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数学分析笔记

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完整笔记

第一章序章

暂无

第二章函数

反函数

三角函数和反函数

倒数关系：


\cos\theta \cdot \sec\theta = 1


\sin\theta \cdot \csc\theta = 1


\tan\theta \cdot \cot\theta = 1

商数关系：


\tan\theta = \frac{\sin\theta}{\cos\theta}


\cot\theta = \frac{\cos\theta}{\sin\theta}

平方关系：


\sin^{2}\theta + \cos^{2}\theta = 1


1 + \tan^{2}\theta = \sec^{2}\theta


1 + \cot^{2}\theta = \csc^{2}\theta

积化和差公式：


sin\alpha\cos\beta=\frac{1}{2}[\ \sin(\alpha + \beta)+\sin(\alpha-\beta)]


cos\alpha\sin\beta=\frac{1}{2}[\ \sin(\alpha + \beta)-\sin(\alpha-\beta)]


cos\alpha\cos\beta=\frac{1}{2}[\ \cos(\alpha + \beta)+\cos(\alpha-\beta)]


sin\alpha\sin\beta=-\frac{1}{2}[\ \cos(\alpha + \beta)-\cos(\alpha-\beta)]

和差化积：

正弦函数的和差化积公式：


sin\alpha+\sin\beta = 2\sin\frac{\alpha + \beta}{2}\cos\frac{\alpha-\beta}{2}


sin\alpha-\sin\beta = 2\cos\frac{\alpha + \beta}{2}\sin\frac{\alpha-\beta}{2}

余弦函数的和差化积公式：


cos\alpha+\cos\beta = 2\cos\frac{\alpha + \beta}{2}\cos\frac{\alpha-\beta}{2}


cos\alpha-\cos\beta=2\sin\frac{\alpha + \beta}{2}\sin\frac{\alpha-\beta}{2}

三角函数

余切函数：定义：
```
\cot\theta = \frac{\cos\theta}{\sin\theta}
```
在直角三角形中
```
\cot\theta = \frac{邻边}{对边}
```
值域：$R$，定义域：\theta \neq k\pi, k \in Z
正割函数：定义：
```
\sec\theta = \frac{1}{\cos\theta}
```
值域：$(-\infty, 1]\cup[1,\infty)$，定义域：$\displaystyle \theta \neq k\pi + \frac{\pi}{2}, k \in Z$。
余割函数：定义：
```
\csc\theta = \frac{1}{\sin\theta}
```
值域：$(-\infty, 1]\cup[1,\infty)$，定义域：$\theta \neq k\pi, k \in Z$。

反三角函数

反正弦函数：符号：


y = \arcsin x

定义域：$[-1,1]$，值域：\displaystyle\left[-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right] 性质：


\sin(\arcsin x) = x, x \in [1,1]


\arcsin(\sin y) = y, y \in \left[-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right]

反余弦函数：符号：


y = \arccos x

定义域：$[-1,1]$，值域：[0,\pi] 性质：


\cos(\arccos x) = x, x \in [-1,1]


\arccos(\cos y) = y, y \in [0,\pi]

反正切函数：符号：


y = \arctan x

定义域：$R$，值域：\left(-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right) 性质：


\tan(\arctan x) = x, x \in R


\arctan(\tan y) = y, y \in \left(-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right)

反余切函数：符号：


y = \text{arccot} x

定义域：$R$，值域：(0,\pi) 性质：


\cot(\text{arccot} x) = x, x \in R


\text{arccot}(\cot y) = y, y \in (0,\pi)

第三章极限

数列的极限

数列极限的$\varepsilon - N$语言证明

定义数列${a_{n}}$极限是$A$（记为$\lim_{n\rightarrow\infty}a_{n}=A$）的$\varepsilon - N$定义：对于任意给定的正数$\varepsilon\gt0$，存在正整数$N$，使得当$n > N$时，$\vert a_{n}-A\vert\lt\varepsilon$成立。
证明步骤
- 步骤一：给定$\varepsilon\gt0$
- 步骤二：寻找$N$
  - 通过分析$\vert a_{n}-A\vert\lt\varepsilon$，对$a_{n}$表达式变形来确定与$\varepsilon$有关的正整数$N$。
  - 例如，对于数列$\displaystyle a_{n}=\frac{1}{n}$证明$\displaystyle\lim_{n\rightarrow\infty}a_{n}=0$，由$\displaystyle\vert a_{n}-0\vert=\vert\frac{1}{n}-0\vert=\frac{1}{n}$，要使$\displaystyle \frac{1}{n}\lt\varepsilon$，得$\displaystyle n>\frac{1}{\varepsilon}$，可取$\displaystyle N = [\frac{1}{\varepsilon}]+1$（$[x]$表示不超过 x 的最大整数）。
- 步骤三：验证$n > N$时$\vert a_{n}-A\vert\lt\varepsilon$成立
  - 仍以上例说明，当$\displaystyle n > N = [\frac{1}{\varepsilon}]+1$时，$n>\frac{1}{\varepsilon}$，则$\displaystyle \frac{1}{n}\lt\varepsilon$，即$\displaystyle \vert a_{n}-0\vert\lt\varepsilon$，证得$\displaystyle \lim_{n\rightarrow\infty}\frac{1}{n}=0$。

利用夹迫性证明数列极限

夹迫性定理 若存在三个数列${a_{n}}$，${b_{n}}$，${c_{n}}$，满足当$n$足够大（比如$n > N_{0}$，$N_{0}$为某个正整数）时，$a_{n}\leq b_{n}\leq c_{n}$，且$\lim_{n\rightarrow\infty}a_{n}=\lim_{n\rightarrow\infty}c_{n}=A$，那么$\lim_{n\rightarrow\infty}b_{n}=A$。

函数的极限

当$x\to0$时
- $x$与$\sin x$是等价无穷小：
  - 根据等价无穷小的定义，
```
\lim_{x \to 0}\frac{\sin x}{x}=1
```
- $x$与$\tan x$是等价无穷小：
  - 同样有
```
\lim_{x \to 0}\frac{\tan x}{x}=1
```
- $1 - \cos x$与$\frac{1}{2}x^{2}$是高阶等价无穷小：
  - 由
```
\lim_{x \to 0}\frac{1 - \cos x}{\frac{1}{2}x^{2}} = 1
```

补充：
```
x-\sin x\sim\frac{1}{6}x^{3}
```

当$x\to+\infty$时
- $\ln x$与$\sqrt{x}$的关系：
  - 对于任意正整数$n$，
```
\lim_{x \to +\infty}\frac{\ln x}{x^{n}} = 0
```
- $x^{n}$与$e^{x}$（$n$为常数）：
  - 对于任意常数$n$，
```
\lim_{x \to +\infty}\frac{x^{n}}{e^{x}} = 0
```

当$x\to0$时


\arctan{x}\to\sin{x}\to x\to \arcsin{x}\to \tan{x} \ \ \ \ \ \  {他们相差}\ \  \frac{x^3}{6}

