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二、随机变量及其分布

1. 分布函数

定义：设X是一个随机变量，对任意实数x，称 F(x) = P(X \leq x) 为X的分布函数，记为 X \sim F(x)

分布函数的三条基本性质：

1. 单调非减性：对任意的$x_1 < x_2$，有F(x_1) \leq F(x_2)
2. 有界性：对任意的x，有$0 \leq F(x) \leq 1$，且
   • F(-\infty) = \lim_{x \to -\infty} F(x) = 0
   • F(+\infty) = \lim_{x \to +\infty} F(x) = 1
3. 右连续性：对任意的$x_0$，有 \lim_{x \to x_0^+} F(x) = F(x_0)

重要：具有上述三条性质的函数F(x)一定是某个随机变量的分布函数

关于F(x)的常识结论：设F(x), G(x)为分布函数，a,b为实数，则

1. aF(x) + bG(x) 为分布函数 \Leftrightarrow a+b=1, a \ge 0, b \ge 0
2. F(ax+b) 为分布函数 $\Leftrightarrow a>0$，b为任意常数
3. F(x)G(x) 必为分布函数

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2. 离散型随机变量的分布律

设离散型随机变量X所有可能取值为$x_k$（$k = 1,2,...$），X取各个可能值的概率为

P\{X = x_k\} = p_k, \quad k = 1,2,...

分布律满足的条件：

1. 非负性：p_k \geq 0
2. 正则性：\sum_{k=1}^{\infty} p_k = 1

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3. 连续型随机变量的概率密度

如果对于随机变量X的分布函数$F(x)$，存在非负可积函数$f(x)$，使对于任意实数x有

F(x) = \int_{-\infty}^{x} f(t)dt

则称$f(x)$为X的概率密度函数

概率密度的性质：

1. f(x) \geq 0
2. \int_{-\infty}^{+\infty} f(x)dx = 1
3. 对于任意实数$x_1, x_2$（$x_1 \leq x_2$），P\{x_1 < X \leq x_2\} = F(x_2) - F(x_1) = \int_{x_1}^{x_2} f(x)dx
4. 若$f(x)$在点x处连续，则有F'(x) = f(x)

小常识：

1. 不改变$f(x)$在有限点的值，不影响分布
2. $f(x)$不必连续，只需可积
3. 连续型X的分布函数$F(x)$是连续函数，且对任意$a$有P\{X=a\}=0
4. 若$f(x)$在点x处连续，则F'(x)=f(x)

区间范围小结：若X可能取值范围为$a \le X \le b$，则

1. 当$x<a$时，F(x)=0
2. 当$x\ge b$时，F(x)=1

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4. 随机变量函数的分布

定理：设随机变量X具有概率密度$f_X(x)$，$-\infty < x < +\infty$，又设函数g(x)处处可导且恒有$g'(x) > 0$（或$g'(x) < 0$），则$Y = g(X)$是连续型随机变量，其概率密度为

f_Y(y) = \begin{cases} f_X[h(y)]|h'(y)|, & \alpha < y < \beta \\ 0, & \text{其他} \end{cases}

其中$\alpha = \min{g(-\infty), g(+\infty)}$，$\beta = \max{g(-\infty), g(+\infty)}$，$h(y)$是$g(x)$的反函数

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5. 典型例题

例：设随机变量X的概率密度为$f(x) = \begin{cases} e^{-x}, & x > 0 \ 0, & \text{其他} \end{cases}$，求$Y = X^2$的概率密度

解：当$y \leq 0$时，f_Y(y) = 0

当$y > 0$时，F_Y(y) = P\{Y \leq y\} = P\{X^2 \leq y\} = P\{0 < X \leq \sqrt{y}\} = \int_0^{\sqrt{y}} e^{-x}dx

f_Y(y) = F'_Y(y) = e^{-\sqrt{y}} \cdot \frac{1}{2\sqrt{y}}

所以 f_Y(y) = \begin{cases} \frac{1}{2\sqrt{y}}e^{-\sqrt{y}}, & y > 0 \\ 0, & y \leq 0 \end{cases}