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第一章：数理逻辑

1.1 命题逻辑

1.1.1 核心概念深度解析

• 命题：必须是陈述句且具有唯一真值。
  • 易错点：悖论（如"我正在说谎"）不是命题；含有未定变量的句子（如"$x+1=2$"）是谓词而非命题。
• 原子命题与复合命题：
  • 原子命题：不能再分解的命题。
  • 复合命题：通过联结词组合而成。

1.1.2 联结词与真值表 (详细版)

联结词	符号	英文	优先级	逻辑详解	常见语言表达
否定	\neg	NOT	1	真变假，假变真	"并不是..."
合取	\land	AND	2	仅当两者全真时为真	"且", "虽然...但是...", "既...又..."
析取	\lor	OR	3	仅当两者全假时为假	"或" (包含性或)
蕴涵	\to	IMPLIES	4	前真后假时为假，其余全真	"若...则...", "只要...就...", "只有...才..."
双蕴涵	\leftrightarrow	IFF	5	同真同假时为真	"当且仅当", "充分必要条件"

重点难点：蕴涵关系 (P \to Q) 的翻译

• 充分条件："只要 P 就 $Q$" \Rightarrow P \to Q
• 必要条件："只有 Q 才 $P$" \Rightarrow P \to Q (注意：P 是 Q 的充分条件，或者理解为 \neg Q \to \neg P)
• 除非："除非 P 否则 $Q$" \Rightarrow \neg P \to Q (即 P \lor Q)

1.1.3 命题公式的分类 (Classifications)

常考题型：判断给定公式属于哪一类。

1. 永真式 (重言式, Tautology)：
   • 在所有真值赋值下，结果均为真 (1)。
   • 例：P \lor \neg P
2. 矛盾式 (永假式, Contradiction)：
   • 在所有真值赋值下，结果均为假 (0)。
   • 例：P \land \neg P
3. 可满足式 (Contingency)：
   • 不是矛盾式的公式（即至少有一种赋值为真）。
   • 注意：永真式也是可满足式的一种，但通常指"既非永真也非永假"的公式。

1.1.4 逻辑等值式 (Laws of Logic)

核心：用于化简命题公式。

1. 双重否定律：\neg\neg P \Leftrightarrow P
2. 幂等律：P \lor P \Leftrightarrow P, P \land P \Leftrightarrow P
3. 交换律：P \lor Q \Leftrightarrow Q \lor P, P \land Q \Leftrightarrow Q \land P
4. 结合律：(P \lor Q) \lor R \Leftrightarrow P \lor (Q \lor R)
5. 分配律 (非常重要)：
   • P \lor (Q \land R) \Leftrightarrow (P \lor Q) \land (P \lor R) (析取对合取的分配)
   • P \land (Q \lor R) \Leftrightarrow (P \land Q) \lor (P \land R) (合取对析取的分配)
6. 德·摩根律 (De Morgan's Laws) (变号变词)：
   • \neg(P \lor Q) \Leftrightarrow \neg P \land \neg Q
   • \neg(P \land Q) \Leftrightarrow \neg P \lor \neg Q
7. 吸收律 (合并同类项)：
   • P \lor (P \land Q) \Leftrightarrow P
   • P \land (P \lor Q) \Leftrightarrow P
8. 蕴含等值式：P \to Q \Leftrightarrow \neg P \lor Q (去箭头核心公式)
9. 等价等值式：P \leftrightarrow Q \Leftrightarrow (P \to Q) \land (Q \to P)
10. 假言易位 (逆否命题)：P \to Q \Leftrightarrow \neg Q \to \neg P
11. 归谬律：(P \to Q) \land (P \to \neg Q) \Leftrightarrow \neg P

1.1.4 范式 (Normal Forms)

析取范式 (DNF) 与 合取范式 (CNF)

• 定义：
  • DNF：简单合取式的析取 (\sum)。例如：(P \land Q) \lor (\neg P \land R)
  • CNF：简单析取式的合取 (\prod)。例如：(P \lor Q) \land (\neg P \lor R)
• 主范式 (Principal NF)：
  • 极小项 (m_i)：包含所有变量的合取项，编码对应真值表中的行号。
  • 极大项 (M_i)：包含所有变量的析取项。
  • 转换方法：
    1. 真值表法：
       • 主析取范式：取真值表中结果为 T 的行对应的极小项之和。
       • 主合取范式：取真值表中结果为 F 的行对应的极大项之积。
    2. 等值演算法：利用双重否定、德摩根、分配律展开。

