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title: 高等代数笔记
date: 2025-01-20 14:30:00
descriptionHTML: '<span style="color:var(--description-font-color);">纯情男大自用线性代数笔记</span>'
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- 数学
- 笔记
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# 高等代数笔记
## 下载
#### 第一章：线性方程组
- **Markdown源码**：[高等代数第一章.md](https://github.com/handsomezhuzhu//Linear-Algebra-note/raw/main/高等代数笔记/高等代数第一章.md)
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#### 第二章：矩阵
- **Markdown源码**：[高等代数第二章.md](https://github.com/handsomezhuzhu//Linear-Algebra-note/raw/main/高等代数笔记/高等代数第二章.md)
- **PDF版本**：[高等代数第二章.pdf](https://github.com/handsomezhuzhu//Linear-Algebra-note/raw/main/高等代数笔记/高等代数第二章.pdf)
#### 第三章：向量空间
- **Markdown源码**：[高等代数第三章.md](https://github.com/handsomezhuzhu//Linear-Algebra-note/raw/main/高等代数笔记/高等代数第三章.md)
- **PDF版本**：[高等代数第三章.pdf](https://github.com/handsomezhuzhu//Linear-Algebra-note/raw/main/高等代数笔记/高等代数第三章.pdf)
#### 第四章：线性变换
- **Markdown源码**：[高等代数第四章.md](https://github.com/handsomezhuzhu//Linear-Algebra-note/raw/main/高等代数笔记/高等代数第四章.md)
- **PDF版本**：[高等代数第四章.pdf](https://github.com/handsomezhuzhu//Linear-Algebra-note/raw/main/高等代数笔记/高等代数第四章.pdf)
#### 第五章：多项式
- **Markdown源码**：[高等代数第五章.md](https://github.com/handsomezhuzhu//Linear-Algebra-note/raw/main/高等代数笔记/高等代数第五章.md)
- **PDF版本**：[高等代数第五章.pdf](https://github.com/handsomezhuzhu//Linear-Algebra-note/raw/main/高等代数笔记/高等代数第五章.pdf)
#### 第六章：矩阵的标准形
- **Markdown源码**：[高等代数第六章.md](https://github.com/handsomezhuzhu//Linear-Algebra-note/raw/main/高等代数笔记/高等代数第六章.md)
- **PDF版本**：[高等代数第六章.pdf](https://github.com/handsomezhuzhu//Linear-Algebra-note/raw/main/高等代数笔记/高等代数第六章.pdf)
#### 第七章：二次型
- **Markdown源码**：[高等代数第七章.md](https://github.com/handsomezhuzhu//Linear-Algebra-note/raw/main/高等代数笔记/高等代数第七章.md)
- **PDF版本**：[高等代数第七章.pdf](https://github.com/handsomezhuzhu//Linear-Algebra-note/raw/main/高等代数笔记/高等代数第七章.pdf)
## 第一章
### 1.1 线性方程组
#### (1) 矩阵与增广矩阵
$$
2x_1 - x_2 + 1.5x_3 = 8
$$
$$
x_1 - 4x_3 = -7
$$
* 矩阵 (Matrix)
$$
\begin{bmatrix}
2 & -1 & 1.5\\
1 & 0 & -4
\end{bmatrix}
$$
* 增广矩阵 (Augmented Matrix)
$$
\begin{bmatrix}
2 & -1 & 1.5 & 8\\
1 & 0 & -4 & -7
\end{bmatrix}
$$
* 线性方程组解的三种情况：
1. 无解 (不相容) (incompatibility)
2. 有唯一解 (相容) (compatibility)
3. 有无穷多解 (相容) (compatibility)
#### (2) 矩阵变换
* 倍加
* 对换
* 倍乘
### 1.2 行化简与阶梯形矩阵
>**先导元素 (Leading element)**
**定义**
一个矩阵称为阶梯形(或行阶梯形),若它有以下三个性质:
l.每一非零行都在每一零行之上.
2.某一行的先导元素所在的列位于前一行先导元素的右边
3.某一先导元素所在列下方元素都是零.
若一个阶梯形矩阵还满足以下性质,贝则称它为简化阶梯形(或简化行阶梯形) .
4.每一非零行的先导元素是 1.