重点：！！！！！（如果考试要用的话就要用泰勒展开写出来）

函数连续性

暂无

无限小量和无限大量

暂无

第四章微分和微商

各种函数的导数

(kx)' = k
(x^n)' = nx^{n - 1}
(a^x)' = a^x \ln a
(e^x)' = e^x
(\log_a x)' = \frac{1}{x \ln a}
(\ln x)' = \frac{1}{x}
(\sin x)' = \cos x
(\cos x)' = - \sin x

以下是重点

9. $(\tan x)' = \sec^2 x$

10. $(\cot x)' = - \csc^2 x$

11. $(\sec x)' = \sec x \tan x$

12. $(\csc x)' = - \csc x \cot x$

13. $\displaystyle( \arcsin x)' = \frac{1}{\sqrt{1 - x^2}}$

14. $\displaystyle( \arccos x)' = - \frac{1}{\sqrt{1 - x^2}}$

15. $\displaystyle( \arctan x)' = \frac{1}{1 + x^2}$

16. $\displaystyle( \text{arccot} x)' = - \frac{1}{1 + x^2}$

双曲正弦函数（sinh x）
- 定义：\displaystyle\sinh x=\frac{e^{x}-e^{-x}}{2}
- 导数：\displaystyle(\sinh x)'=\cosh x
双曲余弦函数（cosh x）
- 定义：\displaystyle\cosh x=\frac{e^{x}+e^{-x}}{2}
- 导数：\displaystyle(\cosh x)'=\sinh x

莱布尼兹公式

公式表述

若函数$u(x)$和$v(x)$都有$n$阶导数，则


(uv)^{(n)}=\sum_{k = 0}^{n}C_{n}^{k}u^{(n - k)}v^{(k)}

其中：

$\displaystyle C_{n}^{k}=\frac{n!}{k!(n - k)!}$是二项式系数
$\displaystyle u^{(n-k)}$表示$u$的$(n - k)$阶导数，当$n-k = 0$时，u^{(0)}=u
$\displaystyle v^{(k)}$表示$v$的$k$阶导数，当$k = 0$时，v^{(0)}=v

应用举例 求$y=x^{2}e^{x}$的$n$阶导数。令$u = x^{2}$，v=e^{x} $u' = 2x$，$u''=2$，u^{(k)}=0 for k>2 v^{(k)}=e^{x} for all k\geqslant0 根据莱布尼兹公式(x^{2}e^{x})^{(n)}=C_{n}^{0}x^{2}e^{x}+C_{n}^{1}(2x)e^{x}+C_{n}^{2}(2)e^{x} 即(x^{2}e^{x})^{(n)}=(x^{2}+2nx + n(n - 1))e^{x}

第五章中值定理

拉格朗日中值定理

定理内容

若函数$y = f(x)$满足：
- 在闭区间$[a,b]$上连续；
- 在开区间$(a,b)$内可导。
那么在$(a,b)$内至少存在一点$\xi$，使得
```
f(b)-f(a)=f^{\prime}(\xi)(b - a)
```

应用举例 例如，证明不等式$\displaystyle \frac{b - a}{1 + b^{2}}<\arctan b-\arctan a<\frac{b - a}{1 + a^{2}}$，其中$a < b$。设$f(x)=\arctan x$，$f(x)$在$[a,b]$上连续，在$(a,b)$内可导，且$\displaystyle f^{\prime}(x)=\frac{1}{1 + x^{2}}$。根据拉格朗日中值定理，存在$\xi\in(a,b)$，使得$\displaystyle \arctan b-\arctan a=\frac{1}{1+\xi^{2}}(b - a)$。因为\displaystyle \frac{1}{1 + b^{2}}<\frac{1}{1+\xi^{2}}<\frac{1}{1 + a^{2}} 所以$\displaystyle \frac{b - a}{1 + b^{2}}<\arctan b-\arctan a<\frac{b - a}{1 + a^{2}}$。

洛必达

没什么好说的

函数的极限

函数极限存在的第一充分条件
- 内容：设函数$f(x)$在$x_0$的某去心邻域$\dot{U}(x_0,\delta)$内有定义。
  - 若当$x \in (x_0 - \delta,x_0)$时，$f(x)$单调递增且有上界，当$x\in(x_0,x_0+\delta)$时，$f(x)$单调递减且有下界，则$\lim_{x \to x_0}f(x)$存在。
  - 反之，若当$x\in(x_0 - \delta,x_0)$时，$f(x)$单调递减且有下界，当$x\in(x_0,x_0+\delta)$时，$f(x)$单调递增且有上界，则$\lim_{x \to x_0}f(x)$存在。
函数极限存在的第二充分条件（重点看这个）
- 内容：设函数$y = f(x)$在点$x_0$处具有二阶导数且$f^{\prime}(x_0)=0$，$f^{\prime\prime}(x_0)\neq0$。
  - 若$f^{\prime\prime}(x_0)>0$，则函数$y = f(x)$在$x = x_0$处取得极小值；
  - 若$f^{\prime\prime}(x_0)<0$，则函数$y = f(x$在$x = x_0$处取得极大值。

函数凹凸性

利用二阶导数判定 设函数$y = f(x)$在区间$I$内具有二阶导数。如果$f^{\prime\prime}(x)>0$，$x\in I$，那么函数$y = f(x)$在区间$I$上是凹的。如果$f^{\prime\prime}(x)<0$，$x\in I$，那么函数$y = f(x)$在区间$I$上是凸的。

定义5.2 设$f(x)$在$(a,b)$有定义。若对任意$x_1$，$x_2\in(a,b)$和任意$\lambda\in(0,1)$，有


f(\lambda x_1+(1 - \lambda)x_2)\leq\lambda f(x_1)+(1 - \lambda)f(x_2)

则称$f(x)$在$(a,b)$为下凸函数；若对任意$x_1$，$x_2\in(a,b)$和任意$\lambda\in(0,1)$，有


f(\lambda x_1+(1 - \lambda)x_2)\geq\lambda f(x_1)+(1 - \lambda)f(x_2)

则称$f(x)$在$(a,b)$为上凸函数。

函数拐点

判定方法

二阶导数法
- 一般地，若函数$y = f(x)$在点$x_0$处二阶可导，且在$x_0$的某邻域内二阶导数$f^{\prime\prime}(x)$变号（即函数的凹凸性发生改变），同时$f^{\prime\prime}(x_0) = 0$，那么点$(x_0,f(x_0))$是函数$y = f(x)$的一个拐点。

