## 一、逻辑代数定律和计算规则

| 定律/规则名称   | 表达式                                                                                 | 解释                  |
| --------- | ----------------------------------------------------------------------------------- | ------------------- |
| 恒等律       | $A + 0 = A$<br>$A \cdot 1 = A$                                                      | 任何变量与0相加或与1相乘等于自身   |
| 零律        | $A + 1 = 1$<br>$A \cdot 0 = 0$                                                      | 任何变量与1相加或与0相乘等于1或0  |
| 幂等律       | $A + A = A$<br>$A \cdot A = A$                                                      | 任何变量与自身相加或相乘等于自身    |
| 互补律       | $A + \overline{A} = 1$<br>$A \cdot \overline{A} = 0$                                | 任何变量与其补码相加等于1，相乘等于0 |
| **交换律**   |                                                                                     |                     |
| 加法交换律     | $A + B = B + A$                                                                     | 加法运算的交换律            |
| 乘法交换律     | $A \cdot B = B \cdot A$                                                             | 乘法运算的交换律            |
| **结合律**   |                                                                                     |                     |
| 加法结合律     | $(A + B) + C = A + (B + C)$                                                         | 加法运算的结合律            |
| 乘法结合律     | $(A \cdot B) \cdot C = A \cdot (B \cdot C)$                                         | 乘法运算的结合律            |
| **分配律**   |                                                                                     |                     |
| 乘法分配律     | $A \cdot (B + C) = A \cdot B + A \cdot C$                                           | 乘法对加法的分配律           |
| 加法分配律     | $A + (B \cdot C) = (A + B) \cdot (A + C)$                                           | 加法对乘法的分配律           |
| **吸收律**   |                                                                                     |                     |
| 吸收律1      | $A + A \cdot B = A$                                                                 | 吸收律的第一种形式           |
| 吸收律2      | $A \cdot (A + B) = A$                                                               | 吸收律的第二种形式           |
| **德摩根定律** |                                                                                     |                     |
| 德摩根定律1    | $\overline{A + B} = \overline{A} \cdot \overline{B}$                                | 逻辑加法的德摩根定律          |
| 德摩根定律2    | $\overline{A \cdot B} = \overline{A} + \overline{B}$                                | 逻辑乘法的德摩根定律          |
| **简化定律**  |                                                                                     |                     |
| 简化定律1     | $A + \overline{A} \cdot B = A + B$                                                  | 简化逻辑表达式             |
| 简化定律2     | $A \cdot (\overline{A} + B) = A \cdot B$                                            | 简化逻辑表达式             |
| **共识定律**  |                                                                                     |                     |
| 共识定律 (积之和形式) | $AB + \overline{A}C + BC = AB + \overline{A}C$ | 较难，常用于逻辑化简。项 `BC` 是 `AB` 和 `A`C 的共识项，是冗余的。 |
| 共识定律 (和之积形式) | $(A+B)(\overline{A}+C)(B+C) = (A+B)(\overline{A}+C)$ | 较难，常用于逻辑化简。项 `(B+C)` 是 `(A+B)` 和 `(A`+C) 的共识项，是冗余的。|
| **反演定律**  |                                                                                     |                     |
| 反演定律      | $A = \overline{\overline{A}}$                                                       | 变量的双重否定等于自身         |

### 推导过程

1. **基本定律**
   - **恒等律**：$A + 0 = A$ 和 $A \cdot 1 = A$ 是逻辑代数的基本定义。
   - **零律**：$A + 1 = 1$ 和 $A \cdot 0 = 0$ 也是逻辑代数的基本定义。
   - **幂等律**：$A + A = A$ 和 $A \cdot A = A$ 是因为逻辑加法和乘法运算的特性。
   - **互补律**：$A + \overline{A} = 1$ 和 $A \cdot \overline{A} = 0$ 是逻辑变量和其补码的定义。

2. **交换律**
   - **加法交换律**：$A + B = B + A$ 是逻辑加法的交换特性。
   - **乘法交换律**：$A \cdot B = B \cdot A$ 是逻辑乘法的交换特性。

3. **结合律**
   - **加法结合律**：$(A + B) + C = A + (B + C)$ 是逻辑加法的结合特性。
   - **乘法结合律**：$(A \cdot B) \cdot C = A \cdot (B \cdot C)$ 是逻辑乘法的结合特性。