5.每一先导元素 1 是该元素所在列的唯一非零元素
>**定理1** (简化阶梯形矩阵的唯一性)
每个矩阵行等价于唯一的简化阶梯形矩阵.
>**主元位置 (Pivot position)**
**定义**
矩阵中的主元位置是A中对应于它的阶梯形中先导元素 1 的位直.主元列是$A$的含有主元往直的列
>**定理2** (存在与唯一性定理)
线性方程组相容的充要条件是增广矩阵的最右列不是主元列.也就是说增广矩阵的阶梯形没有形如
$[0 \ \ \cdots \ \ 0 \ \ b] \ \ ,\ \ b\neq0$
>的行若线性方程组相容,则它的解集可能有两种情形:
( i )当没有自由变量时,有唯一解;
( ii )若至少有一个自由变量,则有无穷多解.
### 1.3 向量方程
$$u=
\begin{bmatrix}
\ 2 \ \\
\ 1 \
\end{bmatrix}
$$
>满足加法乘法的性质
* 线性组合
$y=x_1c_1+\cdots+x_ic_i$ 中 $c_i$ 为权
* 向量张成 (生成)
$span\{x_1,x_2,\cdots,x_i\}$
即判断
$y=x_1c_1+\cdots+x_ic_i$
是否有解；或
$\begin{bmatrix}
\ x_1\ x_2\ \cdots \ x_3 \ y\\
\end{bmatrix}$
是否有解
### 1.4 矩阵方程 Ax=b
>**定义**
若$A$是$m \times n$矩阵,它的各列为 $a$
若 $x$ 是$R$<sup>n</sup>中的向量,则 $A$ 与 $x$ 的积(记为$Ax$) 就是 $A$ 的各列以 $x$ 中对应元素为权的线性组合
>**定理3**
$Ax=b$
等价于
$\begin{bmatrix}
\ a_1\ a_2\ \cdots \ a_3 \ \ b\\
\end{bmatrix}$
* 解的存在性
>**方程Ax = b 有解当且仅当 b 是 A 的各列的线性组合.**
>**定理4**
设 $A$ 是 $m \times n$ 矩阵,则下列命题是逻辑上等价的.
也就是说,对某个 $Ax = b$ 它们都成立或者都不成立.
a. 对$R$<sup>m</sup>中每个 $b$ ,方程 $Ax=b$ 有解.
b. $R$<sup>m</sup>中的每个 $b$ 都是 $A$ 的列的一个线性组合.
c. $A$ 的各列生成$R$<sup>m</sup>.
d. $A$ 在每一行都有一个主元位置.
>**计算**
计算 $Ax$ 的行-向量规则
若乘积 $Ax$ 有定义,则 $Ax$ 中的第 $i$ 个元素是 $A$ 的第 $i$ 行元素与 $x$ 的相应元素乘积之和.
>**定理5**
若 $A$ 是 $m\times n$ 矩阵,$u$ 和 $v$ 是$R$<sup>n</sup>中向量, $c$ 是标量,如:
a. $A(u+v) = Au+Av.$
b. $A(cu) = c(Au).$
### 1.5 线性方程组的解集
* 齐次线性方程组
>齐次方程 $Ax=0$ 有非平凡解当且仅当方程至少有一个自由变量.
>**定理6**
设方程 $Ax=b$ 对某个 $b$ 是相容的, $p$ 为一个特解,则 $Ax=b$ 的解集是所有形如
$w = p+v_h$
>的向量的集, 其中 $v$<sub>h</sub> 是齐次方程 $Ax=0$ 的任意一个解.
### 1.7 线性无关
>**定义**
向量方程 $0=x_1c_1+\cdots+x_ic_i$ 仅有平凡解(trivial solution) 向量组 (集) 称为线性无关的 (linearly independent)
若存在不全为零的权
$c_i$
使
$x_1c_1+\cdots+x_ic_i+0$
则向量组 (集) 称为线性相关的 (linearly dependent)
>**矩阵 $A$ 的各列线性无关,当且仅当方程 $Ax=0$ 仅有平凡**
>**定理7** (线性相关集的特征)
两个或更多个向量的集合
$S=\{v_1,v_2,\cdots,v_p\}$
>线性相关,当且仅当 $S$ 中至少有一个向量是其他向量的线性组合.
