**Copyright © 2024 Simon**
# 第 3 章 行列式（determinant）
# 3.1 行列式介绍
* 人话版本：
>我的方法：  
>1、选择一行零最多的，  
>2、他的位置是第（$i$，$j$）,那就删去第$i$行，第$j$列，剩下的就是（余因子）  
>3、这一行每个数都这样算$a_{ij} \times |C_{ij}| \times (-1)^{i+j}$，最后求和

>**定理 2**   
>若 $A$ 为三角阵，则 det$A$ 等于 $A$ 的主对角线上元素的乘积

# 3.2  行列式的性质
>**定理3 (行变换)**    
>令 $A$ 是一个方阵.  
>a. 若 $A$  的某一行的倍数加到另一行得矩阵B ， 则det $B$ = det $A$ .  
>b 若 $A$ 的两行互换得矩阵 $B$ ， 则 det $B$ = - det $A$.  
>c. 若 $A$ 的某行来以 $k$ 倍得到矩阵 $B$  ， 则det $B$ = $k$ det $A$ .    
>** 补充  
>$$\vert A^T\vert=\vert A\vert$$
>$$\vert A^{-1}\vert=\frac{1}{\vert A\vert}$$
>
>$$|A^{*}|=|A|^{n - 1}$$
>$$\vert kA\vert=k^{n}\vert A\vert$$

>**定理4**  
> 方阵 $A$ 是可逆的当且仅当 det $A \neq 0$

>**定理5**  
> 若 $A$ 为一个 $n \times n$ 矩阵，则det $A^T$ = det $A$.

>**定理6 (乘法的性质)**  
若 $A$ 和 $B$ 均为 $n \times n$ 矩阵，则 det $AB$ = (det $A$)( det $B$) .

* 行列式与秩的关系  
>$\text{det}(A)\neq0$那么矩阵$A$是满秩的，秩$\text{rank}(A) = n$。这是因为行列式不为零意味着矩阵的列（行）向量组是线性无关的  
>也就是齐次线性方程组$Ax=0$的充要条件是系数矩阵秩$\text{rank}(A) = n$

* **$r(A) = n$**  $\Leftrightarrow$  **$|A| \neq 0$**  $\Leftrightarrow$  **齐次线性方程组 $Ax = 0$ 只有零解 $\Leftrightarrow$ 可逆**

# 3.3 克拉默法则
>**定理7 (克拉默法则)**  
设 $A$ 是一个可逆的 $n \times n$ 矩阵，对 $R$<sup>m</sup> 中任意向量 $b$ ， 方程 $Ax =b$ 的唯一解可由下式给出:  
$$\displaystyle x_i=\frac{det \ \ A_i(b)}{det \ \ A},i=1,2,\cdots,,n$$

~~不太能解释~~