第四章：图论

4.1 图的基本概念

图 $G=(V, E)$：V 为顶点集，E 为边集。
度 (Degree)：\deg(v) 为关联的边数 (自环算 2 度)。
- 握手定理：$\sum_{v \in V} \deg(v) = 2|E|$。
- 推论：奇度顶点的个数必为偶数。
子图：$V' \subseteq V, E' \subseteq E$。
补图：$\bar{G}$，顶点相同，边互补 (完全图 K_n 减去原图的边)。

路径 (Path)：$v_0, e_1, v_1, \dots, v_k$。
简单路径：不经过重复边。
基本路径 (Elementary Path)：不经过重复顶点。
连通图：任意两点间均有路径。
割点 (Cut Vertex)：删去该点及关联边，图分量增加。
割边 (Bridge)：删去该边，图分量增加。
连通度：
- 点连通度 $\kappa(G)$：使图不连通所需删除的最少顶点数。
- 边连通度 $\lambda(G)$：使图不连通所需删除的最少边数。
- 不等式关系：\kappa(G) \le \lambda(G) \le \delta(G) (最小度)。

邻接矩阵 $A(G)$：n \times n 矩阵，a_{ij} 表示 v_i, v_j 间的边数。
- 性质：A^k 的元素 a_{ij}^{(k)} 表示从 v_i 到 v_j 长度为 k 的路径条数。
关联矩阵 $M(G)$：顶点与边的关系。

判断 G_1 \cong G_2 的必要条件 (若不满足则必不同构)：

定义：连通且无回路的无向图。
等价性质：
1. 无回路且 $E = V - 1$。
2. 连通且 $E = V - 1$。
3. 任意两点间存在唯一路径。
度数和：$\sum_{v \in V} \deg(v) = 2E = 2(V-1)$。
叶子与内部点关系：设 L 为叶子数，则 $L = 2 + \sum_{\deg(v)\ge 2}(\deg(v) - 2)$。
树中心 (Center)：
- 反复删除所有叶子，最终剩下 1 个或 2 个顶点，这些顶点即中心。
- 等价表述：中心是到其他顶点最大距离最小的顶点(们)。
二叉树常用关系：
- 满二叉树：若内部结点数为 $I$，叶子数为 $L$，则 $L = I + 1$。
- 完全二叉树：n 个结点时高度 $h = \lfloor \log_2 n \rfloor + 1$。
最小生成树 (MST) 算法：
- Kruskal (加边法)：按权值排序，从小到大选边，不构成回路就加入。
- Prim (加点法)：从任意点开始，每次选离当前生成树集合最近的点加入。

欧拉公式：V - E + R = 2 (R 为面数，包含无限面)。
定理：连通简单平面图 (V \ge 3) 满足 $E \le 3V - 6$。
- 证明要点：每个面至少 3 条边，故 $3R \le 2E$，与欧拉公式联立得 $E \le 3V - 6$。
性质：简单平面图 (V \ge 3) 满足 $E \le 3V - 6$。
- 重要证明：存在度数 \le 5 的顶点
  - 假设所有顶点度数 $\deg(v) \ge 6$。
  - 由握手定理：$2E = \sum \deg(v) \ge 6V \Rightarrow E \ge 3V$。
  - 这与平面图性质 E \le 3V - 6 矛盾。
  - 故必然存在 \deg(v) \le 5 的顶点。
- 推论：K_5 (E=10, 3V-6=9) 不是平面图。
- 推论：K_{3,3} (E=9, 3V-6=12, 但它是二分图无三角形，需用 E \le 2V-4, 9 \not\le 8) 不是平面图。
常用等价与应用：
- 连通简单平面图：$E \le 3V - 6 \iff V \ge (E+6)/3$。
- 平均度：$\overline{d} = 2E/V < 6$，因此必存在度 \le 5 的顶点。
- 判否：若某简单图满足 $E > 3V - 6$，则必非平面图。
- 若无三角形 (如二分图)，改用 $E \le 2V - 4$。
库拉图斯基定理 (Kuratowski)：图是平面图 \iff 不含同胚于 K_5 或 K_{3,3} 的子图。

定义：顶点集可划分为 $X, Y$，且所有边都在 X 与 Y 之间。
判定：图是二分图 \iff 图中没有奇数长度的回路。
完全二分图：$K_{m,n}$，$|X|=m, |Y|=n$，边数 $E = mn$。
度数与边数：$\sum_{x \in X}\deg(x)=\sum_{y \in Y}\deg(y)=|E|$。
平面图推论：连通简单二分平面图 (V \ge 3) 满足 $E \le 2V - 4$。
二染色判定 (BFS/DFS)：
1. 对每个连通分量，任选起点染色为 0。
2. 进行 BFS/DFS，对每条边 (u,v) 要求 $color[u] \ne color[v]$。
3. 若遇到冲突 (已染且相同) 则非二分图；无冲突则是二分图。
匹配：Hall 定理 (相异代表系)。

适用于非负权图。

初始化：S=\{start\}, dist[start]=0, 其他无穷大。
循环：
- 在 V-S 中找 dist 最小的点 $u$。
- 加入 $S$。
- 松弛 (Relax) u 的所有邻居 $v$：若 $dist[u] + w(u,v) < dist[v]$，则更新。

点色数 $\chi(G)$：相邻顶点不同色所需的最少颜色数。
布鲁克定理 (Brooks)：若 G 不是奇环也不是完全图，则 \chi(G) \le \Delta(G) (最大度)。
平面图四色定理：平面图 $\chi(G) \le 4$。
色多项式 $P_k(G)$：用 k 种颜色染色的方案数。
- 递推公式：P_k(G) = P_k(G-e) - P_k(G \cdot e)
  - $G-e$：删边。
  - $G \cdot e$：收缩边 (合并端点)。

常考题型：给定一组权值，构造哈夫曼树并计算带权路径长度 (WPL)。

算法步骤：
- 初始化：将所有权值看作独立的单节点树森林 $F = {T_1, T_2, \dots}$。
- 循环：
  1. 在 F 中选出根节点权值最小的两棵树 $T_1, T_2$。
  2. 构造新树：根权值为 $W(T_1) + W(T_2)$，左右子树分别为 $T_1, T_2$。
  3. 从 F 中删除 $T_1, T_2$，加入新树。
  4. 重复直到 F 中只剩一棵树。
带权路径长度 (WPL)：
- WPL = \sum_{i=1}^n w_i \times l_i
- $w_i$：第 i 个叶子的权值。
- $l_i$：第 i 个叶子到根的路径长度（边数）。
- 简便算法：WPL = 所有非叶子节点的权值之和。