{n!}x^{n}+\cdots
+$$
+
+### 自己推到:
+
+麦克劳林展开式为：
+
+$$
+f(x)=f(0)+f'(0)x+\frac{f''(0)}{2!}x^{2}+\frac{f'''(0)}{3!}x^{3}+\cdots+\frac{f^{(n)}(0)}{n!}x^{n}+r_{n}(x)
+$$
+
+其中$r_{n}(x)$为余项
+
+## 体积
+
+暂无
+
+## 弧长
+
+#### （1）直角坐标形式
+
+若曲线的方程为$y = f(x)$，$a\leq x\leq b$，且$f(x)$在区间$[a,b]$上具有连续导数，则曲线弧长$s$的计算公式为：
+
+$$
+s=\int_{a}^{b}\sqrt{1 + [f'(x)]^{2}}dx
+$$
+
+#### （2）参数方程形式
+
+若曲线由参数方程$\left\{\begin{array}{l}x = x(t)\\y = y(t)\end{array}\right.$给出，$\alpha\leq t\leq\beta$，其中$x(t)$、$y(t)$在区间$[\alpha,\beta]$上具有连续导数，则曲线弧长$s$的计算公式为：
+
+$$
+s=\int_{\alpha}^{\beta}\sqrt{[x'(t)]^{2}+[y'(t)]^{2}}dt
+$$
+
+#### （3）极坐标形式
+
+若曲线的极坐标方程为$\rho = \rho(\theta)$，$\alpha\leq\theta\leq\beta$，且$\rho(\theta)$在区间$[\alpha,\beta]$上具有连续导数，则曲线弧长$s$的计算公式为：
+
+$$
+s=\int_{\alpha}^{\beta}\sqrt{\rho^{2}(\theta)+[\rho'(\theta)]^{2}}d\theta
+$$
+
+## 曲率
+
+**直角坐标系的曲率**
+
+$$
+\left|\frac{y^{\prime\prime}}{\left[1+(y^{\prime})^{2}\right]^{\frac{3}{2}}}\right|
+$$
+
+**参数方程的曲率**
+
+- 若曲线由参数方程$\left\{\begin{array}{l}x = x(t)\\y = y(t)\end{array}\right.$给出，$t$为参数。则$x^{\prime}=x^{\prime}(t)$，$y^{\prime}=y^{\prime}(t)$，$x^{\prime\prime}=x^{\prime\prime}(t)$，$y^{\prime\prime}=y^{\prime\prime}(t)$。
+- 曲率公式为
+ $$
+ \left|\frac{x^{\prime}(t)y^{\prime\prime}(t)-x^{\prime\prime}(t)y^{\prime}(t)}{\left[(x^{\prime}(t))^{2}+(y^{\prime}(t))^{2}\right]^{\frac{3}{2}}}\right|
+ $$
+
+## 面积
+
+1. **直角坐标下求面积**
+
+ - 设函数$y = f(x)$在区间$[a,b]$上连续且$f(x)\geqslant0$，那么由曲线$y = f(x)$，直线$x = a$，$x = b$以及$x$轴所围成的曲边梯形的面积
+
+ $$
+ \int_{a}^{b}f(x)dx
+ $$
+
+2. **极坐标下求面积**
+
+ - 由极坐标方程$\rho=\rho(\theta)$，$\alpha\leqslant\theta\leqslant\beta$所围成的图形的面积
+ $$
+ S=\frac{1}{2}\int_{\alpha}^{\beta}\rho^{2}(\theta)d\theta
+ $$
+3. **参数方程下求面积**
+
+ - 若曲线$C$的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}x = x(t)\\y = y(t)\end{array}\right.$，$\alpha\leqslant t\leqslant\beta$，且$x(t)$，$y(t)$具有连续的一阶导数，$x^{\prime}(t)$不变号。
+ - 当$x^{\prime}(t)>0$时，曲线$C$与直线$x = a,x = b,y = 0$所围成的图形的面积
+
+ $$
+ A=\int_{\alpha}^{\beta}y(t)x^{\prime}(t)dt
+ $$
+
+### **直角坐标与极坐标的转换关系**
+
+- 直角坐标用$(x,y)$表示，极坐标用$(\rho,\theta)$表示，它们之间的转换公式为$x = \rho\cos\theta$，$y=\rho\sin\theta$，且$\rho^{2}=x^{2} + y^{2}$
+
+# 一些例题
+
+* 求极限
+
+$$
+\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n \frac{\ln (1+1 / i)}{\sin 1 / i}
+$$
+
+* 解答：
+
+$$
+\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n \frac{\ln (1+1 / i)}{\sin 1 / i}=\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{\ln (1+1 / n)}{\sin 1 / n}=\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\ln (1+x)}{\sin x}=1
+$$
+
+# 黎曼和
+
+当分割子区间的最大长度$\lambda \to 0$（$n\to+\infty$且分割越来越细）时，黎曼和的极限若存在，就是函数$f(x)$在区间$[a,b]$上的定积分，即
+
+$$
+\int_{a}^{b}f(x)dx=\lim\limits_{\lambda\to0}\sum_{i = 1}^{n}f(\xi_{i})\Delta x_{i}
+$$
+
+# 第十章 数项级数
+
+## 一、正项级数敛散性判别法
+
+### （一）比较判别法
+
+1. **原理**：设$\displaystyle\sum_{n = 1}^{\infty}a_{n}$和$\displaystyle\sum_{n = 1}^{\infty}b_{n}$是两个正项级数，且$a_{n}\leq b_{n}(n = 1,2,\cdots)$。若$\displaystyle\sum_{n = 1}^{\infty}b_{n}$收敛，则$\displaystyle\sum_{n = 1}^{\infty}a_{n}$也收敛；若$\displaystyle\sum_{n = 1}^{\infty}a_{n}$发散，则$\displaystyle\sum_{n = 1}^{\infty}b_{n}$也发散。
+2. **例如**：判断$\displaystyle\sum_{n = 1}^{\infty}\frac{1}{n^{2}+ 1}$的敛散性。因为$\displaystyle\frac{1}{n^{2}+1}<\frac{1}{n^{2}}$，而$\displaystyle\sum_{n = 1}^{\infty}\frac{1}{n^{2}}$是收敛的$p$级数（$p = 2>1$），所以$\displaystyle\sum_{n = 1}^{\infty}\frac{1}{n^{2}+1}$收敛。
+
+### （二）比较判别法的极限形式
+
+1. **原理**：设$\displaystyle\sum_{n = 1}^{\infty}a_{n}$和$\displaystyle\sum_{n = 1}^{\infty}b_{n}$是两个正项级数，且$\displaystyle\lim_{n \rightarrow \infty}\frac{a_{n}}{b_{n}} = l$（ $ 0 < l <+\infty$），则$\displaystyle\sum_{n = 1}^{\infty}a_{n}$与$\displaystyle\sum_{n = 1}^{\infty}b_{n}$敛散性相同。
+2. **例如**：判断$\displaystyle\sum_{n = 1}^{\infty}\sin\frac{1}{n}$的敛散性。因为$\displaystyle\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{\sin\frac{1}{n}}{\frac{1}{n}} = 1$，而$\displaystyle\sum_{n = 1}^{\infty}\frac{1}{n}$发散，所以$\displaystyle\sum_{n = 1}^{\infty}\sin\frac{1}{n}$发散。
+
+### （三）比值判别法（达朗贝尔判别法）
+
+1. **原理**：设$\displaystyle\sum_{n = 1}^{\infty}a_{n}$是正项级数，且$\displaystyle\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{a_{n + 1}}{a_{n}}=\rho$。当$\displaystyle\rho<1$时，级数$\displaystyle\sum_{n = 1}^{\infty}a_{n}$收敛；当$\displaystyle\rho>1$（包括$\displaystyle\rho = +\infty$）时，级数$\displaystyle\sum_{n = 1}^{\infty}a_{n}$发散；当$\displaystyle\rho = 1$时，判别法失效。
+2. **例如**：判断$\displaystyle\sum_{n = 1}^{\infty}\frac{n!}{n^{n}}$的敛散性。计算$\displaystyle\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{a_{n+1}}{a_{n}}=\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{(n + 1)!}{(n+1)^{n+1}}\cdot\frac{n^{n}}{n!}=\lim_{n\rightarrow\infty}\left(\frac{n}{n + 1}\right)^{n}=\frac{1}{e}<1$，所以级数收敛。
+
+### （四）根值判别法（柯西判别法）
+
+1. **原理**：设$\displaystyle\sum_{n = 1}^{\infty}a_{n}$是正项级数，且$\displaystyle\lim_{n\rightarrow\infty}\sqrt[n]{a_{n}}=\rho$。当$\displaystyle\rho<1$时，级数$\displaystyle\sum_{n = 1}^{\infty}a_{n}$收敛；当$\displaystyle\rho>1$（包括$\displaystyle\rho = +\infty$）时，级数$\displaystyle\sum_{n = 1}^{\infty}a_{n}$发散；当$\displaystyle\rho = 1$时，判别法失效。
+2. **例如**：判断$\displaystyle\sum_{n = 1}^{\infty}\left(\frac{n}{2n+1}\right)^{n}$的敛散性。$\displaystyle\lim_{n\rightarrow\infty}\sqrt[n]{a_{n}}=\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{n}{2n + 1}=\frac{1}{2}<1$，所以该级数收敛。
+
+### （五）积分判别法
+
+1. **原理**：设$f(x)$是$[1,+\infty)$上非负、单调递减的连续函数，令$a_{n}=f(n)$，则级数$\displaystyle\sum_{n = 1}^{\infty}a_{n}$与反常积分$\displaystyle\int_{1}^{+\infty}f(x)dx$同敛散。
