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# 第4章 向量空间
# 4.1 向量空间(vector space)与子空间(subspace)
>向量空间和向量计算法则一样

* 子空间
  >定义向量空间 $V$ 的一个子空间是 $V$ 的一个满足以下三个性质的子集 $H$:  
  a. $V$ 中的零向量在 $H$ 中  
  b. $H$ 对向量加法封闭，即对 $H$ 中任意向量 $U$，$V$ ， 和 $u + v$ 仍在 $H$ 中.  
  c. $H$ 对标量乘法封闭， 即对 $H$ 中任意向量 $u$ 和任意标量 $C$ ，向量 $cu$ 仍在 $H$ 中.


>**定理1** 若 $v_1,v_2,\cdots,v_p$ 在向量空间 $V$ 中，则$span\{x_1,x_2,\cdots,x_i\}$是 $V$ 的一个子空间.

# 4.2 零空间、列空间和线性变换
* 矩阵的零空间(null space)
  
  >**定义**  
  矩阵 $A$ 的零空间写成 $NulA$ ， 是齐次方程 $Ax = 0$ 的全体解的集合.

>**定理2** $m \times n$ 矩阵 $A$ 的零空间是$R$<sup>m</sup>的一个子空间.等价地, $m$ 个方程、$n$ 个未知数的齐次线性方程组 $Ax = 0$ 的全体解的集合是$R$<sup>m</sup>的一个子空间

* 矩阵的列空间(column space)
  >**定义**  
  $m \times n$矩阵 $A$ 的列空间(记为 $ColA$ ) 是由 $A$ 的列的所有线性组合组成的集合.若 $A=\begin{bmatrix}
  \ x_1\ x_2\ \cdots \  x_3 \ \\
  \end{bmatrix}$，则 $ColA = span\{x_1,x_2,\cdots,x_i\}$.

>**定理3** $m \times n$ 矩阵 $A$ 的列空间是 $R$<sup>m</sup> 的一个子空间.

* 线性变换的核与值域
  >线性变换 见1.8
  * 核(零空间 $Nul A$)
  >线性变换 $T$ 的核(或零空间)是 $V$ 中所有满足 $T(u) = 0$ 的向量 $u$ 的集合

# 4.3 线性无关集(linearly independent set)和基(basis)
* 线性无关 见1.7
  
>**定理5 (生成集定理)**  
令$S = \{v_1,v_2,\cdots,v_p\}$是$V$中的向量集，$H = span\{v_1,v_2,\cdots,v_p\}$.  
a.若 $S$ 中某一个向量(比如说 $v_k$ ) 是 $S$ 中其余向量的线性组合，则 $S$ 中去掉$v_k$ 后形成的集合仍然可以生成 $H$.  
b. 若$H \neq \{0\}$ ，则 $S$ 的某一子集是 $H$ 的一个基.

* NulA 和ColA 的基
  >**定理6**  
  矩阵 $A$ 的主元列构成 $ColA$ 的一个基.


# 4.5 向量空间的维数(dimension)
>**定理9**  
若向量空间 $V$ 具有一组基(n个基向量)， 则 $V$ 中任意包含多于 $n$ 个向量的集合一
定线性相关.

~~这是期中考证明题，没做出来~~

>**定理10** 若向量空间 $V$ 有一组基含有 $n$ 个向量，则 $V$ 的每一组基一定恰好含有 $n$ 个向量.

* $NulA$ 的维数是方程 $Ax=0$ 中自由变量的个数，$ColA$ 的维数是 $A$ 中主元列的个数.

# 4.6 秩(rank)

* $ColA^T = Row A$.
>**定理13** 若两个矩阵 $A$ 和 $B$ 行等价，则它们的行空间相同.若 $B$ 是阶梯形矩阵，则 $B$ 的非零行构成 $A$ 的行空间的一个基同时也是 $B$ 的行空间的一个基

~~?看不太懂~~

*以下比较重要*

>**定义**  
$A$ 的秩即 $A$ 的列空间的维数

>**定理14 (秩定理)**
$m \times n$ 矩阵 $A$ 的列空间和行空间的维数相等，这个公共的维数(即 $A$ 的秩)还等于 $A$ 的主元位置的个数且,满足方程
$$rank\  A+dim\ \ Nul \ A = n$$

>**定理 (可逆矩阵定理(续))**  
令 $A$ 是一个 $n \times n$ 矩阵，则下列命题中的每一个均等价于 $A$ 是可逆矩阵:  
a. $A$ 的列构成$R$<sup>n</sup>的一个基.  
b. $ColA=$$R$<sup>n</sup>.  
c. $dim \ ColA = n$.  
d. $rank A = n$.  
e. $Nul A = \{0\}$.  
f. $dim \ NulA=0$.  


# 4.7 基的变换
~~先欠着~~