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# 第5章 特征值与特征向量
# 5.1 特征向量(eigenvector)与特征值(eigenvalue)
  >定义 $A$ 为 $n \times n$ 矩阵，$x$ 为非零向量， 若存在数 $λ$ 使 $Ax=λx$ 有非平凡解 $x$， 则称 $λ$ 为 $A$的特征值,$x$ 称为对应于 $λ$ 的特征向量  
也可写作$(A-λI)x=0$

>**定理1**  
三角矩阵的主对角线的元素是其特征值.

>**定理2**  
$λ_1,\cdots,λ_r$ 是 $n \times n$ 矩阵 $A$ 相异的特征值，$v_1,\cdots,v_r$是与$λ_1,\cdots,λ_r$对应的特征向量，那么向量集合{$v_1,\cdots,v_r$}线性无关.



* 一、逆矩阵的特征值  
若矩阵$A$可逆，$\lambda$是$A$的特征值，则$A^{-1}$的特征值是$\displaystyle \frac{1}{\lambda}$，特征向量不变。

* 二、转置矩阵的特征值  
矩阵$A$与其转置矩阵$A^T$具有相同的特征值。

* 三、伴随矩阵的特征值  
若$A$可逆，$A$的特征值为$\lambda_i$（$i = 1,2,\cdots,n$，$\lambda_i\neq0$），则伴随矩阵$A^*$的特征值为$\displaystyle \frac{\vert A\vert}{\lambda_i}$，特征向量不变。

# 5.2 特征方程(eigen equation)
>**定理(可逆矩阵定理(续))**  
设 $A$ 是 $n \times n$ 矩阵，则 $A$ 是可逆的当且仅当  
a.0不是 $A$ 的特征值.  
b.$A$ 的行列式不等于零.



>**定理3 (行列式的性质)**  
设 $A$ 和 $B$ 是 $n \times n$ 矩阵.  
a. $A$ 可逆的元要条件是 det$A \neq 0$.  
b. det $AB =$ (det $A$)  (det$B$).  
c. det $A^T$ = det $A$.  
d. 若 $A$ 是三角形矩阵，那么det $A$ 是 $A$ 主对角线元素的乘积.  
e. 对 $A$ 作行替换不改变其行列式值.作一次行交换，行列式值符号改变一次数来一行后，
行列式值等于用此数来原来的行列式值.

>**定理4**  
若 $n \times n$ 矩阵 $A$ 和 $B$ 是相似的，那么它们有相同的特征多项式，从而有相同的特征值(和相同的重数).

# 5.3 对角化(diagonalize)
>**定理5 (对角化定理)**  
$n \times n$ 矩阵 $A$ 可对角化的充分必要条件是 $A$ 有 $n$ 个线性无关的特征向量.  
事实上， $A=PDP^{-1}$ , $D$ 为对角矩阵的充分必要条件是 $P$ 的列向量是 $A$ 的 $n$ 个线性无关的特征向量.此时，$D$ 的主对角线上的元素分别是 $A$ 的对应于 $P$ 中特征向量的特征值.

>**定理6**  
有 $n$ 个相异特征值的$n \times n$ 矩阵可对角化.

>**定理7**  
~~似乎不重要，因为我也读不懂~~

>**定理8 (对角矩阵表示)**  
设 $A=PDP^{-1}$ ， 其中 $D$ 为 $n \times n$ 对角矩阵，若  $R$<sup>n</sup> 的基$\beta$由 $P$ 的列向量组成，那么 $D$ 是变换 $x$ → $Ax$的$\beta$-矩阵.