# 第四章：图论

## 4.1 图的基本概念

### 4.1.1 定义与术语
- **图 $G=(V, E)$**：$V$ 为顶点集，$E$ 为边集。
- **度 (Degree)**：$\deg(v)$ 为关联的边数 (自环算 2 度)。
  - **握手定理**：$\sum_{v \in V} \deg(v) = 2|E|$。
  - **推论**：奇度顶点的个数必为偶数。
- **子图**：$V' \subseteq V, E' \subseteq E$。
- **补图**：$\bar{G}$，顶点相同，边互补 (完全图 $K_n$ 减去原图的边)。

### 4.1.2 图的连通性
- **路径 (Path)**：$v_0, e_1, v_1, \dots, v_k$。
- **简单路径**：不经过重复边。
- **基本路径 (Elementary Path)**：不经过重复顶点。
- **连通图**：任意两点间均有路径。
- **割点 (Cut Vertex)**：删去该点及关联边，图分量增加。
- **割边 (Bridge)**：删去该边，图分量增加。
- **连通度**：
  - **点连通度 $\kappa(G)$**：使图不连通所需删除的最少顶点数。
  - **边连通度 $\lambda(G)$**：使图不连通所需删除的最少边数。
  - **不等式关系**：$\kappa(G) \le \lambda(G) \le \delta(G)$ (最小度)。

### 4.1.3 图的矩阵表示
- **邻接矩阵 $A(G)$**：$n \times n$ 矩阵，$a_{ij}$ 表示 $v_i, v_j$ 间的边数。
  - 性质：$A^k$ 的元素 $a_{ij}^{(k)}$ 表示从 $v_i$ 到 $v_j$ 长度为 $k$ 的路径条数。
- **关联矩阵 $M(G)$**：顶点与边的关系。

### 4.1.4 图的同构 (Isomorphism)
判断 $G_1 \cong G_2$ 的必要条件 (若不满足则必不同构)：
1.  顶点数、边数相同。
2.  度数列相同 (将所有点度数排序后一致)。
3.  连通分量数相同。
4.  对应长度的回路数相同 (如都有或都没有三角形)。
*充分性证明通常需要构造双射函数。*

## 4.2 特殊图类

### 4.2.1 欧拉图 (Euler) 与 哈密顿图 (Hamilton)
| 特性 | 欧拉图 (Euler) | 哈密顿图 (Hamilton) |
| :--- | :--- | :--- |
| **定义** | 经过**每条边**恰好一次的回路 | 经过**每个顶点**恰好一次的回路 |
| **判定(充要)** | 连通 + **所有点度为偶数** | 无简单充要条件 |
| **判定(充分)** | - | (Dirac) $n \ge 3, \forall v, \deg(v) \ge n/2$ |
| **半图(路径)** | 连通 + **恰有 0 或 2 个奇度点** | - |
**哈密顿图常用判定方式 (充分/必要)**：
- **必要条件**：$\delta(G) \ge 2$；且无割点 (2-连通)。
- **Dirac 定理 (充分)**：$n \ge 3, \delta(G) \ge n/2$。
- **Ore 定理 (充分)**：$n \ge 3$ 且任意非邻接顶点 $u,v$ 满足 $\deg(u)+\deg(v) \ge n$。

### 4.2.2 树 (Trees)
- **定义**：连通且无回路的无向图。
- **等价性质**：
  1.  无回路且 $E = V - 1$。
  2.  连通且 $E = V - 1$。
  3.  任意两点间存在**唯一**路径。
- **度数和**：$\sum_{v \in V} \deg(v) = 2E = 2(V-1)$。
- **叶子与内部点关系**：设 $L$ 为叶子数，则
  $L = 2 + \sum_{\deg(v)\ge 2}(\deg(v) - 2)$。
- **树中心 (Center)**：
  - 反复删除所有叶子，最终剩下 1 个或 2 个顶点，这些顶点即中心。
  - 等价表述：中心是到其他顶点最大距离最小的顶点(们)。
- **二叉树常用关系**：
  - 满二叉树：若内部结点数为 $I$，叶子数为 $L$，则 $L = I + 1$。
  - 完全二叉树：$n$ 个结点时高度 $h = \lfloor \log_2 n \rfloor + 1$。
- **最小生成树 (MST) 算法**：
  - **Kruskal** (加边法)：按权值排序，从小到大选边，不构成回路就加入。
  - **Prim** (加点法)：从任意点开始，每次选离当前生成树集合最近的点加入。