二阶导数不存在的点也可能是拐点

第六章&第七章&第八章积分

常见积分公式

不定积分基本公式


\int kdx = kx + c


\int x^{n}dx = \frac{x^{n + 1}}{n + 1}+c


\int e^{x}dx = e^{x}+c


\int a^{x}dx = \frac{a^{x}}{\ln a}+c


\int \frac{1}{x}dx = \ln |x|+c


\int \sin xdx = -\cos x + c


\int \cos xdx = \sin x + c


\int \tan xdx = -\ln |\cos x|+c


\int \cot xdx = \ln |\sin x|+c


\int \csc xdx = \ln |\csc x - \cot x|+c


\int \sec xdx = \ln |\sec x + \tan x|+c


\int x^{2}dx = \frac{1}{3}x^{3}+c


\int \frac{1}{x^{2}}dx = -\frac{1}{x}+c


\int \frac{1}{\sin x}dx = \int \csc^{2}xdx = -\cot x + c


\int \frac{1}{\cos^{2}x}dx = \int \sec^{2}xdx = \tan x + c


\int \frac{1}{1 + x^{2}}dx = \arctan x + c


\int \frac{1}{\sqrt{1 - x^{2}}}dx = \arcsin x + c


\int \sec x\tan xdx = \sec x + c


\int \csc x\cot xdx = -\csc x + c


\int \frac{dx}{a^{2}+x^{2}}=\frac{1}{a}\arctan\frac{x}{a}+c


\int \frac{dx}{x^{2}-a^{2}}=\frac{1}{2a}\ln|\frac{x - a}{x + a}|+c


\int \frac{dx}{\sqrt{a^{2}-x^{2}}}=\arcsin\frac{x}{a}+c


\int \frac{dx}{\sqrt{x^{2}+a^{2}}}=\ln|x+\sqrt{x^{2}+a^{2}}|+c


\int \frac{dx}{\sqrt{x^{2}-a^{2}}}=\ln|x+\sqrt{x^{2}-a^{2}}|+c


\int \frac{x^{2}}{1 + x^{2}}dx=\frac{1}{2}\ln(1 + x^{2})+c


\int \frac{1}{1 + x^{2}}dx=\arctan x + c

补充


\int \frac{x^2}{1 + x^{2}}dx = x - \arctan x + C

过程如下（懂了吧）


\begin{align*}
\frac{x^2}{1 + x^{2}}&=\frac{x^2 + 1 - 1}{1 + x^{2}}\\
&=\frac{x^2 + 1}{1 + x^{2}} - \frac{1}{1 + x^{2}}\\
&= 1 - \frac{1}{1 + x^{2}}
\end{align*}


\int\ln xdx=x\ln x - x + C

换元积分

第一类换元法（凑微分法）
- 示例：计算$\displaystyle \int 2x\cos(x^{2})dx$。
  - 令$u = x^{2}$，则$du=2xdx$。
  - 原积分$\displaystyle \int 2x\cos(x^{2})dx=\int\cos udu=\sin u + C$。
  - 再把$u = x^{2}$代回，得到$\sin(x^{2})+C$。
- 常见的凑微分形式：
  - \displaystyle \int f(ax + b)dx=\frac{1}{a}\int f(ax + b)d(ax + b)(a\neq0)
  - $\displaystyle \int f(x^{n})x^{n - 1}dx=\frac{1}{n}\int f(x^{n})d(x^{n})$。
  - $\displaystyle \int f(\sin x)\cos xdx=\int f(\sin x)d(\sin x)$。
第二类换元法
- 根式代换
  - 当被积函数中含有$\displaystyle \sqrt{a^{2}-x^{2}}(a>0)$时，可令$x = a\sin t$，$t\displaystyle \in\left(-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right)$。
    - 示例：计算$\displaystyle \int\frac{1}{\sqrt{1 - x^{2}}}dx$。
      - 令$x=\sin t$，$\displaystyle t\in\left(-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right)$，则$dx=\cos tdt$。
      - 原积分
      - \displaystyle \int\frac{1}{\sqrt{1 - x^{2}}}dx=\int\frac{1}{\sqrt{1-\sin^{2}t}}\cos tdt=\int 1dt=t + C
      - 因为$\displaystyle x = \sin t$，所以$t=\arcsin x$，最终结果为\arcsin x + C
  - 当被积函数中含有$\displaystyle \sqrt{x^{2}+a^{2}}(a>0)$时，可令$x = a\tan t$，$\displaystyle t\in\left(-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right)$。
  - 当被积函数中含有$\displaystyle \sqrt{x^{2}-a^{2}}(a>0)$时，可令$x = a\sec t$，$\displaystyle t\in\left(0,\frac{\pi}{2}\right)\cup\left(\frac{\pi}{2},\pi\right)$。
- 倒代换
  - 当分母的次数比分子的次数高很多时，可考虑倒代换，即令$\displaystyle x=\frac{1}{t}$。
  - 示例：计算$\displaystyle \int\frac{1}{x^{4}(1 + x^{2})}dx$。
    - 令$\displaystyle x=\frac{1}{t}$，则$\displaystyle dx=-\frac{1}{t^{2}}dt$。
    - 原积分
```
\displaystyle \int\frac{1}{x^{4}(1 + x^{2})}dx=\int\frac{t^{4}}{1 + t^{2}}\left(-\frac{1}{t^{2}}\right)dt=-\int\frac{t^{2}}{1 + t^{2}}dt
```
    - 进一步化简
```
\displaystyle =-\int\left(1-\frac{1}{1 + t^{2}}\right)dt=-t+\arctan t + C
```
    - 再把$\displaystyle t=\frac{1}{x}$代回，得到$\displaystyle -\frac{1}{x}+\arctan\frac{1}{x}+C$。
三角代换与双曲代换（补充方法）
- 三角代换：三角代换主要是利用三角函数之间的关系 $\sin^{2}t+\cos^{2}t = 1$，$\sec^{2}t-\tan^{2}t = 1$等来化简根式。
- 双曲代换(暂时没遇过)：
  - 双曲函数定义为$\displaystyle \sinh x=\frac{e^{x}-e^{-x}}{2}$，$\displaystyle \cosh x=\frac{e^{x}+e^{-x}}{2}$，且$\cosh^{2}x-\sinh^{2}x = 1$。
  - 当被积函数含有$\displaystyle \sqrt{x^{2}+a^{2}}$时，也可令$x = a\sinh t$，因为$\displaystyle \sqrt{x^{2}+a^{2}}=\sqrt{a^{2}\sinh^{2}t+a^{2}}=a\cosh t$，这样代换后可以简化积分运算。

分部积分法

分部积分公式

设函数$u = u(x)$及$v = v(x)$具有连续导数，那么


\int u(x)v^{\prime}(x)dx = u(x)v(x)-\int v(x)u^{\prime}(x)dx

也可以写成


\int udv = uv-\int vdu

有理函数的积分

就是拆开

定积分

暂无

积分中值定理

积分第一中值定理

若函数$f(x)$在闭区间$[a,b]$上连续，则在$[a,b]$上至少存在一点$\xi$，使得
```
\displaystyle \int_{a}^{b}f(x)dx = f(\xi)(b - a)
```

这个定理的几何意义是：对于在区间$[a,b]$上连续的函数$y = f(x)$，由曲线$y = f(x)$、$x=a$、$x = b$以及$x$轴所围成的曲边梯形的面积等于以区间$[a,b]$为底，以这个区间内某一点$\xi$处的函数值$f(\xi)$为高的矩形的面积。

积分第二中值定理

第一形式：设$f(x)$在$[a,b]$上可积，$g(x)$在$[a,b]$上单调递减且$g(x)\geq0$，则存在$\xi\in[a,b]$，使得


\int_{a}^{b}f(x)g(x)dx = g(a)\int_{a}^{\xi}f(x)dx

第二形式：设$f(x)$在$[a,b]$上可积，$g(x)$在$[a,b]$上单调，那么存在$\xi\in[a,b]$，使得


\int_{a}^{b}f(x)g(x)dx = g(a)\int_{a}^{\xi}f(x)dx+g(b)\int_{\xi}^{b}f(x)dx

泰勒公式

带佩亚诺余项

若函数$f(x)$在点$x_0$存在直至$n$阶导数，则


\displaystyle f(x)=f(x_0)+f'(x_0)(x - x_0)+\frac{f''(x_0)}{2!}(x - x_0)^2+\cdots+\frac{f^{(n)}(x_0)}{n!}(x - x_0)^n+o((x - x_0)^n)

其中$o((x - x_0)^n)$为佩亚诺余项，表示当$x\to x_0$时，余项是比$(x - x_0)^n$高阶的无穷小.

