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六、随机变量的数字特征

1. 数学期望

定义：

离散型：设$P{X = x_k} = p_k$，若$\sum_{k=1}^{\infty} x_k p_k$绝对收敛，则

E(X) = \sum_{k=1}^{\infty} x_k p_k

连续型：若$\int_{-\infty}^{\infty} xf(x)dx$绝对收敛，则

E(X) = \int_{-\infty}^{\infty} xf(x)dx

随机变量函数的期望：

设$Y = g(X)$，g是连续函数

• 离散型：E(Y) = E[g(X)] = \sum_{k=1}^{\infty} g(x_k)p_k
• 连续型：E(Y) = E[g(X)] = \int_{-\infty}^{\infty} g(x)f(x)dx

数学期望性质：

1. 设C是常数，则E(C) = C
2. 设X是随机变量，C是常数，则E(X + C) = E(X) + C
3. 设X是随机变量，C是常数，则E(CX) = CE(X)
4. 设X,Y是两个随机变量，则$E(X \pm Y) = E(X) \pm E(Y)$（可推广到任意有限个）
5. 设X,Y是相互独立的随机变量，则$E(XY) = E(X)E(Y)$（可推广到任意有限个）

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2. 方差与标准差

定义：D(X) = E\{[X - E(X)]^2\}

计算公式：D(X) = E(X^2) - [E(X)]^2

标准差：\sigma(X) = \sqrt{D(X)}

方差的计算：

离散型：D(X) = \sum_{k=1}^{\infty} [x_k - E(X)]^2 p_k

连续型：D(X) = \int_{-\infty}^{\infty} [x - E(X)]^2 f(x)dx

方差性质：

1. 设C是常数，则D(C) = 0
2. 设X是随机变量，C是常数，则$D(CX) = C^2D(X)$，D(X + C) = D(X)
3. 设X,Y是两个随机变量，则 D(X \pm Y) = D(X) + D(Y) \pm 2Cov(X,Y) 特别地，若X,Y相互独立，则D(X \pm Y) = D(X) + D(Y)
4. $D(X) = 0$的充要条件是X以概率1取常数$E(X)$，即P\{X = E(X)\} = 1

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3. 协方差

定义：Cov(X,Y) = E\{[X - E(X)][Y - E(Y)]\}

计算公式：Cov(X,Y) = E(XY) - E(X)E(Y)

性质：

1. $Cov(X,Y) = Cov(Y,X)$（对称性）
2. $Cov(X,C) = 0$（C为常数）
3. Cov(X,X) = D(X)
4. $Cov(aX, bY) = ab \cdot Cov(X,Y)$，a,b是常数
5. $Cov(X_1 + X_2, Y) = Cov(X_1, Y) + Cov(X_2, Y)$（双线性）
6. 若X,Y相互独立，则Cov(X,Y)=0

与方差的关系：

D(X + Y) = D(X) + D(Y) + 2Cov(X,Y)

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4. 相关系数

定义：

\rho_{XY} = \frac{Cov(X,Y)}{\sqrt{D(X)}\sqrt{D(Y)}}

性质：

1. |\rho_{XY}| \leq 1
2. $|\rho_{XY}| = 1$的充要条件是，存在常数a,b使$P{Y = a + bX} = 1$（线性关系）
3. 若X,Y相互独立，则$\rho_{XY} = 0$（不相关）
4. 不相关 ≠ 独立：$\rho_{XY} = 0$只说明X,Y没有线性关系，可能有非线性关系

不相关的等价条件（以下四条等价）：

• \rho_{XY} = 0
• Cov(X,Y) = 0
• E(XY) = E(X)E(Y)
• D(X + Y) = D(X) + D(Y)

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5. 矩

定义：设X和Y是随机变量

矩的类型	定义	说明
k阶原点矩	$E(X^k)$，k = 1,2,...	一阶原点矩就是期望E(X)
k阶中心矩	$E{[X - E(X)]^k}$，k = 2,3,...	二阶中心矩就是方差D(X)
k+l阶混合矩	$E(X^k Y^l)$，k,l = 1,2,...
k+l阶混合中心矩	E\{[X-E(X)]^k[Y-E(Y)]^l\}	二阶混合中心矩就是协方差Cov(X,Y)

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6. 切比雪夫不等式

设$E(X)=\mu$，$D(X)=\sigma^2$存在，则对任意$\varepsilon>0$，

P\{|X-\mu| \ge \varepsilon\} \le \frac{\sigma^2}{\varepsilon^2}

等价地，

P\{|X-\mu| < \varepsilon\} \ge 1 - \frac{\sigma^2}{\varepsilon^2}

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7. 数字特征典型例题

例：设随机变量$X \sim N(\mu, \sigma^2)$，$Y \sim N(\mu, \sigma^2)$，且设X,Y相互独立，求$Z_1 = \alpha X + \beta Y$和$Z_2 = \alpha X - \beta Y$的相关系数（其中$\alpha, \beta$是不为零的常数）。

解：由于$X, Y \sim N(\mu, \sigma^2)$，可得

E(X) = E(Y) = \mu, \quad D(X) = D(Y) = \sigma^2

$Z_1$和$Z_2$的相关系数：

\rho_{Z_1Z_2} = \frac{E(Z_1Z_2) - E(Z_1) \cdot E(Z_2)}{\sqrt{D(Z_1)} \cdot \sqrt{D(Z_2)}}

由E(Z_1) = E(\alpha X + \beta Y) = \alpha E(X) + \beta E(Y) = (\alpha + \beta)\mu

E(Z_2) = E(\alpha X - \beta Y) = \alpha E(X) - \beta E(Y) = (\alpha - \beta)\mu

又E(Z_1Z_2) = E[(\alpha X + \beta Y)(\alpha X - \beta Y)] = E(\alpha^2 X^2 - \beta^2 Y^2) = \alpha^2 E(X^2) - \beta^2 E(Y^2) = (\alpha^2 - \beta^2)(\sigma^2 + \mu^2)

D(Z_1) = D(\alpha X + \beta Y) = \alpha^2 D(X) + \beta^2 D(Y) = (\alpha^2 + \beta^2)\sigma^2

D(Z_2) = D(\alpha X - \beta Y) = \alpha^2 D(X) + \beta^2 D(Y) = (\alpha^2 + \beta^2)\sigma^2

于是

\rho_{Z_1Z_2} = \frac{(\alpha^2 - \beta^2)(\sigma^2 + \mu^2) - (\alpha + \beta)\mu(\alpha - \beta)\mu}{\sqrt{(\alpha^2 + \beta^2)\sigma^2} \cdot \sqrt{(\alpha^2 + \beta^2)\sigma^2}} = \frac{(\alpha^2 - \beta^2)\sigma^2}{(\alpha^2 + \beta^2)\sigma^2} = \frac{\alpha^2 - \beta^2}{\alpha^2 + \beta^2}