### 4.2.3 平面图 (Planar Graphs)
- **欧拉公式**：$V - E + R = 2$ ($R$ 为面数，包含无限面)。
- **定理**：连通简单平面图 ($V \ge 3$) 满足 $E \le 3V - 6$。
  - **证明要点**：每个面至少 3 条边，故 $3R \le 2E$，与欧拉公式联立得 $E \le 3V - 6$。
- **性质**：简单平面图 ($V \ge 3$) 满足 $E \le 3V - 6$。
  - **重要证明：存在度数 $\le 5$ 的顶点**
    - 假设所有顶点度数 $\deg(v) \ge 6$。
    - 由握手定理：$2E = \sum \deg(v) \ge 6V \Rightarrow E \ge 3V$。
    - 这与平面图性质 $E \le 3V - 6$ 矛盾。
    - 故必然存在 $\deg(v) \le 5$ 的顶点。
  - 推论：$K_5$ ($E=10, 3V-6=9$) 不是平面图。
  - 推论：$K_{3,3}$ ($E=9, 3V-6=12$, 但它是二分图无三角形，需用 $E \le 2V-4$, $9 \not\le 8$) 不是平面图。
- **常用等价与应用**：
  - 连通简单平面图：$E \le 3V - 6 \iff V \ge (E+6)/3$。
  - 平均度：$\overline{d} = 2E/V < 6$，因此必存在度 $\le 5$ 的顶点。
  - 判否：若某简单图满足 $E > 3V - 6$，则必非平面图。
  - 若无三角形 (如二分图)，改用 $E \le 2V - 4$。
- **库拉图斯基定理 (Kuratowski)**：图是平面图 $\iff$ 不含同胚于 $K_5$ 或 $K_{3,3}$ 的子图。

### 4.2.4 二分图 (Bipartite Graphs)
- **定义**：顶点集可划分为 $X, Y$，且所有边都在 $X$ 与 $Y$ 之间。
- **判定**：图是二分图 $\iff$ 图中**没有奇数长度的回路**。
- **完全二分图**：$K_{m,n}$，$|X|=m, |Y|=n$，边数 $E = mn$。
- **度数与边数**：$\sum_{x \in X}\deg(x)=\sum_{y \in Y}\deg(y)=|E|$。
- **平面图推论**：连通简单二分平面图 ($V \ge 3$) 满足 $E \le 2V - 4$。
- **二染色判定 (BFS/DFS)**：
  1.  对每个连通分量，任选起点染色为 0。
  2.  进行 BFS/DFS，对每条边 $(u,v)$ 要求 $color[u] \ne color[v]$。
  3.  若遇到冲突 (已染且相同) 则非二分图；无冲突则是二分图。
- **匹配**：Hall 定理 (相异代表系)。

## 4.3 核心算法逻辑

### 4.3.1 最短路径 (Dijkstra)
*适用于非负权图。*
1.  初始化：$S=\{start\}$, $dist[start]=0$, 其他无穷大。
2.  循环：
    - 在 $V-S$ 中找 $dist$ 最小的点 $u$。
    - 加入 $S$。
    - 松弛 (Relax) $u$ 的所有邻居 $v$：若 $dist[u] + w(u,v) < dist[v]$，则更新。

### 4.3.2 图着色 (Graph Coloring)
- **点色数 $\chi(G)$**：相邻顶点不同色所需的最少颜色数。
- **布鲁克定理 (Brooks)**：若 $G$ 不是奇环也不是完全图，则 $\chi(G) \le \Delta(G)$ (最大度)。
- **平面图四色定理**：平面图 $\chi(G) \le 4$。
- **色多项式 $P_k(G)$**：用 $k$ 种颜色染色的方案数。
  - 递推公式：$P_k(G) = P_k(G-e) - P_k(G \cdot e)$
    - $G-e$：删边。
    - $G \cdot e$：收缩边 (合并端点)。

### 4.3.3 最优二叉树 (Huffman Coding)
*常考题型：给定一组权值，构造哈夫曼树并计算带权路径长度 (WPL)。*

1.  **算法步骤**：
    - **初始化**：将所有权值看作独立的单节点树森林 $F = \{T_1, T_2, \dots\}$。
    - **循环**：
        1. 在 $F$ 中选出**根节点权值最小**的两棵树 $T_1, T_2$。
        2. 构造新树：根权值为 $W(T_1) + W(T_2)$，左右子树分别为 $T_1, T_2$。
        3. 从 $F$ 中删除 $T_1, T_2$，加入新树。
        4. 重复直到 $F$ 中只剩一棵树。
2.  **带权路径长度 (WPL)**：
    - $WPL = \sum_{i=1}^n w_i \times l_i$
    - $w_i$：第 $i$ 个叶子的权值。
    - $l_i$：第 $i$ 个叶子到根的路径长度（边数）。
    - *简便算法*：WPL = 所有非叶子节点的权值之和。