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# 第三章：组合数学
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## 3.0 基础数论概念 (补充)
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- **完全数 (Perfect Number)**：
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- 一个正整数等于其所有**真因子**（即除了自身以外的约数）之和。
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- *例*：$6 = 1 + 2 + 3$；$28 = 1 + 2 + 4 + 7 + 14$。
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- *考点*：判断给定数字是否为完全数，或计算其真因子之和。
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## 3.1 基础计数原理
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### 3.1.1 加法与乘法原理
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- **加法原理 (分类)**：$S = S_1 ∪ S_2 …$ (互不相交)，则 $|S| = |S_1| + |S_2| …$
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- **乘法原理 (分步)**：步骤 1 有 $n_1$ 种，步骤 2 有 $n_2$ 种... 则总数为 $n_1 \times n_2 …$
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### 3.1.2 排列与组合 (Notation: $C_n^r, P_n^r$)
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| 模型 | 公式 | 典型场景 |
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| :--- | :--- | :--- |
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| **排列 (有序)** | $P_n^r = \frac{n!}{(n-r)!}$ | $n$ 人选 $r$ 人排队拍照 |
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| **组合 (无序)** | $C_n^r = \frac{n!}{r!(n-r)!}$ | $n$ 人选 $r$ 人组队 |
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| **可重排列** | $n^r$ | $r$ 位密码，每位 $n$ 种选择 |
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| **可重组合** | $C_{n+r-1}^r$ | $n$ 种口味冰淇淋选 $r$ 球 (隔板法) |
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### 3.1.3 组合恒等式
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1. **对称性**：$C_n^r = C_n^{n-r}$
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2. **帕斯卡公式**：$C_n^k = C_{n-1}^k + C_{n-1}^{k-1}$
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- *组合意义*：选 $k$ 人，要么包含特定人 A ($C_{n-1}^{k-1}$)，要么不包含 A ($C_{n-1}^k$)。
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3. **二项式定理**：$(x+y)^n = \sum_{k=0}^n C_n^k x^{n-k} y^k$
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- 推论：$\sum_{k=0}^n C_n^k = 2^n$ (所有子集个数)
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- 推论：$\sum_{k=0}^n (-1)^k C_n^k = 0$ (奇数个元素的子集数 = 偶数个元素的子集数)
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4. **范德蒙恒等式**：$C_{m+n}^r = \sum_{k=0}^r C_m^{k} C_n^{r-k}$
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## 3.2 高级计数方法
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### 3.2.1 鸽巢原理 (Pigeonhole Principle)
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- **原理**：$N$ 个物体放入 $k$ 个盒子，必有一个盒子至少有 $\lceil N/k \rceil$ 个物体。
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- **应用技巧**：准确定义“鸽子”（物体）和“巢”（分类标准）。
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- *例*：任意 13 人中必有 2 人生肖相同 ($13/12 \to 2$)。
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### 3.2.2 容斥原理 (Inclusion-Exclusion)
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求 $|A_1 ∪ A_2 ∪ … ∪ A_n|$：
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- **公式**：$\sum |A_i| - \sum |A_i ∩ A_j| + \sum |A_i ∩ A_j ∩ A_k| - …$
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- **错排问题 ($D_n$)**：$n$ 封信全部装错信封的方法数。
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- $D_n = n!(1 - \frac{1}{1!} + \frac{1}{2!} - … + (-1)^n \frac{1}{n!})$
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- 递推式：$D_n = (n-1)(D_{n-1} + D_{n-2})$
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### 3.2.3 球盒模型 (Twelvefold Way 概览)
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将 $n$ 个球放入 $k$ 个盒子：
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| 球 (Label) | 盒子 (Label) | 限制 | 方案数 |
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| :--- | :--- | :--- | :--- |
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| 不同 | 不同 | 无 | $k^n$ |
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| 不同 | 不同 | $\le 1$ | $P_k^n$ |
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| **相同** | **不同** | 无 | $C_{n+k-1}^n$ (隔板法) |
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| **相同** | **不同** | $\ge 1$ | $C_{n-1}^{k-1}$ (先各放1个) |
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| 不同 | 相同 | 无 | $S_2(n,k)$ (第二类斯特林数) |
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## 3.3 递推关系 (Recurrence Relations)
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### 3.3.1 线性常系数齐次递推关系
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形式：$a_n + c_1 a_{n-1} + … + c_k a_{n-k} = 0$
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**求解步骤**：
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1. 写出**特征方程**：$r^k + c_1 r^{k-1} + … + c_k = 0$。
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2. 求特征根 $r_1, r_2, …$。
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3. 写出通解结构：
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- **无重根**：$a_n = A_1 r_1^n + A_2 r_2^n + …$
