七、抽样分布

设 X_1, X_2, ..., X_n 是来自总体的简单随机样本

样本均值：\bar{X} = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}X_i

样本方差：S^2 = \frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^{n}(X_i - \bar{X})^2

样本标准差：S = \sqrt{S^2}

常用结论（设总体$E(X)=\mu$，$D(X)=\sigma^2$）：

$E(X_i) = \mu$，D(X_i) = \sigma^2
$E(\bar{X}) = \mu$，D(\bar{X}) = \frac{\sigma^2}{n}
$E\left(\sum_{i=1}^{n}X_i\right) = n\mu$，D\left(\sum_{i=1}^{n}X_i\right) = n\sigma^2
E(S^2) = \sigma^2

0. 中心极限定理

设$X_1, X_2, ..., X_n$独立同分布，且$E(X_i)=\mu$，$D(X_i)=\sigma^2$，则当n充分大时，

\sum_{i=1}^{n}X_i \approx N(n\mu, n\sigma^2), \quad \bar{X} \approx N\left(\mu, \frac{\sigma^2}{n}\right)

二项分布特例：若$X \sim B(n,p)$且n充分大，则X \approx N(np, np(1-p))

1. χ²分布 (卡方分布)

定义：设 X_1, X_2, ..., X_n 独立同分布于 N(0,1)，则

\chi^2 = \sum_{i=1}^{n}X_i^2 \sim \chi^2(n)

期望与方差：

E(\chi^2) = n
D(\chi^2) = 2n

可加性：$\chi_1^2(n_1) + \chi_2^2(n_2) \sim \chi^2(n_1+n_2)$（独立时）

重要定理：设总体 X \sim N(\mu, \sigma^2)

\frac{(n-1)S^2}{\sigma^2} = \frac{\sum_{i=1}^{n}(X_i-\bar{X})^2}{\sigma^2} \sim \chi^2(n-1)

2. t分布（学生t分布）

定义：设 $X \sim N(0,1)$，$Y \sim \chi^2(n)$，X与Y独立，则

t = \frac{X}{\sqrt{Y/n}} \sim t(n)

性质：

关于0对称
n→∞ 时趋近于 N(0,1)
比正态分布"矮胖"（尾部更厚）

重要定理：设总体 X \sim N(\mu, \sigma^2)

\frac{\bar{X} - \mu}{S/\sqrt{n}} \sim t(n-1)

应用：总体方差未知时，对均值的推断

3. F分布

定义：设 $X \sim \chi^2(n_1)$，$Y \sim \chi^2(n_2)$，X与Y独立，则

F = \frac{X/n_1}{Y/n_2} \sim F(n_1, n_2)

性质：

\frac{1}{F(n_1,n_2)} \sim F(n_2, n_1)
F_{1-\alpha}(n_1, n_2) = \frac{1}{F_\alpha(n_2, n_1)}

重要定理：设两个正态总体 $X \sim N(\mu_1, \sigma_1^2)$，Y \sim N(\mu_2, \sigma_2^2)

\frac{S_1^2/\sigma_1^2}{S_2^2/\sigma_2^2} \sim F(n_1-1, n_2-1)

应用：两总体方差比的推断

4. 正态总体的抽样分布总结

设 $X \sim N(\mu, \sigma^2)$，X_1, ..., X_n 为样本

条件	统计量	分布
σ²已知	`\frac{\bar{X}-\mu}{\sigma/\sqrt{n}}`	N(0,1)
σ²未知	`\frac{\bar{X}-\mu}{S/\sqrt{n}}`	t(n-1)
μ已知	`\frac{\sum(X_i-\mu)^2}{\sigma^2}`	χ²(n)
μ未知	`\frac{(n-1)S^2}{\sigma^2}`	χ²(n-1)

5. 重点：单正态抽样分布（整体背熟）

设 X_1, X_2, \ldots, X_n 来自正态总体 $X \sim N(\mu, \sigma^2)$，则

\bar{X} \sim N\left(\mu, \frac{\sigma^2}{n}\right)
\bar{X} 与 S^2 相互独立
\frac{(n-1)S^2}{\sigma^2} = \frac{\sum_{i=1}^{n}(X_i-\bar{X})^2}{\sigma^2} \sim \chi^2(n-1)
\frac{\sum_{i=1}^{n}(X_i-\mu)^2}{\sigma^2} \sim \chi^2(n)
\frac{\bar{X}-\mu}{S/\sqrt{n}} \sim t(n-1)

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