带拉格朗日余项

若函数$f(x)$在含有$x_0$的某个开区间$(a,b)$内具有$n + 1$阶导数，则对于$\forall x\in(a,b)$，有


f(x)=f(x_0)+f'(x_0)(x - x_0)+\frac{f''(x_0)}{2!}(x - x_0)^2+\cdots+\frac{f^{(n)}(x_0)}{n!}(x - x_0)^n+R_n(x)

其中$\displaystyle R_n(x)=\frac{f^{(n + 1)}(\xi)}{(n + 1)!}(x - x_0)^{n + 1}$，$\xi$是介于$x_0$与$x$之间的某个值.

常见泰勒公式

指数函数


e^x = 1 + x +\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!}+\cdots+\frac{x^n}{n!}+\cdots

对数函数


\ln(1 + x)=x-\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{3}-\cdots+(-1)^{n - 1}\frac{x^n}{n}+\cdots

三角函数

正弦函数：


\sin x = x -\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}-\cdots+(-1)^{n - 1}\frac{x^{2n - 1}}{(2n - 1)!}+\cdots

余弦函数：


\cos x = 1 -\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}-\cdots+(-1)^{n}\frac{x^{2n}}{(2n)!}+\cdots

正切函数：


\tan x = x +\frac{x^3}{3}+\frac{2x^5}{15}+\cdots

反三角函数

反正弦函数：


\arcsin x = x +\frac{1}{2}\cdot\frac{x^3}{3}+\frac{1\cdot3}{2\cdot4}\cdot\frac{x^5}{5}+\cdots

反正切函数：


\arctan x = x -\frac{x^3}{3}+\frac{x^5}{5}-\cdots+(-1)^{k - 1}\frac{x^{2k - 1}}{2k - 1}+\cdots

双曲函数

双曲正弦函数：


\sinh x = x +\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}+\cdots+(-1)^{k - 1}\frac{x^{2k - 1}}{(2k - 1)!}+\cdots

双曲余弦函数：


\cosh x = 1 +\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}+\cdots+(-1)^{k}\frac{x^{2k}}{(2k)!}+\cdots

幂函数


(1 + x)^{\alpha}=1+\alpha x+\frac{\alpha(\alpha - 1)}{2!}x^{2}+\cdots+\frac{\alpha(\alpha - 1)\cdots(\alpha - n + 1)}{n!}x^{n}+\cdots

自己推到:

麦克劳林展开式为：


f(x)=f(0)+f'(0)x+\frac{f''(0)}{2!}x^{2}+\frac{f'''(0)}{3!}x^{3}+\cdots+\frac{f^{(n)}(0)}{n!}x^{n}+r_{n}(x)

其中$r_{n}(x)$为余项

体积

暂无

弧长

（1）直角坐标形式

若曲线的方程为$y = f(x)$，$a\leq x\leq b$，且$f(x)$在区间$[a,b]$上具有连续导数，则曲线弧长$s$的计算公式为：


s=\int_{a}^{b}\sqrt{1 + [f'(x)]^{2}}dx

（2）参数方程形式

若曲线由参数方程$\left{\begin{array}{l}x = x(t)\y = y(t)\end{array}\right.$给出，$\alpha\leq t\leq\beta$，其中$x(t)$、$y(t)$在区间$[\alpha,\beta]$上具有连续导数，则曲线弧长$s$的计算公式为：


s=\int_{\alpha}^{\beta}\sqrt{[x'(t)]^{2}+[y'(t)]^{2}}dt

（3）极坐标形式

若曲线的极坐标方程为$\rho = \rho(\theta)$，$\alpha\leq\theta\leq\beta$，且$\rho(\theta)$在区间$[\alpha,\beta]$上具有连续导数，则曲线弧长$s$的计算公式为：


s=\int_{\alpha}^{\beta}\sqrt{\rho^{2}(\theta)+[\rho'(\theta)]^{2}}d\theta

曲率

直角坐标系的曲率


\left|\frac{y^{\prime\prime}}{\left[1+(y^{\prime})^{2}\right]^{\frac{3}{2}}}\right|

参数方程的曲率

若曲线由参数方程$\left{\begin{array}{l}x = x(t)\y = y(t)\end{array}\right.$给出，$t$为参数。则$x^{\prime}=x^{\prime}(t)$，$y^{\prime}=y^{\prime}(t)$，$x^{\prime\prime}=x^{\prime\prime}(t)$，$y^{\prime\prime}=y^{\prime\prime}(t)$。

曲率公式为


\left|\frac{x^{\prime}(t)y^{\prime\prime}(t)-x^{\prime\prime}(t)y^{\prime}(t)}{\left[(x^{\prime}(t))^{2}+(y^{\prime}(t))^{2}\right]^{\frac{3}{2}}}\right|

面积

直角坐标下求面积
- 设函数$y = f(x)$在区间$[a,b]$上连续且$f(x)\geqslant0$，那么由曲线$y = f(x)$，直线$x = a$，$x = b$以及$x$轴所围成的曲边梯形的面积
```
\int_{a}^{b}f(x)dx
```
极坐标下求面积
- 由极坐标方程$\rho=\rho(\theta)$，$\alpha\leqslant\theta\leqslant\beta$所围成的图形的面积
```
S=\frac{1}{2}\int_{\alpha}^{\beta}\rho^{2}(\theta)d\theta
```
参数方程下求面积
- 若曲线$C$的参数方程为$\left{\begin{array}{l}x = x(t)\y = y(t)\end{array}\right.$，$\alpha\leqslant t\leqslant\beta$，且$x(t)$，$y(t)$具有连续的一阶导数，$x^{\prime}(t)$不变号。
- 当$x^{\prime}(t)>0$时，曲线$C$与直线$x = a,x = b,y = 0$所围成的图形的面积
```
A=\int_{\alpha}^{\beta}y(t)x^{\prime}(t)dt
```

直角坐标与极坐标的转换关系

直角坐标用$(x,y)$表示，极坐标用$(\rho,\theta)$表示，它们之间的转换公式为$x = \rho\cos\theta$，$y=\rho\sin\theta$，且\rho^{2}=x^{2} + y^{2}

一些例题

求极限


\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n \frac{\ln (1+1 / i)}{\sin 1 / i}