+2. **例如**：判断$\displaystyle\sum_{n = 2}^{\infty}\frac{1}{n\ln n}$的敛散性。考虑函数$f(x)=\frac{1}{x\ln x}$，$\displaystyle\int_{2}^{+\infty}\frac{1}{x\ln x}dx=\lim_{t\rightarrow+\infty}\int_{2}^{t}\frac{1}{x\ln x}dx=\lim_{t\rightarrow+\infty}[\ln(\ln x)]_{2}^{t}=+\infty$，所以级数$\displaystyle\sum_{n = 2}^{\infty}\frac{1}{n\ln n}$发散。
+
+### （六）拉阿比判别法
+
+1. **原理**：设$\displaystyle\sum_{n = 1}^{\infty}a_{n}$是正项级数，且$\displaystyle\lim_{n \to \infty} n\left(\frac{a_{n}}{a_{n + 1}} - 1\right)=R$。
+ - 当$R > 1$时，级数$\displaystyle\sum_{n = 1}^{\infty}a_{n}$收敛；
+ - 当$R < 1$时，级数$\displaystyle\sum_{n = 1}^{\infty}a_{n}$发散；
+ - 当$R = 1$时，判别法失效。
+2. **例如**：判断级数$\displaystyle\sum_{n = 1}^{\infty}\frac{(2n)!}{(n!)^{2}}\cdot\frac{1}{2^{n}}$的敛散性。
+ 计算$\displaystyle\lim_{n \to \infty} n\left(\frac{a_{n}}{a_{n + 1}} - 1\right)$：
+
+$$
+\begin{align*}
+a_{n}&=\frac{(2n)!}{(n!)^{2}}\cdot\frac{1}{2^{n}}\\
+a_{n + 1}&=\frac{(2(n + 1))!}{((n + 1)!)^{2}}\cdot\frac{1}{2^{n + 1}}\\
+\frac{a_{n}}{a_{n + 1}}&=\frac{(2n)!}{(n!)^{2}}\cdot\frac{1}{2^{n}}\cdot\frac{((n + 1)!)^{2}}{(2(n + 1))!}\cdot 2^{n + 1}\\
+&=\frac{(2n)!}{(n!)^{2}}\cdot\frac{((n + 1)!)^{2}}{(2n + 2)!}\cdot 2\\
+&=\frac{(2n)!}{(n!)^{2}}\cdot\frac{(n + 1)^{2}\cdot (n!)^{2}}{(2n + 2)\cdot(2n + 1)\cdot(2n)!}\cdot 2\\
+&=\frac{(n + 1)^{2}}{(2n + 2)\cdot(2n + 1)}\cdot 2\\
+&=\frac{(n + 1)^{2}}{(n + 1)(2n + 1)}\cdot 2\\
+&=\frac{n + 1}{2n + 1}\cdot 2
+\end{align*}
+$$
+
+$$
+\begin{align*}
+\lim_{n \to \infty} n\left(\frac{a_{n}}{a_{n + 1}} - 1\right)&=\lim_{n \to \infty} n\left(\frac{n + 1}{2n + 1}\cdot 2 - 1\right)\\
+&=\lim_{n \to \infty} n\left(\frac{2n + 2 - (2n + 1)}{2n + 1}\right)\\
+&=\lim_{n \to \infty} n\cdot\frac{1}{2n + 1}\\
+&=\lim_{n \to \infty}\frac{n}{2n + 1}\\
+&=\frac{1}{2} < 1
+\end{align*}
+$$
+
+所以级数$\displaystyle\sum_{n = 1}^{\infty}\frac{(2n)!}{(n!)^{2}}\cdot\frac{1}{2^{n}}$发散。
+
+## 二、交错级数敛散性判别法
+
+### （一）莱布尼茨判别法
+
+1. **原理**：对于交错级数$\displaystyle\sum_{n = 1}^{\infty}(- 1)^{n - 1}a_{n}(a_{n}>0)$，如果$a_{n}\geq a_{n + 1}(n = 1,2,\cdots)$，且$\displaystyle\lim_{n\rightarrow\infty}a_{n}=0$，那么交错级数$\displaystyle\sum_{n = 1}^{\infty}(-1)^{n-1}a_{n}$收敛。
+2. **例如**：判断$\displaystyle\sum_{n = 1}^{\infty}(-1)^{n - 1}\frac{1}{n}$的敛散性。$a_{n}=\frac{1}{n}$，显然$\displaystyle\frac{1}{n}\geq\frac{1}{n + 1}$，且$\displaystyle\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{1}{n}=0$，所以该交错级数收敛。
+
+## 三、任意项级数敛散性判别法
+
+### （一）绝对收敛判别法
+
+1. **原理**：若$\displaystyle\sum_{n = 1}^{\infty}\vert a_{n}\vert$收敛，则$\displaystyle\sum_{n = 1}^{\infty}a_{n}$绝对收敛，且$\displaystyle\sum_{n = 1}^{\infty}a_{n}$收敛。
+2. **例如**：判断$\displaystyle\sum_{n = 1}^{\infty}\frac{\sin n}{n^{2}}$的敛散性。因为$\displaystyle\left|\frac{\sin n}{n^{2}}\right|\leq\frac{1}{n^{2}}$，而$\displaystyle\sum_{n = 1}^{\infty}\frac{1}{n^{2}}$收敛，所以$\displaystyle\sum_{n = 1}^{\infty}\frac{\sin n}{n^{2}}$绝对收敛，从而该级数收敛。
+
+### （二）条件收敛判别法
+
+如果$\displaystyle\sum_{n = 1}^{\infty}a_{n}$收敛，但$\displaystyle\sum_{n = 1}^{\infty}\vert a_{n}\vert$发散，则$\displaystyle\sum_{n = 1}^{\infty}a_{n}$条件收敛。例如$\displaystyle\sum_{n = 1}^{\infty}(-1)^{n - 1}\frac{1}{n}$收敛，但$\displaystyle\sum_{n = 1}^{\infty}\left|(-1)^{n - 1}\frac{1}{n}\right|=\sum_{n = 1}^{\infty}\frac{1}{n}$发散，所以$\displaystyle\sum_{n = 1}^{\infty}(-1)^{n - 1}\frac{1}{n}$条件收敛。
+
+# 第十一章到第十三章
+
+# 狄利克雷判别法：
+
+## 一、数项级数的狄利克雷判别法
+
+设级数$\sum_{n=1}^{\infty}a_n b_n$，如果满足：
+
+1. 部分和序列$A_n = \sum_{k=1}^{n}a_k$有界，即存在常数$M$，使得对所有$n$，都有：
+$$
+|A_n| = \left|\sum_{k=1}^{n}a_k\right| \leq M
+$$
+
+2. 数列$\{b_n\}$单调趋于零，即：
+ - 单调递减或单调递增；
+ $\lim_{n \to \infty} b_n = 0$。
+
+则级数$\sum_{n=1}^{\infty} a_n b_n$收敛。
+
+## 二、函数项级数的狄利克雷判别法
+
+设函数项级数：
+
+$$
+\sum_{n=1}^{\infty} a_n(x)b_n(x)
+$$
+
+如果满足：
+
+1. 对每个固定的$x$，部分和序列
+
+$$
+A_n(x) = \sum_{k=1}^{n} a_k(x)
+$$
+
+有界，即存在常数$M(x)$，使得：
+
+$$
+|A_n(x)|\leq M(x)
+$$
+
+2. 函数序列$\{b_n(x)\}$对$n$单调趋于零，即满足：
+ - 单调性：对于每个固定的$x$，$b_n(x)$关于$n$单调递减或递增；
+ - 极限性：对每个固定的$x$，有$\lim_{n \to \infty} b_n(x) = 0$。
+
+则函数项级数$\sum_{n=1}^{\infty} a_n(x)b_n(x)$收敛。
+
+## 三、广义积分的狄利克雷判别法
+
+设积分：
+
+$$
+\int_{a}^{+\infty} f(x)g(x)\,\mathrm{d}x
+$$
+
+如果满足：
+
+1. 积分的原函数
+
+$$
+F(x)=\int_{a}^{x}f(t)\,\mathrm{d}t
+$$
+
+有界，即存在常数$M$，使得：
+
+$$
+|F(x)|\leq M, \quad x \ge a
+$$
+
+2. 函数$g(x)$满足：
+ - 在区间$[a,+\infty)$上单调趋于零；
+ $\lim_{x \to +\infty} g(x)=0$。
+
+则广义积分$\int_{a}^{+\infty} f(x)g(x)\,\mathrm{d}x$收敛。
+
+## 四、瑕积分的狄利克雷判别法
+
+设积分存在瑕点$x = a$（假设瑕点为积分下限，其他点类似），考虑积分：
+
+$$
+\int_{a}^{b}f(x)g(x)\,\mathrm{d}x
+$$
+
+如果满足：
+
+1. 积分的原函数：
+
+$$
+F(x)=\int_{a}^{x}f(t)\,\mathrm{d}t
+$$
+
+在靠近瑕点$x=a$时有界。
+
+2. 函数$g(x)$满足：
+ - 在$(a,b]$上单调趋于零（当$x \to a^+$时）；
+ -$\lim_{x \to a^+}g(x)=0$。
+
+则瑕积分$\int_{a}^{b}f(x)g(x)\,\mathrm{d}x$收敛。
+
+# 阿贝尔判别法：
+
+## 一、数项级数的阿贝尔判别法
+
+考虑级数：
+
+$$
+\sum_{n=1}^{\infty} a_n b_n
+$$
+
+如果满足以下两个条件：
+
+1. 级数$\sum_{n=1}^{\infty} a_n$**收敛**（而非仅仅有界）；
+2. 数列$\{b_n\}$为**单调有界数列**，即：
+ - 存在有限的常数$M$，使得$|b_n|\leq M$，且单调（递增或递减）。
+
+则级数$\sum_{n=1}^{\infty} a_n b_n$**收敛**。
+
+## 二、函数项级数的阿贝尔判别法
+
+### 判别法描述：
+
+考虑函数项级数：
+
+$$
+\sum_{n=1}^{\infty} a_n(x) b_n(x)
+$$
+
+如果满足：
+
+1. 对每个固定的$x$，级数
+
+$$
+\sum_{n=1}^{\infty} a_n(x)
+$$
+
+收敛；
+
+2. 对每个固定的$x$，函数序列$\{b_n(x)\}$单调有界，即：
+ - 存在常数$M(x)$，使得对所有$n$，$|b_n(x)|\leq M(x)$；
+ - 对于固定的$x$，关于$n$单调递增或递减。
+
+则函数项级数$\sum_{n=1}^{\infty}a_n(x)b_n(x)$收敛。
+
+## 三、广义积分的阿贝尔判别法
+
+### 判别法描述：
+
+考虑广义积分：
+
+$$
+\int_{a}^{+\infty} f(x)g(x)\,\mathrm{d}x
+$$
+
+如果满足：
+
+1. 积分$\int_{a}^{+\infty} f(x)\,\mathrm{d}x$**收敛**；
+2. 函数$g(x)$在区间$[a,+\infty)$上**单调有界**，即：
+ - 存在常数$M$，使得$|g(x)|\leq M$，且$g(x)$在$[a,+\infty)$上单调。
+
+则广义积分$\int_{a}^{+\infty} f(x)g(x)\,\mathrm{d}x$**收敛**。
+
+## 四、瑕积分的阿贝尔判别法
+
+### 判别法描述：
+
+考虑具有瑕点的积分（例如积分下限有瑕点$a$）：
+
+$$
+\int_{a}^{b} f(x)g(x)\,\mathrm{d}x
+$$
+
+如果满足：
+
+1. 瑕积分$\int_{a}^{b} f(x)\,\mathrm{d}x$**收敛**；
+2. 函数$g(x)$在$(a,b]$上**单调有界**，即：
