# 七、抽样分布

设 $X_1, X_2, ..., X_n$ 是来自总体的简单随机样本

**样本均值**：$\bar{X} = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}X_i$

**样本方差**：$S^2 = \frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^{n}(X_i - \bar{X})^2$

**样本标准差**：$S = \sqrt{S^2}$

**常用结论**（设总体$E(X)=\mu$，$D(X)=\sigma^2$）：
1. $E(X_i) = \mu$，$D(X_i) = \sigma^2$
2. $E(\bar{X}) = \mu$，$D(\bar{X}) = \frac{\sigma^2}{n}$
3. $E\left(\sum_{i=1}^{n}X_i\right) = n\mu$，$D\left(\sum_{i=1}^{n}X_i\right) = n\sigma^2$
4. $E(S^2) = \sigma^2$

---

## 0. 中心极限定理

设$X_1, X_2, ..., X_n$独立同分布，且$E(X_i)=\mu$，$D(X_i)=\sigma^2$，则当n充分大时，
$$\sum_{i=1}^{n}X_i \approx N(n\mu, n\sigma^2), \quad \bar{X} \approx N\left(\mu, \frac{\sigma^2}{n}\right)$$

**二项分布特例**：若$X \sim B(n,p)$且n充分大，则$X \approx N(np, np(1-p))$

---

## 1. χ²分布 (卡方分布)

**定义**：设 $X_1, X_2, ..., X_n$ 独立同分布于 N(0,1)，则
$$\chi^2 = \sum_{i=1}^{n}X_i^2 \sim \chi^2(n)$$

**期望与方差**：
- $E(\chi^2) = n$
- $D(\chi^2) = 2n$

**可加性**：$\chi_1^2(n_1) + \chi_2^2(n_2) \sim \chi^2(n_1+n_2)$（独立时）

**重要定理**：设总体 $X \sim N(\mu, \sigma^2)$
$$\frac{(n-1)S^2}{\sigma^2} = \frac{\sum_{i=1}^{n}(X_i-\bar{X})^2}{\sigma^2} \sim \chi^2(n-1)$$

---

## 2. t分布（学生t分布）

**定义**：设 $X \sim N(0,1)$，$Y \sim \chi^2(n)$，X与Y独立，则
$$t = \frac{X}{\sqrt{Y/n}} \sim t(n)$$

**性质**：
- 关于0对称
- n→∞ 时趋近于 N(0,1)
- 比正态分布"矮胖"（尾部更厚）

**重要定理**：设总体 $X \sim N(\mu, \sigma^2)$
$$\frac{\bar{X} - \mu}{S/\sqrt{n}} \sim t(n-1)$$

**应用**：总体方差未知时，对均值的推断

---

## 3. F分布

**定义**：设 $X \sim \chi^2(n_1)$，$Y \sim \chi^2(n_2)$，X与Y独立，则
$$F = \frac{X/n_1}{Y/n_2} \sim F(n_1, n_2)$$

**性质**：
- $\frac{1}{F(n_1,n_2)} \sim F(n_2, n_1)$
- $F_{1-\alpha}(n_1, n_2) = \frac{1}{F_\alpha(n_2, n_1)}$

**重要定理**：设两个正态总体 $X \sim N(\mu_1, \sigma_1^2)$，$Y \sim N(\mu_2, \sigma_2^2)$
$$\frac{S_1^2/\sigma_1^2}{S_2^2/\sigma_2^2} \sim F(n_1-1, n_2-1)$$

**应用**：两总体方差比的推断

---

## 4. 正态总体的抽样分布总结

设 $X \sim N(\mu, \sigma^2)$，$X_1, ..., X_n$ 为样本

| 条件 | 统计量 | 分布 |
|------|--------|------|
| σ²已知 | $\frac{\bar{X}-\mu}{\sigma/\sqrt{n}}$ | N(0,1) |
| σ²未知 | $\frac{\bar{X}-\mu}{S/\sqrt{n}}$ | t(n-1) |
| μ已知 | $\frac{\sum(X_i-\mu)^2}{\sigma^2}$ | χ²(n) |
| μ未知 | $\frac{(n-1)S^2}{\sigma^2}$ | χ²(n-1) |

---

## 5. **重点：单正态抽样分布（整体背熟）**

设 $X_1, X_2, \ldots, X_n$ 来自正态总体 $X \sim N(\mu, \sigma^2)$，则
1. $\bar{X} \sim N\left(\mu, \frac{\sigma^2}{n}\right)$
2. $\bar{X}$ 与 $S^2$ 相互独立
3. $\frac{(n-1)S^2}{\sigma^2} = \frac{\sum_{i=1}^{n}(X_i-\bar{X})^2}{\sigma^2} \sim \chi^2(n-1)$
4. $\frac{\sum_{i=1}^{n}(X_i-\mu)^2}{\sigma^2} \sim \chi^2(n)$
5. $\frac{\bar{X}-\mu}{S/\sqrt{n}} \sim t(n-1)$