diff --git a/.gitmodules b/.gitmodules index b521ef5..52f16f7 100644 --- a/.gitmodules +++ b/.gitmodules @@ -1,3 +1,3 @@ -[submodule "cursor-rain"] - path = cursor-rain - url = https://github.com/handsomezhuzhu/cursor-rain +[submodule "cursor-rain"] + path = cursor-rain + url = https://github.com/handsomezhuzhu/cursor-rain diff --git a/docs/.vitepress/config.mts b/docs/.vitepress/config.mts index bb0c4d6..66933dd 100644 --- a/docs/.vitepress/config.mts +++ b/docs/.vitepress/config.mts @@ -1,71 +1,71 @@ -import { defineConfig } from 'vitepress' - -// 导入主题的配置 -import { blogTheme } from './blog-theme' - -// 如果使用 GitHub/Gitee Pages 等公共平台部署 -// 通常需要修改 base 路径，通常为“/仓库名/” -// 如果项目名已经为 name.github.io 域名，则不需要修改！ -// const base = process.env.GITHUB_ACTIONS === 'true' -// ? '/vitepress-blog-sugar-template/' -// : '/' - -// Vitepress 默认配置 -// 详见文档：https://vitepress.dev/reference/site-config -export default defineConfig({ - // 继承博客主题(@sugarat/theme) - extends: blogTheme, - // base, - lang: 'zh-cn', - title: 'SIMON BLOG', - description: 'Simon的博客，基于 vitepress 实现', - lastUpdated: true, - markdown: { - math: true - }, - // 详见：https://vitepress.dev/zh/reference/site-config#head - head: [ - // 配置网站的图标（显示在浏览器的 tab 上） - // ['link', { rel: 'icon', href: `${base}favicon.ico` }], // 修改了 base 这里也需要同步修改 - ['link', { rel: 'icon', href: '/favicon.ico' }] - ], - themeConfig: { - // 展示 2,3 级标题在目录中 - outline: { - level: [2, 3], - label: '目录' - }, - // 默认文案修改 - returnToTopLabel: '回到顶部', - sidebarMenuLabel: '相关文章', - lastUpdatedText: '上次更新于', - - - - // 设置logo - logo: '/logo.jpg', - // editLink: { - // pattern: - // 'https://github.com/ATQQ/sugar-blog/tree/master/packages/blogpress/:path', - // text: '去 GitHub 上编辑内容' - // }, - nav: [ - { text: '首页', link: '/' }, - { text: '线路一', link: 'https://zhuzihan.com' }, - { text: '线路二', link: 'https://zzh.codes' }, - { text: '线路三', link: 'https://zzhdsgsss.xyz' }, - { text: '导航页', link: 'http://home.zhuzihan.com/' }, - { text: '主题仓库', link: 'https://github.com/ATQQ/sugar-blog/tree/master/packages/theme' }, - { text: '关于作者', link: 'https://github.com/handsomezhuzhu' }, - { text: 'OpenWebUI', link: 'https://ai.zzhdsgsss.xyz/' }, - { text: 'AI API测活', link: 'https://api-test.zhuzihan.com/' } - ], - socialLinks: [ - { - icon: 'github', - link: 'https://github.com/handsomezhuzhu' - } - ] - } -}) - +import { defineConfig } from 'vitepress' + +// 导入主题的配置 +import { blogTheme } from './blog-theme' + +// 如果使用 GitHub/Gitee Pages 等公共平台部署 +// 通常需要修改 base 路径，通常为“/仓库名/” +// 如果项目名已经为 name.github.io 域名，则不需要修改！ +// const base = process.env.GITHUB_ACTIONS === 'true' +// ? '/vitepress-blog-sugar-template/' +// : '/' + +// Vitepress 默认配置 +// 详见文档：https://vitepress.dev/reference/site-config +export default defineConfig({ + // 继承博客主题(@sugarat/theme) + extends: blogTheme, + // base, + lang: 'zh-cn', + title: 'SIMON BLOG', + description: 'Simon的博客，基于 vitepress 实现', + lastUpdated: true, + markdown: { + math: true + }, + // 详见：https://vitepress.dev/zh/reference/site-config#head + head: [ + // 配置网站的图标（显示在浏览器的 tab 上） + // ['link', { rel: 'icon', href: `${base}favicon.ico` }], // 修改了 base 这里也需要同步修改 + ['link', { rel: 'icon', href: '/favicon.ico' }] + ], + themeConfig: { + // 展示 2,3 级标题在目录中 + outline: { + level: [2, 3], + label: '目录' + }, + // 默认文案修改 + returnToTopLabel: '回到顶部', + sidebarMenuLabel: '相关文章', + lastUpdatedText: '上次更新于', + + + + // 设置logo + logo: '/logo.jpg', + // editLink: { + // pattern: + // 'https://github.com/ATQQ/sugar-blog/tree/master/packages/blogpress/:path', + // text: '去 GitHub 上编辑内容' + // }, + nav: [ + { text: '首页', link: '/' }, + { text: '线路一', link: 'https://zhuzihan.com' }, + { text: '线路二', link: 'https://zzh.codes' }, + { text: '线路三', link: 'https://zzhdsgsss.xyz' }, + { text: '导航页', link: 'http://home.zhuzihan.com/' }, + { text: '主题仓库', link: 'https://github.com/ATQQ/sugar-blog/tree/master/packages/theme' }, + { text: '关于作者', link: 'https://github.com/handsomezhuzhu' }, + { text: 'OpenWebUI', link: 'https://ai.zzhdsgsss.xyz/' }, + { text: 'AI API测活', link: 'https://api-test.zhuzihan.com/' } + ], + socialLinks: [ + { + icon: 'github', + link: 'https://github.com/handsomezhuzhu' + } + ] + } +}) + diff --git a/docs/.vitepress/cursor-rain/CursorRainEffect.d.ts b/docs/.vitepress/cursor-rain/CursorRainEffect.d.ts index d47eaf6..b21560c 100644 --- a/docs/.vitepress/cursor-rain/CursorRainEffect.d.ts +++ b/docs/.vitepress/cursor-rain/CursorRainEffect.d.ts @@ -1,28 +1,28 @@ -import type { RainDropOptions, CursorRainEffect as ICursorRainEffect } from './types'; -export declare class CursorRainEffect implements ICursorRainEffect { - private options; - private container; - private rainContainer; - private drops; - private isInitialized; - private mouseMoveHandler; - private timeoutId; - private animationPool; - constructor(options?: RainDropOptions); - init(): void; - destroy(): void; - enable(): void; - disable(): void; - updateOptions(newOptions: Partial): void; - private createRainContainer; - private preCreateDrops; - private createDropElement; - private setupEventListeners; - private removeEventListeners; - private createRainAtPosition; - private getAvailableDrop; - private returnDropToPool; - private randomBetween; - private throttle; - private cleanup; -} +import type { RainDropOptions, CursorRainEffect as ICursorRainEffect } from './types'; +export declare class CursorRainEffect implements ICursorRainEffect { + private options; + private container; + private rainContainer; + private drops; + private isInitialized; + private mouseMoveHandler; + private timeoutId; + private animationPool; + constructor(options?: RainDropOptions); + init(): void; + destroy(): void; + enable(): void; + disable(): void; + updateOptions(newOptions: Partial): void; + private createRainContainer; + private preCreateDrops; + private createDropElement; + private setupEventListeners; + private removeEventListeners; + private createRainAtPosition; + private getAvailableDrop; + private returnDropToPool; + private randomBetween; + private throttle; + private cleanup; +} diff --git a/docs/.vitepress/cursor-rain/index.d.ts b/docs/.vitepress/cursor-rain/index.d.ts index 9db4c5c..4cf447c 100644 --- a/docs/.vitepress/cursor-rain/index.d.ts +++ b/docs/.vitepress/cursor-rain/index.d.ts @@ -1,25 +1,25 @@ -import { CursorRainEffect } from './CursorRainEffect'; -import type { RainDropOptions, CursorRainEffect as ICursorRainEffect } from './types'; -/** - * Create a new cursor rain effect instance - */ -export declare function createCursorRainEffect(options?: RainDropOptions): ICursorRainEffect; -/** - * Initialize cursor rain effect with default options - * This is a convenience function for quick setup - */ -export declare function initCursorRain(options?: RainDropOptions): ICursorRainEffect; -/** - * VitePress