+ - 存在常数$M$，使得对所有$x\in(a,b]$，有$|g(x)|\leq M$；
+ - 在区间靠近瑕点$a$时，函数$g(x)$是单调的。
+
+则瑕积分$\int_{a}^{b} f(x)g(x)\,\mathrm{d}x$**收敛**。
+
+# 总结成一句话：
+
+- **狄利克雷** 判别法：部分和有界 (震荡) × 单调趋零 = 收敛。
+- **阿贝尔** 判别法：已知收敛 (收敛×单调有界) = 收敛。
+
+# 第十四章 傅里叶级数
+
+## 一、傅里叶级数的基本概念与公式
+
+一个定义在区间$[-l, l]$上周期为$2l$的函数$f(x)$，可表示成傅里叶级数：
+
+$$
+f(x) = \frac{a_0}{2} + \sum_{n=1}^{\infty} \left[a_n\cos\frac{n\pi x}{l} + b_n\sin\frac{n\pi x}{l}\right]
+$$
+
+### 系数计算公式：
+
+- **常数项$a_0$**：
+
+$$
+a_0 = \frac{1}{l}\int_{-l}^{l}f(x)\,dx
+$$
+
+- **余弦项系数$a_n$**（$n\geq 1$）：
+
+$$
+a_n = \frac{1}{l}\int_{-l}^{l}f(x)\cos\frac{n\pi x}{l}\,dx
+$$
+
+- **正弦项系数$b_n$**（$n\geq 1$）：
+
+$$
+b_n = \frac{1}{l}\int_{-l}^{l}f(x)\sin\frac{n\pi x}{l}\,dx
+$$
+
+## 二、傅里叶级数的特殊区间（常见）:
+
+### （一）区间$[-\pi,\pi]$（标准区间）
+
+若函数定义在$[- \pi,\pi]$，周期为$2\pi$，傅里叶级数为：
+
+$$
+f(x)=\frac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^{\infty}(a_n\cos nx+b_n\sin nx)
+$$
+
+- 系数公式：
+
+$$
+a_0=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(x)\,dx,\quad
+a_n=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(x)\cos nx\,dx,\quad
+b_n=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(x)\sin nx\,dx
+$$
+
+### （二）区间$[0,2\pi]$
+
+若函数定义在区间$[0,2\pi]$，周期为$2\pi$，傅里叶级数展开为：
+
+$$
+f(x)=\frac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^{\infty}(a_n\cos nx+b_n\sin nx)
+$$
+
+- 系数计算：
+
+$$
+a_0=\frac{1}{\pi}\int_{0}^{2\pi}f(x)\,dx,\quad
+a_n=\frac{1}{\pi}\int_{0}^{2\pi}f(x)\cos nx\,dx,\quad
+b_n=\frac{1}{\pi}\int_{0}^{2\pi}f(x)\sin nx\,dx
+$$
+
+### （三）区间$[-l,l]$（一般区间）
+
+一般区间的情况（区间长度为$2l$），傅里叶级数通式为：
+
+$$
+f(x)=\frac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^{\infty}\left(a_n\cos\frac{n\pi x}{l}+b_n\sin\frac{n\pi x}{l}\right)
+$$
+
+- 系数计算：
+
+$$
+a_0=\frac{1}{l}\int_{-l}^{l}f(x)\,dx,\quad
+a_n=\frac{1}{l}\int_{-l}^{l}f(x)\cos\frac{n\pi x}{l}\,dx,\quad
+b_n=\frac{1}{l}\int_{-l}^{l}f(x)\sin\frac{n\pi x}{l}\,dx
+$$
+
+## 三、小结（核心公式记忆）：
+
+- 通式记忆：
+
+$$
+f(x)=\frac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^{\infty}(a_n\cos\frac{n\pi x}{l}+b_n\sin\frac{n\pi x}{l})
+$$
+
+- 一般系数公式：
+
+$$
+a_0=\frac{1}{l}\int_{-l}^{l}f(x)dx,\quad
+a_n=\frac{1}{l}\int_{-l}^{l}f(x)\cos\frac{n\pi x}{l}dx,\quad
+b_n=\frac{1}{l}\int_{-l}^{l}f(x)\sin\frac{n\pi x}{l}dx
+$$
+
+- 区间特化记忆：
+ - 标准区间$[-\pi,\pi]$时，公式中$l=\pi$；
+ - 区间$[0,2\pi]$时，积分区间改为$[0,2\pi]$。
+
+# 第十五章——第二十章
+
+## 一、二元函数的极限与连续性
+
+### 1. 函数极限定义
+
+假设函数$f(x,y)$定义在点$(x_0,y_0)$的去心领域内，若对任意路径$(x,y)\rightarrow(x_0,y_0)$，极限值均存在且相等，则记为极限：
+
+$$
+\lim_{(x,y)\to(x_0,y_0)} f(x,y)=L
+$$
+
+### 2. 二元函数极限存在判定
+
+- 当沿不同路径趋于同一点的极限值不同时，则该二元函数极限不存在。
+
+常用方法：
+
+- 沿特殊路径（如$x = x_0$,$y = y_0$,$y = k(x - x_0)$等）求极限并比较。
+- 极坐标法：将$(x, y)$替换为$(r\cos\theta, r\sin\theta)$，考察当$r \to 0$时的极限。
+
+### 3. 二元函数的连续性
+
+若二元函数满足：
+
+$$
+\lim_{(x,y)\to(x_0,y_0)}f(x,y)=f(x_0,y_0)
+$$
+
+则称函数在点$(x_0,y_0)$连续。
+
+连续函数的性质：
+
+- 基本运算法则（加、减、乘、除、复合运算）在连续点均保持连续。
+- 多项式函数、指数函数、三角函数在定义域内连续。
+
+## 二、二元函数的偏导数与高阶偏导
+
+### 1. 偏导数定义
+
+给定二元函数$z = f(x, y)$，偏导数表示函数沿坐标轴方向的变化率：
+
+$$
+f_x(x,y)=\frac{\partial f}{\partial x}=\lim_{\Delta x \to 0}\frac{f(x+\Delta x,y)-f(x,y)}{\Delta x}
+$$
+
+$$
+f_y(x,y)=\frac{\partial f}{\partial y}=\lim_{\Delta y \to 0}\frac{f(x,y+\Delta y)-f(x,y)}{\Delta y}
+$$
+
+### 2. 高阶偏导
+
+常见的二阶偏导：
+
+$$
+f_{xx}(x,y)=\frac{\partial^2 f}{\partial x^2}, \quad f_{yy}(x,y)=\frac{\partial^2 f}{\partial y^2},\quad f_{xy}(x,y)=\frac{\partial^2 f}{\partial y \partial x},\quad f_{yx}(x,y)=\frac{\partial^2 f}{\partial x \partial y}
+$$
+
+偏导连续、光滑函数具有性质：
+
+$$
+f_{xy}(x,y)=f_{yx}(x,y)
+$$
+
+（克莱罗定理）
+
+## 三、二元函数的可微性与全微分
+
+### 1. 二元函数的可微定义
+
+设二元函数$z=f(x,y)$，若其变化量可表示为线性主部与高阶无穷小之和：
+
+$$
+\Delta z = f(x+\Delta x,y+\Delta y)-f(x,y)=f_x(x,y)\Delta x+f_y(x,y)\Delta y+o(\rho),\quad(\rho=\sqrt{\Delta x^2+\Delta y^2})
+$$
+
+且满足：
+
+$$
+\lim_{\rho\to 0}\frac{o(\rho)}{\rho}=0
+$$
+
+则称函数在该点可微。其中：
+
+-$f_x(x,y), f_y(x,y)$为函数在$(x,y)$点的偏导数。
+-$o(\rho)$为高阶无穷小量，其在点邻域内趋于零的速度快于线性小量$\rho$。
+
+几何意义：
+可微函数在该点局部表现如同一个线性函数，且误差项相对于线性近似部分极小，保证函数在该点附近可用线性函数很好地逼近。
+
+### 2. 全微分形式
+
+若函数在点$(x,y)$可微，则全微分为：
+
+$$
+dz = f_x(x,y)dx + f_y(x,y)dy
+$$
+
+作为函数在该点的线性近似。
+
+### 3. 可微性与连续性、偏导关系：
+
+函数可微 ⇒ 函数必定连续，且偏导数存在。但偏导数存在不能保证函数一定可微。充分条件（常见判定定理）：
+
+- 若函数两个偏导数在点附近连续，则该函数在该点一定可微。
+
+## 四、二元函数的极值与最小二乘法
+
+### 1. 极值
+
+若点$(x_0, y_0)$为极值点（可能极大或极小），则有：
+
+$$
+f_x(x_0,y_0)=0,\quad f_y(x_0,y_0)=0
+$$
+
+#### 二阶导数判别法
+
+定义 Hessian 判别式：
+
+$$
+H =
+\begin{vmatrix}
+f_{xx}(x_0,y_0) & f_{xy}(x_0,y_0) \\
+f_{yx}(x_0,y_0) & f_{yy}(x_0,y_0)
+\end{vmatrix}
+$$
+
+- 若$H>0, f_{xx}(x_0,y_0)>0$，点为极小；
+- 若$H>0, f_{xx}(x_0,y_0)<0$，点为极大；
+- 若$H<0$，则为鞍点，不为极值点。
+
+### 2. 最小二乘法（Least Squares Method）
+
+拟合数据曲线，用以确定线性模型参数：
+
+对于拟合函数$y = ax + b$，最小化平方误差之和：
+
+$$
+S(a,b) = \sum_{i=1}^{n}(y_i - ax_i - b)^2
+$$
+
+通过偏导求驻点建立法方程：
+
+$$
+\frac{\partial S}{\partial a}=0,\quad \frac{\partial S}{\partial b}=0
+$$
+
+由此解出最优参数$a, b$。
+
+## 五、条件极值与拉格朗日乘数法
+
+求函数$f(x,y)$在约束条件$g(x,y)=0$下的极值。
+
+构建拉格朗日函数：
+
+$$
+L(x,y,\lambda)=f(x,y)-\lambda g(x,y)
+$$
+
+其中$g(x,y)=h(x,y)-c$为约束函数。
+
+由方程组：
+
+$$
+\nabla L = 0 \Rightarrow
+\begin{cases}
+f_x(x,y)-\lambda g_x(x,y)=0 \\
+f_y(x,y)-\lambda g_y(x,y)=0 \\
+g(x,y)=0
+\end{cases}
+$$
+
+求解确定极值点。
+
+## 六、含参变量的积分、广义积分与欧拉积分
+
+### 1. 含参变量积分
+
+积分形式：
+
+$$
+F(a)=\int_{u(a)}^{v(a)} f(x,a)\,dx
+$$
+
+求导法则（Leibniz公式）：
+
+$$
+F'(a)=f[v(a),a]\cdot v'(a)-f[u(a),a]\cdot u'(a)+\int_{u(a)}^{v(a)} \frac{\partial f}{\partial a}(x,a)\,dx
+$$
+
+### 2. 广义积分
+
+例如：
+
+$$
+\int_{0}^{+\infty} f(x,a)\,dx
+$$
+
+判断广义积分收敛的常用方法：
+
+- 比较判别法
+- 极限判别法
+
+### 3. 欧拉积分
+
+- 第一类欧拉积分（Beta函数）：
+
+$$
+B(x,y)=\int_0^1 t^{x-1}(1-t)^{y-1}\,dt,\quad x>0,y>0
+$$