>**定理8**
若一个向量组的向量个数超过每个向量的元素个数,那么这个向量组线性相关.就
是说, $R$<sup>n</sup> 中任意向量组
$\{v_1,v_2,\cdots,v_p\}$
>当 $p>n$ 时线性相关.
>**定理9**
若 $R$<sup>n</sup> 中向量组
$S=\{v_1,v_2,\cdots,v_p\}$
>包含零向量,则它线性相关
### 1.8 线性变换介绍
* 变换(transformation)(或称函数、映射(map)) $T$ 是一个规则
* $T$ : $R$<sup>n</sup> → $R$<sup>m</sup>
$R$<sup>n</sup>称为 $T$ 的定义域 (domain)
$R$<sup>m</sup>称为 $T$ 的余定义域 (codomain) (或取值空间)
* 线性变换
$$T(0) = 0$$
$$T(cu+ dv) = cT(u) + dT(v)$$
### 1.9 线性变换的矩阵
>**定理10**
设 $T$ : $R$<sup>n</sup> → $R$<sup>m</sup> 为线性变换,则存在唯一的矩阵 $A$ ,使得对 $R$<sup>n</sup>中一切 $x$ 满足 $T(x)=Ax$
* 满射
>映射 $T$ : $R$<sup>n</sup> → $R$<sup>m</sup> 称为到 $R$<sup>m</sup> 上的映射,若 $R$<sup>m</sup> 中每个 $b$ 是 $R$<sup>n</sup> 中至少一个 $x$ 的像.
>“满射” 的英文是 “surjective” 或 “surjection” 或 “onto mapping” 或 “onto function”
* 单射
>映射 $T$ : $R$<sup>n</sup> → $R$<sup>m</sup> 称为一对一映射(或1:1),若 $R$<sup>m</sup> 中每个 $b$ 是 $R$<sup>m</sup> 中至多一个 $x$ 的像.
>“单射” 的英文是 “injective” 或 “injection” 或 “one-to-one mapping” 或 “one-to-one function”
>**定理11**
设 $T$ : $R$<sup>n</sup> → $R$<sup>m</sup> 为线性变换,则 $T$ 是一对一的当且仅当方程 $Ax=0$ 仅有平凡解.
>**定理12**
设 $T$ : $R$<sup>n</sup> → $R$<sup>m</sup> 为线性变换,设 $A$ 为 $T$ 的标准矩阵，则：
a. $T$ 把 $R$<sup>n</sup> 映上到 $R$<sup>m</sup> ，当且仅当 $A$ 的列生成 $R$<sup>m</sup>.
b. $T$ 是一对一的，当且仅当 $A$ 的列线性无关.
## 第二章
### 2.1 矩阵运算
加减乘
### 2.2 矩阵的逆
>不可逆矩阵有时称为**奇异矩阵**，而可逆矩阵也称为**非奇异矩阵**.
$$A^{-1}A=I$$
$$A^{-1}=\frac{1}{det A} \times A_{adj}$$
$A_{adj}$是伴随矩阵（adjugate matrix）
$$(A^{-1})^{-1}=A$$
$$(AB)^{-1}=A^{-1}B^{-1}$$
>若干个$n \times n$ 可逆矩阵的积也是可逆的，其逆等于这些矩阵的逆按相反顺序的乘积
>~~看不懂，不爱用这种方法~~
求法（我常用）：
$$[\ A\ \ \ I\ ]=[\ I\ \ \ A^{-1}\ ] $$
### 2.3 矩阵的特征
* 挺多的
### 2.4 分块矩阵
* 没什么特别的
### 2.5 LU分解
>L 是 $m \times m$ 下三角矩阵， 主对角线元素全是1，
>$A=LU$
>AI写的：
* Doolittle分解（LU分解的一种常见形式）
* 原理 对于一个$n \times n$矩阵 $A$，将其分解为一个下三角矩阵$L$,主对角线元素为1和一个上三角矩阵$U$的乘积，即$A = LU$。
> 计算步骤
> 1. **设定矩阵形式** 设
$$A=\left[\begin{array}{cccc}a_{11}&a_{12}&\cdots&a_{1n}\\a_{21}&a_{22}&\cdots&a_{2n}\\\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\a_{n1}&a_{n2}&\cdots&a_{nn}\end{array}\right]$$
