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三、离散型随机变量分布

1. 0-1分布（伯努利分布）b(1, p)

定义：随机变量X只取0和1两个值

分布律：

P(X=k) = p^k(1-p)^{1-k}, \quad k=0,1

X	0	1
P	1-p	p

期望与方差：

• E(X) = p
• D(X) = p(1-p)

适用场景：单次试验的成功/失败

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2. 二项分布 B(n, p)

定义：n次独立重复试验中，事件A发生的次数X

概率公式：

P(X=k) = C_n^k p^k (1-p)^{n-k}, \quad k=0,1,2,...,n

期望与方差：

• E(X) = np
• D(X) = np(1-p)

正态近似（德莫弗-拉普拉斯）：当n充分大时，

X \sim B(n,p) \approx N(np, np(1-p))

适用场景关键词：

• "n次独立试验"
• "成功/失败"、"合格/不合格"、"命中/未命中"
• "每次成功概率为p"
• "求恰好k次成功的概率"

例题特征：

某射击运动员命中率为0.8，独立射击10次，求恰好命中8次的概率。 → X ~ B(10, 0.8)

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3. 泊松分布 P(λ) 或 π(λ)

定义：单位时间/空间内随机事件发生的次数

概率公式：

P(X=k) = \frac{\lambda^k e^{-\lambda}}{k!}, \quad k=0,1,2,...

期望与方差：

• E(X) = \lambda
• D(X) = \lambda

特点：期望=方差=λ

适用场景关键词：

• "单位时间内"、"每天"、"每小时"
• "平均发生λ次"
• "稀有事件"（n大p小，np适中）
• 电话呼叫次数、到达人数、故障次数、放射性衰变

泊松定理（二项分布的近似）： 当 n \geq 20, p \leq 0.05 时，B(n,p) \approx P(np)

例题特征：

某服务台平均每小时接到5个电话，求1小时内接到3个电话的概率。 → X ~ P(5)

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4. 几何分布 G(p)

定义：独立重复试验中，首次成功时的试验次数X

概率公式：

P(X=k) = (1-p)^{k-1}p, \quad k=1,2,3,...

期望与方差：

• E(X) = \frac{1}{p}
• D(X) = \frac{1-p}{p^2}

无记忆性：P(X > m+n | X > m) = P(X > n)

适用场景关键词：

• "首次成功"、"第一次出现"
• "直到...为止"
• "需要多少次才能成功"

例题特征：

抛硬币直到第一次出现正面，求所需次数的期望。 → X ~ G(0.5), E(X) = 2

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5. 超几何分布 H(n, M, N)

定义：N件产品中有M件次品，从中不放回抽取n件，次品数X

概率公式：

P(X=k) = \frac{C_M^k C_{N-M}^{n-k}}{C_N^n}

期望与方差：

• E(X) = \frac{nM}{N}
• D(X) = \frac{nM(N-M)(N-n)}{N^2(N-1)}

适用场景关键词：

• "不放回抽样"
• "N件中有M件..."
• 抽奖问题、质检问题（小批量）

与二项分布的区别：

• 超几何：不放回抽样
• 二项分布：放回抽样（或总体很大时的不放回）

例题特征：

10件产品中有3件次品，不放回抽取4件，求恰好有2件次品的概率。 → X ~ H(4, 3, 10)

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6. 负二项分布（帕斯卡分布）NB(r, p)

定义：独立重复试验中，第r次成功时的试验次数X

概率公式：

P(X=k) = C_{k-1}^{r-1} p^r (1-p)^{k-r}, \quad k=r,r+1,...

期望与方差：

• E(X) = \frac{r}{p}
• D(X) = \frac{r(1-p)}{p^2}

适用场景关键词：

• "第r次成功"
• 几何分布是r=1的特例