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# 第一章：数理逻辑

## 1.1 命题逻辑

### 1.1.1 核心概念深度解析
- **命题**：必须是**陈述句**且具有**唯一真值**。
  - *易错点*：悖论（如"我正在说谎"）不是命题；含有未定变量的句子（如"$x+1=2$"）是谓词而非命题。
- **原子命题与复合命题**：
  - 原子命题：不能再分解的命题。
  - 复合命题：通过联结词组合而成。

### 1.1.2 联结词与真值表 (详细版)
| 联结词 | 符号 | 英文 | 优先级 | 逻辑详解 | 常见语言表达 |
| :--- | :---: | :--- | :---: | :--- | :--- |
| **否定** | $\neg$ | NOT | 1 | 真变假，假变真 | "并不是..." |
| **合取** | $\land$ | AND | 2 | **仅当两者全真时为真** | "且", "虽然...但是...", "既...又..." |
| **析取** | $\lor$ | OR | 3 | **仅当两者全假时为假** | "或" (包含性或) |
| **蕴涵** | $\to$ | IMPLIES | 4 | **前真后假时为假，其余全真** | "若...则...", "只要...就...", "只有...才..." |
| **双蕴涵** | $\leftrightarrow$ | IFF | 5 | **同真同假时为真** | "当且仅当", "充分必要条件" |

#### 重点难点：蕴涵关系 ($P \to Q$) 的翻译
- **充分条件**："只要 $P$ 就 $Q$" $\Rightarrow P \to Q$
- **必要条件**："只有 $Q$ 才 $P$" $\Rightarrow P \to Q$ (注意：$P$ 是 $Q$ 的充分条件，或者理解为 $\neg Q \to \neg P$)
- **除非**："除非 $P$ 否则 $Q$" $\Rightarrow \neg P \to Q$ (即 $P \lor Q$)

### 1.1.3 命题公式的分类 (Classifications)
*常考题型：判断给定公式属于哪一类。*
1.  **永真式 (重言式, Tautology)**：
    - 在所有真值赋值下，结果均为**真** ($1$)。
    - *例*：$P \lor \neg P$
2.  **矛盾式 (永假式, Contradiction)**：
    - 在所有真值赋值下，结果均为**假** ($0$)。
    - *例*：$P \land \neg P$
3.  **可满足式 (Contingency)**：
    - **不是矛盾式**的公式（即至少有一种赋值为真）。
    - *注意*：永真式也是可满足式的一种，但通常指"既非永真也非永假"的公式。

### 1.1.4 逻辑等值式 (Laws of Logic)
*核心：用于化简命题公式。*

1.  **双重否定律**：$\neg\neg P \Leftrightarrow P$
2.  **幂等律**：$P \lor P \Leftrightarrow P$, $P \land P \Leftrightarrow P$
3.  **交换律**：$P \lor Q \Leftrightarrow Q \lor P$, $P \land Q \Leftrightarrow Q \land P$
4.  **结合律**：$(P \lor Q) \lor R \Leftrightarrow P \lor (Q \lor R)$
5.  **分配律** (非常重要)：
    - $P \lor (Q \land R) \Leftrightarrow (P \lor Q) \land (P \lor R)$ (析取对合取的分配)
    - $P \land (Q \lor R) \Leftrightarrow (P \land Q) \lor (P \land R)$ (合取对析取的分配)
6.  **德·摩根律 (De Morgan's Laws)** (变号变词)：
    - $\neg(P \lor Q) \Leftrightarrow \neg P \land \neg Q$
    - $\neg(P \land Q) \Leftrightarrow \neg P \lor \neg Q$
7.  **吸收律** (合并同类项)：
    - $P \lor (P \land Q) \Leftrightarrow P$
    - $P \land (P \lor Q) \Leftrightarrow P$
8.  **蕴含等值式**：$P \to Q \Leftrightarrow \neg P \lor Q$ (去箭头核心公式)
9.  **等价等值式**：$P \leftrightarrow Q \Leftrightarrow (P \to Q) \land (Q \to P)$
10. **假言易位** (逆否命题)：$P \to Q \Leftrightarrow \neg Q \to \neg P$
11. **归谬律**：$(P \to Q) \land (P \to \neg Q) \Leftrightarrow \neg P$

### 1.1.4 范式 (Normal Forms)

#### 析取范式 (DNF) 与 合取范式 (CNF)
- **定义**：
  - DNF：简单合取式的析取 ($\sum$)。例如：$(P \land Q) \lor (\neg P \land R)$
  - CNF：简单析取式的合取 ($\prod$)。例如：$(P \lor Q) \land (\neg P \lor R)$
- **主范式 (Principal NF)**：
  - **极小项 ($m_i$)**：包含所有变量的合取项，编码对应真值表中的行号。
  - **极大项 ($M_i$)**：包含所有变量的析取项。
  - **转换方法**：
    1.  **真值表法**：
        - 主析取范式：取真值表中结果为 $T$ 的行对应的极小项之和。
        - 主合取范式：取真值表中结果为 $F$ 的行对应的极大项之积。
    2.  **等值演算法**：利用双重否定、德摩根、分配律展开。