$$L=\left[\begin{array}{cccc}1&0&\cdots&0\\l_{21}&1&\cdots&0\\\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\l_{n1}&l_{n2}&\cdots&1\end{array}\right]$$
$$U=\left[\begin{array}{cccc}u_{11}&u_{12}&\cdots&u_{1n}\\0&u_{22}&\cdots&u_{2n}\\\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\0&0&\cdots&u_{nn}\end{array}\right]$$
> 2. **计算$U$的第一行和$L$的第一列**
$$u_{1j}=a_{1j}(j = 1,2,\cdots,n)$$
$$l_{i1}=\frac{a_{i1}}{u_{11}}(i = 2,3,\cdots,n)$$
> 3. **对于$k = 2,3,\cdots,n$，分别计算$U$的第$k$行和$L$的第$k$列计算$U$的第$k$行**：
$$u_{kj}=a_{kj}-\sum_{m = 1}^{k - 1}l_{km}u_{mj}(j = k,k + 1,\cdots,n)$$
>**计算$L$的第$k$列**：
$$l_{ik}=\frac{1}{u_{kk}}(a_{ik}-\sum_{m = 1}^{k - 1}l_{im}u_{mk})(i = k + 1,k + 2,\cdots,n)$$
>*示例*
>对于矩阵
$$A=\left[\begin{array}{ccc}2&1&1\\4&3&3\\8&7&9\end{array}\right]$$
>1. **第一步计算**
>首先$u_{11}=2$， $u_{12}=1$，$u_{13}=1$，$l_{21}=\frac{4}{2}=2$，$l_{31}=\frac{8}{2}=4$
>2. **第二步计算** 然后计算
> $u_{22}=a_{22}-l_{21}u_{12}=3 - 2×1 = 1$，
> $u_{23}=a_{23}-l_{21}u_{13}=3 - 2×1 = 1$
>4. **第三步计算**
$$l_{32}=\frac{1}{u_{22}}(a_{32}-l_{31}u_{12})=\frac{1}{1}(7 - 4×1)=3$$
>5. **第四步计算** 最后
$$u_{33}=a_{33}-l_{31}u_{13}-l_{32}u_{23}=9 - 4×1 - 3×1 = 2$$
>6. **得出结果** 得到
$$L=\left[\begin{array}{ccc}1&0&0\\2&1&0\\4&3&1\end{array}\right]$$
$$U=\left[\begin{array}{ccc}2&1&1\\0&1&1\\0&0&2\end{array}\right]$$
## 第三章
### 3.1 行列式介绍
* 人话版本：
>我的方法：
>1、选择一行零最多的，
>2、他的位置是第（$i$，$j$）,那就删去第$i$行，第$j$列，剩下的就是（余因子）
>3、这一行每个数都这样算$a_{ij} \times |C_{ij}| \times (-1)^{i+j}$，最后求和
>**定理 2**
>若 $A$ 为三角阵，则 det$A$ 等于 $A$ 的主对角线上元素的乘积
### 3.2 行列式的性质
>**定理3 (行变换)**
>令 $A$ 是一个方阵.
>a. 若 $A$ 的某一行的倍数加到另一行得矩阵B ， 则det $B$ = det $A$ .
>b 若 $A$ 的两行互换得矩阵 $B$ ， 则 det $B$ = - det $A$.
>c. 若 $A$ 的某行来以 $k$ 倍得到矩阵 $B$ ， 则det $B$ = $k$ det $A$ .
>** 补充
>$$\vert A^T\vert=\vert A\vert$$
>$$\vert A^{-1}\vert=\frac{1}{\vert A\vert}$$
>
>$$|A^{*}|=|A|^{n - 1}$$
>$$\vert kA\vert=k^{n}\vert A\vert$$
>**定理4**
> 方阵 $A$ 是可逆的当且仅当 det $A \neq 0$
>**定理5**
> 若 $A$ 为一个 $n \times n$ 矩阵，则det $A^T$ = det $A$.
>**定理6 (乘法的性质)**
若 $A$ 和 $B$ 均为 $n \times n$ 矩阵，则 det $AB$ = (det $A$)( det $B$) .
