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第三章：组合数学

3.0 基础数论概念 (补充)

• 完全数 (Perfect Number)：
  • 一个正整数等于其所有真因子（即除了自身以外的约数）之和。
  • 例：$6 = 1 + 2 + 3$；$28 = 1 + 2 + 4 + 7 + 14$。
  • 考点：判断给定数字是否为完全数，或计算其真因子之和。

3.1 基础计数原理

3.1.1 加法与乘法原理

• 加法原理 (分类)：S = S_1 ∪ S_2 … (互不相交)，则 |S| = |S_1| + |S_2| …
• 乘法原理 (分步)：步骤 1 有 n_1 种，步骤 2 有 n_2 种... 则总数为 n_1 \times n_2 …

3.1.2 排列与组合 (Notation: C_n^r, P_n^r)

模型	公式	典型场景
排列 (有序)	P_n^r = \frac{n!}{(n-r)!}	n 人选 r 人排队拍照
组合 (无序)	C_n^r = \frac{n!}{r!(n-r)!}	n 人选 r 人组队
可重排列	n^r	r 位密码，每位 n 种选择
可重组合	C_{n+r-1}^r	n 种口味冰淇淋选 r 球 (隔板法)

3.1.3 组合恒等式

1. 对称性：C_n^r = C_n^{n-r}
2. 帕斯卡公式：C_n^k = C_{n-1}^k + C_{n-1}^{k-1}
   • 组合意义：选 k 人，要么包含特定人 A (C_{n-1}^{k-1})，要么不包含 A (C_{n-1}^k)。
3. 二项式定理：(x+y)^n = \sum_{k=0}^n C_n^k x^{n-k} y^k
   • 推论：\sum_{k=0}^n C_n^k = 2^n (所有子集个数)
   • 推论：\sum_{k=0}^n (-1)^k C_n^k = 0 (奇数个元素的子集数 = 偶数个元素的子集数)
4. 范德蒙恒等式：C_{m+n}^r = \sum_{k=0}^r C_m^{k} C_n^{r-k}

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3.2 高级计数方法

3.2.1 鸽巢原理 (Pigeonhole Principle)

• 原理：N 个物体放入 k 个盒子，必有一个盒子至少有 \lceil N/k \rceil 个物体。
• 应用技巧：准确定义“鸽子”（物体）和“巢”（分类标准）。
  • 例：任意 13 人中必有 2 人生肖相同 (13/12 \to 2)。

3.2.2 容斥原理 (Inclusion-Exclusion)

求 $|A_1 ∪ A_2 ∪ … ∪ A_n|$：

• 公式：\sum |A_i| - \sum |A_i ∩ A_j| + \sum |A_i ∩ A_j ∩ A_k| - …
• 错排问题 (D_n)：n 封信全部装错信封的方法数。
  • D_n = n!(1 - \frac{1}{1!} + \frac{1}{2!} - … + (-1)^n \frac{1}{n!})
  • 递推式：D_n = (n-1)(D_{n-1} + D_{n-2})

3.2.3 球盒模型 (Twelvefold Way 概览)

将 n 个球放入 k 个盒子：

球 (Label)	盒子 (Label)	限制	方案数
不同	不同	无	k^n
不同	不同	\le 1	P_k^n
相同	不同	无	C_{n+k-1}^n (隔板法)
相同	不同	\ge 1	C_{n-1}^{k-1} (先各放1个)
不同	相同	无	S_2(n,k) (第二类斯特林数)

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3.3 递推关系 (Recurrence Relations)

3.3.1 线性常系数齐次递推关系

形式：a_n + c_1 a_{n-1} + … + c_k a_{n-k} = 0 求解步骤：

1. 写出特征方程：$r^k + c_1 r^{k-1} + … + c_k = 0$。
2. 求特征根 $r_1, r_2, …$。
3. 写出通解结构：
   • 无重根：a_n = A_1 r_1^n + A_2 r_2^n + …
   • 有重根 (如 r_1 为 m 重根)：a_n = (A_1 + A_2 n + … + A_m n^{m-1}) r_1^n + …
4. 代入初值求解常数 $A_i$。

