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**Copyright © 2024 Simon**
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# 第5章 特征值与特征向量
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# 5.1 特征向量(eigenvector)与特征值(eigenvalue)
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>定义 $A$ 为 $n \times n$ 矩阵，$x$ 为非零向量， 若存在数 $λ$ 使 $Ax=λx$ 有非平凡解 $x$， 则称 $λ$ 为 $A$的特征值,$x$ 称为对应于 $λ$ 的特征向量
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也可写作$(A-λI)x=0$
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>**定理1**
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三角矩阵的主对角线的元素是其特征值.
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>**定理2**
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$λ_1,\cdots,λ_r$ 是 $n \times n$ 矩阵 $A$ 相异的特征值，$v_1,\cdots,v_r$是与$λ_1,\cdots,λ_r$对应的特征向量，那么向量集合{$v_1,\cdots,v_r$}线性无关.
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* 一、逆矩阵的特征值
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若矩阵$A$可逆，$\lambda$是$A$的特征值，则$A^{-1}$的特征值是$\displaystyle \frac{1}{\lambda}$，特征向量不变。
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* 二、转置矩阵的特征值
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矩阵$A$与其转置矩阵$A^T$具有相同的特征值。
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* 三、伴随矩阵的特征值
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若$A$可逆，$A$的特征值为$\lambda_i$（$i = 1,2,\cdots,n$，$\lambda_i\neq0$），则伴随矩阵$A^*$的特征值为$\displaystyle \frac{\vert A\vert}{\lambda_i}$，特征向量不变。
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# 5.2 特征方程(eigen equation)
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>**定理(可逆矩阵定理(续))**
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设 $A$ 是 $n \times n$ 矩阵，则 $A$ 是可逆的当且仅当
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a.0不是 $A$ 的特征值.
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b.$A$ 的行列式不等于零.
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>**定理3 (行列式的性质)**
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设 $A$ 和 $B$ 是 $n \times n$ 矩阵.
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a. $A$ 可逆的元要条件是 det$A \neq 0$.
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b. det $AB =$ (det $A$) (det$B$).
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c. det $A^T$ = det $A$.
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d. 若 $A$ 是三角形矩阵，那么det $A$ 是 $A$ 主对角线元素的乘积.
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e. 对 $A$ 作行替换不改变其行列式值.作一次行交换，行列式值符号改变一次数来一行后，
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行列式值等于用此数来原来的行列式值.
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>**定理4**
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若 $n \times n$ 矩阵 $A$ 和 $B$ 是相似的，那么它们有相同的特征多项式，从而有相同的特征值(和相同的重数).
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# 5.3 对角化(diagonalize)
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>**定理5 (对角化定理)**
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$n \times n$ 矩阵 $A$ 可对角化的充分必要条件是 $A$ 有 $n$ 个线性无关的特征向量.
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事实上， $A=PDP^{-1}$ , $D$ 为对角矩阵的充分必要条件是 $P$ 的列向量是 $A$ 的 $n$ 个线性无关的特征向量.此时，$D$ 的主对角线上的元素分别是 $A$ 的对应于 $P$ 中特征向量的特征值.
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>**定理6**
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有 $n$ 个相异特征值的$n \times n$ 矩阵可对角化.
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>**定理7**
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~~似乎不重要，因为我也读不懂~~
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>**定理8 (对角矩阵表示)**
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设 $A=PDP^{-1}$ ， 其中 $D$ 为 $n \times n$ 对角矩阵，若 $R$<sup>n</sup> 的基$\beta$由 $P$ 的列向量组成，那么 $D$ 是变换 $x$ → $Ax$的$\beta$-矩阵.
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