+
+- 第二类欧拉积分（Gamma函数）：
+
+$$
+\Gamma(x)=\int_0^{+\infty} t^{x-1}e^{-t}\,dt,\quad x>0
+$$
+
+- 两者关系：
+
+$$
+B(x,y)=\frac{\Gamma(x)\Gamma(y)}{\Gamma(x+y)}
+$$
+
+## 七、重积分
+
+### 二重积分定义
+
+设区域$D$为闭区域，则二重积分表示为：
+
+$$
+\iint_{D} f(x,y)\,dxdy
+$$
+
+### 计算方法
+
+- 直角坐标系下的积分：
+
+$$
+\iint_{D} f(x,y)\,dxdy=\int_{x=a}^{x=b}\int_{y=g_1(x)}^{y=g_2(x)} f(x,y)\,dydx
+$$
+
+- 极坐标变换：
+
+$$
+x=r\cos\theta,\quad y=r\sin\theta,\quad dxdy=r\,drd\theta
+$$
+
+### 应用
+
+- 求面积、体积、质量、重心等
+- 交换积分次序 (Fubini定理)：
+
+$$
+\int_{x=a}^{x=b}\int_{y=c}^{y=d}f(x,y)\,dydx=\int_{y=c}^{y=d}\int_{x=a}^{x=b}f(x,y)\,dxdy
+$$
diff --git a/otherdocs/数分笔记/数学分析完整笔记.pdf b/otherdocs/数分笔记/数学分析完整笔记.pdf
new file mode 100644
index 0000000..d1dc757
Binary files /dev/null and b/otherdocs/数分笔记/数学分析完整笔记.pdf differ
diff --git a/otherdocs/数字电路/数字电路基础.md b/otherdocs/数字电路/数字电路基础.md
new file mode 100644
index 0000000..726d8bc
--- /dev/null
+++ b/otherdocs/数字电路/数字电路基础.md
@@ -0,0 +1,400 @@
+
+## 一、逻辑代数定律和计算规则
+
+| 定律/规则名称 | 表达式 | 解释 |
+| --------- | ----------------------------------------------------------------------------------- | ------------------- |
+| 恒等律 | $A + 0 = A$
$A \cdot 1 = A$ | 任何变量与0相加或与1相乘等于自身 |
+| 零律 | $A + 1 = 1$
$A \cdot 0 = 0$ | 任何变量与1相加或与0相乘等于1或0 |
+| 幂等律 | $A + A = A$
$A \cdot A = A$ | 任何变量与自身相加或相乘等于自身 |
+| 互补律 | $A + \overline{A} = 1$
$A \cdot \overline{A} = 0$ | 任何变量与其补码相加等于1，相乘等于0 |
+| **交换律** | | |
+| 加法交换律 | $A + B = B + A$ | 加法运算的交换律 |
+| 乘法交换律 | $A \cdot B = B \cdot A$ | 乘法运算的交换律 |
+| **结合律** | | |
+| 加法结合律 | $(A + B) + C = A + (B + C)$ | 加法运算的结合律 |
+| 乘法结合律 | $(A \cdot B) \cdot C = A \cdot (B \cdot C)$ | 乘法运算的结合律 |
+| **分配律** | | |
+| 乘法分配律 | $A \cdot (B + C) = A \cdot B + A \cdot C$ | 乘法对加法的分配律 |
+| 加法分配律 | $A + (B \cdot C) = (A + B) \cdot (A + C)$ | 加法对乘法的分配律 |
+| **吸收律** | | |
+| 吸收律1 | $A + A \cdot B = A$ | 吸收律的第一种形式 |
+| 吸收律2 | $A \cdot (A + B) = A$ | 吸收律的第二种形式 |
+| **德摩根定律** | | |
+| 德摩根定律1 | $\overline{A + B} = \overline{A} \cdot \overline{B}$ | 逻辑加法的德摩根定律 |
+| 德摩根定律2 | $\overline{A \cdot B} = \overline{A} + \overline{B}$ | 逻辑乘法的德摩根定律 |
+| **简化定律** | | |
+| 简化定律1 | $A + \overline{A} \cdot B = A + B$ | 简化逻辑表达式 |
+| 简化定律2 | $A \cdot (\overline{A} + B) = A \cdot B$ | 简化逻辑表达式 |
+| **共识定律** | | |
+| 共识定律 (积之和形式) | $AB + \overline{A}C + BC = AB + \overline{A}C$ | 较难，常用于逻辑化简。项 `BC` 是 `AB` 和 `A`C 的共识项，是冗余的。 |
+| 共识定律 (和之积形式) | $(A+B)(\overline{A}+C)(B+C) = (A+B)(\overline{A}+C)$ | 较难，常用于逻辑化简。项 `(B+C)` 是 `(A+B)` 和 `(A`+C) 的共识项，是冗余的。|
+| **反演定律** | | |
+| 反演定律 | $A = \overline{\overline{A}}$ | 变量的双重否定等于自身 |
+
+### 推导过程
+
+1. **基本定律**
+ - **恒等律**：$A + 0 = A$ 和 $A \cdot 1 = A$ 是逻辑代数的基本定义。
+ - **零律**：$A + 1 = 1$ 和 $A \cdot 0 = 0$ 也是逻辑代数的基本定义。
+ - **幂等律**：$A + A = A$ 和 $A \cdot A = A$ 是因为逻辑加法和乘法运算的特性。
+ - **互补律**：$A + \overline{A} = 1$ 和 $A \cdot \overline{A} = 0$ 是逻辑变量和其补码的定义。
+
+2. **交换律**
+ - **加法交换律**：$A + B = B + A$ 是逻辑加法的交换特性。
+ - **乘法交换律**：$A \cdot B = B \cdot A$ 是逻辑乘法的交换特性。
+
+3. **结合律**
+ - **加法结合律**：$(A + B) + C = A + (B + C)$ 是逻辑加法的结合特性。
+ - **乘法结合律**：$(A \cdot B) \cdot C = A \cdot (B \cdot C)$ 是逻辑乘法的结合特性。
+
+4. **分配律**
+ - **乘法分配律**：$A \cdot (B + C) = A \cdot B + A \cdot C$ 是逻辑乘法对加法的分配特性。
+ - **加法分配律**：$A + (B \cdot C) = (A + B) \cdot (A + C)$ 是逻辑加法对乘法的分配特性。
+
+5. **吸收律**
+ - **吸收律1**：$A + A \cdot B = A$ 可以从 $A + A \cdot B = A \cdot (1 + B) = A \cdot 1 = A$ 推导得出。
+ - **吸收律2**：$A \cdot (A + B) = A$ 可以从 $A \cdot (A + B) = A \cdot A + A \cdot B = A + A \cdot B = A$ 推导得出。
+
+6. **德摩根定律**
+ - **德摩根定律1**：$\overline{A + B} = \overline{A} \cdot \overline{B}$ 是逻辑加法的德摩根定律。
+ - **德摩根定律2**：$\overline{A \cdot B} = \overline{A} + \overline{B}$ 是逻辑乘法的德摩根定律。
+
+7. **简化定律**
+ - **简化定律1**：$A + \overline{A} \cdot B = A + B$ 可以从 $A + \overline{A} \cdot B = (A + \overline{A}) \cdot (A + B) = 1 \cdot (A + B) = A + B$ 推导得出。
+ - **简化定律2**：$A \cdot (\overline{A} + B) = A \cdot B$ 可以从 $A \cdot (\overline{A} + B) = A \cdot \overline{A} + A \cdot B = 0 + A \cdot B = A \cdot B$ 推导得出。
+
+8. **共识定律**
+ - **共识定律**：$(A + B) \cdot (\overline{A} + C) = (A + B) \cdot (\overline{A} + C) \cdot (B + C)$ 可以从 $(A + B) \cdot (\overline{A} + C) = (A + B) \cdot (\overline{A} + C) \cdot (B + C)$ 推导得出，因为 $(A + B) \cdot (\overline{A} + C) \leq (B + C)$。
+
+9. **反演定律**
+ - **反演定律**：$A = \overline{\overline{A}}$ 是逻辑变量的双重否定特性。
+
+---
+## 二、基本门电路
+
+### 1. 非门
+
+$$
+Y = \overline{A}
+$$
+
+
+
+### 2. 与门
+
+$$
+Y = A \cdot B
+$$
+
+**真值表:**
+
+| 输入 A | 输入 B | 输出 Y |
+| --- | --- | --- |
+| 0 | 0 | 0 |
+| 0 | 1 | 0 |
+| 1 | 0 | 0 |
+| 1 | 1 | 1 |
+
+
+
+### 3. 或门
+
+$$
+Y = A + B
+$$
+
+**真值表:**
+
+| 输入 A | 输入 B | 输出 Y |
+| --- | --- | --- |
+| 0 | 0 | 0 |
+| 0 | 1 | 1 |
+| 1 | 0 | 1 |
+| 1 | 1 | 1 |
+
+
+
+### 4. 与非门
+与非门是“与门”和“非门”的结合。
+$$
+Y = \overline{A \cdot B}
+$$
+
+**真值表:**
+
+| 输入 A | 输入 B | 输出 Y |
+|:---:|:---:|:---:|
+| 0 | 0 | 1 |
+| 0 | 1 | 1 |
+| 1 | 0 | 1 |
+| 1 | 1 | 0 |
+
+
+
+### 5. 或非门
+或非门是“或门”和“非门”的结合。
+$$
+Y = \overline{A + B}
+$$
+
+**真值表:**
+
+| 输入 A | 输入 B | 输出 Y |
+|:---:|:---:|:---:|
+| 0 | 0 | 1 |
+| 0 | 1 | 0 |
+| 1 | 0 | 0 |
+| 1 | 1 | 0 |
+
+
+
+### 6. 异或门
+当两个输入不相同时，输出为高电平（1）；当两个输入相同时，输出为低电平（0）。这也被称为“半加器”的求和逻辑。
+
+**逻辑表达式:**
+$$
+Y = A \oplus B
+$$
+
+**真值表:**
+
+| 输入 A | 输入 B | 输出 Y |
+|:---:|:---:|:---:|
+| 0 | 0 | 0 |
+| 0 | 1 | 1 |
+| 1 | 0 | 1 |
+| 1 | 1 | 0 |
+
+---
+## 三、编码
+
+### 1. 原码、反码和补码
+为了在二进制系统中表示正负数，我们通常会使用最高位作为**符号位**。
+* 符号位为 **0** 代表**正数**。
+* 符号位为 **1** 代表**负数**。
+
+
+
+#### **原码**
+
+
+* **规则**: 符号位 + 数值的绝对值的二进制表示。
+* **正数**: 符号位为0，其余位表示数值。
+ * 例如，$+12$ 的原码是 **00001100**。
+* **负数**: 符号位为1，其余位表示数值。
+ * 例如，$-12$ 的原码是 **10001100**。
+* **缺点**:
