一、概率论基本概念

1. 基本概念

术语	定义
随机现象	不能预先确定结果的事件，即随机试验
基本事件	随机试验中的每个单一结果
随机事件	在随机试验中可能出现的各种结果，由若干基本事件组成
样本空间	随机试验中所有基本事件的集合，记为S，其中的元素称为样本点
概率	随机事件发生可能性的数字表征，介于0-1之间

重要关系：样本空间的子集是随机事件

2. 概率的三个基本性质

非负性：对任意事件A，P(A) \geq 0
规范性：$P(S) = 1$，样本空间S的概率是1
可列可加性：设$A_1, A_2, ...$是两两互不相容事件，则 P(A_1 \cup A_2 \cup ...) = P(A_1) + P(A_2) + ...

3. 古典概型

条件：有限性，等可能性

排列数：A_n^r = \frac{n!}{(n-r)!}

组合数：C_n^r = \frac{n!}{(n-r)!r!}

多组组合模式：n个不同物体分成k堆，有 \frac{n!}{r_1!r_2!...r_k!} 种分法

概率的统计定义：事件发生的频率在试验次数足够大时趋近的值

4. 条件概率

定义：A，B是随机试验中两个事件，$P(B) > 0$，称

P(A|B) = \frac{P(AB)}{P(B)}

为事件B发生条件下A发生的概率

乘法定理：P(AB) = P(A|B) \cdot P(B) = P(B|A) \cdot P(A)

推论：若A，B独立，则 $P(A|B) = P(A)$，P(AB) = P(A)P(B)

5. 全概率公式

设试验E的样本空间为S，A为E的事件，$B_1, B_2, ..., B_n$为S的一个划分，$P(B_i) > 0$，$i = 1,2,...,n$，则

P(A) = \sum_{i=1}^{n} P(A|B_i)P(B_i) = P(A|B_1)P(B_1) + P(A|B_2)P(B_2) + ... + P(A|B_n)P(B_n)

理解：将复杂事件A分解为多个互不相容的简单事件求和

6. 贝叶斯公式

设试验E的样本空间为S，A为E的事件，$B_1, B_2, ..., B_n$为S的一个划分，$P(A) > 0$，$P(B_i) > 0$，$i = 1,2,...,n$，则

P(B_i|A) = \frac{P(A|B_i)P(B_i)}{\sum_{j=1}^{n} P(A|B_j)P(B_j)}

理解：

$P(B_i)$：先验概率（原因发生的概率）
$P(B_i|A)$：后验概率（观测到结果后，原因的概率）
贝叶斯公式用于"由果溯因"

7. 典型例题

例：有两箱同种类的零件，第一箱装50只，其中10只一等品。第二箱装30只，其中18只一等品。今从两箱中任挑出一箱，然后从该箱中取零件两次，每次任取一只，作不放回抽样。求： (1) 第一次取到的零件是一等品的概率 (2) 第一次取到的零件是一等品的条件下，第二次取到的也是一等品的概率

解：记$A_i$="在第i次中取到一等品"，$B_i$="挑到第i箱"，i=1,2

(1) 由全概率公式：

P(A_1) = P(A_1|B_1) \cdot P(B_1) + P(A_1|B_2) \cdot P(B_2) = \frac{10}{50} \times \frac{1}{2} + \frac{18}{30} \times \frac{1}{2} = 0.4

(2) P(A_1A_2) = P(A_1A_2|B_1) \cdot P(B_1) + P(A_1A_2|B_2) \cdot P(B_2) = \frac{1}{2} \times \frac{10}{50} \times \frac{9}{49} + \frac{1}{2} \times \frac{18}{30} \times \frac{17}{29} = 0.19423

P(A_2|A_1) = \frac{P(A_1A_2)}{P(A_1)} = \frac{0.19423}{0.4} = 0.4856

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