# 九、假设检验

## 1. 基本概念

**原假设 $H_0$**：需要检验的假设（通常是"无差异"、"等于"）

**备择假设 $H_1$**：与原假设对立的假设

**两类错误**：

| 错误类型 | 定义 | 概率 |
|----------|------|------|
| **第一类错误（弃真）** | H₀为真却拒绝H₀ | α（显著性水平） |
| **第二类错误（取伪）** | H₀为假却接受H₀ | β |

**显著性水平 α**：犯第一类错误的概率上限，常取 0.05 或 0.01

**检验的基本思想**：小概率事件原理——小概率事件在一次试验中几乎不会发生

**显著性检验**：给定样本量n，控制第一类错误的概率不大于α（称为显著性水平）。

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## 2. 假设检验的步骤（五步法）

```
Step 1: 建立假设
        根据问题建立 H₀ 和 H₁

Step 2: 选择检验统计量
        根据问题类型和已知条件选择

Step 3: 确定拒绝域
        根据 α 和 H₁ 的形式确定临界值

Step 4: 计算统计量的值
        用样本数据计算检验统计量

Step 5: 做出判断
        统计量落入拒绝域 → 拒绝 H₀
        统计量不在拒绝域 → 不拒绝 H₀
```

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## 3. 单个正态总体的检验

### (1) 均值μ的检验（σ²已知）—— Z检验

**假设形式**：
- 双侧：$H_0: \mu = \mu_0$ vs $H_1: \mu \neq \mu_0$
- 左侧：$H_0: \mu \geq \mu_0$ vs $H_1: \mu < \mu_0$
- 右侧：$H_0: \mu \leq \mu_0$ vs $H_1: \mu > \mu_0$

**检验统计量**：
$$Z = \frac{\bar{X} - \mu_0}{\sigma/\sqrt{n}} \sim N(0,1)$$

**拒绝域**：

| 备择假设 | 拒绝域 |
|----------|--------|
| $\mu \neq \mu_0$ | $\|Z\| > z_{\alpha/2}$ |
| $\mu < \mu_0$ | $Z < -z_\alpha$ |
| $\mu > \mu_0$ | $Z > z_\alpha$ |

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### (2) 均值μ的检验（σ²未知）—— t检验

**检验统计量**：
$$t = \frac{\bar{X} - \mu_0}{S/\sqrt{n}} \sim t(n-1)$$

**拒绝域**：

| 备择假设 | 拒绝域 |
|----------|--------|
| $\mu \neq \mu_0$ | $\|t\| > t_{\alpha/2}(n-1)$ |
| $\mu < \mu_0$ | $t < -t_\alpha(n-1)$ |
| $\mu > \mu_0$ | $t > t_\alpha(n-1)$ |

**均值检验分类速记**（总体$X \sim N(\mu,\sigma^2)$）：
1. 双侧：$H_0:\mu=\mu_0$，拒绝域 $|U|>u_{\alpha/2}$（$\sigma^2$已知），或 $|T|>t_{\alpha/2}(n-1)$（$\sigma^2$未知）
2. 右侧：$H_0:\mu\le\mu_0$，拒绝域 $U>u_{\alpha}$ 或 $T>t_{\alpha}(n-1)$
3. 左侧：$H_0:\mu\ge\mu_0$，拒绝域 $U<-u_{\alpha}$ 或 $T<-t_{\alpha}(n-1)$

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### (3) 方差σ²的检验（μ未知）—— χ²检验

**假设**：$H_0: \sigma^2 = \sigma_0^2$ vs $H_1: \sigma^2 \neq \sigma_0^2$

**检验统计量**：
$$\chi^2 = \frac{(n-1)S^2}{\sigma_0^2} \sim \chi^2(n-1)$$

**拒绝域**：

| 备择假设 | 拒绝域 |
|----------|--------|
| $\sigma^2 \neq \sigma_0^2$ | $\chi^2 < \chi^2_{1-\alpha/2}(n-1)$ 或 $\chi^2 > \chi^2_{\alpha/2}(n-1)$ |
| $\sigma^2 < \sigma_0^2$ | $\chi^2 < \chi^2_{1-\alpha}(n-1)$ |
| $\sigma^2 > \sigma_0^2$ | $\chi^2 > \chi^2_\alpha(n-1)$ |