3.3.2 生成函数 (Generating Functions)

• 定义：$G(x) = \sum_{n=0}^\infty a_n x^n$。
• 应用场景：
  • 求解组合数：如 (1+x)^n 的系数。
  • 求解不定方程 x_1 + x_2 + x_3 = k 的非负整数解个数。
    • 构造多项式 $(1+x+x^2+…)^3$，求 x^k 系数。

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3.4 典型考题：不定方程解计数

题目：求 x_1 + x_2 + x_3 = 15 的整数解个数，满足 $x_1 ≥ 1, 0 ≤ x_2 ≤ 5, x_3 ≥ 0$。

解题思路：

1. 换元消下界：令 $y_1 = x_1 - 1 ≥ 0$。
   • 原方程变为 $(y_1+1) + x_2 + x_3 = 15 ⇒ y_1 + x_2 + x_3 = 14$。
2. 全集计算：无上限限制时的非负整数解。
   • $\displaystyle N = C_{14+3-1}^{3-1} = C_{16}^2 = 120$。
3. 容斥处理上界：
   • 坏条件 $P_1$：x_2 ≥ 6 (即原题 x_2 > 5)。
   • 在坏条件 P_1 下，令 $z_2 = x_2 - 6 ≥ 0$。
   • 方程变为 $y_1 + (z_2+6) + x_3 = 14 ⇒ y_1 + z_2 + x_3 = 8$。
   • $|P_1| = C_{8+3-1}^2 = C_{10}^2 = 45$。
4. 最终结果：$Ans = N - |P_1| = 120 - 45 = 75$。

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3.5 典型考题：常系数齐次线性递推关系求解

题目：求解递推关系 $a_n = 7a_{n-1} - 16a_{n-2} + 12a_{n-3}$，初始条件为 $a_0 = 0, a_1 = 4, a_2 = 18$。

解题步骤：

1. 构造特征方程 将递推式移项得 $a_n - 7a_{n-1} + 16a_{n-2} - 12a_{n-3} = 0$。 对应的特征方程为： r^3 - 7r^2 + 16r - 12 = 0

2. 求解特征根 观察系数，尝试代入 $r=2$：$8 - 28 + 32 - 12 = 0$，故 (r-2) 是因子。 多项式除法分解得： (r-2)(r^2 - 5r + 6) = 0 (r-2)(r-2)(r-3) = 0 解得特征根：r_1 = 2 (二重根)，r_2 = 3 (单根)。

3. 写出通解结构 对于二重根 2 和单根 $3$，通解形式为： a_n = (C_1 + C_2 n) \cdot 2^n + C_3 \cdot 3^n

4. 代入初始条件求解常数

   • 当 n=0 时：C_1 + C_3 = 0 \implies C_3 = -C_1
   • 当 n=1 时：(C_1 + C_2) \cdot 2 + 3C_3 = 4
   • 当 n=2 时：(C_1 + 2C_2) \cdot 4 + 9C_3 = 18

   将 C_3 = -C_1 代入后两式：

   • 2C_1 + 2C_2 - 3C_1 = 4 \implies -C_1 + 2C_2 = 4
   • 4C_1 + 8C_2 - 9C_1 = 18 \implies -5C_1 + 8C_2 = 18

   联立求解： 由第一式得 $C_1 = 2C_2 - 4$，代入第二式： -5(2C_2 - 4) + 8C_2 = 18 -10C_2 + 20 + 8C_2 = 18 -2C_2 = -2 \implies C_2 = 1 回代得 C_1 = 2(1) - 4 = -2 C_3 = -(-2) = 2

5. 最终解 a_n = (-2 + n) \cdot 2^n + 2 \cdot 3^n 或整理为： a_n = (n-2)2^n + 2 \cdot 3^n