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# 1.1 线性方程组
## (1) 矩阵与增广矩阵
$$
2x_1 - x_2 + 1.5x_3 = 8
$$
$$
x_1 - 4x_3 = -7
$$
* 矩阵 (Matrix)
$$
\begin{bmatrix}
2 & -1 & 1.5\\
1 & 0 & -4
\end{bmatrix}
$$
* 增广矩阵 (Augmented Matrix)
$$
\begin{bmatrix}
2 & -1 & 1.5 & 8\\
1 & 0 & -4 & -7
\end{bmatrix}
$$
* 线性方程组解的三种情况：
1. 无解 (不相容) (incompatibility)
2. 有唯一解 (相容) (compatibility)
3. 有无穷多解 (相容) (compatibility)
## (2) 矩阵变换
* 倍加
* 对换
* 倍乘
# 1.2 行化简与阶梯形矩阵
>**先导元素 (Leading element)**
**定义**
一个矩阵称为阶梯形(或行阶梯形),若它有以下三个性质:
l.每一非零行都在每一零行之上.
2.某一行的先导元素所在的列位于前一行先导元素的右边
3.某一先导元素所在列下方元素都是零.
若一个阶梯形矩阵还满足以下性质,贝则称它为简化阶梯形(或简化行阶梯形) .
4.每一非零行的先导元素是 1.
5.每一先导元素 1 是该元素所在列的唯一非零元素
>**定理1** (简化阶梯形矩阵的唯一性)
每个矩阵行等价于唯一的简化阶梯形矩阵.
>**主元位置 (Pivot position)**
**定义**
矩阵中的主元位置是A中对应于它的阶梯形中先导元素 1 的位直.主元列是$A$的含有主元往直的列
>**定理2** (存在与唯一性定理)
线性方程组相容的充要条件是增广矩阵的最右列不是主元列.也就是说增广矩阵的阶梯形没有形如
$[0 \ \ \cdots \ \ 0 \ \ b] \ \ ,\ \ b\neq0$
>的行若线性方程组相容,则它的解集可能有两种情形:
( i )当没有自由变量时,有唯一解;
( ii )若至少有一个自由变量,则有无穷多解.
# 1.3 向量方程
$$u=
\begin{bmatrix}
\ 2 \ \\
\ 1 \
\end{bmatrix}
$$
>满足加法乘法的性质
* 线性组合
$y=x_1c_1+\cdots+x_ic_i$ 中 $c_i$ 为权
* 向量张成 (生成)
$span\{x_1,x_2,\cdots,x_i\}$
即判断
$y=x_1c_1+\cdots+x_ic_i$
是否有解；或
$\begin{bmatrix}
\ x_1\ x_2\ \cdots \ x_3 \ y\\
\end{bmatrix}$
是否有解
# 1.4 矩阵方程 Ax=b
>**定义**
若$A$是$m \times n$矩阵,它的各列为 $a$
若 $x$ 是$R$n中的向量,则 $A$ 与 $x$ 的积(记为$Ax$) 就是 $A$ 的各列以 $x$ 中对应元素为权的线性组合
>**定理3**
$Ax=b$
等价于
$\begin{bmatrix}
\ a_1\ a_2\ \cdots \ a_3 \ \ b\\
\end{bmatrix}$
* 解的存在性
>**方程Ax = b 有解当且仅当 b 是 A 的各列的线性组合.**
>**定理4**
设 $A$ 是 $m \times n$ 矩阵,则下列命题是逻辑上等价的.
也就是说,对某个 $Ax = b$ 它们都成立或者都不成立.
a. 对$R$m中每个 $b$ ,方程 $Ax=b$ 有解.
b. $R$m中的每个 $b$ 都是 $A$ 的列的一个线性组合.
c. $A$ 的各列生成$R$m.
d. $A$ 在每一行都有一个主元位置.
>**计算**
计算 $Ax$ 的行-向量规则
若乘积 $Ax$ 有定义,则 $Ax$ 中的第 $i$ 个元素是 $A$ 的第 $i$ 行元素与 $x$ 的相应元素乘积之和.
>**定理5**
若 $A$ 是 $m\times n$ 矩阵,$u$ 和 $v$ 是$R$n中向量, $c$ 是标量,如:
a. $A(u+v) = Au+Av.$
b. $A(cu) = c(Au).$
# 1.5 线性方程组的解集
* 齐次线性方程组
>齐次方程 $Ax=0$ 有非平凡解当且仅当方程至少有一个自由变量.
>**定理6**
设方程 $Ax=b$ 对某个 $b$ 是相容的, $p$ 为一个特解,则 $Ax=b$ 的解集是所有形如
$w = p+v_h$
>的向量的集, 其中 $v$h 是齐次方程 $Ax=0$ 的任意一个解.
# 1.7 线性无关
>**定义**
向量方程 $0=x_1c_1+\cdots+x_ic_i$ 仅有平凡解(trivial solution) 向量组 (集) 称为线性无关的 (linearly independent)
若存在不全为零的权
$c_i$
使
$x_1c_1+\cdots+x_ic_i+0$
则向量组 (集) 称为线性相关的 (linearly dependent)
>**矩阵 $A$ 的各列线性无关,当且仅当方程 $Ax=0$ 仅有平凡**
>**定理7** (线性相关集的特征)
两个或更多个向量的集合
$S=\{v_1,v_2,\cdots,v_p\}$
>线性相关,当且仅当 $S$ 中至少有一个向量是其他向量的线性组合.
>**定理8**
若一个向量组的向量个数超过每个向量的元素个数,那么这个向量组线性相关.就
是说, $R$n 中任意向量组
$\{v_1,v_2,\cdots,v_p\}$
>当 $p>n$ 时线性相关.
>**定理9**
若 $R$n 中向量组
$S=\{v_1,v_2,\cdots,v_p\}$
>包含零向量,则它线性相关
# 1.8 线性变换介绍
* 变换(transformation)(或称函数、映射(map)) $T$ 是一个规则
* $T$ : $R$n → $R$m
$R$n称为 $T$ 的定义域 (domain)
$R$m称为 $T$ 的余定义域 (codomain) (或取值空间)
* 线性变换
$$T(0) = 0$$
$$T(cu+ dv) = cT(u) + dT(v)$$
# 1.9 线性变换的矩阵
>**定理10**
设 $T$ : $R$n → $R$m 为线性变换,则存在唯一的矩阵 $A$ ,使得对 $R$n中一切 $x$ 满足 $T(x)=Ax$
* 满射
>映射 $T$ : $R$n → $R$m 称为到 $R$m 上的映射,若 $R$m 中每个 $b$ 是 $R$n 中至少一个 $x$ 的像.
>“满射” 的英文是 “surjective” 或 “surjection” 或 “onto mapping” 或 “onto function”
* 单射
>映射 $T$ : $R$n → $R$m 称为一对一映射(或1:1),若 $R$m 中每个 $b$ 是 $R$m 中至多一个 $x$ 的像.
>“单射” 的英文是 “injective” 或 “injection” 或 “one-to-one mapping” 或 “one-to-one function”
>**定理11**
设 $T$ : $R$n → $R$m 为线性变换,则 $T$ 是一对一的当且仅当方程 $Ax=0$ 仅有平凡解.
>**定理12**
设 $T$ : $R$n → $R$m 为线性变换,设 $A$ 为 $T$ 的标准矩阵，则：
a. $T$ 把 $R$n 映上到 $R$m ，当且仅当 $A$ 的列生成 $R$m.
b. $T$ 是一对一的，当且仅当 $A$ 的列线性无关.