+ 1. 零的表示不唯一：$+0$ 是 **00000000**，$-0$ 是 **10000000**。
+ 2. 进行加减法运算时，需要单独处理符号位，硬件实现复杂。
+
+#### **反码**
+
+反码的出现是为了简化减法运算。
+
+* **规则**:
+ * **正数**的反码与其原码**相同**。
+ * **负数**的反码是在其**原码**的基础上，**符号位不变**，其余各位**按位取反**。
+* **示例**:
+ * $+12$ 的原码是 `00001100`，其反码也是 **00001100**。
+ * $-12$ 的原码是 `10001100`，其反码是 **11110011** (符号位1不变，后面7位 `0001100` 按位取反得到 `1110011`)。
+* **缺点**:
+ * 仍然存在“双零”问题：$+0$ 的反码是 **00000000**，$-0$ 的反码是 **11111111**。
+ * 跨零运算会产生循环进位问题。
+
+#### **补码**
+
+补码是现代计算机系统中最常用的有符号数表示法，它解决了原码和反码的缺点。
+
+* **规则**:
+ * **正数**的补码与其原码**相同**。
+ * **负数**的补码是其**反码加 1**。
+* **求负数补码的方式**:
+ * 从其原码的**最低位（最右边）**向左找，找到的**第一个 1** 保持不变，这个 1 **左边**的所有位（不含符号位）按位取反，符号位仍为1。
+* **示例**:
+ * $+12$ 的补码是 **00001100**。
+ * $-12$ 的补码求法：
+ 1. 原码: `10001100`
+ 2. 反码: `11110011`
+ 3. 加 1: `11110011 + 1` = **11110100**。
+* **优点**:
+ 1. **零的表示唯一**: **00000000**。
+ 2. **简化运算**: 可以将减法运算转换为加法运算。例如，计算 $A - B$ 等同于计算 $A + (-B)$ 的补码。
+ 3. 对于一个 $n$ 位的补码系统，其表示范围为 $[-2^{n-1}, 2^{n-1}-1]$。例如，8位补码的范围是 $[-128, 127]$。
+
+**总结表格 (以 ±12 为例)**
+
+| 值 | 原码 | 反码 | 补码 |
+|:---:|:---:|:---:|:---:|
+| +12 | 00001100 | 00001100 | 00001100 |
+| -12 | 10001100 | 11110011 | 11110100 |
+
+
+
+### 2. BCD 码
+
+BCD码是用**二进制**来表示**十进制**数的一种编码方式。它与直接将十进制数转换为二进制数不同。
+
+* **规则**: 用 **4 位二进制数**来表示一位十进制数（0-9）。最常用的是 **8421 BCD 码**，其中各位的权值从高到低分别是 8、4、2、1。
+* **特点**:
+ * 它介于二进制和十进制之间，便于人机交互（如数码管显示、计算器）。
+ * 运算比纯二进制复杂，但比直接处理十进制字符简单。
+ * 由于用4位二进制表示一位十进制数，所以 `1010` 到 `1111` 这 6 个码是无效或非法的。
+
+**BCD 码对照表**
+
+| 十进制 | BCD 码 |
+|:---:|:---:|
+| 0 | 0000 |
+| 1 | 0001 |
+| 2 | 0010 |
+| 3 | 0011 |
+| 4 | 0100 |
+| 5 | 0101 |
+| 6 | 0110 |
+| 7 | 0111 |
+| 8 | 1000 |
+| 9 | 1001 |
+
+**示例**:
+将十进制数 **129** 转换为 BCD 码。
+
+1. 将每一位十进制数分开：`1`、`2`、`9`。
+2. 将每一位分别转换为对应的4位BCD码：
+ * $1 \rightarrow 0001$
+ * $2 \rightarrow 0010$
+ * $9 \rightarrow 1001$
+3. 将它们组合起来：
+ $$
+ (129)_{10} = (0001 \ 0010 \ 1001)_{\text{BCD}}
+ $$
+**对比**: 如果将 (129)₁₀ 直接转换为纯二进制，结果是 **10000001**。这与它的 BCD 码是完全不同的。
+---
+## 四、加法器、编码器、译码器、选择器、比较器
+---
+## 五、触发器
+
+### 1. RS 触发器
+
+最基本的触发器，但存在一个不确定状态，在实际应用中较少直接使用。
+
+* **输入**: $S$ (Set, 置位), $R$ (Reset, 复位)
+* **输出**: $Q$ (状态输出), $\overline{Q}$ (反向输出)
+
+#### **功能表**
+这张表描述了在不同输入下，下一个状态 $Q_{n+1}$ 是什么。
+
+| $S$ | $R$ | $Q_{n+1}$ | 功能 |
+|:---:|:---:|:---:|:---|
+| 0 | 0 | $Q_n$ | 保持 |
+| 0 | 1 | 0 | 复位/置0 |
+| 1 | 0 | 1 | 置位/置1|
+| 1 | 1 | **?** | **禁止/不定** |
+
+#### **特性方程**
+$$
+Q_{n+1} = S + \overline{R}Q_n \quad (\text{约束条件: } S \cdot R = 0)
+$$
+
+#### **激励表**
+这张表在电路设计时非常有用，它回答了“为了让状态从 $Q_n$ 变为 $Q_{n+1}$，输入 $S$ 和 $R$ 应该是什么？”。（X表示Don't Care，即0或1均可）
+
+| $Q_n$ | $Q_{n+1}$ | $S$ | $R$ |
+|:---:|:---:|:---:|:---:|
+| 0 | 0 | 0 | X |
+| 0 | 1 | 1 | 0 |
+| 1 | 0 | 0 | 1 |
+| 1 | 1 | X | 0 |
+
+
+### 2. JK 触发器
+
+JK 触发器是 RS 触发器的改进版，它解决了 RS 触发器的“禁止”状态问题，是最通用的触发器。
+
+* **输入**: $J$ (功能类似 $S$), $K$ (功能类似 $R$)
+* **输出**: $Q$, $\overline{Q}$
+
+#### **功能表**
+
+| $J$ | $K$ | $Q_{n+1}$ | 功能 |
+|:---:|:---:|:---:|:---|
+| 0 | 0 | $Q_n$ | 保持 |
+| 0 | 1 | 0 | 复0 |
+| 1 | 0 | 1 | 置1 |
+| 1 | 1 | $\overline{Q_n}$ | **翻转 ** |
+
+*JK触发器将RS触发器的禁止状态（1,1输入）变成了一个非常有用的**翻转**功能。*
+
+#### **特性方程**
+$$
+Q_{n+1} = J\overline{Q_n} + \overline{K}Q_n
+$$
+
+#### **激励表**
+
+| $Q_n$ | $Q_{n+1}$ | $J$ | $K$ |
+|:---:|:---:|:---:|:---:|
+| 0 | 0 | 0 | X |
+| 0 | 1 | 1 | X |
+| 1 | 0 | X | 1 |
+| 1 | 1 | X | 0 |
+
+
+### 3. D 触发器
+D 触发器的功能非常直接：在时钟脉冲到来时，将输入 $D$ 的值传递给输出 $Q$。它常被用作数据锁存器或移位寄存器的基本单元。
+
+* **输入**: $D$ (Data)
+* **输出**: $Q$, $\overline{Q}$
+
+#### **功能表**
+
+| $D$ | $Q_{n+1}$ | 功能 |
+|:---:|:---:|:---|
+| 0 | 0 | 置0 |
+| 1 | 1 | 置1 |
+
+*无论当前状态 $Q_n$ 是什么，下一个状态 $Q_{n+1}$ 都等于时钟边沿到来时的 $D$ 输入值。*
+
+#### **特性方程 **
+$$
+Q_{n+1} = D
+$$
+
+#### **激励表 **
+
+| $Q_n$ | $Q_{n+1}$ | $D$ |
+|:---:|:---:|:---:|
+| 0 | 0 | 0 |
+| 0 | 1 | 1 |
+| 1 | 0 | 0 |
+| 1 | 1 | 1 |
+
+
+
+### 4. T 触发器
+
+T 触发器是一个翻转触发器。当输入 $T=1$ 时，状态翻转；当 $T=0$ 时，状态保持不变。它常用于构建计数器。
+
+* **输入**: $T$
+* **输出**: $Q$, $\overline{Q}$
+
+#### **功能表**
+
+| $T$ | $Q_{n+1}$ | 功能 |
+|:---:|:---:|:---|
+| 0 | $Q_n$ | 保持 |
+| 1 | $\overline{Q_n}$ | 翻转 |
+
+#### **特性方程**
+$$
+Q_{n+1} = T \oplus Q_n = T\overline{Q_n} + \overline{T}Q_n
+$$
+
+#### **激励表**
+
+| $Q_n$ | $Q_{n+1}$ | $T$ |
+|:---:|:---:|:---:|
+| 0 | 0 | 0 |
+| 0 | 1 | 1 |
+| 1 | 0 | 1 |
+| 1 | 1 | 0 |
+
diff --git a/otherdocs/数字电路/数字电路基础.pdf b/otherdocs/数字电路/数字电路基础.pdf
new file mode 100644
index 0000000..1657752
Binary files /dev/null and b/otherdocs/数字电路/数字电路基础.pdf differ
diff --git a/otherdocs/高等代数/高等代数第一章.md b/otherdocs/高等代数/高等代数第一章.md
new file mode 100644
index 0000000..fddc9e6
--- /dev/null
+++ b/otherdocs/高等代数/高等代数第一章.md
@@ -0,0 +1,207 @@
+**Copyright © 2024 Simon**
+# 1.1 线性方程组
+## (1) 矩阵与增广矩阵
+ $$
+ 2x_1 - x_2 + 1.5x_3 = 8
+ $$
+ $$
+ x_1 - 4x_3 = -7
+ $$
+
+* 矩阵 (Matrix)
+
+$$
+\begin{bmatrix}
+2 & -1 & 1.5\\
+1 & 0 & -4
+\end{bmatrix}
+$$
+
+* 增广矩阵 (Augmented Matrix)
+
+$$
+\begin{bmatrix}
+2 & -1 & 1.5 & 8\\
+1 & 0 & -4 & -7
+\end{bmatrix}
+$$
+
+* 线性方程组解的三种情况：
+1. 无解 (不相容) (incompatibility)
+2. 有唯一解 (相容) (compatibility)
+3. 有无穷多解 (相容) (compatibility)
+
+
+## (2) 矩阵变换
+
+* 倍加
+* 对换
+* 倍乘
+
+
+# 1.2 行化简与阶梯形矩阵
+
+>**先导元素 (Leading element)**
+**定义**
+一个矩阵称为阶梯形(或行阶梯形),若它有以下三个性质:
+l.每一非零行都在每一零行之上.
+2.某一行的先导元素所在的列位于前一行先导元素的右边
+3.某一先导元素所在列下方元素都是零.
+若一个阶梯形矩阵还满足以下性质,贝则称它为简化阶梯形(或简化行阶梯形) .
+4.每一非零行的先导元素是 1.
+5.每一先导元素 1 是该元素所在列的唯一非零元素
+
+
+
+>**定理1** (简化阶梯形矩阵的唯一性)
+每个矩阵行等价于唯一的简化阶梯形矩阵.
+
+
+>**主元位置 (Pivot position)**
+**定义**
+矩阵中的主元位置是A中对应于它的阶梯形中先导元素 1 的位直.主元列是$A$的含有主元往直的列
+
+>**定理2** (存在与唯一性定理)
+线性方程组相容的充要条件是增广矩阵的最右列不是主元列.也就是说增广矩阵的阶梯形没有形如
+$[0 \ \ \cdots \ \ 0 \ \ b] \ \ ,\ \ b\neq0$
+
+>的行若线性方程组相容,则它的解集可能有两种情形:
+( i )当没有自由变量时,有唯一解;
+( ii )若至少有一个自由变量,则有无穷多解.
