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九、假设检验

1. 基本概念

原假设 $H_0$：需要检验的假设（通常是"无差异"、"等于"）

备择假设 $H_1$：与原假设对立的假设

两类错误：

错误类型	定义	概率
第一类错误（弃真）	H₀为真却拒绝H₀	α（显著性水平）
第二类错误（取伪）	H₀为假却接受H₀	β

显著性水平 α：犯第一类错误的概率上限，常取 0.05 或 0.01

检验的基本思想：小概率事件原理——小概率事件在一次试验中几乎不会发生

显著性检验：给定样本量n，控制第一类错误的概率不大于α（称为显著性水平）。

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2. 假设检验的步骤（五步法）

Step 1: 建立假设
        根据问题建立 H₀ 和 H₁

Step 2: 选择检验统计量
        根据问题类型和已知条件选择

Step 3: 确定拒绝域
        根据 α 和 H₁ 的形式确定临界值

Step 4: 计算统计量的值
        用样本数据计算检验统计量

Step 5: 做出判断
        统计量落入拒绝域 → 拒绝 H₀
        统计量不在拒绝域 → 不拒绝 H₀

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3. 单个正态总体的检验

(1) 均值μ的检验（σ²已知）—— Z检验

假设形式：

• 双侧：H_0: \mu = \mu_0 vs H_1: \mu \neq \mu_0
• 左侧：H_0: \mu \geq \mu_0 vs H_1: \mu < \mu_0
• 右侧：H_0: \mu \leq \mu_0 vs H_1: \mu > \mu_0

检验统计量：

Z = \frac{\bar{X} - \mu_0}{\sigma/\sqrt{n}} \sim N(0,1)

拒绝域：

备择假设	拒绝域
\mu \neq \mu_0	\|Z\| > z_{\alpha/2}
\mu < \mu_0	Z < -z_\alpha
\mu > \mu_0	Z > z_\alpha

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(2) 均值μ的检验（σ²未知）—— t检验

检验统计量：

t = \frac{\bar{X} - \mu_0}{S/\sqrt{n}} \sim t(n-1)

拒绝域：

备择假设	拒绝域
\mu \neq \mu_0	\|t\| > t_{\alpha/2}(n-1)
\mu < \mu_0	t < -t_\alpha(n-1)
\mu > \mu_0	t > t_\alpha(n-1)

均值检验分类速记（总体$X \sim N(\mu,\sigma^2)$）：

1. 双侧：$H_0:\mu=\mu_0$，拒绝域 $|U|>u_{\alpha/2}$（$\sigma^2$已知），或 $|T|>t_{\alpha/2}(n-1)$（$\sigma^2$未知）
2. 右侧：$H_0:\mu\le\mu_0$，拒绝域 U>u_{\alpha} 或 T>t_{\alpha}(n-1)
3. 左侧：$H_0:\mu\ge\mu_0$，拒绝域 U<-u_{\alpha} 或 T<-t_{\alpha}(n-1)

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(3) 方差σ²的检验（μ未知）—— χ²检验

假设：H_0: \sigma^2 = \sigma_0^2 vs H_1: \sigma^2 \neq \sigma_0^2

检验统计量：

\chi^2 = \frac{(n-1)S^2}{\sigma_0^2} \sim \chi^2(n-1)

拒绝域：

备择假设	拒绝域
\sigma^2 \neq \sigma_0^2	\chi^2 < \chi^2_{1-\alpha/2}(n-1) 或 \chi^2 > \chi^2_{\alpha/2}(n-1)
\sigma^2 < \sigma_0^2	\chi^2 < \chi^2_{1-\alpha}(n-1)
\sigma^2 > \sigma_0^2	\chi^2 > \chi^2_\alpha(n-1)

(4) 方差σ²的检验（μ已知/未知）—— χ²检验汇总

假设：

1. $H_0:\sigma^2=\sigma_0^2$，H_1:\sigma^2\neq\sigma_0^2
2. $H_0:\sigma^2\le\sigma_0^2$，H_1:\sigma^2>\sigma_0^2
3. $H_0:\sigma^2\ge\sigma_0^2$，H_1:\sigma^2<\sigma_0^2

检验统计量：

• μ已知：\chi^2=\frac{\sum_{i=1}^{n}(X_i-\mu)^2}{\sigma_0^2} \sim \chi^2(n)
• μ未知：\chi^2=\frac{(n-1)S^2}{\sigma_0^2} \sim \chi^2(n-1)

拒绝域：

• 双侧：\chi^2>\chi^2_{\alpha/2}(\nu) 或 \chi^2<\chi^2_{1-\alpha/2}(\nu)
• 右侧：\chi^2>\chi^2_{\alpha}(\nu)
• 左侧：\chi^2<\chi^2_{1-\alpha}(\nu) 其中$\nu=n$（μ已知）或$\nu=n-1$（μ未知）。

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4. 两个正态总体的检验

(1) 均值差的检验（σ₁², σ₂²已知）—— Z检验

检验统计量：

Z = \frac{\bar{X} - \bar{Y} - (\mu_1 - \mu_2)_0}{\sqrt{\frac{\sigma_1^2}{n_1} + \frac{\sigma_2^2}{n_2}}} \sim N(0,1)

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(2) 均值差的检验（σ₁² = σ₂² = σ²未知）—— t检验

检验统计量：

t = \frac{\bar{X} - \bar{Y} - (\mu_1 - \mu_2)_0}{S_w\sqrt{\frac{1}{n_1} + \frac{1}{n_2}}} \sim t(n_1+n_2-2)

其中 $S_w^2 = \frac{(n_1-1)S_1^2 + (n_2-1)S_2^2}{n_1+n_2-2}$（合并方差）

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(3) 方差比的检验 —— F检验

假设：H_0: \sigma_1^2 = \sigma_2^2 vs H_1: \sigma_1^2 \neq \sigma_2^2

检验统计量：

F = \frac{S_1^2}{S_2^2} \sim F(n_1-1, n_2-1)

拒绝域（双侧）：

F < F_{1-\alpha/2}(n_1-1, n_2-1) \quad 或 \quad F > F_{\alpha/2}(n_1-1, n_2-1)

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5. 检验方法选择指南

检验方法选择流程图：

检验什么？
│
├─ 均值μ
│   ├─ σ²已知 → Z检验
│   └─ σ²未知 → t检验
│
├─ 方差σ²
│   └─ μ未知 → χ²检验
│
└─ 两总体比较
    ├─ 比较μ₁和μ₂
    │   ├─ σ₁², σ₂²已知 → Z检验
    │   └─ σ₁² = σ₂²未知 → t检验
    │
    └─ 比较σ₁²和σ₂² → F检验

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6. 检验中的常见错误与注意事项

1. 假设的写法：

   • H₀ 通常包含等号
   • 题目问"是否显著大于"→ 右侧检验，H₁: μ > μ₀

2. 单侧 vs 双侧：

   • "是否等于"、"有无差异" → 双侧
   • "是否大于"、"是否提高" → 右侧
   • "是否小于"、"是否降低" → 左侧

3. 结论的表述：

   • 拒绝H₀：有充分理由认为...
   • 不拒绝H₀：没有充分理由认为...（不是"接受H₀"）

4. α的选择：

   • 没有特别说明通常取 α = 0.05
   • 若弃真错误后果严重，取较小的α（如0.01）