4. **分配律**
   - **乘法分配律**：$A \cdot (B + C) = A \cdot B + A \cdot C$ 是逻辑乘法对加法的分配特性。
   - **加法分配律**：$A + (B \cdot C) = (A + B) \cdot (A + C)$ 是逻辑加法对乘法的分配特性。

5. **吸收律**
   - **吸收律1**：$A + A \cdot B = A$ 可以从 $A + A \cdot B = A \cdot (1 + B) = A \cdot 1 = A$ 推导得出。
   - **吸收律2**：$A \cdot (A + B) = A$ 可以从 $A \cdot (A + B) = A \cdot A + A \cdot B = A + A \cdot B = A$ 推导得出。

6. **德摩根定律**
   - **德摩根定律1**：$\overline{A + B} = \overline{A} \cdot \overline{B}$ 是逻辑加法的德摩根定律。
   - **德摩根定律2**：$\overline{A \cdot B} = \overline{A} + \overline{B}$ 是逻辑乘法的德摩根定律。

7. **简化定律**
   - **简化定律1**：$A + \overline{A} \cdot B = A + B$ 可以从 $A + \overline{A} \cdot B = (A + \overline{A}) \cdot (A + B) = 1 \cdot (A + B) = A + B$ 推导得出。
   - **简化定律2**：$A \cdot (\overline{A} + B) = A \cdot B$ 可以从 $A \cdot (\overline{A} + B) = A \cdot \overline{A} + A \cdot B = 0 + A \cdot B = A \cdot B$ 推导得出。

8. **共识定律**
   - **共识定律**：$(A + B) \cdot (\overline{A} + C) = (A + B) \cdot (\overline{A} + C) \cdot (B + C)$ 可以从 $(A + B) \cdot (\overline{A} + C) = (A + B) \cdot (\overline{A} + C) \cdot (B + C)$ 推导得出，因为 $(A + B) \cdot (\overline{A} + C) \leq (B + C)$。

9. **反演定律**
   - **反演定律**：$A = \overline{\overline{A}}$ 是逻辑变量的双重否定特性。

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## 二、基本门电路

### 1. 非门

$$
Y = \overline{A}
$$



### 2. 与门

$$
Y = A \cdot B
$$

**真值表:**  

| 输入 A | 输入 B | 输出 Y |   
| --- | --- | --- |
| 0   | 0   | 0   |  
| 0   | 1   | 0   |  
| 1   | 0   | 0   |  
| 1   | 1   | 1   |  



### 3. 或门

$$
Y = A + B
$$

**真值表:**    

| 输入 A | 输入 B | 输出 Y |  
| --- | --- | --- |
| 0   | 0   | 0   |  
| 0   | 1   | 1   |  
| 1   | 0   | 1   |  
| 1   | 1   | 1   |  



### 4. 与非门
与非门是“与门”和“非门”的结合。
$$
Y = \overline{A \cdot B}
$$

**真值表:**  

| 输入 A | 输入 B | 输出 Y |
|:---:|:---:|:---:|
| 0   | 0   | 1   |
| 0   | 1   | 1   |
| 1   | 0   | 1   |
| 1   | 1   | 0   |



### 5. 或非门
或非门是“或门”和“非门”的结合。
$$
Y = \overline{A + B}
$$

**真值表:**  

| 输入 A | 输入 B | 输出 Y |
|:---:|:---:|:---:|
| 0   | 0   | 1   |
| 0   | 1   | 0   |
| 1   | 0   | 0   |
| 1   | 1   | 0   |



### 6. 异或门
当两个输入不相同时，输出为高电平（1）；当两个输入相同时，输出为低电平（0）。这也被称为“半加器”的求和逻辑。

**逻辑表达式:**
$$
Y = A \oplus B
$$

**真值表:**

| 输入 A | 输入 B | 输出 Y |
|:---:|:---:|:---:|
| 0   | 0   | 0   |
| 0   | 1   | 1   |
| 1   | 0   | 1   |
| 1   | 1   | 0   |

