**Copyright © 2024 Simon**
# 7.1 对称矩阵的对角化

就是$A^T=A$

>**定理1** 如果 $A$ 是对称矩阵，那么不同特征空间的任意两个特征向量是正交的.

>**定理2** 一个$n \times  n$ 矩阵 $A$ 可正交对角化的充分必要条件是 $A$ 是对称矩阵.

# 7.2 二次型
* 二次型是一个定义在 $R$<sup>n</sup> 上的函数， 它在向量 $x$ 处的值可由表达式$Q(x) = x^T Ax$ 计算，其中 $A$ 是一个 $n \times n$ 对称矩阵.矩阵 $A$ 称为关于二次型的矩阵.
# 7.4 SVD
SVD是奇异值分解（Singular Value Decomposition）的英文缩写。它是一种重要的矩阵分解方法。对于任意一个实矩阵$A_{m\times n}$（$m$行$n$列），都可以分解为
$$A = U\Sigma V^{T}$$
的形式。其中$U$是$m\times m$的正交矩阵，$V$是$n\times n$的正交矩阵，$\Sigma$是$m\times n$的对角矩阵，其对角线上的元素$\sigma_{ii}$（$i = 1,2,\cdots,\min(m,n)$）称为奇异值，并且$\sigma_{ii}\geq0$，这些奇异值按照从大到小的顺序排列在$\Sigma$的对角线上。