解答：


\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n \frac{\ln (1+1 / i)}{\sin 1 / i}=\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{\ln (1+1 / n)}{\sin 1 / n}=\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\ln (1+x)}{\sin x}=1

黎曼和

当分割子区间的最大长度$\lambda \to 0$（$n\to+\infty$且分割越来越细）时，黎曼和的极限若存在，就是函数$f(x)$在区间$[a,b]$上的定积分，即


\int_{a}^{b}f(x)dx=\lim\limits_{\lambda\to0}\sum_{i = 1}^{n}f(\xi_{i})\Delta x_{i}

第十章数项级数

一、正项级数敛散性判别法

（一）比较判别法

原理：设$\displaystyle\sum_{n = 1}^{\infty}a_{n}$和$\displaystyle\sum_{n = 1}^{\infty}b_{n}$是两个正项级数，且$a_{n}\leq b_{n}(n = 1,2,\cdots)$。若$\displaystyle\sum_{n = 1}^{\infty}b_{n}$收敛，则$\displaystyle\sum_{n = 1}^{\infty}a_{n}$也收敛；若$\displaystyle\sum_{n = 1}^{\infty}a_{n}$发散，则$\displaystyle\sum_{n = 1}^{\infty}b_{n}$也发散。
例如：判断$\displaystyle\sum_{n = 1}^{\infty}\frac{1}{n^{2}+ 1}$的敛散性。因为$\displaystyle\frac{1}{n^{2}+1}<\frac{1}{n^{2}}$，而$\displaystyle\sum_{n = 1}^{\infty}\frac{1}{n^{2}}$是收敛的$p$级数（$p = 2>1$），所以$\displaystyle\sum_{n = 1}^{\infty}\frac{1}{n^{2}+1}$收敛。

（二）比较判别法的极限形式

原理：设$\displaystyle\sum_{n = 1}^{\infty}a_{n}$和$\displaystyle\sum_{n = 1}^{\infty}b_{n}$是两个正项级数，且$\displaystyle\lim_{n \rightarrow \infty}\frac{a_{n}}{b_{n}} = l$（ $ 0 < l <+\infty$），则$\displaystyle\sum_{n = 1}^{\infty}a_{n}$与$\displaystyle\sum_{n = 1}^{\infty}b_{n}$敛散性相同。
例如：判断$\displaystyle\sum_{n = 1}^{\infty}\sin\frac{1}{n}$的敛散性。因为$\displaystyle\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{\sin\frac{1}{n}}{\frac{1}{n}} = 1$，而$\displaystyle\sum_{n = 1}^{\infty}\frac{1}{n}$发散，所以$\displaystyle\sum_{n = 1}^{\infty}\sin\frac{1}{n}$发散。

（三）比值判别法（达朗贝尔判别法）

原理：设$\displaystyle\sum_{n = 1}^{\infty}a_{n}$是正项级数，且$\displaystyle\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{a_{n + 1}}{a_{n}}=\rho$。当$\displaystyle\rho<1$时，级数$\displaystyle\sum_{n = 1}^{\infty}a_{n}$收敛；当$\displaystyle\rho>1$（包括$\displaystyle\rho = +\infty$）时，级数$\displaystyle\sum_{n = 1}^{\infty}a_{n}$发散；当$\displaystyle\rho = 1$时，判别法失效。
例如：判断$\displaystyle\sum_{n = 1}^{\infty}\frac{n!}{n^{n}}$的敛散性。计算$\displaystyle\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{a_{n+1}}{a_{n}}=\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{(n + 1)!}{(n+1)^{n+1}}\cdot\frac{n^{n}}{n!}=\lim_{n\rightarrow\infty}\left(\frac{n}{n + 1}\right)^{n}=\frac{1}{e}<1$，所以级数收敛。

（四）根值判别法（柯西判别法）

原理：设$\displaystyle\sum_{n = 1}^{\infty}a_{n}$是正项级数，且$\displaystyle\lim_{n\rightarrow\infty}\sqrt[n]{a_{n}}=\rho$。当$\displaystyle\rho<1$时，级数$\displaystyle\sum_{n = 1}^{\infty}a_{n}$收敛；当$\displaystyle\rho>1$（包括$\displaystyle\rho = +\infty$）时，级数$\displaystyle\sum_{n = 1}^{\infty}a_{n}$发散；当$\displaystyle\rho = 1$时，判别法失效。
例如：判断$\displaystyle\sum_{n = 1}^{\infty}\left(\frac{n}{2n+1}\right)^{n}$的敛散性。$\displaystyle\lim_{n\rightarrow\infty}\sqrt[n]{a_{n}}=\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{n}{2n + 1}=\frac{1}{2}<1$，所以该级数收敛。

（五）积分判别法

原理：设$f(x)$是$[1,+\infty)$上非负、单调递减的连续函数，令$a_{n}=f(n)$，则级数$\displaystyle\sum_{n = 1}^{\infty}a_{n}$与反常积分$\displaystyle\int_{1}^{+\infty}f(x)dx$同敛散。
例如：判断$\displaystyle\sum_{n = 2}^{\infty}\frac{1}{n\ln n}$的敛散性。考虑函数$f(x)=\frac{1}{x\ln x}$，$\displaystyle\int_{2}^{+\infty}\frac{1}{x\ln x}dx=\lim_{t\rightarrow+\infty}\int_{2}^{t}\frac{1}{x\ln x}dx=\lim_{t\rightarrow+\infty}[\ln(\ln x)]{2}^{t}=+\infty$，所以级数$\displaystyle\sum{n = 2}^{\infty}\frac{1}{n\ln n}$发散。

（六）拉阿比判别法

原理：设$\displaystyle\sum_{n = 1}^{\infty}a_{n}$是正项级数，且$\displaystyle\lim_{n \to \infty} n\left(\frac{a_{n}}{a_{n + 1}} - 1\right)=R$。
- 当$R > 1$时，级数$\displaystyle\sum_{n = 1}^{\infty}a_{n}$收敛；
- 当$R < 1$时，级数$\displaystyle\sum_{n = 1}^{\infty}a_{n}$发散；
- 当$R = 1$时，判别法失效。
例如：判断级数$\displaystyle\sum_{n = 1}^{\infty}\frac{(2n)!}{(n!)^{2}}\cdot\frac{1}{2^{n}}$的敛散性。计算$\displaystyle\lim_{n \to \infty} n\left(\frac{a_{n}}{a_{n + 1}} - 1\right)$：


