handsomezhuzhu.github.io/otherdocs/高等代数/高等代数第一章.md

**Copyright © 2024 Simon**
# 1.1 线性方程组
## (1) 矩阵与增广矩阵
  $$
  2x_1 - x_2 + 1.5x_3 = 8
  $$
  $$
  x_1 - 4x_3 = -7
  $$

* 矩阵 (Matrix)

$$
\begin{bmatrix}
2 & -1 & 1.5\\
1 & 0 & -4
\end{bmatrix}
$$

* 增广矩阵 (Augmented Matrix)

$$
\begin{bmatrix}
2 & -1 & 1.5 & 8\\
1 & 0 & -4 & -7
\end{bmatrix}
$$

* 线性方程组解的三种情况：  
1. 无解 (不相容) (incompatibility)  
2. 有唯一解 (相容) (compatibility)  
3. 有无穷多解 (相容) (compatibility)  


## (2) 矩阵变换

* 倍加
* 对换
* 倍乘
  

# 1.2 行化简与阶梯形矩阵

>**先导元素 (Leading element)**  
**定义**  
一个矩阵称为阶梯形(或行阶梯形),若它有以下三个性质:  
l.每一非零行都在每一零行之上.  
2.某一行的先导元素所在的列位于前一行先导元素的右边  
3.某一先导元素所在列下方元素都是零.  
若一个阶梯形矩阵还满足以下性质,贝则称它为简化阶梯形(或简化行阶梯形) .  
4.每一非零行的先导元素是 1.  
5.每一先导元素 1 是该元素所在列的唯一非零元素  



>**定理1** (简化阶梯形矩阵的唯一性)  
每个矩阵行等价于唯一的简化阶梯形矩阵.


>**主元位置 (Pivot position)**  
**定义**  
矩阵中的主元位置是A中对应于它的阶梯形中先导元素 1 的位直.主元列是$A$的含有主元往直的列

>**定理2** (存在与唯一性定理)  
线性方程组相容的充要条件是增广矩阵的最右列不是主元列.也就是说增广矩阵的阶梯形没有形如  
$[0 \ \  \cdots \ \   0 \ \  b] \ \ ,\ \   b\neq0$

>的行若线性方程组相容,则它的解集可能有两种情形:   
( i )当没有自由变量时,有唯一解;  
( ii )若至少有一个自由变量,则有无穷多解.

# 1.3 向量方程

$$u=
\begin{bmatrix}
\ 2 \ \\
\ 1 \ 
\end{bmatrix}
$$

>满足加法乘法的性质

* 线性组合
  $y=x_1c_1+\cdots+x_ic_i$ 中 $c_i$ 为权
  
* 向量张成 (生成)
  
  $span\{x_1,x_2,\cdots,x_i\}$
  即判断
  $y=x_1c_1+\cdots+x_ic_i$
  是否有解；或
  $\begin{bmatrix}
  \ x_1\ x_2\ \cdots \  x_3 \ y\\
  \end{bmatrix}$
  是否有解

# 1.4 矩阵方程 Ax=b

>**定义**  
若$A$是$m \times n$矩阵,它的各列为  $a$   
若 $x$ 是$R$<sup>n</sup>中的向量,则 $A$ 与 $x$ 的积(记为$Ax$) 就是 $A$ 的各列以 $x$ 中对应元素为权的线性组合

>**定理3**  
$Ax=b$
等价于
$\begin{bmatrix}
  \ a_1\ a_2\ \cdots \  a_3 \ \ b\\
  \end{bmatrix}$


* 解的存在性
  
>**方程Ax = b 有解当且仅当 b 是 A 的各列的线性组合.**



>**定理4**  
设 $A$ 是 $m \times n$ 矩阵,则下列命题是逻辑上等价的.  
也就是说,对某个 $Ax = b$ 它们都成立或者都不成立.  
a. 对$R$<sup>m</sup>中每个 $b$ ,方程 $Ax=b$ 有解.  
b. $R$<sup>m</sup>中的每个 $b$ 都是 $A$ 的列的一个线性组合.  
c. $A$ 的各列生成$R$<sup>m</sup>.  
d. $A$ 在每一行都有一个主元位置.