### (4) 方差σ²的检验（μ已知/未知）—— χ²检验汇总

**假设**：
1. $H_0:\sigma^2=\sigma_0^2$，$H_1:\sigma^2\neq\sigma_0^2$
2. $H_0:\sigma^2\le\sigma_0^2$，$H_1:\sigma^2>\sigma_0^2$
3. $H_0:\sigma^2\ge\sigma_0^2$，$H_1:\sigma^2<\sigma_0^2$

**检验统计量**：
- μ已知：$\chi^2=\frac{\sum_{i=1}^{n}(X_i-\mu)^2}{\sigma_0^2} \sim \chi^2(n)$
- μ未知：$\chi^2=\frac{(n-1)S^2}{\sigma_0^2} \sim \chi^2(n-1)$

**拒绝域**：
- 双侧：$\chi^2>\chi^2_{\alpha/2}(\nu)$ 或 $\chi^2<\chi^2_{1-\alpha/2}(\nu)$
- 右侧：$\chi^2>\chi^2_{\alpha}(\nu)$
- 左侧：$\chi^2<\chi^2_{1-\alpha}(\nu)$
其中$\nu=n$（μ已知）或$\nu=n-1$（μ未知）。

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## 4. 两个正态总体的检验

### (1) 均值差的检验（σ₁², σ₂²已知）—— Z检验

**检验统计量**：
$$Z = \frac{\bar{X} - \bar{Y} - (\mu_1 - \mu_2)_0}{\sqrt{\frac{\sigma_1^2}{n_1} + \frac{\sigma_2^2}{n_2}}} \sim N(0,1)$$

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### (2) 均值差的检验（σ₁² = σ₂² = σ²未知）—— t检验

**检验统计量**：
$$t = \frac{\bar{X} - \bar{Y} - (\mu_1 - \mu_2)_0}{S_w\sqrt{\frac{1}{n_1} + \frac{1}{n_2}}} \sim t(n_1+n_2-2)$$

其中 $S_w^2 = \frac{(n_1-1)S_1^2 + (n_2-1)S_2^2}{n_1+n_2-2}$（合并方差）

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### (3) 方差比的检验 —— F检验

**假设**：$H_0: \sigma_1^2 = \sigma_2^2$ vs $H_1: \sigma_1^2 \neq \sigma_2^2$

**检验统计量**：
$$F = \frac{S_1^2}{S_2^2} \sim F(n_1-1, n_2-1)$$

**拒绝域**（双侧）：
$$F < F_{1-\alpha/2}(n_1-1, n_2-1) \quad 或 \quad F > F_{\alpha/2}(n_1-1, n_2-1)$$

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## 5. 检验方法选择指南

```
检验方法选择流程图：

检验什么？
│
├─ 均值μ
│   ├─ σ²已知 → Z检验
│   └─ σ²未知 → t检验
│
├─ 方差σ²
│   └─ μ未知 → χ²检验
│
└─ 两总体比较
    ├─ 比较μ₁和μ₂
    │   ├─ σ₁², σ₂²已知 → Z检验
    │   └─ σ₁² = σ₂²未知 → t检验
    │
    └─ 比较σ₁²和σ₂² → F检验
```

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## 6. 检验中的常见错误与注意事项

1. **假设的写法**：
   - H₀ 通常包含等号
   - 题目问"是否显著大于"→ 右侧检验，H₁: μ > μ₀

2. **单侧 vs 双侧**：
   - "是否等于"、"有无差异" → 双侧
   - "是否大于"、"是否提高" → 右侧
   - "是否小于"、"是否降低" → 左侧

3. **结论的表述**：
   - 拒绝H₀：有充分理由认为...
   - 不拒绝H₀：没有充分理由认为...（不是"接受H₀"）

4. **α的选择**：
   - 没有特别说明通常取 α = 0.05
   - 若弃真错误后果严重，取较小的α（如0.01）