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一、逻辑代数定律和计算规则

定律/规则名称	表达式	解释
恒等律	$A + 0 = A$ A \cdot 1 = A	任何变量与0相加或与1相乘等于自身
零律	$A + 1 = 1$ A \cdot 0 = 0	任何变量与1相加或与0相乘等于1或0
幂等律	$A + A = A$ A \cdot A = A	任何变量与自身相加或相乘等于自身
互补律	$A + \overline{A} = 1$ A \cdot \overline{A} = 0	任何变量与其补码相加等于1，相乘等于0
交换律
加法交换律	A + B = B + A	加法运算的交换律
乘法交换律	A \cdot B = B \cdot A	乘法运算的交换律
结合律
加法结合律	(A + B) + C = A + (B + C)	加法运算的结合律
乘法结合律	(A \cdot B) \cdot C = A \cdot (B \cdot C)	乘法运算的结合律
分配律
乘法分配律	A \cdot (B + C) = A \cdot B + A \cdot C	乘法对加法的分配律
加法分配律	A + (B \cdot C) = (A + B) \cdot (A + C)	加法对乘法的分配律
吸收律
吸收律1	A + A \cdot B = A	吸收律的第一种形式
吸收律2	A \cdot (A + B) = A	吸收律的第二种形式
德摩根定律
德摩根定律1	\overline{A + B} = \overline{A} \cdot \overline{B}	逻辑加法的德摩根定律
德摩根定律2	\overline{A \cdot B} = \overline{A} + \overline{B}	逻辑乘法的德摩根定律
简化定律
简化定律1	A + \overline{A} \cdot B = A + B	简化逻辑表达式
简化定律2	A \cdot (\overline{A} + B) = A \cdot B	简化逻辑表达式
共识定律
共识定律 (积之和形式)	AB + \overline{A}C + BC = AB + \overline{A}C	较难，常用于逻辑化简。项 BC 是 AB 和 AC 的共识项，是冗余的。
共识定律 (和之积形式)	(A+B)(\overline{A}+C)(B+C) = (A+B)(\overline{A}+C)	较难，常用于逻辑化简。项 (B+C) 是 (A+B) 和 (A+C) 的共识项，是冗余的。
反演定律
反演定律	A = \overline{\overline{A}}	变量的双重否定等于自身

推导过程

1. 基本定律

   • 恒等律：A + 0 = A 和 A \cdot 1 = A 是逻辑代数的基本定义。
   • 零律：A + 1 = 1 和 A \cdot 0 = 0 也是逻辑代数的基本定义。
   • 幂等律：A + A = A 和 A \cdot A = A 是因为逻辑加法和乘法运算的特性。
   • 互补律：A + \overline{A} = 1 和 A \cdot \overline{A} = 0 是逻辑变量和其补码的定义。

2. 交换律

   • 加法交换律：A + B = B + A 是逻辑加法的交换特性。
   • 乘法交换律：A \cdot B = B \cdot A 是逻辑乘法的交换特性。

3. 结合律

   • 加法结合律：(A + B) + C = A + (B + C) 是逻辑加法的结合特性。
   • 乘法结合律：(A \cdot B) \cdot C = A \cdot (B \cdot C) 是逻辑乘法的结合特性。

4. 分配律

   • 乘法分配律：A \cdot (B + C) = A \cdot B + A \cdot C 是逻辑乘法对加法的分配特性。
   • 加法分配律：A + (B \cdot C) = (A + B) \cdot (A + C) 是逻辑加法对乘法的分配特性。

5. 吸收律

   • 吸收律1：A + A \cdot B = A 可以从 A + A \cdot B = A \cdot (1 + B) = A \cdot 1 = A 推导得出。
   • 吸收律2：A \cdot (A + B) = A 可以从 A \cdot (A + B) = A \cdot A + A \cdot B = A + A \cdot B = A 推导得出。

6. 德摩根定律

   • 德摩根定律1：\overline{A + B} = \overline{A} \cdot \overline{B} 是逻辑加法的德摩根定律。
   • 德摩根定律2：\overline{A \cdot B} = \overline{A} + \overline{B} 是逻辑乘法的德摩根定律。