\begin{align*}
a_{n}&=\frac{(2n)!}{(n!)^{2}}\cdot\frac{1}{2^{n}}\\
a_{n + 1}&=\frac{(2(n + 1))!}{((n + 1)!)^{2}}\cdot\frac{1}{2^{n + 1}}\\
\frac{a_{n}}{a_{n + 1}}&=\frac{(2n)!}{(n!)^{2}}\cdot\frac{1}{2^{n}}\cdot\frac{((n + 1)!)^{2}}{(2(n + 1))!}\cdot 2^{n + 1}\\
&=\frac{(2n)!}{(n!)^{2}}\cdot\frac{((n + 1)!)^{2}}{(2n + 2)!}\cdot 2\\
&=\frac{(2n)!}{(n!)^{2}}\cdot\frac{(n + 1)^{2}\cdot (n!)^{2}}{(2n + 2)\cdot(2n + 1)\cdot(2n)!}\cdot 2\\
&=\frac{(n + 1)^{2}}{(2n + 2)\cdot(2n + 1)}\cdot 2\\
&=\frac{(n + 1)^{2}}{(n + 1)(2n + 1)}\cdot 2\\
&=\frac{n + 1}{2n + 1}\cdot 2
\end{align*}


\begin{align*}
\lim_{n \to \infty} n\left(\frac{a_{n}}{a_{n + 1}} - 1\right)&=\lim_{n \to \infty} n\left(\frac{n + 1}{2n + 1}\cdot 2 - 1\right)\\
&=\lim_{n \to \infty} n\left(\frac{2n + 2 - (2n + 1)}{2n + 1}\right)\\
&=\lim_{n \to \infty} n\cdot\frac{1}{2n + 1}\\
&=\lim_{n \to \infty}\frac{n}{2n + 1}\\
&=\frac{1}{2} < 1
\end{align*}

所以级数$\displaystyle\sum_{n = 1}^{\infty}\frac{(2n)!}{(n!)^{2}}\cdot\frac{1}{2^{n}}$发散。

二、交错级数敛散性判别法

（一）莱布尼茨判别法

原理：对于交错级数$\displaystyle\sum_{n = 1}^{\infty}(- 1)^{n - 1}a_{n}(a_{n}>0)$，如果$a_{n}\geq a_{n + 1}(n = 1,2,\cdots)$，且$\displaystyle\lim_{n\rightarrow\infty}a_{n}=0$，那么交错级数$\displaystyle\sum_{n = 1}^{\infty}(-1)^{n-1}a_{n}$收敛。
例如：判断$\displaystyle\sum_{n = 1}^{\infty}(-1)^{n - 1}\frac{1}{n}$的敛散性。$a_{n}=\frac{1}{n}$，显然$\displaystyle\frac{1}{n}\geq\frac{1}{n + 1}$，且$\displaystyle\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{1}{n}=0$，所以该交错级数收敛。

三、任意项级数敛散性判别法

（一）绝对收敛判别法

原理：若$\displaystyle\sum_{n = 1}^{\infty}\vert a_{n}\vert$收敛，则$\displaystyle\sum_{n = 1}^{\infty}a_{n}$绝对收敛，且$\displaystyle\sum_{n = 1}^{\infty}a_{n}$收敛。
例如：判断$\displaystyle\sum_{n = 1}^{\infty}\frac{\sin n}{n^{2}}$的敛散性。因为$\displaystyle\left|\frac{\sin n}{n^{2}}\right|\leq\frac{1}{n^{2}}$，而$\displaystyle\sum_{n = 1}^{\infty}\frac{1}{n^{2}}$收敛，所以$\displaystyle\sum_{n = 1}^{\infty}\frac{\sin n}{n^{2}}$绝对收敛，从而该级数收敛。

（二）条件收敛判别法

如果$\displaystyle\sum_{n = 1}^{\infty}a_{n}$收敛，但$\displaystyle\sum_{n = 1}^{\infty}\vert a_{n}\vert$发散，则$\displaystyle\sum_{n = 1}^{\infty}a_{n}$条件收敛。例如$\displaystyle\sum_{n = 1}^{\infty}(-1)^{n - 1}\frac{1}{n}$收敛，但$\displaystyle\sum_{n = 1}^{\infty}\left|(-1)^{n - 1}\frac{1}{n}\right|=\sum_{n = 1}^{\infty}\frac{1}{n}$发散，所以$\displaystyle\sum_{n = 1}^{\infty}(-1)^{n - 1}\frac{1}{n}$条件收敛。

第十一章到第十三章

狄利克雷判别法：

一、数项级数的狄利克雷判别法

设级数$\sum_{n=1}^{\infty}a_n b_n$，如果满足：

部分和序列$A_n = \sum_{k=1}^{n}a_k$有界，即存在常数$M$，使得对所有$n$，都有：


|A_n| = \left|\sum_{k=1}^{n}a_k\right| \leq M

数列${b_n}$单调趋于零，即：
- 单调递减或单调递增； $\lim_{n \to \infty} b_n = 0$。

则级数$\sum_{n=1}^{\infty} a_n b_n$收敛。

二、函数项级数的狄利克雷判别法

设函数项级数：


\sum_{n=1}^{\infty} a_n(x)b_n(x)

如果满足：

对每个固定的$x$，部分和序列


A_n(x) = \sum_{k=1}^{n} a_k(x)

有界，即存在常数$M(x)$，使得：


|A_n(x)|\leq M(x)

函数序列${b_n(x)}$对$n$单调趋于零，即满足：
- 单调性：对于每个固定的$x$，$b_n(x)$关于$n$单调递减或递增；
- 极限性：对每个固定的$x$，有$\lim_{n \to \infty} b_n(x) = 0$。

则函数项级数$\sum_{n=1}^{\infty} a_n(x)b_n(x)$收敛。

三、广义积分的狄利克雷判别法

设积分：


\int_{a}^{+\infty} f(x)g(x)\,\mathrm{d}x

如果满足：

积分的原函数


F(x)=\int_{a}^{x}f(t)\,\mathrm{d}t

有界，即存在常数$M$，使得：


|F(x)|\leq M, \quad x \ge a

函数$g(x)$满足：
- 在区间$[a,+\infty)$上单调趋于零； $\lim_{x \to +\infty} g(x)=0$。

则广义积分$\int_{a}^{+\infty} f(x)g(x),\mathrm{d}x$收敛。

四、瑕积分的狄利克雷判别法

设积分存在瑕点$x = a$（假设瑕点为积分下限，其他点类似），考虑积分：


\int_{a}^{b}f(x)g(x)\,\mathrm{d}x

如果满足：

积分的原函数：


F(x)=\int_{a}^{x}f(t)\,\mathrm{d}t

在靠近瑕点$x=a$时有界。

函数$g(x)$满足：
- 在$(a,b]$上单调趋于零（当$x \to a^+$时）； -$\lim_{x \to a^+}g(x)=0$。

则瑕积分$\int_{a}^{b}f(x)g(x),\mathrm{d}x$收敛。

阿贝尔判别法：

一、数项级数的阿贝尔判别法

考虑级数：


\sum_{n=1}^{\infty} a_n b_n

如果满足以下两个条件：

级数$\sum_{n=1}^{\infty} a_n$收敛（而非仅仅有界）；
数列${b_n}$为单调有界数列，即：
- 存在有限的常数$M$，使得$|b_n|\leq M$，且单调（递增或递减）。

则级数$\sum_{n=1}^{\infty} a_n b_n$收敛。

二、函数项级数的阿贝尔判别法

判别法描述：

考虑函数项级数：


\sum_{n=1}^{\infty} a_n(x) b_n(x)