* 行列式与秩的关系
>$\text{det}(A)\neq0$那么矩阵$A$是满秩的，秩$\text{rank}(A) = n$。这是因为行列式不为零意味着矩阵的列（行）向量组是线性无关的
>也就是齐次线性方程组$Ax=0$的充要条件是系数矩阵秩$\text{rank}(A) = n$
* **$r(A) = n$** $\Leftrightarrow$ **$|A| \neq 0$** $\Leftrightarrow$ **齐次线性方程组 $Ax = 0$ 只有零解 $\Leftrightarrow$ 可逆**
### 3.3 克拉默法则
>**定理7 (克拉默法则)**
设 $A$ 是一个可逆的 $n \times n$ 矩阵，对 $R$<sup>m</sup> 中任意向量 $b$ ， 方程 $Ax =b$ 的唯一解可由下式给出:
$$\displaystyle x_i=\frac{det \ \ A_i(b)}{det \ \ A},i=1,2,\cdots,,n$$
~~不太能解释~~
## 第四章
### 4.1 向量空间(vector space)与子空间(subspace)
>向量空间和向量计算法则一样
* 子空间
>定义向量空间 $V$ 的一个子空间是 $V$ 的一个满足以下三个性质的子集 $H$:
a. $V$ 中的零向量在 $H$ 中
b. $H$ 对向量加法封闭，即对 $H$ 中任意向量 $U$，$V$ ， 和 $u + v$ 仍在 $H$ 中.
c. $H$ 对标量乘法封闭， 即对 $H$ 中任意向量 $u$ 和任意标量 $C$ ，向量 $cu$ 仍在 $H$ 中.
>**定理1** 若 $v_1,v_2,\cdots,v_p$ 在向量空间 $V$ 中，则$span\{x_1,x_2,\cdots,x_i\}$是 $V$ 的一个子空间.
### 4.2 零空间、列空间和线性变换
* 矩阵的零空间(null space)
>**定义**
矩阵 $A$ 的零空间写成 $NulA$ ， 是齐次方程 $Ax = 0$ 的全体解的集合.
>**定理2** $m \times n$ 矩阵 $A$ 的零空间是$R$<sup>m</sup>的一个子空间.等价地, $m$ 个方程、$n$ 个未知数的齐次线性方程组 $Ax = 0$ 的全体解的集合是$R$<sup>m</sup>的一个子空间
* 矩阵的列空间(column space)
>**定义**
$m \times n$矩阵 $A$ 的列空间(记为 $ColA$ ) 是由 $A$ 的列的所有线性组合组成的集合.若 $A=\begin{bmatrix}
\ x_1\ x_2\ \cdots \ x_3 \ \\
\end{bmatrix}$，则 $ColA = span\{x_1,x_2,\cdots,x_i\}$.
>**定理3** $m \times n$ 矩阵 $A$ 的列空间是 $R$<sup>m</sup> 的一个子空间.
* 线性变换的核与值域
>线性变换 见1.8
* 核(零空间 $Nul A$)
>线性变换 $T$ 的核(或零空间)是 $V$ 中所有满足 $T(u) = 0$ 的向量 $u$ 的集合
### 4.3 线性无关集(linearly independent set)和基(basis)
* 线性无关 见1.7
>**定理5 (生成集定理)**
令$S = \{v_1,v_2,\cdots,v_p\}$是$V$中的向量集，$H = span\{v_1,v_2,\cdots,v_p\}$.
a.若 $S$ 中某一个向量(比如说 $v_k$ ) 是 $S$ 中其余向量的线性组合，则 $S$ 中去掉$v_k$ 后形成的集合仍然可以生成 $H$.
b. 若$H \neq \{0\}$ ，则 $S$ 的某一子集是 $H$ 的一个基.
* NulA 和ColA 的基
>**定理6**
矩阵 $A$ 的主元列构成 $ColA$ 的一个基.
### 4.5 向量空间的维数(dimension)
>**定理9**
若向量空间 $V$ 具有一组基(n个基向量)， 则 $V$ 中任意包含多于 $n$ 个向量的集合一
定线性相关.
~~这是期中考证明题，没做出来~~
>**定理10** 若向量空间 $V$ 有一组基含有 $n$ 个向量，则 $V$ 的每一组基一定恰好含有 $n$ 个向量.
* $NulA$ 的维数是方程 $Ax=0$ 中自由变量的个数，$ColA$ 的维数是 $A$ 中主元列的个数.