+
+# 1.3 向量方程
+
+$$u=
+\begin{bmatrix}
+\ 2 \ \\
+\ 1 \
+\end{bmatrix}
+$$
+
+>满足加法乘法的性质
+
+* 线性组合
+ $y=x_1c_1+\cdots+x_ic_i$ 中 $c_i$ 为权
+
+* 向量张成 (生成)
+
+ $span\{x_1,x_2,\cdots,x_i\}$
+ 即判断
+ $y=x_1c_1+\cdots+x_ic_i$
+ 是否有解；或
+ $\begin{bmatrix}
+ \ x_1\ x_2\ \cdots \ x_3 \ y\\
+ \end{bmatrix}$
+ 是否有解
+
+# 1.4 矩阵方程 Ax=b
+
+>**定义**
+若$A$是$m \times n$矩阵,它的各列为 $a$
+若 $x$ 是$R$n中的向量,则 $A$ 与 $x$ 的积(记为$Ax$) 就是 $A$ 的各列以 $x$ 中对应元素为权的线性组合
+
+>**定理3**
+$Ax=b$
+等价于
+$\begin{bmatrix}
+ \ a_1\ a_2\ \cdots \ a_3 \ \ b\\
+ \end{bmatrix}$
+
+
+* 解的存在性
+
+>**方程Ax = b 有解当且仅当 b 是 A 的各列的线性组合.**
+
+
+
+>**定理4**
+设 $A$ 是 $m \times n$ 矩阵,则下列命题是逻辑上等价的.
+也就是说,对某个 $Ax = b$ 它们都成立或者都不成立.
+a. 对$R$m中每个 $b$ ,方程 $Ax=b$ 有解.
+b. $R$m中的每个 $b$ 都是 $A$ 的列的一个线性组合.
+c. $A$ 的各列生成$R$m.
+d. $A$ 在每一行都有一个主元位置.
+
+>**计算**
+计算 $Ax$ 的行-向量规则
+若乘积 $Ax$ 有定义,则 $Ax$ 中的第 $i$ 个元素是 $A$ 的第 $i$ 行元素与 $x$ 的相应元素乘积之和.
+
+>**定理5**
+若 $A$ 是 $m\times n$ 矩阵,$u$ 和 $v$ 是$R$n中向量, $c$ 是标量,如:
+a. $A(u+v) = Au+Av.$
+b. $A(cu) = c(Au).$
+
+# 1.5 线性方程组的解集
+* 齐次线性方程组
+
+>齐次方程 $Ax=0$ 有非平凡解当且仅当方程至少有一个自由变量.
+
+>**定理6**
+设方程 $Ax=b$ 对某个 $b$ 是相容的, $p$ 为一个特解,则 $Ax=b$ 的解集是所有形如
+$w = p+v_h$
+>的向量的集, 其中 $v$h 是齐次方程 $Ax=0$ 的任意一个解.
+
+# 1.7 线性无关
+
+>**定义**
+向量方程 $0=x_1c_1+\cdots+x_ic_i$ 仅有平凡解(trivial solution) 向量组 (集) 称为线性无关的 (linearly independent)
+若存在不全为零的权
+$c_i$
+使
+$x_1c_1+\cdots+x_ic_i+0$
+则向量组 (集) 称为线性相关的 (linearly dependent)
+
+>**矩阵 $A$ 的各列线性无关,当且仅当方程 $Ax=0$ 仅有平凡**
+
+>**定理7** (线性相关集的特征)
+两个或更多个向量的集合
+$S=\{v_1,v_2,\cdots,v_p\}$
+>线性相关,当且仅当 $S$ 中至少有一个向量是其他向量的线性组合.
+
+>**定理8**
+若一个向量组的向量个数超过每个向量的元素个数,那么这个向量组线性相关.就
+是说, $R$n 中任意向量组
+$\{v_1,v_2,\cdots,v_p\}$
+>当 $p>n$ 时线性相关.
+
+>**定理9**
+若 $R$n 中向量组
+$S=\{v_1,v_2,\cdots,v_p\}$
+>包含零向量,则它线性相关
+
+# 1.8 线性变换介绍
+* 变换(transformation)(或称函数、映射(map)) $T$ 是一个规则
+* $T$ : $R$n → $R$m
+ $R$n称为 $T$ 的定义域 (domain)
+ $R$m称为 $T$ 的余定义域 (codomain) (或取值空间)
+
+* 线性变换
+$$T(0) = 0$$
+$$T(cu+ dv) = cT(u) + dT(v)$$
+
+# 1.9 线性变换的矩阵
+
+>**定理10**
+设 $T$ : $R$n → $R$m 为线性变换,则存在唯一的矩阵 $A$ ,使得对 $R$n中一切 $x$ 满足 $T(x)=Ax$
+
+* 满射
+ >映射 $T$ : $R$n → $R$m 称为到 $R$m 上的映射,若 $R$m 中每个 $b$ 是 $R$n 中至少一个 $x$ 的像.
+
+ >“满射” 的英文是 “surjective” 或 “surjection” 或 “onto mapping” 或 “onto function”
+
+
+* 单射
+ >映射 $T$ : $R$n → $R$m 称为一对一映射(或1:1),若 $R$m 中每个 $b$ 是 $R$m 中至多一个 $x$ 的像.
+
+ >“单射” 的英文是 “injective” 或 “injection” 或 “one-to-one mapping” 或 “one-to-one function”
+
+
+>**定理11**
+设 $T$ : $R$n → $R$m 为线性变换,则 $T$ 是一对一的当且仅当方程 $Ax=0$ 仅有平凡解.
+
+>**定理12**
+设 $T$ : $R$n → $R$m 为线性变换,设 $A$ 为 $T$ 的标准矩阵，则：
+a. $T$ 把 $R$n 映上到 $R$m ，当且仅当 $A$ 的列生成 $R$m.
+b. $T$ 是一对一的，当且仅当 $A$ 的列线性无关.
+
+
diff --git a/otherdocs/高等代数/高等代数第一章.pdf b/otherdocs/高等代数/高等代数第一章.pdf
new file mode 100644
index 0000000..2917b43
Binary files /dev/null and b/otherdocs/高等代数/高等代数第一章.pdf differ
diff --git a/otherdocs/高等代数/高等代数第七章.md b/otherdocs/高等代数/高等代数第七章.md
new file mode 100644
index 0000000..0ca5d91
--- /dev/null
+++ b/otherdocs/高等代数/高等代数第七章.md
@@ -0,0 +1,17 @@
+**Copyright © 2024 Simon**
+# 7.1 对称矩阵的对角化
+
+就是$A^T=A$
+
+>**定理1** 如果 $A$ 是对称矩阵，那么不同特征空间的任意两个特征向量是正交的.
+
+>**定理2** 一个$n \times n$ 矩阵 $A$ 可正交对角化的充分必要条件是 $A$ 是对称矩阵.
+
+# 7.2 二次型
+* 二次型是一个定义在 $R$n 上的函数， 它在向量 $x$ 处的值可由表达式$Q(x) = x^T Ax$ 计算，其中 $A$ 是一个 $n \times n$ 对称矩阵.矩阵 $A$ 称为关于二次型的矩阵.
+# 7.4 SVD
+SVD是奇异值分解（Singular Value Decomposition）的英文缩写。它是一种重要的矩阵分解方法。对于任意一个实矩阵$A_{m\times n}$（$m$行$n$列），都可以分解为
+$$A = U\Sigma V^{T}$$
+的形式。其中$U$是$m\times m$的正交矩阵，$V$是$n\times n$的正交矩阵，$\Sigma$是$m\times n$的对角矩阵，其对角线上的元素$\sigma_{ii}$（$i = 1,2,\cdots,\min(m,n)$）称为奇异值，并且$\sigma_{ii}\geq0$，这些奇异值按照从大到小的顺序排列在$\Sigma$的对角线上。
+
+
diff --git a/otherdocs/高等代数/高等代数第七章.pdf b/otherdocs/高等代数/高等代数第七章.pdf
new file mode 100644
index 0000000..bde24bc
Binary files /dev/null and b/otherdocs/高等代数/高等代数第七章.pdf differ
diff --git a/otherdocs/高等代数/高等代数第三章.md b/otherdocs/高等代数/高等代数第三章.md
new file mode 100644
index 0000000..a1a5cb3
--- /dev/null
+++ b/otherdocs/高等代数/高等代数第三章.md
@@ -0,0 +1,46 @@
+**Copyright © 2024 Simon**
+# 第 3 章 行列式（determinant）
+# 3.1 行列式介绍
+* 人话版本：
+>我的方法：
+>1、选择一行零最多的，
+>2、他的位置是第（$i$，$j$）,那就删去第$i$行，第$j$列，剩下的就是（余因子）
+>3、这一行每个数都这样算$a_{ij} \times |C_{ij}| \times (-1)^{i+j}$，最后求和
+
+>**定理 2**
+>若 $A$ 为三角阵，则 det$A$ 等于 $A$ 的主对角线上元素的乘积
+
+# 3.2 行列式的性质
+>**定理3 (行变换)**
+>令 $A$ 是一个方阵.
+>a. 若 $A$ 的某一行的倍数加到另一行得矩阵B ， 则det $B$ = det $A$ .
+>b 若 $A$ 的两行互换得矩阵 $B$ ， 则 det $B$ = - det $A$.
+>c. 若 $A$ 的某行来以 $k$ 倍得到矩阵 $B$ ， 则det $B$ = $k$ det $A$ .
+>** 补充
+>$$\vert A^T\vert=\vert A\vert$$
+>$$\vert A^{-1}\vert=\frac{1}{\vert A\vert}$$
+>
+>$$|A^{*}|=|A|^{n - 1}$$
+>$$\vert kA\vert=k^{n}\vert A\vert$$
+
+>**定理4**
+> 方阵 $A$ 是可逆的当且仅当 det $A \neq 0$
+
+>**定理5**
+> 若 $A$ 为一个 $n \times n$ 矩阵，则det $A^T$ = det $A$.
+
+>**定理6 (乘法的性质)**
+若 $A$ 和 $B$ 均为 $n \times n$ 矩阵，则 det $AB$ = (det $A$)( det $B$) .