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1.2 谓词逻辑 (Predicate Logic)

1.2.1 基本要素

• 个体词：常量 (a, b) 和 变量 (x, y)。
• 谓词：$P(x_1, \dots, x_n)$，表示个体之间的性质或关系。
• 量词：
  • 全称量词 \forall (For all)
  • 存在量词 \exists (Exists)
• 论域 (Universe)：个体变元的取值范围。若未指定，通常指全总个体域。

1.2.2 翻译技巧 (易错)

1. "所有的 S 都是 P"：
   • 正确：\forall x (S(x) \to P(x))
   • 错误：\forall x (S(x) \land P(x)) (这意味着宇宙中万物既是S也是P)
2. "有的 S 是 P"：
   • 正确：\exists x (S(x) \land P(x))
   • 错误：\exists x (S(x) \to P(x)) (这通常是恒真的，没有意义)

1.2.3 谓词逻辑等值式

1. 量词否定律：
   • \neg \forall x P(x) \Leftrightarrow \exists x \neg P(x) (改变量词，否定谓词)
   • \neg \exists x P(x) \Leftrightarrow \forall x \neg P(x)
2. 量词辖域扩展 (设 Q 不含 x)：
   • \forall x (P(x) \lor Q) \Leftrightarrow (\forall x P(x)) \lor Q
   • \exists x (P(x) \land Q) \Leftrightarrow (\exists x P(x)) \land Q
3. 量词分配律：
   • \forall x (P(x) \land Q(x)) \Leftrightarrow \forall x P(x) \land \forall x Q(x) (全称对合取可分配)
   • \exists x (P(x) \lor Q(x)) \Leftrightarrow \exists x P(x) \lor \exists x Q(x) (存在对析取可分配)
   • 注意：\forall 对 \lor 不可分配，\exists 对 \land 不可分配！

1.2.4 前束范式 (Prenex Normal Form)

形式：Q_1 x_1 Q_2 x_2 \dots Q_k x_k M

• 所有量词都在最左边。
• M 是不含量词的基式。

化简步骤：

1. 消去蕴涵：利用 $A \to B \Leftrightarrow \neg A \lor B$。
2. 否定内移：利用德摩根律和量词否定律，将 \neg 移到原子公式前。
3. 变元改名：确保不同量词使用不同的变量名 (如 \forall x P(x) \lor \exists x Q(x) 改为 \forall x P(x) \lor \exists y Q(y))。
4. 量词左提：利用量词辖域扩展规则将量词提到最前面。

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1.3 推理理论 (Inference Theory)

1.3.1 常用推理规则

1. 假言推理 (Modus Ponens): P, P \to Q \Rightarrow Q
2. 拒取式 (Modus Tollens): \neg Q, P \to Q \Rightarrow \neg P
3. 析取三段论: P \lor Q, \neg P \Rightarrow Q
4. 假言三段论: P \to Q, Q \to R \Rightarrow P \to R
5. 化简律: P \land Q \Rightarrow P
6. 附加律: P \Rightarrow P \lor Q

1.3.2 谓词推理规则

1. 全称特指 (US): \forall x P(x) \Rightarrow P(c) (任意 \to 个体)
2. 全称推广 (UG): P(x) \Rightarrow \forall x P(x) (任意个体 \to 任意) 注意限制条件
3. 存在特指 (ES): \exists x P(x) \Rightarrow P(c) (存在 \to 特指常量 c) 注意 c 必须是新引入的
4. 存在推广 (EG): P(c) \Rightarrow \exists x P(x) (个体 \to 存在)

1.3.3 证明方法

1. 直接证明法：从前提及其逻辑推论出发，推导出结论。
2. 附加前提证明法 (CP规则)：
   • 若要证 $A \to B$，可将 A 作为附加前提加入前提集，只需证出 B 即可。
3. 反证法 (归谬法)：
   • 将结论的否定 \neg C 加入前提集，推导出矛盾 (F)。