---
## 三、编码

### 1. 原码、反码和补码
为了在二进制系统中表示正负数，我们通常会使用最高位作为**符号位**。
*   符号位为 **0** 代表**正数**。
*   符号位为 **1** 代表**负数**。



#### **原码**


*   **规则**: 符号位 + 数值的绝对值的二进制表示。
*   **正数**: 符号位为0，其余位表示数值。
    *   例如，$+12$ 的原码是 **00001100**。
*   **负数**: 符号位为1，其余位表示数值。
    *   例如，$-12$ 的原码是 **10001100**。
*   **缺点**:
    1.  零的表示不唯一：$+0$ 是 **00000000**，$-0$ 是 **10000000**。
    2.  进行加减法运算时，需要单独处理符号位，硬件实现复杂。

#### **反码**

反码的出现是为了简化减法运算。

*   **规则**:
    *   **正数**的反码与其原码**相同**。
    *   **负数**的反码是在其**原码**的基础上，**符号位不变**，其余各位**按位取反**。
*   **示例**:
    *   $+12$ 的原码是 `00001100`，其反码也是 **00001100**。
    *   $-12$ 的原码是 `10001100`，其反码是 **11110011** (符号位1不变，后面7位 `0001100` 按位取反得到 `1110011`)。
*   **缺点**:
    *   仍然存在“双零”问题：$+0$ 的反码是 **00000000**，$-0$ 的反码是 **11111111**。
    *   跨零运算会产生循环进位问题。

#### **补码**

补码是现代计算机系统中最常用的有符号数表示法，它解决了原码和反码的缺点。

*   **规则**:
    *   **正数**的补码与其原码**相同**。
    *   **负数**的补码是其**反码加 1**。
*   **求负数补码的方式**:   
	*   从其原码的**最低位（最右边）**向左找，找到的**第一个 1** 保持不变，这个 1 **左边**的所有位（不含符号位）按位取反，符号位仍为1。
*   **示例**:
    *   $+12$ 的补码是 **00001100**。
    *   $-12$ 的补码求法：
        1.  原码: `10001100`
        2.  反码: `11110011`
        3.  加 1: `11110011 + 1` = **11110100**。
*   **优点**:
    1.  **零的表示唯一**: **00000000**。
    2.  **简化运算**: 可以将减法运算转换为加法运算。例如，计算 $A - B$ 等同于计算 $A + (-B)$ 的补码。
    3.  对于一个 $n$ 位的补码系统，其表示范围为 $[-2^{n-1}, 2^{n-1}-1]$。例如，8位补码的范围是 $[-128, 127]$。

**总结表格 (以 ±12 为例)**

| 值 | 原码 | 反码 | 补码 |  
|:---:|:---:|:---:|:---:|
| +12 | 00001100 | 00001100 | 00001100 |
| -12 | 10001100 | 11110011 | 11110100 |



### 2. BCD 码

BCD码是用**二进制**来表示**十进制**数的一种编码方式。它与直接将十进制数转换为二进制数不同。

*   **规则**: 用 **4 位二进制数**来表示一位十进制数（0-9）。最常用的是 **8421 BCD 码**，其中各位的权值从高到低分别是 8、4、2、1。
*   **特点**:
    *   它介于二进制和十进制之间，便于人机交互（如数码管显示、计算器）。
    *   运算比纯二进制复杂，但比直接处理十进制字符简单。
    *   由于用4位二进制表示一位十进制数，所以 `1010` 到 `1111` 这 6 个码是无效或非法的。

**BCD 码对照表**

| 十进制 | BCD 码 |
|:---:|:---:|
| 0 | 0000 |
| 1 | 0001 |
| 2 | 0010 |
| 3 | 0011 |
| 4 | 0100 |
| 5 | 0101 |
| 6 | 0110 |
| 7 | 0111 |
| 8 | 1000 |
| 9 | 1001 |

**示例**:
将十进制数 **129** 转换为 BCD 码。

1.  将每一位十进制数分开：`1`、`2`、`9`。
2.  将每一位分别转换为对应的4位BCD码：
    *   $1 \rightarrow 0001$
    *   $2 \rightarrow 0010$
    *   $9 \rightarrow 1001$
3.  将它们组合起来：
    $$
    (129)_{10} = (0001 \ 0010 \ 1001)_{\text{BCD}}
    $$
**对比**: 如果将 (129)₁₀ 直接转换为纯二进制，结果是 **10000001**。这与它的 BCD 码是完全不同的。
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## 四、加法器、编码器、译码器、选择器、比较器
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## 五、触发器

### 1. RS 触发器

最基本的触发器，但存在一个不确定状态，在实际应用中较少直接使用。

*   **输入**: $S$ (Set, 置位), $R$ (Reset, 复位)
*   **输出**: $Q$ (状态输出), $\overline{Q}$ (反向输出)

