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五、多维随机变量及其分布

1. 二维分布函数

定义：F(x,y) = P\{X \leq x, Y \leq y\}

四条基本性质：

1. 单调不减性：F(x,y)是变量x和y的不减函数

   • 对于任意固定的y，当$x_2 > x_1$时，F(x_2,y) \geq F(x_1,y)
   • 对于任意固定的x，当$y_2 > y_1$时，F(x,y_2) \geq F(x,y_1)

2. 有界性：$0 \leq F(x,y) \leq 1$，且

   • F(-\infty, y) = F(x, -\infty) = 0
   • $F(-\infty, -\infty) = 0$，F(+\infty, +\infty) = 1

3. 右连续性：$F(x+0, y) = F(x, y)$，F(x, y+0) = F(x, y)

4. 非负性：对于任意$(x_1, y_1), (x_2, y_2)$，x_1 < x_2, $y_1 < y_2$，有

   F(x_2, y_2) - F(x_2, y_1) + F(x_1, y_1) - F(x_1, y_2) \geq 0

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2. 联合分布

离散型：联合分布律

p_{ij} = P\{X = x_i, Y = y_j\}, \quad i,j = 1,2,...

性质：

• 非负性：p_{ij} \geq 0
• 规范性：\sum_{i=1}^{\infty}\sum_{j=1}^{\infty} p_{ij} = 1

连续型：联合概率密度

$f(x,y)$，(x,y) \in \mathbb{R}^2

性质：

• 非负性：f(x,y) \geq 0
• 规范性：\int_{-\infty}^{\infty}\int_{-\infty}^{\infty} f(x,y)dxdy = F(\infty, \infty) = 1
• 若$f(x,y)$在点$(x,y)$连续，则有\frac{\partial^2 F(x,y)}{\partial x \partial y} = f(x,y)

区域概率：点$(X,Y)$落在平面区域$G$内的概率

P\{(X,Y) \in G\} = \iint_G f(x,y)dxdy

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3. 边缘分布

边缘分布函数：

• F_X(x) = F(x, \infty)
• F_Y(y) = F(\infty, y)

离散型边缘分布律

p_{i\cdot} = \sum_{j=1}^{\infty} p_{ij} = P\{X = x_i\}, \quad i = 1,2,... p_{\cdot j} = \sum_{i=1}^{\infty} p_{ij} = P\{Y = y_j\}, \quad j = 1,2,...

连续型边缘概率密度

f_X(x) = \int_{-\infty}^{\infty} f(x,y)dy f_Y(y) = \int_{-\infty}^{\infty} f(x,y)dx

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3.1 二维均匀分布

定义：若$(X,Y)$在区域$D$上均匀分布，则

f(x,y) = \begin{cases} \frac{1}{S_D}, & (x,y) \in D \\ 0, & \text{其他} \end{cases}

其中$S_D$为区域D的面积。

结论1：$P{(X,Y) \in G} = \frac{S_G}{S_D}$（面积之比）

结论2：若$D={(x,y)\mid a \le x \le b, c \le y \le d}$，则 $X \sim U(a,b)$，$Y \sim U(c,d)$，且X与Y相互独立。

结论3：X、Y的边缘分布不一定是均匀分布。

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4. 条件分布与条件密度

离散型

在$Y = y_j$条件下X的条件分布律：

P\{X = x_i | Y = y_j\} = \frac{P\{X = x_i, Y = y_j\}}{P\{Y = y_j\}} = \frac{p_{ij}}{p_{\cdot j}}

在$X = x_i$条件下Y的条件分布律：

P\{Y = y_j | X = x_i\} = \frac{P\{X = x_i, Y = y_j\}}{P\{X = x_i\}} = \frac{p_{ij}}{p_{i\cdot}}

连续型

在$Y = y$条件下X的条件概率密度：

f_{X|Y}(x|y) = \frac{f(x,y)}{f_Y(y)}

在$Y = y$条件下X的条件分布函数：

F_{X|Y}(x|y) = P\{X \leq x | Y = y\} = \int_{-\infty}^{x} \frac{f(x,y)}{f_Y(y)}dx

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5. 相互独立的随机变量

定义：设$F(x,y)$及$F_X(x), F_Y(y)$分别是二维随机变量$(X,Y)$的分布函数及边缘分布函数，若对于所有$x,y$有

P\{X \leq x, Y \leq y\} = P\{X \leq x\}P\{Y \leq y\}

即

F(x,y) = F_X(x)F_Y(y)

则称随机变量X和Y是相互独立的。

独立性判定：

• 连续型：X和Y相互独立 \Leftrightarrow f(x,y) = f_X(x)f_Y(y) 在平面上几乎处处成立
• 离散型：X和Y相互独立 \Leftrightarrow 对于所有可能取值$(x_i, y_j)$有 P\{X = x_i, Y = y_j\} = P\{X = x_i\}P\{Y = y_j\}