7. 简化定律

   • 简化定律1：A + \overline{A} \cdot B = A + B 可以从 A + \overline{A} \cdot B = (A + \overline{A}) \cdot (A + B) = 1 \cdot (A + B) = A + B 推导得出。
   • 简化定律2：A \cdot (\overline{A} + B) = A \cdot B 可以从 A \cdot (\overline{A} + B) = A \cdot \overline{A} + A \cdot B = 0 + A \cdot B = A \cdot B 推导得出。

8. 共识定律

   • 共识定律：(A + B) \cdot (\overline{A} + C) = (A + B) \cdot (\overline{A} + C) \cdot (B + C) 可以从 (A + B) \cdot (\overline{A} + C) = (A + B) \cdot (\overline{A} + C) \cdot (B + C) 推导得出，因为 $(A + B) \cdot (\overline{A} + C) \leq (B + C)$。

9. 反演定律

   • 反演定律：A = \overline{\overline{A}} 是逻辑变量的双重否定特性。

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二、基本门电路

1. 非门

Y = \overline{A}

2. 与门

Y = A \cdot B

真值表:

输入 A	输入 B	输出 Y
0	0	0
0	1	0
1	0	0
1	1	1

3. 或门

Y = A + B

真值表:

输入 A	输入 B	输出 Y
0	0	0
0	1	1
1	0	1
1	1	1

4. 与非门

与非门是“与门”和“非门”的结合。

Y = \overline{A \cdot B}

真值表:

输入 A	输入 B	输出 Y
0	0	1
0	1	1
1	0	1
1	1	0

5. 或非门

或非门是“或门”和“非门”的结合。

Y = \overline{A + B}

真值表:

输入 A	输入 B	输出 Y
0	0	1
0	1	0
1	0	0
1	1	0

6. 异或门

当两个输入不相同时，输出为高电平（1）；当两个输入相同时，输出为低电平（0）。这也被称为“半加器”的求和逻辑。

逻辑表达式:

Y = A \oplus B

真值表:

输入 A	输入 B	输出 Y
0	0	0
0	1	1
1	0	1
1	1	0

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三、编码

1. 原码、反码和补码

为了在二进制系统中表示正负数，我们通常会使用最高位作为符号位。

• 符号位为 0 代表正数。
• 符号位为 1 代表负数。

原码

• 规则: 符号位 + 数值的绝对值的二进制表示。
• 正数: 符号位为0，其余位表示数值。
  • 例如，+12 的原码是 00001100。
• 负数: 符号位为1，其余位表示数值。
  • 例如，-12 的原码是 10001100。
• 缺点:
  1. 零的表示不唯一：+0 是 00000000，-0 是 10000000。
  2. 进行加减法运算时，需要单独处理符号位，硬件实现复杂。

反码

反码的出现是为了简化减法运算。

• 规则:
  • 正数的反码与其原码相同。
  • 负数的反码是在其原码的基础上，符号位不变，其余各位按位取反。
• 示例:
  • +12 的原码是 00001100，其反码也是 00001100。
  • -12 的原码是 10001100，其反码是 11110011 (符号位1不变，后面7位 0001100 按位取反得到 1110011)。
• 缺点:
  • 仍然存在“双零”问题：+0 的反码是 00000000，-0 的反码是 11111111。
  • 跨零运算会产生循环进位问题。

补码

补码是现代计算机系统中最常用的有符号数表示法，它解决了原码和反码的缺点。

• 规则:
  • 正数的补码与其原码相同。
  • 负数的补码是其反码加 1。
• 求负数补码的方式:
  • 从其原码的最低位（最右边）向左找，找到的第一个 1 保持不变，这个 1 左边的所有位（不含符号位）按位取反，符号位仍为1。
• 示例:
  • +12 的补码是 00001100。
  • -12 的补码求法：
    1. 原码: 10001100
    2. 反码: 11110011
    3. 加 1: 11110011 + 1 = 11110100。
• 优点:
  1. 零的表示唯一: 00000000。
  2. 简化运算: 可以将减法运算转换为加法运算。例如，计算 A - B 等同于计算 A + (-B) 的补码。
  3. 对于一个 n 位的补码系统，其表示范围为 $[-2^{n-1}, 2^{n-1}-1]$。例如，8位补码的范围是 $[-128, 127]$。

总结表格 (以 ±12 为例)