### 4.6 秩(rank)
* $ColA^T = Row A$.
>**定理13** 若两个矩阵 $A$ 和 $B$ 行等价，则它们的行空间相同.若 $B$ 是阶梯形矩阵，则 $B$ 的非零行构成 $A$ 的行空间的一个基同时也是 $B$ 的行空间的一个基
~~?看不太懂~~
*以下比较重要*
>**定义**
$A$ 的秩即 $A$ 的列空间的维数
>**定理14 (秩定理)**
$m \times n$ 矩阵 $A$ 的列空间和行空间的维数相等，这个公共的维数(即 $A$ 的秩)还等于 $A$ 的主元位置的个数且,满足方程
$$rank\ A+dim\ \ Nul \ A = n$$
>**定理 (可逆矩阵定理(续))**
令 $A$ 是一个 $n \times n$ 矩阵，则下列命题中的每一个均等价于 $A$ 是可逆矩阵:
a. $A$ 的列构成$R$<sup>n</sup>的一个基.
b. $ColA=$$R$<sup>n</sup>.
c. $dim \ ColA = n$.
d. $rank A = n$.
e. $Nul A = \{0\}$.
f. $dim \ NulA=0$.
### 4.7 基的变换
~~先欠着~~
## 第五章
### 5.1 特征向量(eigenvector)与特征值(eigenvalue)
>定义 $A$ 为 $n \times n$ 矩阵，$x$ 为非零向量， 若存在数 $λ$ 使 $Ax=λx$ 有非平凡解 $x$， 则称 $λ$ 为 $A$的特征值,$x$ 称为对应于 $λ$ 的特征向量
也可写作$(A-λI)x=0$
>**定理1**
三角矩阵的主对角线的元素是其特征值.
>**定理2**
$λ_1,\cdots,λ_r$ 是 $n \times n$ 矩阵 $A$ 相异的特征值，$v_1,\cdots,v_r$是与$λ_1,\cdots,λ_r$对应的特征向量，那么向量集合{$v_1,\cdots,v_r$}线性无关.
* 一、逆矩阵的特征值
若矩阵$A$可逆，$\lambda$是$A$的特征值，则$A^{-1}$的特征值是$\displaystyle \frac{1}{\lambda}$，特征向量不变。
* 二、转置矩阵的特征值
矩阵$A$与其转置矩阵$A^T$具有相同的特征值。
* 三、伴随矩阵的特征值
若$A$可逆，$A$的特征值为$\lambda_i$（$i = 1,2,\cdots,n$，$\lambda_i\neq0$），则伴随矩阵$A^*$的特征值为$\displaystyle \frac{\vert A\vert}{\lambda_i}$，特征向量不变。
### 5.2 特征方程(eigen equation)
>**定理(可逆矩阵定理(续))**
设 $A$ 是 $n \times n$ 矩阵，则 $A$ 是可逆的当且仅当
a.0不是 $A$ 的特征值.
b.$A$ 的行列式不等于零.
>**定理3 (行列式的性质)**
设 $A$ 和 $B$ 是 $n \times n$ 矩阵.
a. $A$ 可逆的元要条件是 det$A \neq 0$.
b. det $AB =$ (det $A$) (det$B$).
c. det $A^T$ = det $A$.
d. 若 $A$ 是三角形矩阵，那么det $A$ 是 $A$ 主对角线元素的乘积.
e. 对 $A$ 作行替换不改变其行列式值.作一次行交换，行列式值符号改变一次数来一行后，
行列式值等于用此数来原来的行列式值.
>**定理4**
若 $n \times n$ 矩阵 $A$ 和 $B$ 是相似的，那么它们有相同的特征多项式，从而有相同的特征值(和相同的重数).
### 5.3 对角化(diagonalize)
>**定理5 (对角化定理)**
$n \times n$ 矩阵 $A$ 可对角化的充分必要条件是 $A$ 有 $n$ 个线性无关的特征向量.
事实上， $A=PDP^{-1}$ , $D$ 为对角矩阵的充分必要条件是 $P$ 的列向量是 $A$ 的 $n$ 个线性无关的特征向量.此时，$D$ 的主对角线上的元素分别是 $A$ 的对应于 $P$ 中特征向量的特征值.
>**定理6**
有 $n$ 个相异特征值的$n \times n$ 矩阵可对角化.