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- **有重根** (如 $r_1$ 为 $m$ 重根)：$a_n = (A_1 + A_2 n + … + A_m n^{m-1}) r_1^n + …$
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4. 代入初值求解常数 $A_i$。
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### 3.3.2 生成函数 (Generating Functions)
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- **定义**：$G(x) = \sum_{n=0}^\infty a_n x^n$。
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- **应用场景**：
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- 求解组合数：如 $(1+x)^n$ 的系数。
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- 求解不定方程 $x_1 + x_2 + x_3 = k$ 的非负整数解个数。
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- 构造多项式 $(1+x+x^2+…)^3$，求 $x^k$ 系数。
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## 3.4 典型考题：不定方程解计数
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**题目**：求 $x_1 + x_2 + x_3 = 15$ 的整数解个数，满足 $x_1 ≥ 1, 0 ≤ x_2 ≤ 5, x_3 ≥ 0$。
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**解题思路**：
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1. **换元消下界**：令 $y_1 = x_1 - 1 ≥ 0$。
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- 原方程变为 $(y_1+1) + x_2 + x_3 = 15 ⇒ y_1 + x_2 + x_3 = 14$。
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2. **全集计算**：无上限限制时的非负整数解。
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- $\displaystyle N = C_{14+3-1}^{3-1} = C_{16}^2 = 120$。
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3. **容斥处理上界**：
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- 坏条件 $P_1$：$x_2 ≥ 6$ (即原题 $x_2 > 5$)。
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- 在坏条件 $P_1$ 下，令 $z_2 = x_2 - 6 ≥ 0$。
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- 方程变为 $y_1 + (z_2+6) + x_3 = 14 ⇒ y_1 + z_2 + x_3 = 8$。
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- $|P_1| = C_{8+3-1}^2 = C_{10}^2 = 45$。
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4. **最终结果**：$Ans = N - |P_1| = 120 - 45 = 75$。
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## 3.5 典型考题：常系数齐次线性递推关系求解
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**题目**：求解递推关系 $a_n = 7a_{n-1} - 16a_{n-2} + 12a_{n-3}$，初始条件为 $a_0 = 0, a_1 = 4, a_2 = 18$。
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**解题步骤**：
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1. **构造特征方程**
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将递推式移项得 $a_n - 7a_{n-1} + 16a_{n-2} - 12a_{n-3} = 0$。
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对应的特征方程为：
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$r^3 - 7r^2 + 16r - 12 = 0$
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2. **求解特征根**
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观察系数，尝试代入 $r=2$：$8 - 28 + 32 - 12 = 0$，故 $(r-2)$ 是因子。
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多项式除法分解得：
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$(r-2)(r^2 - 5r + 6) = 0$
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$(r-2)(r-2)(r-3) = 0$
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解得特征根：$r_1 = 2$ (二重根)，$r_2 = 3$ (单根)。
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3. **写出通解结构**
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对于二重根 $2$ 和单根 $3$，通解形式为：
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$a_n = (C_1 + C_2 n) \cdot 2^n + C_3 \cdot 3^n$
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4. **代入初始条件求解常数**
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- 当 $n=0$ 时：$C_1 + C_3 = 0 \implies C_3 = -C_1$
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- 当 $n=1$ 时：$(C_1 + C_2) \cdot 2 + 3C_3 = 4$
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- 当 $n=2$ 时：$(C_1 + 2C_2) \cdot 4 + 9C_3 = 18$
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将 $C_3 = -C_1$ 代入后两式：
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- $2C_1 + 2C_2 - 3C_1 = 4 \implies -C_1 + 2C_2 = 4$
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- $4C_1 + 8C_2 - 9C_1 = 18 \implies -5C_1 + 8C_2 = 18$
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联立求解：
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由第一式得 $C_1 = 2C_2 - 4$，代入第二式：
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$-5(2C_2 - 4) + 8C_2 = 18$
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$-10C_2 + 20 + 8C_2 = 18$
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$-2C_2 = -2 \implies C_2 = 1$
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回代得 $C_1 = 2(1) - 4 = -2$
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$C_3 = -(-2) = 2$
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5. **最终解**
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$a_n = (-2 + n) \cdot 2^n + 2 \cdot 3^n$
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或整理为：
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$a_n = (n-2)2^n + 2 \cdot 3^n$
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