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otherdocs/高等代数/高等代数第二章.md

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+**Copyright © 2024 Simon**
+# 第 2 章 矩阵代数
+# 2.1 矩阵运算
+加减乘
+# 2.2 矩阵的逆
+>不可逆矩阵有时称为**奇异矩阵**，而可逆矩阵也称为**非奇异矩阵**.
+$$A^{-1}A=I$$
+$$A^{-1}=\frac{1}{det A} \times A_{adj}$$
+$A_{adj}$是伴随矩阵（adjugate matrix）
+$$(A^{-1})^{-1}=A$$
+$$(AB)^{-1}=A^{-1}B^{-1}$$
+
+>若干个$n \times  n$ 可逆矩阵的积也是可逆的，其逆等于这些矩阵的逆按相反顺序的乘积
+>~~看不懂，不爱用这种方法~~
+
+求法（我常用）：
+$$[\ A\ \ \ I\ ]=[\ I\ \ \ A^{-1}\ ]  $$
+
+# 2.3 矩阵的特征
+
+* 挺多的
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+# 2.4  分块矩阵
+* 没什么特别的
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+# 2.5 LU分解
+>L 是 $m \times m$ 下三角矩阵， 主对角线元素全是1，  
+>$A=LU$  
+>AI写的： 
+
+* Doolittle分解（LU分解的一种常见形式）
+* 原理 对于一个$n \times n$矩阵 $A$，将其分解为一个下三角矩阵$L$,主对角线元素为1和一个上三角矩阵$U$的乘积，即$A = LU$。
+> 计算步骤   
+> 1. **设定矩阵形式** 设
+$$A=\left[\begin{array}{cccc}a_{11}&a_{12}&\cdots&a_{1n}\\a_{21}&a_{22}&\cdots&a_{2n}\\\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\a_{n1}&a_{n2}&\cdots&a_{nn}\end{array}\right]$$
+$$L=\left[\begin{array}{cccc}1&0&\cdots&0\\l_{21}&1&\cdots&0\\\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\l_{n1}&l_{n2}&\cdots&1\end{array}\right]$$ 
+$$U=\left[\begin{array}{cccc}u_{11}&u_{12}&\cdots&u_{1n}\\0&u_{22}&\cdots&u_{2n}\\\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\0&0&\cdots&u_{nn}\end{array}\right]$$
+> 2. **计算$U$的第一行和$L$的第一列** 
+$$u_{1j}=a_{1j}(j = 1,2,\cdots,n)$$ 
+$$l_{i1}=\frac{a_{i1}}{u_{11}}(i = 2,3,\cdots,n)$$
+> 3. **对于$k = 2,3,\cdots,n$，分别计算$U$的第$k$行和$L$的第$k$列计算$U$的第$k$行**： 
+$$u_{kj}=a_{kj}-\sum_{m = 1}^{k - 1}l_{km}u_{mj}(j = k,k + 1,\cdots,n)$$
+>**计算$L$的第$k$列**： 
+$$l_{ik}=\frac{1}{u_{kk}}(a_{ik}-\sum_{m = 1}^{k - 1}l_{im}u_{mk})(i = k + 1,k + 2,\cdots,n)$$
+
+>*示例*  
+>对于矩阵
+$$A=\left[\begin{array}{ccc}2&1&1\\4&3&3\\8&7&9\end{array}\right]$$
+>1. **第一步计算**
+>首先$u_{11}=2$， $u_{12}=1$，$u_{13}=1$，$l_{21}=\frac{4}{2}=2$，$l_{31}=\frac{8}{2}=4$
+>2. **第二步计算** 然后计算  
+>   $u_{22}=a_{22}-l_{21}u_{12}=3 - 2×1 = 1$，
+>   $u_{23}=a_{23}-l_{21}u_{13}=3 - 2×1 = 1$
+>4. **第三步计算**
+$$l_{32}=\frac{1}{u_{22}}(a_{32}-l_{31}u_{12})=\frac{1}{1}(7 - 4×1)=3$$
+>5. **第四步计算** 最后
+$$u_{33}=a_{33}-l_{31}u_{13}-l_{32}u_{23}=9 - 4×1 - 3×1 = 2$$
+>6. **得出结果** 得到
+$$L=\left[\begin{array}{ccc}1&0&0\\2&1&0\\4&3&1\end{array}\right]$$
+$$U=\left[\begin{array}{ccc}2&1&1\\0&1&1\\0&0&2\end{array}\right]$$