>**定理7**
~~似乎不重要，因为我也读不懂~~
>**定理8 (对角矩阵表示)**
设 $A=PDP^{-1}$ ， 其中 $D$ 为 $n \times n$ 对角矩阵，若 $R$<sup>n</sup> 的基$\beta$由 $P$ 的列向量组成，那么 $D$ 是变换 $x$ → $Ax$的$\beta$-矩阵.
## 第六章
### 6.1 内积、长度和正交性
* 内积
内积的英文是 “inner product” 或 “dot product”
> **定理1**
> 设 $v$，$u$ 和 $w$ 是 $R$<sup>n</sup> 中的向量, $c$ 是一个数,那么
$a. \ \ \ u \cdot v = v \cdot u$
$b.\ \ \ (u +v) \cdot w = u \cdot w +v \cdot w$
$c. \ \ \ (cu) \cdot v=c(u \cdot v)=u \cdot (cv)$
$d. \ \ \ u \cdot u \geq 0，并且u \cdot u=0 成立的充分必要条件是u=0$
* 向量的长度
$$||v|| ^2 = v \cdot v$$
$$dist(u,v)=||u-v||$$
* 正交向量
正交向量的英文是 “orthogonal vectors” 或 “perpendicular vectors”
>定义如果 $u \cdot v = 0$ ，如 $R$<sup>n</sup> 中的两个向量 $u$ 和 $v$ 是(相互) 正交的.
>对于一个方阵$A$，Col$A$中的向量与Nul$A$中的向量正交。
>**定理2 (毕达哥拉斯(勾股)定理)**
$$||u+v||^2=||u||^2+||v||^2$$
* 正交补
正交补的英文是 “orthogonal complement”
>1.向量 $x$ 属于 $W$<sup>⊥</sup> 的充分必要条件是向量 $x$ 与生成空间 $W$ 的任一向量都正交.
>2. $W$<sup>⊥</sup> 止是 $R$<sup>n</sup> 的一个子空间.
>**定理3**
$( Row A )$<sup>⊥</sup> = $Nul A$ 且 $( ColA )$<sup>⊥</sup> = $Nul A$<sup>T</sup>
### 6.2 正交集
* 正交集的英文是 “orthogonal set” 或 “orthonormal set”
>**定理4**
如果 $S=\{x_1,x_2,\cdots,x_i\}$ 是由 $R$<sup>n</sup> 中非零向量构成的正交集，那么 $S$ 是线性无关集，因此构成 $S$ 所生成的子空间的一组基.
>**定理5**
假设$\{x_1,x_2,\cdots,x_i\}$是 $R$<sup>n</sup> 中于空间 $W$ 的正文基,对 $W$ 中的每个向量y,线性组合 $y=x_1c_1+\cdots+x_ic_i$ 中的权可以由 $c_j=(y \cdot u_j)/(u_j \cdot u_j)$计算
#### 正交投影 **先欠着** ~~懒得写~~
>**定理6**
一个 $m \times n$ 矩阵 U 具有单位正交列向量的充分必要条件是 $U$<sup>T</sup> $U$ = $I$.
>**定理7**
假设 $U$ 是一个具有单位正交列的 $m \times n$ 矩阵，且 $x$ 和 $y$ 是 $R$<sup>n</sup> 中的向量，那么
a. $||Ux|| = ||x|| .$
b. $(Ux) \cdot (Uy) =x \cdot y$
c. $(Ux) \cdot (Uy) = 0$ 的充分必要条件是 $x \cdot y = 0$
>**定理9 (最佳逼近定理)**
假设 $W$ 是 $R$<sup>n</sup> 的一个子空间，$y$ 是 $R$<sup>n</sup> 中的任意向量， $\widehat{y}$ 是 $y$ 在 $W$ 上的正支投影，那么 $\widehat{y}$ 是 $W$ 中最接近 $y$ 的点，也就是
$$||y-\widehat{y}||<||y-v||$$
>对所有属于 $W$ 又异于 $\widehat{y}$ 的 $v$ 成立.