+
+* 行列式与秩的关系
+>$\text{det}(A)\neq0$那么矩阵$A$是满秩的，秩$\text{rank}(A) = n$。这是因为行列式不为零意味着矩阵的列（行）向量组是线性无关的
+>也就是齐次线性方程组$Ax=0$的充要条件是系数矩阵秩$\text{rank}(A) = n$
+
+* **$r(A) = n$** $\Leftrightarrow$ **$|A| \neq 0$** $\Leftrightarrow$ **齐次线性方程组 $Ax = 0$ 只有零解 $\Leftrightarrow$ 可逆**
+
+# 3.3 克拉默法则
+>**定理7 (克拉默法则)**
+设 $A$ 是一个可逆的 $n \times n$ 矩阵，对 $R$m 中任意向量 $b$ ， 方程 $Ax =b$ 的唯一解可由下式给出:
+$$\displaystyle x_i=\frac{det \ \ A_i(b)}{det \ \ A},i=1,2,\cdots,,n$$
+
+~~不太能解释~~
diff --git a/otherdocs/高等代数/高等代数第三章.pdf b/otherdocs/高等代数/高等代数第三章.pdf
new file mode 100644
index 0000000..d43c195
Binary files /dev/null and b/otherdocs/高等代数/高等代数第三章.pdf differ
diff --git a/otherdocs/高等代数/高等代数第二章.md b/otherdocs/高等代数/高等代数第二章.md
new file mode 100644
index 0000000..7c75581
--- /dev/null
+++ b/otherdocs/高等代数/高等代数第二章.md
@@ -0,0 +1,61 @@
+**Copyright © 2024 Simon**
+# 第 2 章 矩阵代数
+# 2.1 矩阵运算
+加减乘
+# 2.2 矩阵的逆
+>不可逆矩阵有时称为**奇异矩阵**，而可逆矩阵也称为**非奇异矩阵**.
+$$A^{-1}A=I$$
+$$A^{-1}=\frac{1}{det A} \times A_{adj}$$
+$A_{adj}$是伴随矩阵（adjugate matrix）
+$$(A^{-1})^{-1}=A$$
+$$(AB)^{-1}=A^{-1}B^{-1}$$
+
+>若干个$n \times n$ 可逆矩阵的积也是可逆的，其逆等于这些矩阵的逆按相反顺序的乘积
+>~~看不懂，不爱用这种方法~~
+
+求法（我常用）：
+$$[\ A\ \ \ I\ ]=[\ I\ \ \ A^{-1}\ ] $$
+
+# 2.3 矩阵的特征
+
+* 挺多的
+
+
+# 2.4 分块矩阵
+* 没什么特别的
+
+# 2.5 LU分解
+>L 是 $m \times m$ 下三角矩阵， 主对角线元素全是1，
+>$A=LU$
+>AI写的：
+
+* Doolittle分解（LU分解的一种常见形式）
+* 原理 对于一个$n \times n$矩阵 $A$，将其分解为一个下三角矩阵$L$,主对角线元素为1和一个上三角矩阵$U$的乘积，即$A = LU$。
+> 计算步骤
+> 1. **设定矩阵形式** 设
+$$A=\left[\begin{array}{cccc}a_{11}&a_{12}&\cdots&a_{1n}\\a_{21}&a_{22}&\cdots&a_{2n}\\\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\a_{n1}&a_{n2}&\cdots&a_{nn}\end{array}\right]$$
+$$L=\left[\begin{array}{cccc}1&0&\cdots&0\\l_{21}&1&\cdots&0\\\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\l_{n1}&l_{n2}&\cdots&1\end{array}\right]$$
+$$U=\left[\begin{array}{cccc}u_{11}&u_{12}&\cdots&u_{1n}\\0&u_{22}&\cdots&u_{2n}\\\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\0&0&\cdots&u_{nn}\end{array}\right]$$
+> 2. **计算$U$的第一行和$L$的第一列**
+$$u_{1j}=a_{1j}(j = 1,2,\cdots,n)$$
+$$l_{i1}=\frac{a_{i1}}{u_{11}}(i = 2,3,\cdots,n)$$
+> 3. **对于$k = 2,3,\cdots,n$，分别计算$U$的第$k$行和$L$的第$k$列计算$U$的第$k$行**：
+$$u_{kj}=a_{kj}-\sum_{m = 1}^{k - 1}l_{km}u_{mj}(j = k,k + 1,\cdots,n)$$
+>**计算$L$的第$k$列**：
+$$l_{ik}=\frac{1}{u_{kk}}(a_{ik}-\sum_{m = 1}^{k - 1}l_{im}u_{mk})(i = k + 1,k + 2,\cdots,n)$$
+
+>*示例*
+>对于矩阵
+$$A=\left[\begin{array}{ccc}2&1&1\\4&3&3\\8&7&9\end{array}\right]$$
+>1. **第一步计算**
+>首先$u_{11}=2$， $u_{12}=1$，$u_{13}=1$，$l_{21}=\frac{4}{2}=2$，$l_{31}=\frac{8}{2}=4$
+>2. **第二步计算** 然后计算
+> $u_{22}=a_{22}-l_{21}u_{12}=3 - 2×1 = 1$，
+> $u_{23}=a_{23}-l_{21}u_{13}=3 - 2×1 = 1$
+>4. **第三步计算**
+$$l_{32}=\frac{1}{u_{22}}(a_{32}-l_{31}u_{12})=\frac{1}{1}(7 - 4×1)=3$$
+>5. **第四步计算** 最后
+$$u_{33}=a_{33}-l_{31}u_{13}-l_{32}u_{23}=9 - 4×1 - 3×1 = 2$$
+>6. **得出结果** 得到
+$$L=\left[\begin{array}{ccc}1&0&0\\2&1&0\\4&3&1\end{array}\right]$$
+$$U=\left[\begin{array}{ccc}2&1&1\\0&1&1\\0&0&2\end{array}\right]$$
\ No newline at end of file
diff --git a/otherdocs/高等代数/高等代数第二章.pdf b/otherdocs/高等代数/高等代数第二章.pdf
new file mode 100644
index 0000000..396e92f
Binary files /dev/null and b/otherdocs/高等代数/高等代数第二章.pdf differ
diff --git a/otherdocs/高等代数/高等代数第五章.md b/otherdocs/高等代数/高等代数第五章.md
new file mode 100644
index 0000000..052e43f
--- /dev/null
+++ b/otherdocs/高等代数/高等代数第五章.md
@@ -0,0 +1,57 @@
+**Copyright © 2024 Simon**
+# 第5章 特征值与特征向量
+# 5.1 特征向量(eigenvector)与特征值(eigenvalue)
+ >定义 $A$ 为 $n \times n$ 矩阵，$x$ 为非零向量， 若存在数 $λ$ 使 $Ax=λx$ 有非平凡解 $x$， 则称 $λ$ 为 $A$的特征值,$x$ 称为对应于 $λ$ 的特征向量
+也可写作$(A-λI)x=0$
+
+>**定理1**
+三角矩阵的主对角线的元素是其特征值.
+
+>**定理2**
+$λ_1,\cdots,λ_r$ 是 $n \times n$ 矩阵 $A$ 相异的特征值，$v_1,\cdots,v_r$是与$λ_1,\cdots,λ_r$对应的特征向量，那么向量集合{$v_1,\cdots,v_r$}线性无关.
+
+
+
+* 一、逆矩阵的特征值
+若矩阵$A$可逆，$\lambda$是$A$的特征值，则$A^{-1}$的特征值是$\displaystyle \frac{1}{\lambda}$，特征向量不变。
+
+* 二、转置矩阵的特征值
+矩阵$A$与其转置矩阵$A^T$具有相同的特征值。
+
+* 三、伴随矩阵的特征值
+若$A$可逆，$A$的特征值为$\lambda_i$（$i = 1,2,\cdots,n$，$\lambda_i\neq0$），则伴随矩阵$A^*$的特征值为$\displaystyle \frac{\vert A\vert}{\lambda_i}$，特征向量不变。
+
+# 5.2 特征方程(eigen equation)
+>**定理(可逆矩阵定理(续))**
+设 $A$ 是 $n \times n$ 矩阵，则 $A$ 是可逆的当且仅当
+a.0不是 $A$ 的特征值.
+b.$A$ 的行列式不等于零.
+
+
+
+>**定理3 (行列式的性质)**
+设 $A$ 和 $B$ 是 $n \times n$ 矩阵.
+a. $A$ 可逆的元要条件是 det$A \neq 0$.
+b. det $AB =$ (det $A$) (det$B$).
+c. det $A^T$ = det $A$.
+d. 若 $A$ 是三角形矩阵，那么det $A$ 是 $A$ 主对角线元素的乘积.
+e. 对 $A$ 作行替换不改变其行列式值.作一次行交换，行列式值符号改变一次数来一行后，
+行列式值等于用此数来原来的行列式值.
+
+>**定理4**
+若 $n \times n$ 矩阵 $A$ 和 $B$ 是相似的，那么它们有相同的特征多项式，从而有相同的特征值(和相同的重数).
+
+# 5.3 对角化(diagonalize)
+>**定理5 (对角化定理)**
+$n \times n$ 矩阵 $A$ 可对角化的充分必要条件是 $A$ 有 $n$ 个线性无关的特征向量.
+事实上， $A=PDP^{-1}$ , $D$ 为对角矩阵的充分必要条件是 $P$ 的列向量是 $A$ 的 $n$ 个线性无关的特征向量.此时，$D$ 的主对角线上的元素分别是 $A$ 的对应于 $P$ 中特征向量的特征值.
+
+>**定理6**
+有 $n$ 个相异特征值的$n \times n$ 矩阵可对角化.
+
+>**定理7**
+~~似乎不重要，因为我也读不懂~~
+
+>**定理8 (对角矩阵表示)**
+设 $A=PDP^{-1}$ ， 其中 $D$ 为 $n \times n$ 对角矩阵，若 $R$n 的基$\beta$由 $P$ 的列向量组成，那么 $D$ 是变换 $x$ → $Ax$的$\beta$-矩阵.
+
diff --git a/otherdocs/高等代数/高等代数第五章.pdf b/otherdocs/高等代数/高等代数第五章.pdf
new file mode 100644
index 0000000..471dfd9
Binary files /dev/null and b/otherdocs/高等代数/高等代数第五章.pdf differ
diff --git a/otherdocs/高等代数/高等代数第六章.md b/otherdocs/高等代数/高等代数第六章.md
new file mode 100644
index 0000000..4cd4d06
--- /dev/null
+++ b/otherdocs/高等代数/高等代数第六章.md
@@ -0,0 +1,166 @@
+**Copyright © 2024 Simon**
+# 6.1 内积、长度和正交性
+
+* 内积
+ 内积的英文是 “inner product” 或 “dot product”
+> **定理1**
+> 设 $v$，$u$ 和 $w$ 是 $R$n 中的向量, $c$ 是一个数,那么
+
+
+$a. \ \ \ u \cdot v = v \cdot u$
+
+$b.\ \ \ (u +v) \cdot w = u \cdot w +v \cdot w$
+
+$c. \ \ \ (cu) \cdot v=c(u \cdot v)=u \cdot (cv)$
+
+$d. \ \ \ u \cdot u \geq 0，并且u \cdot u=0 成立的充分必要条件是u=0$
+
+
+* 向量的长度
+
+ $$||v|| ^2 = v \cdot v$$
+
+$$dist(u,v)=||u-v||$$
+
+* 正交向量
+ 正交向量的英文是 “orthogonal vectors” 或 “perpendicular vectors”
+
+>定义如果 $u \cdot v = 0$ ，如 $R$n 中的两个向量 $u$ 和 $v$ 是(相互) 正交的.
+
+>对于一个方阵$A$，Col$A$中的向量与Nul$A$中的向量正交。
+
+>**定理2 (毕达哥拉斯(勾股)定理)**
+
+$$||u+v||^2=||u||^2+||v||^2$$
+
+* 正交补
+ 正交补的英文是 “orthogonal complement”
+
+>1.向量 $x$ 属于 $W$⊥ 的充分必要条件是向量 $x$ 与生成空间 $W$ 的任一向量都正交.
