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第4章 向量空间

4.1 向量空间(vector space)与子空间(subspace)

向量空间和向量计算法则一样

• 子空间

  定义向量空间 V 的一个子空间是 V 的一个满足以下三个性质的子集 H:
  a. V 中的零向量在 H 中
  b. H 对向量加法封闭，即对 H 中任意向量 $U$，V ， 和 u + v 仍在 H 中.
  c. H 对标量乘法封闭， 即对 H 中任意向量 u 和任意标量 C ，向量 cu 仍在 H 中.

定理1 若 v_1,v_2,\cdots,v_p 在向量空间 V 中，则$span{x_1,x_2,\cdots,x_i}$是 V 的一个子空间.

4.2 零空间、列空间和线性变换

• 矩阵的零空间(null space)

  定义
  矩阵 A 的零空间写成 NulA ， 是齐次方程 Ax = 0 的全体解的集合.

定理2 m \times n 矩阵 A 的零空间是$R$^m的一个子空间.等价地, m 个方程、n 个未知数的齐次线性方程组 Ax = 0 的全体解的集合是$R$^m的一个子空间

• 矩阵的列空间(column space)

  定义
  $m \times n$矩阵 A 的列空间(记为 ColA ) 是由 A 的列的所有线性组合组成的集合.若 $A=\begin{bmatrix} \ x_1\ x_2\ \cdots \ x_3 \ \ \end{bmatrix}$，则 ColA = span\{x_1,x_2,\cdots,x_i\}.

定理3 m \times n 矩阵 A 的列空间是 $R$^m 的一个子空间.

• 线性变换的核与值域

  线性变换 见1.8

  • 核(零空间 Nul A)

  线性变换 T 的核(或零空间)是 V 中所有满足 T(u) = 0 的向量 u 的集合

4.3 线性无关集(linearly independent set)和基(basis)

• 线性无关 见1.7

定理5 (生成集定理)
令$S = {v_1,v_2,\cdots,v_p}$是$V$中的向量集，H = span\{v_1,v_2,\cdots,v_p\}.
a.若 S 中某一个向量(比如说 v_k ) 是 S 中其余向量的线性组合，则 S 中去掉v_k 后形成的集合仍然可以生成 H.
b. 若H \neq \{0\} ，则 S 的某一子集是 H 的一个基.

• NulA 和ColA 的基

  定理6
  矩阵 A 的主元列构成 ColA 的一个基.

4.5 向量空间的维数(dimension)

定理9
若向量空间 V 具有一组基(n个基向量)， 则 V 中任意包含多于 n 个向量的集合一 定线性相关.

这是期中考证明题，没做出来

定理10 若向量空间 V 有一组基含有 n 个向量，则 V 的每一组基一定恰好含有 n 个向量.

• NulA 的维数是方程 Ax=0 中自由变量的个数，ColA 的维数是 A 中主元列的个数.

4.6 秩(rank)

• ColA^T = Row A.

定理13 若两个矩阵 A 和 B 行等价，则它们的行空间相同.若 B 是阶梯形矩阵，则 B 的非零行构成 A 的行空间的一个基同时也是 B 的行空间的一个基

?看不太懂

以下比较重要

定义
A 的秩即 A 的列空间的维数

定理14 (秩定理) m \times n 矩阵 A 的列空间和行空间的维数相等，这个公共的维数(即 A 的秩)还等于 A 的主元位置的个数且,满足方程

rank\ A+dim\ \ Nul \ A = n

定理 (可逆矩阵定理(续))
令 A 是一个 n \times n 矩阵，则下列命题中的每一个均等价于 A 是可逆矩阵:
a. A 的列构成$R$ⁿ的一个基.
b. $ColA=$$R$ⁿ.
c. dim \ ColA = n.
d. rank A = n.
e. Nul A = \{0\}.
f. dim \ NulA=0.

4.7 基的变换

先欠着