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四、连续型随机变量分布

1. 均匀分布 U(a, b)

概率密度函数：

f(x) = \begin{cases} \frac{1}{b-a}, & a \leq x \leq b \\ 0, & 其他 \end{cases}

分布函数：

F(x) = \begin{cases} 0, & x < a \\ \frac{x-a}{b-a}, & a \leq x \leq b \\ 1, & x > b \end{cases}

期望与方差：

• E(X) = \frac{a+b}{2}
• D(X) = \frac{(b-a)^2}{12}

适用场景关键词：

• "等可能"、"随机取一点"
• "在[a,b]上均匀分布"
• 舍入误差、随机数生成

例题特征：

公交车每10分钟一班，乘客随机到达，求等待时间不超过3分钟的概率。 → X ~ U(0, 10), P(X ≤ 3) = 0.3

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2. 指数分布 Exp(λ)

概率密度函数：

f(x) = \begin{cases} \lambda e^{-\lambda x}, & x \geq 0 \\ 0, & x < 0 \end{cases}

分布函数：

F(x) = \begin{cases} 1 - e^{-\lambda x}, & x \geq 0 \\ 0, & x < 0 \end{cases}

期望与方差：

• E(X) = \frac{1}{\lambda}
• D(X) = \frac{1}{\lambda^2}

无记忆性：P(X > s+t | X > s) = P(X > t)

重要结论：$P(X > a) = e^{-\lambda a}$（$a>0$）

适用场景关键词：

• "寿命"、"等待时间"、"服务时间"
• "无记忆性"
• 电子元件寿命、顾客到达间隔、放射性衰变间隔
• 与泊松过程相关（泊松过程的时间间隔服从指数分布）

重要关系：若单位时间内事件发生次数 ~ P(λ)，则相邻事件的时间间隔 ~ Exp(λ)

例题特征：

某元件寿命服从参数λ=0.01的指数分布，求使用超过100小时的概率。 → P(X > 100) = e^(-0.01×100) = e^(-1)

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3. 正态分布 N(μ, σ²)

概率密度函数：

f(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma} e^{-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}}, \quad -\infty < x < +\infty

期望与方差：

• E(X) = \mu
• D(X) = \sigma^2

标准化：若 $X \sim N(\mu, \sigma^2)$，则 Z = \frac{X-\mu}{\sigma} \sim N(0,1)

标准正态分布：Z \sim N(0,1)

• 密度函数：\varphi(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-x^2/2}
• 分布函数：\Phi(x) = P(Z \le x)

区间概率：若 $X \sim N(\mu, \sigma^2)$，则

P(a < X \le b) = \Phi\left(\frac{b-\mu}{\sigma}\right) - \Phi\left(\frac{a-\mu}{\sigma}\right)

标准正态性质：

• \Phi(-x) = 1 - \Phi(x)
• \Phi(0) = \frac{1}{2}
• $P(|Z| \le a) = 2\Phi(a) - 1$（$a>0$）

密度识别：若 $f(x) = A e^{ax^2+bx+c}$，$a<0$，$-\infty < x < +\infty$，则X为正态分布

重要性质：

• 对称性：\Phi(-x) = 1 - \Phi(x)
• P(|X-\mu| < \sigma) \approx 68.27\%
• P(|X-\mu| < 2\sigma) \approx 95.45\%
• P(|X-\mu| < 3\sigma) \approx 99.73\% (3σ原则)

适用场景关键词：

• 测量误差、身高体重、考试成绩
• "正态分布"、"高斯分布"
• 大量独立随机因素叠加的结果

例题特征：

X ~ N(100, 16)，求P(92 < X < 108)。 → 标准化：P(-2 < Z < 2) = 2Φ(2) - 1

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4. 伽马分布 Γ(α, λ)

概率密度函数：

f(x) = \begin{cases} \frac{\lambda^\alpha}{\Gamma(\alpha)} x^{\alpha-1} e^{-\lambda x}, & x > 0 \\ 0, & x \leq 0 \end{cases}

期望与方差：

• E(X) = \frac{\alpha}{\lambda}
• D(X) = \frac{\alpha}{\lambda^2}

特殊情况：

• α=1 时为指数分布 Exp(λ)
• α=n/2, λ=1/2 时为 χ²(n) 分布