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6. 二维正态分布（重点性质）

设$(X,Y) \sim N(\mu_1,\mu_2;\sigma_1^2,\sigma_2^2;\rho)$，则

1. $X \sim N(\mu_1,\sigma_1^2)$，Y \sim N(\mu_2,\sigma_2^2)
2. $X$与$Y$相互独立 \Leftrightarrow \rho=0
3. 任意非零线性组合$aX+bY$仍服从正态分布

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7. 两个随机变量函数的分布

(1) Z = X + Y 的分布（卷积公式）

设$(X,Y)$是二维连续型随机变量，具有概率密度$f(x,y)$，则$Z = X + Y$的概率密度为

f_{X+Y}(z) = \int_{-\infty}^{+\infty} f(z-y, y)dy = \int_{-\infty}^{+\infty} f(x, z-x)dx

若X和Y相互独立，边缘概率密度为$f_X(x), f_Y(y)$，则有卷积公式：

f_{X+Y}(z) = f_X * f_Y = \int_{-\infty}^{+\infty} f_X(z-y)f_Y(y)dy = \int_{-\infty}^{+\infty} f_X(x)f_Y(z-x)dx

(2) Z = Y/X 的分布、Z = XY 的分布

设$(X,Y)$是二维连续型随机变量，概率密度为f(x,y)

f_{Y/X}(z) = \int_{-\infty}^{\infty} |x|f(x, xz)dx f_{XY}(z) = \int_{-\infty}^{\infty} \frac{1}{|x|}f(x, \frac{z}{x})dx

若X和Y相互独立，边缘概率密度为$f_X(x), f_Y(y)$，则有：

f_{Y/X}(z) = \int_{-\infty}^{\infty} |x|f_X(x)f_Y(xz)dx f_{XY}(z) = \int_{-\infty}^{\infty} \frac{1}{|x|}f_X(x)f_Y(\frac{z}{x})dx

(3) M = max{X,Y} 及 N = min{X,Y} 的分布

设X,Y是两个相互独立的随机变量，分布函数分别为F_X(x), F_Y(y)

最大值的分布：

F_{\max}(z) = P\{M \leq z\} = P\{X \leq z, Y \leq z\} = F_X(z)F_Y(z)

最小值的分布：

F_{\min}(z) = P\{N \leq z\} = 1 - P\{N > z\} = 1 - P\{X > z, Y > z\} = 1 - [1-F_X(z)][1-F_Y(z)]

推广：若$X_1, X_2, ..., X_n$独立同分布，分布函数为$F(x)$，则

• F_{\max}(z) = [F(z)]^n
• F_{\min}(z) = 1 - [1-F(z)]^n

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8. 多维随机变量典型例题

例：设随机变量(X,Y)的概率密度为

f(x,y) = \begin{cases} \frac{1}{2}(x+y)e^{-(x+y)}, & x > 0, y > 0 \\ 0, & \text{其他} \end{cases}

(1) 问：X和Y是否相互独立？(2) 求Z = X + Y的概率密度。

解：

(1) (X,Y)关于X的边缘概率密度为

f_X(x) = \int_{-\infty}^{+\infty} f(x,y)dy = \begin{cases} \int_0^{+\infty} \frac{1}{2}(x+y)e^{-(x+y)}dy, & x > 0 \\ 0, & x \leq 0 \end{cases} = \begin{cases} \frac{1}{2}(x+1)e^{-x}, & x > 0 \\ 0, & x \leq 0 \end{cases}

同理，f_Y(y) = \begin{cases} \frac{1}{2}(y+1)e^{-y}, & y > 0 \\ 0, & y \leq 0 \end{cases}

而 f_X(x) \cdot f_Y(y) = \begin{cases} \frac{1}{4}(x+1)(y+1)e^{-(x+y)}, & x > 0, y > 0 \\ 0, & \text{其他} \end{cases}

显然 $f_X(x) \cdot f_Y(y) \neq f(x,y)$，故X和Y不独立。

(2) Z = X + Y的概率密度为

f_Z(z) = \int_{-\infty}^{+\infty} f(x, z-x)dx

只有当$x > 0$且$z - x > 0$，即$0 < x < z$时，被积函数不为零。

当$z \leq 0$时，f_Z(z) = 0

当$z > 0$时，

f_Z(z) = \int_0^z \frac{1}{2}(x + z - x) \cdot e^{-(x+z-x)}dx = \int_0^z \frac{1}{2}ze^{-z}dx = \frac{1}{2}z^2e^{-z}

所以 f_Z(z) = \begin{cases} \frac{1}{2}z^2e^{-z}, & z > 0 \\ 0, & z \leq 0 \end{cases}