+>2. $W$⊥ 止是 $R$n 的一个子空间.
+
+>**定理3**
+$( Row A )$⊥ = $Nul A$ 且 $( ColA )$⊥ = $Nul A$T
+
+# 6.2 正交集
+ * 正交集的英文是 “orthogonal set” 或 “orthonormal set”
+>**定理4**
+如果 $S=\{x_1,x_2,\cdots,x_i\}$ 是由 $R$n 中非零向量构成的正交集，那么 $S$ 是线性无关集，因此构成 $S$ 所生成的子空间的一组基.
+
+>**定理5**
+假设$\{x_1,x_2,\cdots,x_i\}$是 $R$n 中于空间 $W$ 的正文基,对 $W$ 中的每个向量y,线性组合 $y=x_1c_1+\cdots+x_ic_i$ 中的权可以由 $c_j=(y \cdot u_j)/(u_j \cdot u_j)$计算
+
+## 正交投影 **先欠着** ~~懒得写~~
+
+
+>**定理6**
+一个 $m \times n$ 矩阵 U 具有单位正交列向量的充分必要条件是 $U$T $U$ = $I$.
+
+>**定理7**
+假设 $U$ 是一个具有单位正交列的 $m \times n$ 矩阵，且 $x$ 和 $y$ 是 $R$n 中的向量，那么
+a. $||Ux|| = ||x|| .$
+b. $(Ux) \cdot (Uy) =x \cdot y$
+c. $(Ux) \cdot (Uy) = 0$ 的充分必要条件是 $x \cdot y = 0$
+
+>**定理9 (最佳逼近定理)**
+假设 $W$ 是 $R$n 的一个子空间，$y$ 是 $R$n 中的任意向量， $\widehat{y}$ 是 $y$ 在 $W$ 上的正支投影，那么 $\widehat{y}$ 是 $W$ 中最接近 $y$ 的点，也就是
+$$||y-\widehat{y}||<||y-v||$$
+>对所有属于 $W$ 又异于 $\widehat{y}$ 的 $v$ 成立.
+
+# 6.4 格拉姆-施密特方法
+
+## 格拉姆 - 施密特方法
+
+设$\left\{\boldsymbol{v}_{1},\boldsymbol{v}_{2},\cdots,\boldsymbol{v}_{n}\right\}$是内积空间$V$中的一组线性无关向量。
+首先$\boldsymbol{u}_{1}=\boldsymbol{v}_{1}$；对于$k = 2,3,\cdots,n$，
+$$\boldsymbol{u}_{k}=\boldsymbol{v}_{k}-\sum_{j = 1}^{k - 1}\frac{\left\langle\boldsymbol{v}_{k},\boldsymbol{u}_{j}\right\rangle}{\left\langle\boldsymbol{u}_{j},\boldsymbol{u}_{j}\right\rangle}\boldsymbol{u}_{j}$$
+即从$\boldsymbol{v}_{k}$中减去它在已构造正交向量$\boldsymbol{u}_{1},\boldsymbol{u}_{2},\cdots,\boldsymbol{u}_{k - 1}$上的投影，得到新正交向量$\boldsymbol{u}_{k}$。
+
+
+# 6.5 最小二乘问题
+* 最小二乘的英文是 “least squares” 或 “least square method”；
+最小二乘解的英文是 “least squares solution”。
+
+* **定义**
+ $$||b-A\widehat{x}||\leq||b-Ax||$$
+
+>**定理13**
+方程 $Ax=b$ 的最小二乘解集和法方程 $A$T $Ax = A$T $b$ 的非空解集一致.
+
+>**定理14**
+设 $A$ 是 $m \times n$ 矩阵. 下面的条件是逻辑等价的:
+a.对于 $R$n 中的每个 $b$ ， 方程 $Ax =b$ 有唯一最小二乘解.
+b.$A$ 的列是线性无关的.
+c.矩阵 $A$T $A$是可逆的.
+当这些条件成立时，最小二乘解￡有下面的表示:
+$$\widehat{x}=( A^T A)^{-1}A^Tb$$
+
+
+# 6.7 内积空间
+
+>**定义**
+向量空间 $V$ 上的内积是一个函数，对每一对属于$V$的向量 $u$ 和 $v$，存在一个实数$\langle u,v \rangle$满足下面公理，其中 $u$，$v$，$w$ 属于$V$，$C$ 为所有数.
+1.$\langle u,v\rangle= \langle v,u \rangle$
+2.$\langle u +v, w\rangle =\langle u, w\rangle +\langle v,w\rangle$
+3.$\langle$c$u,v\rangle=$c$\langle u, v\rangle$
+4.$\langle u,u\rangle \geq 0$且$\langle u,u\rangle =0$ 的充分必要条件是 $u=0$
+一个赋予上面内积的向量空间称为**内积空间**
+
+* 内积空间的英文是 “inner product space” 或 “pre-Hilbert space”
+
+
+>**定理16 (柯西-施瓦茨不等式)**
+对 $V$ 中任意向量 $u$ 和 $v$，有
+$$|\langle u,v \rangle| \leq ||u||\ \ ||v||$$
+
+
+>**定理17 (三角不等式)**
+对属于$V$ 的所有向量$u$,$v$，有
+$$||u-v||\leq||u||+||v||$$
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
diff --git a/otherdocs/高等代数/高等代数第六章.pdf b/otherdocs/高等代数/高等代数第六章.pdf
new file mode 100644
index 0000000..d206a71
Binary files /dev/null and b/otherdocs/高等代数/高等代数第六章.pdf differ
diff --git a/otherdocs/高等代数/高等代数第四章.md b/otherdocs/高等代数/高等代数第四章.md
new file mode 100644
index 0000000..8d95d91
--- /dev/null
+++ b/otherdocs/高等代数/高等代数第四章.md
@@ -0,0 +1,87 @@
+**Copyright © 2024 Simon**
+# 第4章 向量空间
+# 4.1 向量空间(vector space)与子空间(subspace)
+>向量空间和向量计算法则一样
+
+* 子空间
+ >定义向量空间 $V$ 的一个子空间是 $V$ 的一个满足以下三个性质的子集 $H$:
+ a. $V$ 中的零向量在 $H$ 中
+ b. $H$ 对向量加法封闭，即对 $H$ 中任意向量 $U$，$V$ ， 和 $u + v$ 仍在 $H$ 中.
+ c. $H$ 对标量乘法封闭， 即对 $H$ 中任意向量 $u$ 和任意标量 $C$ ，向量 $cu$ 仍在 $H$ 中.
+
+
+>**定理1** 若 $v_1,v_2,\cdots,v_p$ 在向量空间 $V$ 中，则$span\{x_1,x_2,\cdots,x_i\}$是 $V$ 的一个子空间.
+
+# 4.2 零空间、列空间和线性变换
+* 矩阵的零空间(null space)
+
+ >**定义**
+ 矩阵 $A$ 的零空间写成 $NulA$ ， 是齐次方程 $Ax = 0$ 的全体解的集合.
+
+>**定理2** $m \times n$ 矩阵 $A$ 的零空间是$R$m的一个子空间.等价地, $m$ 个方程、$n$ 个未知数的齐次线性方程组 $Ax = 0$ 的全体解的集合是$R$m的一个子空间
+
+* 矩阵的列空间(column space)
+ >**定义**
+ $m \times n$矩阵 $A$ 的列空间(记为 $ColA$ ) 是由 $A$ 的列的所有线性组合组成的集合.若 $A=\begin{bmatrix}
+ \ x_1\ x_2\ \cdots \ x_3 \ \\
+ \end{bmatrix}$，则 $ColA = span\{x_1,x_2,\cdots,x_i\}$.
+
+>**定理3** $m \times n$ 矩阵 $A$ 的列空间是 $R$m 的一个子空间.
+
+* 线性变换的核与值域
+ >线性变换 见1.8
+ * 核(零空间 $Nul A$)
+ >线性变换 $T$ 的核(或零空间)是 $V$ 中所有满足 $T(u) = 0$ 的向量 $u$ 的集合
+
+# 4.3 线性无关集(linearly independent set)和基(basis)
+* 线性无关 见1.7
+
+>**定理5 (生成集定理)**
+令$S = \{v_1,v_2,\cdots,v_p\}$是$V$中的向量集，$H = span\{v_1,v_2,\cdots,v_p\}$.
+a.若 $S$ 中某一个向量(比如说 $v_k$ ) 是 $S$ 中其余向量的线性组合，则 $S$ 中去掉$v_k$ 后形成的集合仍然可以生成 $H$.
+b. 若$H \neq \{0\}$ ，则 $S$ 的某一子集是 $H$ 的一个基.
+
+* NulA 和ColA 的基
+ >**定理6**
+ 矩阵 $A$ 的主元列构成 $ColA$ 的一个基.
+
+
+# 4.5 向量空间的维数(dimension)
+>**定理9**
+若向量空间 $V$ 具有一组基(n个基向量)， 则 $V$ 中任意包含多于 $n$ 个向量的集合一
+定线性相关.
+
+~~这是期中考证明题，没做出来~~
+
+>**定理10** 若向量空间 $V$ 有一组基含有 $n$ 个向量，则 $V$ 的每一组基一定恰好含有 $n$ 个向量.
+
+* $NulA$ 的维数是方程 $Ax=0$ 中自由变量的个数，$ColA$ 的维数是 $A$ 中主元列的个数.
+
+# 4.6 秩(rank)
+
+* $ColA^T = Row A$.
+>**定理13** 若两个矩阵 $A$ 和 $B$ 行等价，则它们的行空间相同.若 $B$ 是阶梯形矩阵，则 $B$ 的非零行构成 $A$ 的行空间的一个基同时也是 $B$ 的行空间的一个基
+
+~~?看不太懂~~
+
+*以下比较重要*
+
+>**定义**
+$A$ 的秩即 $A$ 的列空间的维数
+
+>**定理14 (秩定理)**
+$m \times n$ 矩阵 $A$ 的列空间和行空间的维数相等，这个公共的维数(即 $A$ 的秩)还等于 $A$ 的主元位置的个数且,满足方程
+$$rank\ A+dim\ \ Nul \ A = n$$
+
+>**定理 (可逆矩阵定理(续))**
+令 $A$ 是一个 $n \times n$ 矩阵，则下列命题中的每一个均等价于 $A$ 是可逆矩阵:
+a. $A$ 的列构成$R$n的一个基.
+b. $ColA=$$R$n.
+c. $dim \ ColA = n$.
+d. $rank A = n$.
+e. $Nul A = \{0\}$.
+f. $dim \ NulA=0$.
+
+
+# 4.7 基的变换
+~~先欠着~~
diff --git a/otherdocs/高等代数/高等代数第四章.pdf b/otherdocs/高等代数/高等代数第四章.pdf
new file mode 100644
index 0000000..142d4a4
Binary files /dev/null and b/otherdocs/高等代数/高等代数第四章.pdf differ