handsomezhuzhu.github.io/otherdocs/概统/04-连续型随机变量分布.md

# 四、连续型随机变量分布

## 1. 均匀分布 U(a, b)

**概率密度函数**：
$$f(x) = \begin{cases} \frac{1}{b-a}, & a \leq x \leq b \\ 0, & 其他 \end{cases}$$

**分布函数**：
$$F(x) = \begin{cases} 0, & x < a \\ \frac{x-a}{b-a}, & a \leq x \leq b \\ 1, & x > b \end{cases}$$

**期望与方差**：
- $E(X) = \frac{a+b}{2}$
- $D(X) = \frac{(b-a)^2}{12}$

**适用场景关键词**：
- "等可能"、"随机取一点"
- "在[a,b]上均匀分布"
- 舍入误差、随机数生成

**例题特征**：
> 公交车每10分钟一班，乘客随机到达，求等待时间不超过3分钟的概率。
> → X ~ U(0, 10), P(X ≤ 3) = 0.3

---

## 2. 指数分布 Exp(λ)

**概率密度函数**：
$$f(x) = \begin{cases} \lambda e^{-\lambda x}, & x \geq 0 \\ 0, & x < 0 \end{cases}$$

**分布函数**：
$$F(x) = \begin{cases} 1 - e^{-\lambda x}, & x \geq 0 \\ 0, & x < 0 \end{cases}$$

**期望与方差**：
- $E(X) = \frac{1}{\lambda}$
- $D(X) = \frac{1}{\lambda^2}$

**无记忆性**：$P(X > s+t | X > s) = P(X > t)$

**重要结论**：$P(X > a) = e^{-\lambda a}$（$a>0$）

**适用场景关键词**：
- "寿命"、"等待时间"、"服务时间"
- "无记忆性"
- 电子元件寿命、顾客到达间隔、放射性衰变间隔
- 与泊松过程相关（泊松过程的时间间隔服从指数分布）

**重要关系**：若单位时间内事件发生次数 ~ P(λ)，则相邻事件的时间间隔 ~ Exp(λ)

**例题特征**：
> 某元件寿命服从参数λ=0.01的指数分布，求使用超过100小时的概率。
> → P(X > 100) = e^(-0.01×100) = e^(-1)

---

## 3. 正态分布 N(μ, σ²)

**概率密度函数**：
$$f(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma} e^{-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}}, \quad -\infty < x < +\infty$$

**期望与方差**：
- $E(X) = \mu$
- $D(X) = \sigma^2$

**标准化**：若 $X \sim N(\mu, \sigma^2)$，则 $Z = \frac{X-\mu}{\sigma} \sim N(0,1)$

**标准正态分布**：$Z \sim N(0,1)$
- 密度函数：$\varphi(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-x^2/2}$
- 分布函数：$\Phi(x) = P(Z \le x)$

**区间概率**：若 $X \sim N(\mu, \sigma^2)$，则
$$P(a < X \le b) = \Phi\left(\frac{b-\mu}{\sigma}\right) - \Phi\left(\frac{a-\mu}{\sigma}\right)$$

**标准正态性质**：
- $\Phi(-x) = 1 - \Phi(x)$
- $\Phi(0) = \frac{1}{2}$
- $P(|Z| \le a) = 2\Phi(a) - 1$（$a>0$）

**密度识别**：若 $f(x) = A e^{ax^2+bx+c}$，$a<0$，$-\infty < x < +\infty$，则X为正态分布

**重要性质**：
- 对称性：$\Phi(-x) = 1 - \Phi(x)$
- $P(|X-\mu| < \sigma) \approx 68.27\%$
- $P(|X-\mu| < 2\sigma) \approx 95.45\%$
- $P(|X-\mu| < 3\sigma) \approx 99.73\%$ (3σ原则)

**适用场景关键词**：
- 测量误差、身高体重、考试成绩
- "正态分布"、"高斯分布"
- 大量独立随机因素叠加的结果

**例题特征**：
> X ~ N(100, 16)，求P(92 < X < 108)。
> → 标准化：P(-2 < Z < 2) = 2Φ(2) - 1

---

## 4. 伽马分布 Γ(α, λ)

**概率密度函数**：
$$f(x) = \begin{cases} \frac{\lambda^\alpha}{\Gamma(\alpha)} x^{\alpha-1} e^{-\lambda x}, & x > 0 \\ 0, & x \leq 0 \end{cases}$$

**期望与方差**：
- $E(X) = \frac{\alpha}{\lambda}$
- $D(X) = \frac{\alpha}{\lambda^2}$

**特殊情况**：
- α=1 时为指数分布 Exp(λ)
- α=n/2, λ=1/2 时为 χ²(n) 分布