# 一、概率论基本概念

## 1. 基本概念

| 术语 | 定义 |
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| **随机现象** | 不能预先确定结果的事件，即随机试验 |
| **基本事件** | 随机试验中的每个单一结果 |
| **随机事件** | 在随机试验中可能出现的各种结果，由若干基本事件组成 |
| **样本空间** | 随机试验中所有基本事件的集合，记为S，其中的元素称为样本点 |
| **概率** | 随机事件发生可能性的数字表征，介于0-1之间 |

**重要关系**：样本空间的子集是随机事件

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## 2. 概率的三个基本性质

1. **非负性**：对任意事件A，$P(A) \geq 0$
2. **规范性**：$P(S) = 1$，样本空间S的概率是1
3. **可列可加性**：设$A_1, A_2, ...$是两两互不相容事件，则
   $$P(A_1 \cup A_2 \cup ...) = P(A_1) + P(A_2) + ...$$

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## 3. 古典概型

**条件**：有限性，等可能性

**排列数**：$A_n^r = \frac{n!}{(n-r)!}$

**组合数**：$C_n^r = \frac{n!}{(n-r)!r!}$

**多组组合模式**：n个不同物体分成k堆，有 $\frac{n!}{r_1!r_2!...r_k!}$ 种分法

**概率的统计定义**：事件发生的频率在试验次数足够大时趋近的值

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## 4. 条件概率

**定义**：A，B是随机试验中两个事件，$P(B) > 0$，称
$$P(A|B) = \frac{P(AB)}{P(B)}$$
为事件B发生条件下A发生的概率

**乘法定理**：$P(AB) = P(A|B) \cdot P(B) = P(B|A) \cdot P(A)$

**推论**：若A，B独立，则 $P(A|B) = P(A)$，$P(AB) = P(A)P(B)$

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## 5. 全概率公式

设试验E的样本空间为S，A为E的事件，$B_1, B_2, ..., B_n$为S的一个**划分**，$P(B_i) > 0$，$i = 1,2,...,n$，则

$$P(A) = \sum_{i=1}^{n} P(A|B_i)P(B_i) = P(A|B_1)P(B_1) + P(A|B_2)P(B_2) + ... + P(A|B_n)P(B_n)$$

**理解**：将复杂事件A分解为多个互不相容的简单事件求和

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## 6. 贝叶斯公式

设试验E的样本空间为S，A为E的事件，$B_1, B_2, ..., B_n$为S的一个划分，$P(A) > 0$，$P(B_i) > 0$，$i = 1,2,...,n$，则

$$P(B_i|A) = \frac{P(A|B_i)P(B_i)}{\sum_{j=1}^{n} P(A|B_j)P(B_j)}$$

**理解**：
- $P(B_i)$：先验概率（原因发生的概率）
- $P(B_i|A)$：后验概率（观测到结果后，原因的概率）
- 贝叶斯公式用于"由果溯因"

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## 7. 典型例题

**例**：有两箱同种类的零件，第一箱装50只，其中10只一等品。第二箱装30只，其中18只一等品。今从两箱中任挑出一箱，然后从该箱中取零件两次，每次任取一只，作不放回抽样。求：
(1) 第一次取到的零件是一等品的概率
(2) 第一次取到的零件是一等品的条件下，第二次取到的也是一等品的概率

**解**：记$A_i$="在第i次中取到一等品"，$B_i$="挑到第i箱"，$i=1,2$

(1) 由全概率公式：
$$P(A_1) = P(A_1|B_1) \cdot P(B_1) + P(A_1|B_2) \cdot P(B_2) = \frac{10}{50} \times \frac{1}{2} + \frac{18}{30} \times \frac{1}{2} = 0.4$$

(2) $P(A_1A_2) = P(A_1A_2|B_1) \cdot P(B_1) + P(A_1A_2|B_2) \cdot P(B_2)$
   $= \frac{1}{2} \times \frac{10}{50} \times \frac{9}{49} + \frac{1}{2} \times \frac{18}{30} \times \frac{17}{29} = 0.19423$

   $P(A_2|A_1) = \frac{P(A_1A_2)}{P(A_1)} = \frac{0.19423}{0.4} = 0.4856$