如果满足：

对每个固定的$x$，级数


\sum_{n=1}^{\infty} a_n(x)

收敛；

对每个固定的$x$，函数序列${b_n(x)}$单调有界，即：
- 存在常数$M(x)$，使得对所有$n$，$|b_n(x)|\leq M(x)$；
- 对于固定的$x$，关于$n$单调递增或递减。

则函数项级数$\sum_{n=1}^{\infty}a_n(x)b_n(x)$收敛。

三、广义积分的阿贝尔判别法

判别法描述：

考虑广义积分：


\int_{a}^{+\infty} f(x)g(x)\,\mathrm{d}x

如果满足：

积分$\int_{a}^{+\infty} f(x),\mathrm{d}x$收敛；
函数$g(x)$在区间$[a,+\infty)$上单调有界，即：
- 存在常数$M$，使得$|g(x)|\leq M$，且$g(x)$在$[a,+\infty)$上单调。

则广义积分$\int_{a}^{+\infty} f(x)g(x),\mathrm{d}x$收敛。

四、瑕积分的阿贝尔判别法

判别法描述：

考虑具有瑕点的积分（例如积分下限有瑕点$a$）：


\int_{a}^{b} f(x)g(x)\,\mathrm{d}x

如果满足：

瑕积分$\int_{a}^{b} f(x),\mathrm{d}x$收敛；
函数$g(x)$在$(a,b]$上单调有界，即：
- 存在常数$M$，使得对所有$x\in(a,b]$，有$|g(x)|\leq M$；
- 在区间靠近瑕点$a$时，函数$g(x)$是单调的。

则瑕积分$\int_{a}^{b} f(x)g(x),\mathrm{d}x$收敛。

总结成一句话：

狄利克雷 判别法：部分和有界 (震荡) × 单调趋零 = 收敛。
阿贝尔 判别法：已知收敛 (收敛×单调有界) = 收敛。

第十四章傅里叶级数

一、傅里叶级数的基本概念与公式

一个定义在区间$[-l, l]$上周期为$2l$的函数$f(x)$，可表示成傅里叶级数：


f(x) = \frac{a_0}{2} + \sum_{n=1}^{\infty} \left[a_n\cos\frac{n\pi x}{l} + b_n\sin\frac{n\pi x}{l}\right]

系数计算公式：

常数项$a_0$：


a_0 = \frac{1}{l}\int_{-l}^{l}f(x)\,dx

余弦项系数$a_n$（$n\geq 1$）：


a_n = \frac{1}{l}\int_{-l}^{l}f(x)\cos\frac{n\pi x}{l}\,dx

正弦项系数$b_n$（$n\geq 1$）：


b_n = \frac{1}{l}\int_{-l}^{l}f(x)\sin\frac{n\pi x}{l}\,dx

二、傅里叶级数的特殊区间（常见）:

（一）区间$[-\pi,\pi]$（标准区间）

若函数定义在$[- \pi,\pi]$，周期为$2\pi$，傅里叶级数为：


f(x)=\frac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^{\infty}(a_n\cos nx+b_n\sin nx)

系数公式：


a_0=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(x)\,dx,\quad
a_n=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(x)\cos nx\,dx,\quad
b_n=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(x)\sin nx\,dx

（二）区间`[0,2\pi]`

若函数定义在区间$[0,2\pi]$，周期为$2\pi$，傅里叶级数展开为：


f(x)=\frac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^{\infty}(a_n\cos nx+b_n\sin nx)

系数计算：


a_0=\frac{1}{\pi}\int_{0}^{2\pi}f(x)\,dx,\quad
a_n=\frac{1}{\pi}\int_{0}^{2\pi}f(x)\cos nx\,dx,\quad
b_n=\frac{1}{\pi}\int_{0}^{2\pi}f(x)\sin nx\,dx

（三）区间$[-l,l]$（一般区间）

一般区间的情况（区间长度为$2l$），傅里叶级数通式为：


f(x)=\frac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^{\infty}\left(a_n\cos\frac{n\pi x}{l}+b_n\sin\frac{n\pi x}{l}\right)

系数计算：


a_0=\frac{1}{l}\int_{-l}^{l}f(x)\,dx,\quad
a_n=\frac{1}{l}\int_{-l}^{l}f(x)\cos\frac{n\pi x}{l}\,dx,\quad
b_n=\frac{1}{l}\int_{-l}^{l}f(x)\sin\frac{n\pi x}{l}\,dx

三、小结（核心公式记忆）：

通式记忆：


f(x)=\frac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^{\infty}(a_n\cos\frac{n\pi x}{l}+b_n\sin\frac{n\pi x}{l})

一般系数公式：


a_0=\frac{1}{l}\int_{-l}^{l}f(x)dx,\quad
a_n=\frac{1}{l}\int_{-l}^{l}f(x)\cos\frac{n\pi x}{l}dx,\quad
b_n=\frac{1}{l}\int_{-l}^{l}f(x)\sin\frac{n\pi x}{l}dx

区间特化记忆：
- 标准区间$[-\pi,\pi]$时，公式中$l=\pi$；
- 区间$[0,2\pi]$时，积分区间改为$[0,2\pi]$。

第十五章——第二十章

一、二元函数的极限与连续性

1. 函数极限定义

假设函数$f(x,y)$定义在点$(x_0,y_0)$的去心领域内，若对任意路径$(x,y)\rightarrow(x_0,y_0)$，极限值均存在且相等，则记为极限：


\lim_{(x,y)\to(x_0,y_0)} f(x,y)=L

2. 二元函数极限存在判定

当沿不同路径趋于同一点的极限值不同时，则该二元函数极限不存在。

常用方法：

沿特殊路径（如x = x_0,$y = y_0$,$y = k(x - x_0)$等）求极限并比较。
极坐标法：将$(x, y)$替换为$(r\cos\theta, r\sin\theta)$，考察当$r \to 0$时的极限。

3. 二元函数的连续性

若二元函数满足：


\lim_{(x,y)\to(x_0,y_0)}f(x,y)=f(x_0,y_0)

则称函数在点$(x_0,y_0)$连续。

连续函数的性质：

基本运算法则（加、减、乘、除、复合运算）在连续点均保持连续。
多项式函数、指数函数、三角函数在定义域内连续。

二、二元函数的偏导数与高阶偏导

1. 偏导数定义

给定二元函数$z = f(x, y)$，偏导数表示函数沿坐标轴方向的变化率：


f_x(x,y)=\frac{\partial f}{\partial x}=\lim_{\Delta x \to 0}\frac{f(x+\Delta x,y)-f(x,y)}{\Delta x}


f_y(x,y)=\frac{\partial f}{\partial y}=\lim_{\Delta y \to 0}\frac{f(x,y+\Delta y)-f(x,y)}{\Delta y}

2. 高阶偏导

常见的二阶偏导：


f_{xx}(x,y)=\frac{\partial^2 f}{\partial x^2}, \quad f_{yy}(x,y)=\frac{\partial^2 f}{\partial y^2},\quad f_{xy}(x,y)=\frac{\partial^2 f}{\partial y \partial x},\quad f_{yx}(x,y)=\frac{\partial^2 f}{\partial x \partial y}