>**计算**  
计算 $Ax$ 的行-向量规则  
若乘积 $Ax$ 有定义,则 $Ax$ 中的第 $i$ 个元素是 $A$ 的第 $i$ 行元素与 $x$ 的相应元素乘积之和.

>**定理5**  
若 $A$ 是 $m\times n$ 矩阵,$u$ 和 $v$ 是$R$<sup>n</sup>中向量, $c$ 是标量,如:  
a. $A(u+v) = Au+Av.$  
b. $A(cu) = c(Au).$

# 1.5 线性方程组的解集
* 齐次线性方程组
  
>齐次方程 $Ax=0$ 有非平凡解当且仅当方程至少有一个自由变量.

>**定理6**  
设方程 $Ax=b$ 对某个 $b$ 是相容的, $p$ 为一个特解,则 $Ax=b$ 的解集是所有形如
$w = p+v_h$
>的向量的集, 其中 $v$<sub>h</sub> 是齐次方程 $Ax=0$ 的任意一个解.

# 1.7 线性无关

>**定义**  
向量方程 $0=x_1c_1+\cdots+x_ic_i$ 仅有平凡解(trivial solution)  向量组 (集) 称为线性无关的 (linearly independent)  
若存在不全为零的权
$c_i$
使
$x_1c_1+\cdots+x_ic_i+0$
则向量组 (集) 称为线性相关的 (linearly dependent)

>**矩阵 $A$ 的各列线性无关,当且仅当方程 $Ax=0$ 仅有平凡**

>**定理7** (线性相关集的特征)  
两个或更多个向量的集合
$S=\{v_1,v_2,\cdots,v_p\}$
>线性相关,当且仅当 $S$ 中至少有一个向量是其他向量的线性组合.

>**定理8**  
若一个向量组的向量个数超过每个向量的元素个数,那么这个向量组线性相关.就
是说, $R$<sup>n</sup> 中任意向量组
$\{v_1,v_2,\cdots,v_p\}$
>当 $p>n$ 时线性相关.

>**定理9**  
若 $R$<sup>n</sup> 中向量组
$S=\{v_1,v_2,\cdots,v_p\}$
>包含零向量,则它线性相关

# 1.8 线性变换介绍
* 变换(transformation)(或称函数、映射(map)) $T$ 是一个规则
* $T$ : $R$<sup>n</sup> → $R$<sup>m</sup>  
  $R$<sup>n</sup>称为 $T$ 的定义域 (domain)  
  $R$<sup>m</sup>称为 $T$ 的余定义域 (codomain) (或取值空间)

* 线性变换
$$T(0) = 0$$
$$T(cu+ dv) = cT(u) + dT(v)$$

# 1.9 线性变换的矩阵

>**定理10**  
设 $T$ : $R$<sup>n</sup> → $R$<sup>m</sup> 为线性变换,则存在唯一的矩阵 $A$ ,使得对 $R$<sup>n</sup>中一切 $x$ 满足 $T(x)=Ax$

* 满射
  >映射 $T$ : $R$<sup>n</sup> → $R$<sup>m</sup> 称为到 $R$<sup>m</sup> 上的映射,若 $R$<sup>m</sup> 中每个 $b$ 是 $R$<sup>n</sup> 中至少一个 $x$ 的像.

  >“满射” 的英文是 “surjective” 或 “surjection” 或 “onto mapping” 或 “onto function”


* 单射
  >映射 $T$ : $R$<sup>n</sup> → $R$<sup>m</sup> 称为一对一映射(或1:1),若 $R$<sup>m</sup> 中每个 $b$ 是 $R$<sup>m</sup> 中至多一个 $x$ 的像.

  >“单射” 的英文是 “injective” 或 “injection” 或 “one-to-one mapping” 或 “one-to-one function”


>**定理11**  
设 $T$ : $R$<sup>n</sup> → $R$<sup>m</sup> 为线性变换,则 $T$ 是一对一的当且仅当方程 $Ax=0$ 仅有平凡解.

>**定理12**  
设 $T$ : $R$<sup>n</sup> → $R$<sup>m</sup> 为线性变换,设 $A$ 为 $T$ 的标准矩阵，则：  
a. $T$ 把 $R$<sup>n</sup> 映上到 $R$<sup>m</sup> ，当且仅当 $A$ 的列生成 $R$<sup>m</sup>.  
b. $T$ 是一对一的，当且仅当 $A$ 的列线性无关.