### 6.4 格拉姆-施密特方法
#### 格拉姆 - 施密特方法
设$\left\{\boldsymbol{v}_{1},\boldsymbol{v}_{2},\cdots,\boldsymbol{v}_{n}\right\}$是内积空间$V$中的一组线性无关向量。
首先$\boldsymbol{u}_{1}=\boldsymbol{v}_{1}$；对于$k = 2,3,\cdots,n$，
$$\boldsymbol{u}_{k}=\boldsymbol{v}_{k}-\sum_{j = 1}^{k - 1}\frac{\left\langle\boldsymbol{v}_{k},\boldsymbol{u}_{j}\right\rangle}{\left\langle\boldsymbol{u}_{j},\boldsymbol{u}_{j}\right\rangle}\boldsymbol{u}_{j}$$
即从$\boldsymbol{v}_{k}$中减去它在已构造正交向量$\boldsymbol{u}_{1},\boldsymbol{u}_{2},\cdots,\boldsymbol{u}_{k - 1}$上的投影，得到新正交向量$\boldsymbol{u}_{k}$。
### 6.5 最小二乘问题
* 最小二乘的英文是 “least squares” 或 “least square method”；
最小二乘解的英文是 “least squares solution”。
* **定义**
$$||b-A\widehat{x}||\leq||b-Ax||$$
>**定理13**
方程 $Ax=b$ 的最小二乘解集和法方程 $A$<sup>T</sup> $Ax = A$<sup>T</sup> $b$ 的非空解集一致.
>**定理14**
设 $A$ 是 $m \times n$ 矩阵. 下面的条件是逻辑等价的:
a.对于 $R$<sup>n</sup> 中的每个 $b$ ， 方程 $Ax =b$ 有唯一最小二乘解.
b.$A$ 的列是线性无关的.
c.矩阵 $A$<sup>T</sup> $A$是可逆的.
当这些条件成立时，最小二乘解￡有下面的表示:
$$\widehat{x}=( A^T A)^{-1}A^Tb$$
### 6.7 内积空间
>**定义**
向量空间 $V$ 上的内积是一个函数，对每一对属于$V$的向量 $u$ 和 $v$，存在一个实数$\langle u,v \rangle$满足下面公理，其中 $u$，$v$，$w$ 属于$V$，$C$ 为所有数.
1.$\langle u,v\rangle= \langle v,u \rangle$
2.$\langle u +v, w\rangle =\langle u, w\rangle +\langle v,w\rangle$
3.$\langle$c$u,v\rangle=$c$\langle u, v\rangle$
4.$\langle u,u\rangle \geq 0$且$\langle u,u\rangle =0$ 的充分必要条件是 $u=0$
一个赋予上面内积的向量空间称为**内积空间**
* 内积空间的英文是 “inner product space” 或 “pre-Hilbert space”
>**定理16 (柯西-施瓦茨不等式)**
对 $V$ 中任意向量 $u$ 和 $v$，有
$$|\langle u,v \rangle| \leq ||u||\ \ ||v||$$
>**定理17 (三角不等式)**
对属于$V$ 的所有向量$u$,$v$，有
$$||u-v||\leq||u||+||v||$$
## 第七章
### 7.1 对称矩阵的对角化
就是$A^T=A$
>**定理1** 如果 $A$ 是对称矩阵，那么不同特征空间的任意两个特征向量是正交的.
>**定理2** 一个$n \times n$ 矩阵 $A$ 可正交对角化的充分必要条件是 $A$ 是对称矩阵.
### 7.2 二次型
* 二次型是一个定义在 $R$<sup>n</sup> 上的函数， 它在向量 $x$ 处的值可由表达式$Q(x) = x^T Ax$ 计算，其中 $A$ 是一个 $n \times n$ 对称矩阵.矩阵 $A$ 称为关于二次型的矩阵.
### 7.4 SVD
SVD是奇异值分解（Singular Value Decomposition）的英文缩写。它是一种重要的矩阵分解方法。对于任意一个实矩阵$A_{m\times n}$（$m$行$n$列），都可以分解为
$$A = U\Sigma V^{T}$$
的形式。其中$U$是$m\times m$的正交矩阵，$V$是$n\times n$的正交矩阵，$\Sigma$是$m\times n$的对角矩阵，其对角线上的元素$\sigma_{ii}$（$i = 1,2,\cdots,\min(m,n)$）称为奇异值，并且$\sigma_{ii}\geq0$，这些奇异值按照从大到小的顺序排列在$\Sigma$的对角线上。
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