偏导连续、光滑函数具有性质：


f_{xy}(x,y)=f_{yx}(x,y)

（克莱罗定理）

三、二元函数的可微性与全微分

1. 二元函数的可微定义

设二元函数$z=f(x,y)$，若其变化量可表示为线性主部与高阶无穷小之和：


\Delta z = f(x+\Delta x,y+\Delta y)-f(x,y)=f_x(x,y)\Delta x+f_y(x,y)\Delta y+o(\rho),\quad(\rho=\sqrt{\Delta x^2+\Delta y^2})

且满足：


\lim_{\rho\to 0}\frac{o(\rho)}{\rho}=0

则称函数在该点可微。其中：

-$f_x(x,y), f_y(x,y)$为函数在$(x,y)$点的偏导数。 -$o(\rho)$为高阶无穷小量，其在点邻域内趋于零的速度快于线性小量$\rho$。

几何意义：可微函数在该点局部表现如同一个线性函数，且误差项相对于线性近似部分极小，保证函数在该点附近可用线性函数很好地逼近。

2. 全微分形式

若函数在点$(x,y)$可微，则全微分为：


dz = f_x(x,y)dx + f_y(x,y)dy

作为函数在该点的线性近似。

3. 可微性与连续性、偏导关系：

函数可微 ⇒ 函数必定连续，且偏导数存在。但偏导数存在不能保证函数一定可微。充分条件（常见判定定理）：

若函数两个偏导数在点附近连续，则该函数在该点一定可微。

四、二元函数的极值与最小二乘法

1. 极值

若点$(x_0, y_0)$为极值点（可能极大或极小），则有：


f_x(x_0,y_0)=0,\quad f_y(x_0,y_0)=0

二阶导数判别法

定义 Hessian 判别式：


H =
\begin{vmatrix}
f_{xx}(x_0,y_0) & f_{xy}(x_0,y_0) \\
f_{yx}(x_0,y_0) & f_{yy}(x_0,y_0)
\end{vmatrix}

若$H>0, f_{xx}(x_0,y_0)>0$，点为极小；
若$H>0, f_{xx}(x_0,y_0)<0$，点为极大；
若$H<0$，则为鞍点，不为极值点。

2. 最小二乘法（Least Squares Method）

拟合数据曲线，用以确定线性模型参数：

对于拟合函数$y = ax + b$，最小化平方误差之和：


S(a,b) = \sum_{i=1}^{n}(y_i - ax_i - b)^2

通过偏导求驻点建立法方程：


\frac{\partial S}{\partial a}=0,\quad \frac{\partial S}{\partial b}=0

由此解出最优参数$a, b$。

五、条件极值与拉格朗日乘数法

求函数$f(x,y)$在约束条件$g(x,y)=0$下的极值。

构建拉格朗日函数：


L(x,y,\lambda)=f(x,y)-\lambda g(x,y)

其中$g(x,y)=h(x,y)-c$为约束函数。

由方程组：


\nabla L = 0 \Rightarrow
\begin{cases}
f_x(x,y)-\lambda g_x(x,y)=0 \\
f_y(x,y)-\lambda g_y(x,y)=0 \\
g(x,y)=0
\end{cases}

求解确定极值点。

六、含参变量的积分、广义积分与欧拉积分

1. 含参变量积分

积分形式：


F(a)=\int_{u(a)}^{v(a)} f(x,a)\,dx

求导法则（Leibniz公式）：


F'(a)=f[v(a),a]\cdot v'(a)-f[u(a),a]\cdot u'(a)+\int_{u(a)}^{v(a)} \frac{\partial f}{\partial a}(x,a)\,dx

2. 广义积分

例如：


\int_{0}^{+\infty} f(x,a)\,dx

判断广义积分收敛的常用方法：

比较判别法
极限判别法

3. 欧拉积分

第一类欧拉积分（Beta函数）：


B(x,y)=\int_0^1 t^{x-1}(1-t)^{y-1}\,dt,\quad x>0,y>0

第二类欧拉积分（Gamma函数）：


\Gamma(x)=\int_0^{+\infty} t^{x-1}e^{-t}\,dt,\quad x>0

两者关系：


B(x,y)=\frac{\Gamma(x)\Gamma(y)}{\Gamma(x+y)}

七、重积分

二重积分定义

设区域$D$为闭区域，则二重积分表示为：


\iint_{D} f(x,y)\,dxdy

计算方法

直角坐标系下的积分：


\iint_{D} f(x,y)\,dxdy=\int_{x=a}^{x=b}\int_{y=g_1(x)}^{y=g_2(x)} f(x,y)\,dydx

极坐标变换：


x=r\cos\theta,\quad y=r\sin\theta,\quad dxdy=r\,drd\theta

应用

求面积、体积、质量、重心等
交换积分次序 (Fubini定理)：


\int_{x=a}^{x=b}\int_{y=c}^{y=d}f(x,y)\,dydx=\int_{y=c}^{y=d}\int_{x=a}^{x=b}f(x,y)\,dxdy

40 KiB Raw Blame History Unescape Escape

数学分析笔记

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完整笔记

第一章 序章

第二章 函数

三角函数和反函数

三角函数

反三角函数

第三章 极限

数列的极限

数列极限的$\varepsilon - N$语言证明

利用夹迫性证明数列极限

函数的极限

函数连续性

无限小量和无限大量

第四章 微分和微商

各种函数的导数

莱布尼兹公式

公式表述

第五章 中值定理

拉格朗日中值定理

洛必达

函数的极限

函数凹凸性

函数拐点

第六章&第七章&第八章 积分

不定积分基本公式

补充

换元积分

分部积分法

有理函数的积分

定积分

积分中值定理

泰勒公式

带佩亚诺余项

带拉格朗日余项

常见泰勒公式

指数函数

对数函数

三角函数

反三角函数

双曲函数

幂函数

自己推到:

体积

弧长

（1）直角坐标形式

（2）参数方程形式

（3）极坐标形式

曲率

面积

直角坐标与极坐标的转换关系

一些例题

黎曼和

第十章 数项级数

一、正项级数敛散性判别法

（一）比较判别法

（二）比较判别法的极限形式

（三）比值判别法（达朗贝尔判别法）

（四）根值判别法（柯西判别法）

（五）积分判别法

（六）拉阿比判别法

二、交错级数敛散性判别法

（一）莱布尼茨判别法

三、任意项级数敛散性判别法

（一）绝对收敛判别法

（二）条件收敛判别法

第十一章到第十三章

狄利克雷判别法：

一、数项级数的狄利克雷判别法

二、函数项级数的狄利克雷判别法

三、广义积分的狄利克雷判别法

四、瑕积分的狄利克雷判别法

阿贝尔判别法：

一、数项级数的阿贝尔判别法

二、函数项级数的阿贝尔判别法

判别法描述：

40 KiB

Raw Blame History

第一章序章

第二章函数

第三章极限

第四章微分和微商

第五章中值定理

第六章&第七章&第八章积分

第十章数项级数

第十四章傅里叶级数

（二）区间`[0,2\pi]`