值	原码	反码	补码
+12	00001100	00001100	00001100
-12	10001100	11110011	11110100

2. BCD 码

BCD码是用二进制来表示十进制数的一种编码方式。它与直接将十进制数转换为二进制数不同。

• 规则: 用 4 位二进制数来表示一位十进制数（0-9）。最常用的是 8421 BCD 码，其中各位的权值从高到低分别是 8、4、2、1。
• 特点:
  • 它介于二进制和十进制之间，便于人机交互（如数码管显示、计算器）。
  • 运算比纯二进制复杂，但比直接处理十进制字符简单。
  • 由于用4位二进制表示一位十进制数，所以 1010 到 1111 这 6 个码是无效或非法的。

BCD 码对照表

十进制	BCD 码
0	0000
1	0001
2	0010
3	0011
4	0100
5	0101
6	0110
7	0111
8	1000
9	1001

示例: 将十进制数 129 转换为 BCD 码。

1. 将每一位十进制数分开：1、2、9。
2. 将每一位分别转换为对应的4位BCD码：
   • 1 \rightarrow 0001
   • 2 \rightarrow 0010
   • 9 \rightarrow 1001
3. 将它们组合起来：

   
   (129)_{10} = (0001 \ 0010 \ 1001)_{\text{BCD}}
   

对比: 如果将 (129)₁₀ 直接转换为纯二进制，结果是 10000001。这与它的 BCD 码是完全不同的。

四、加法器、编码器、译码器、选择器、比较器

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五、触发器

1. RS 触发器

最基本的触发器，但存在一个不确定状态，在实际应用中较少直接使用。

• 输入: S (Set, 置位), R (Reset, 复位)
• 输出: Q (状态输出), \overline{Q} (反向输出)

功能表

这张表描述了在不同输入下，下一个状态 Q_{n+1} 是什么。

S	R	Q_{n+1}	功能
0	0	Q_n	保持
0	1	0	复位/置0
1	0	1	置位/置1
1	1	?	禁止/不定

特性方程

Q_{n+1} = S + \overline{R}Q_n \quad (\text{约束条件: } S \cdot R = 0)

激励表

这张表在电路设计时非常有用，它回答了“为了让状态从 Q_n 变为 $Q_{n+1}$，输入 S 和 R 应该是什么？”。（X表示Don't Care，即0或1均可）

Q_n	Q_{n+1}	S	R
0	0	0	X
0	1	1	0
1	0	0	1
1	1	X	0

2. JK 触发器

JK 触发器是 RS 触发器的改进版，它解决了 RS 触发器的“禁止”状态问题，是最通用的触发器。

• 输入: J (功能类似 S), K (功能类似 R)
• 输出: Q, \overline{Q}

功能表

J	K	Q_{n+1}	功能
0	0	Q_n	保持
0	1	0	复0
1	0	1	置1
1	1	\overline{Q_n}	**翻转 **

JK触发器将RS触发器的禁止状态（1,1输入）变成了一个非常有用的翻转功能。

特性方程

Q_{n+1} = J\overline{Q_n} + \overline{K}Q_n

激励表

Q_n	Q_{n+1}	J	K
0	0	0	X
0	1	1	X
1	0	X	1
1	1	X	0

3. D 触发器

D 触发器的功能非常直接：在时钟脉冲到来时，将输入 D 的值传递给输出 $Q$。它常被用作数据锁存器或移位寄存器的基本单元。

• 输入: D (Data)
• 输出: Q, \overline{Q}

功能表

D	Q_{n+1}	功能
0	0	置0
1	1	置1

无论当前状态 Q_n 是什么，下一个状态 Q_{n+1} 都等于时钟边沿到来时的 D 输入值。

**特性方程 **

Q_{n+1} = D

**激励表 **

Q_n	Q_{n+1}	D
0	0	0
0	1	1
1	0	0
1	1	1

4. T 触发器

T 触发器是一个翻转触发器。当输入 T=1 时，状态翻转；当 T=0 时，状态保持不变。它常用于构建计数器。

• 输入: T
• 输出: Q, \overline{Q}

功能表

T	Q_{n+1}	功能
0	Q_n	保持
1	\overline{Q_n}	翻转

特性方程

Q_{n+1} = T \oplus Q_n = T\overline{Q_n} + \overline{T}Q_n

激励表

Q_n	Q_{n+1}	T
0	0	0
0	1	1
1	0	1
1	1	0