# 三、离散型随机变量分布

## 1. 0-1分布（伯努利分布）b(1, p)

**定义**：随机变量X只取0和1两个值

**分布律**：
$$P(X=k) = p^k(1-p)^{1-k}, \quad k=0,1$$

| X | 0 | 1 |
|---|---|---|
| P | 1-p | p |

**期望与方差**：
- $E(X) = p$
- $D(X) = p(1-p)$

**适用场景**：单次试验的成功/失败

---

## 2. 二项分布 B(n, p)

**定义**：n次独立重复试验中，事件A发生的次数X

**概率公式**：
$$P(X=k) = C_n^k p^k (1-p)^{n-k}, \quad k=0,1,2,...,n$$

**期望与方差**：
- $E(X) = np$
- $D(X) = np(1-p)$

**正态近似（德莫弗-拉普拉斯）**：当n充分大时，
$$X \sim B(n,p) \approx N(np, np(1-p))$$

**适用场景关键词**：
- "n次独立试验"
- "成功/失败"、"合格/不合格"、"命中/未命中"
- "每次成功概率为p"
- "求恰好k次成功的概率"

**例题特征**：
> 某射击运动员命中率为0.8，独立射击10次，求恰好命中8次的概率。
> → X ~ B(10, 0.8)

---

## 3. 泊松分布 P(λ) 或 π(λ)

**定义**：单位时间/空间内随机事件发生的次数

**概率公式**：
$$P(X=k) = \frac{\lambda^k e^{-\lambda}}{k!}, \quad k=0,1,2,...$$

**期望与方差**：
- $E(X) = \lambda$
- $D(X) = \lambda$

**特点**：期望=方差=λ

**适用场景关键词**：
- "单位时间内"、"每天"、"每小时"
- "平均发生λ次"
- "稀有事件"（n大p小，np适中）
- 电话呼叫次数、到达人数、故障次数、放射性衰变

**泊松定理（二项分布的近似）**：
当 $n \geq 20, p \leq 0.05$ 时，$B(n,p) \approx P(np)$

**例题特征**：
> 某服务台平均每小时接到5个电话，求1小时内接到3个电话的概率。
> → X ~ P(5)

---

## 4. 几何分布 G(p)

**定义**：独立重复试验中，首次成功时的试验次数X

**概率公式**：
$$P(X=k) = (1-p)^{k-1}p, \quad k=1,2,3,...$$

**期望与方差**：
- $E(X) = \frac{1}{p}$
- $D(X) = \frac{1-p}{p^2}$

**无记忆性**：$P(X > m+n | X > m) = P(X > n)$

**适用场景关键词**：
- "首次成功"、"第一次出现"
- "直到...为止"
- "需要多少次才能成功"

**例题特征**：
> 抛硬币直到第一次出现正面，求所需次数的期望。
> → X ~ G(0.5), E(X) = 2

---

## 5. 超几何分布 H(n, M, N)

**定义**：N件产品中有M件次品，从中不放回抽取n件，次品数X

**概率公式**：
$$P(X=k) = \frac{C_M^k C_{N-M}^{n-k}}{C_N^n}$$

**期望与方差**：
- $E(X) = \frac{nM}{N}$
- $D(X) = \frac{nM(N-M)(N-n)}{N^2(N-1)}$

**适用场景关键词**：
- "不放回抽样"
- "N件中有M件..."
- 抽奖问题、质检问题（小批量）

**与二项分布的区别**：
- 超几何：不放回抽样
- 二项分布：放回抽样（或总体很大时的不放回）

**例题特征**：
> 10件产品中有3件次品，不放回抽取4件，求恰好有2件次品的概率。
> → X ~ H(4, 3, 10)

---

## 6. 负二项分布（帕斯卡分布）NB(r, p)

**定义**：独立重复试验中，第r次成功时的试验次数X

**概率公式**：
$$P(X=k) = C_{k-1}^{r-1} p^r (1-p)^{k-r}, \quad k=r,r+1,...$$

**期望与方差**：
- $E(X) = \frac{r}{p}$
- $D(X) = \frac{r(1-p)}{p^2}$

**适用场景关键词**：
- "第r次成功"
- 几何分布是r=1的特例