#### **功能表**
这张表描述了在不同输入下，下一个状态 $Q_{n+1}$ 是什么。

| $S$ | $R$ | $Q_{n+1}$ | 功能 |
|:---:|:---:|:---:|:---|
| 0 | 0 | $Q_n$ | 保持 |
| 0 | 1 | 0 | 复位/置0 |
| 1 | 0 | 1 | 置位/置1|
| 1 | 1 | **?** | **禁止/不定** |

#### **特性方程**
$$
Q_{n+1} = S + \overline{R}Q_n \quad (\text{约束条件: } S \cdot R = 0)
$$

#### **激励表**
这张表在电路设计时非常有用，它回答了“为了让状态从 $Q_n$ 变为 $Q_{n+1}$，输入 $S$ 和 $R$ 应该是什么？”。（X表示Don't Care，即0或1均可）

| $Q_n$ | $Q_{n+1}$ | $S$ | $R$ |
|:---:|:---:|:---:|:---:|
| 0 | 0 | 0 | X |
| 0 | 1 | 1 | 0 |
| 1 | 0 | 0 | 1 |
| 1 | 1 | X | 0 |


### 2. JK 触发器

JK 触发器是 RS 触发器的改进版，它解决了 RS 触发器的“禁止”状态问题，是最通用的触发器。

*   **输入**: $J$ (功能类似 $S$), $K$ (功能类似 $R$)
*   **输出**: $Q$, $\overline{Q}$

#### **功能表**

| $J$ | $K$ | $Q_{n+1}$ | 功能 |
|:---:|:---:|:---:|:---|
| 0 | 0 | $Q_n$ | 保持 |
| 0 | 1 | 0 | 复0 |
| 1 | 0 | 1 | 置1  |
| 1 | 1 | $\overline{Q_n}$ | **翻转 ** |

*JK触发器将RS触发器的禁止状态（1,1输入）变成了一个非常有用的**翻转**功能。*

#### **特性方程**
$$
Q_{n+1} = J\overline{Q_n} + \overline{K}Q_n
$$

#### **激励表**

| $Q_n$ | $Q_{n+1}$ | $J$ | $K$ |
|:---:|:---:|:---:|:---:|
| 0 | 0 | 0 | X |
| 0 | 1 | 1 | X |
| 1 | 0 | X | 1 |
| 1 | 1 | X | 0 |


### 3. D 触发器
D 触发器的功能非常直接：在时钟脉冲到来时，将输入 $D$ 的值传递给输出 $Q$。它常被用作数据锁存器或移位寄存器的基本单元。

*   **输入**: $D$ (Data)
*   **输出**: $Q$, $\overline{Q}$

#### **功能表**

| $D$ | $Q_{n+1}$ | 功能 |
|:---:|:---:|:---|
| 0 | 0 | 置0  |
| 1 | 1 | 置1  |

*无论当前状态 $Q_n$ 是什么，下一个状态 $Q_{n+1}$ 都等于时钟边沿到来时的 $D$ 输入值。*

#### **特性方程 **
$$
Q_{n+1} = D
$$

#### **激励表 **

| $Q_n$ | $Q_{n+1}$ | $D$ |
|:---:|:---:|:---:|
| 0 | 0 | 0 |
| 0 | 1 | 1 |
| 1 | 0 | 0 |
| 1 | 1 | 1 |



### 4. T 触发器

T 触发器是一个翻转触发器。当输入 $T=1$ 时，状态翻转；当 $T=0$ 时，状态保持不变。它常用于构建计数器。

*   **输入**: $T$
*   **输出**: $Q$, $\overline{Q}$

#### **功能表**

| $T$ | $Q_{n+1}$ | 功能 |
|:---:|:---:|:---|
| 0 | $Q_n$ | 保持  |
| 1 | $\overline{Q_n}$ | 翻转 |

#### **特性方程**
$$
Q_{n+1} = T \oplus Q_n = T\overline{Q_n} + \overline{T}Q_n
$$

#### **激励表**

| $Q_n$ | $Q_{n+1}$ | $T$ |
|:---:|:---:|:---:|
| 0 | 0 | 0 |
| 0 | 1 | 1 |
| 1 | 0 | 1 |
| 1 | 1 | 0 |