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## 1.2 谓词逻辑 (Predicate Logic)

### 1.2.1 基本要素
- **个体词**：常量 ($a, b$) 和 变量 ($x, y$)。
- **谓词**：$P(x_1, \dots, x_n)$，表示个体之间的性质或关系。
- **量词**：
  - 全称量词 $\forall$ (For all)
  - 存在量词 $\exists$ (Exists)
- **论域 (Universe)**：个体变元的取值范围。若未指定，通常指全总个体域。

### 1.2.2 翻译技巧 (易错)
1.  **"所有的 S 都是 P"**：
    - 正确：$\forall x (S(x) \to P(x))$
    - *错误*：$\forall x (S(x) \land P(x))$ (这意味着宇宙中万物既是S也是P)
2.  **"有的 S 是 P"**：
    - 正确：$\exists x (S(x) \land P(x))$
    - *错误*：$\exists x (S(x) \to P(x))$ (这通常是恒真的，没有意义)

### 1.2.3 谓词逻辑等值式
1.  **量词否定律**：
    - $\neg \forall x P(x) \Leftrightarrow \exists x \neg P(x)$ (改变量词，否定谓词)
    - $\neg \exists x P(x) \Leftrightarrow \forall x \neg P(x)$
2.  **量词辖域扩展** (设 $Q$ 不含 $x$)：
    - $\forall x (P(x) \lor Q) \Leftrightarrow (\forall x P(x)) \lor Q$
    - $\exists x (P(x) \land Q) \Leftrightarrow (\exists x P(x)) \land Q$
3.  **量词分配律**：
    - $\forall x (P(x) \land Q(x)) \Leftrightarrow \forall x P(x) \land \forall x Q(x)$ (全称对合取可分配)
    - $\exists x (P(x) \lor Q(x)) \Leftrightarrow \exists x P(x) \lor \exists x Q(x)$ (存在对析取可分配)
    - *注意*：$\forall$ 对 $\lor$ 不可分配，$\exists$ 对 $\land$ 不可分配！

### 1.2.4 前束范式 (Prenex Normal Form)
**形式**：$Q_1 x_1 Q_2 x_2 \dots Q_k x_k M$
- 所有量词都在最左边。
- $M$ 是不含量词的基式。

**化简步骤**：
1.  **消去蕴涵**：利用 $A \to B \Leftrightarrow \neg A \lor B$。
2.  **否定内移**：利用德摩根律和量词否定律，将 $\neg$ 移到原子公式前。
3.  **变元改名**：确保不同量词使用不同的变量名 (如 $\forall x P(x) \lor \exists x Q(x)$ 改为 $\forall x P(x) \lor \exists y Q(y)$)。
4.  **量词左提**：利用量词辖域扩展规则将量词提到最前面。

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## 1.3 推理理论 (Inference Theory)

### 1.3.1 常用推理规则
1.  **假言推理 (Modus Ponens)**: $P, P \to Q \Rightarrow Q$
2.  **拒取式 (Modus Tollens)**: $\neg Q, P \to Q \Rightarrow \neg P$
3.  **析取三段论**: $P \lor Q, \neg P \Rightarrow Q$
4.  **假言三段论**: $P \to Q, Q \to R \Rightarrow P \to R$
5.  **化简律**: $P \land Q \Rightarrow P$
6.  **附加律**: $P \Rightarrow P \lor Q$

### 1.3.2 谓词推理规则
1.  **全称特指 (US)**: $\forall x P(x) \Rightarrow P(c)$ (任意 $\to$ 个体)
2.  **全称推广 (UG)**: $P(x) \Rightarrow \forall x P(x)$ (任意个体 $\to$ 任意) *注意限制条件*
3.  **存在特指 (ES)**: $\exists x P(x) \Rightarrow P(c)$ (存在 $\to$ 特指常量 $c$) *注意 $c$ 必须是新引入的*
4.  **存在推广 (EG)**: $P(c) \Rightarrow \exists x P(x)$ (个体 $\to$ 存在)

### 1.3.3 证明方法
1.  **直接证明法**：从前提及其逻辑推论出发，推导出结论。
2.  **附加前提证明法 (CP规则)**：
    - 若要证 $A \to B$，可将 $A$ 作为附加前提加入前提集，只需证出 $B$ 即可。
3.  **反证法 (归谬法)**：
    - 将结论的否定 $\neg C$ 加入前提集，推导出矛盾 ($F$)。