compatible initialization - * This function ensures the effect works correctly in VitePress environment - */ -export declare function initCursorRainForVitePress(options?: RainDropOptions): ICursorRainEffect; -export { CursorRainEffect } from './CursorRainEffect'; -export type { RainDropOptions, RainDrop, CursorRainEffect as ICursorRainEffect } from './types'; -declare const _default: { - createCursorRainEffect: typeof createCursorRainEffect; - initCursorRain: typeof initCursorRain; - initCursorRainForVitePress: typeof initCursorRainForVitePress; - CursorRainEffect: typeof CursorRainEffect; -}; -export default _default; +import { CursorRainEffect } from './CursorRainEffect'; +import type { RainDropOptions, CursorRainEffect as ICursorRainEffect } from './types'; +/** + * Create a new cursor rain effect instance + */ +export declare function createCursorRainEffect(options?: RainDropOptions): ICursorRainEffect; +/** + * Initialize cursor rain effect with default options + * This is a convenience function for quick setup + */ +export declare function initCursorRain(options?: RainDropOptions): ICursorRainEffect; +/** + * VitePress compatible initialization + * This function ensures the effect works correctly in VitePress environment + */ +export declare function initCursorRainForVitePress(options?: RainDropOptions): ICursorRainEffect; +export { CursorRainEffect } from './CursorRainEffect'; +export type { RainDropOptions, RainDrop, CursorRainEffect as ICursorRainEffect } from './types'; +declare const _default: { + createCursorRainEffect: typeof createCursorRainEffect; + initCursorRain: typeof initCursorRain; + initCursorRainForVitePress: typeof initCursorRainForVitePress; + CursorRainEffect: typeof CursorRainEffect; +}; +export default _default; diff --git a/docs/.vitepress/cursor-rain/index.esm.js b/docs/.vitepress/cursor-rain/index.esm.js index c53d0ea..6700bf6 100644 --- a/docs/.vitepress/cursor-rain/index.esm.js +++ b/docs/.vitepress/cursor-rain/index.esm.js @@ -1,307 +1,307 @@ -import { gsap } from 'gsap'; - -class CursorRainEffect { - constructor(options = {}) { - this.rainContainer = null; - this.drops = []; - this.isInitialized = false; - this.mouseMoveHandler = null; - this.timeoutId = null; - this.animationPool = []; - this.options = { - maxDrops: options.maxDrops ?? 50, - dropSize: options.dropSize ?? [2, 8], - color: options.color ?? 'rgba(173, 216, 230, 0.8)', - duration: options.duration ?? 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- this.rainContainer.className = 'cursor-rain-container'; - this.rainContainer.style.cssText = ` - position: fixed; - top: 0; - left: 0; - width: 100vw; - height: 100vh; - pointer-events: none; - z-index: ${this.options.zIndex}; - overflow: hidden; - `; - this.container.appendChild(this.rainContainer); - } - preCreateDrops() { - // Pre-create drop elements for better performance - for (let i = 0; i < this.options.maxDrops; i++) { - const drop = this.createDropElement(); - this.animationPool.push(drop); - if (this.rainContainer) { - this.rainContainer.appendChild(drop); - } - } - } - createDropElement() { - const drop = document.createElement('div'); - drop.className = 'rain-drop'; - drop.style.cssText = ` - position: absolute; - background: ${this.options.color}; - border-radius: 50% 50% 50% 50% / 90% 90% 10% 10%; - pointer-events: none; - opacity: 0; - transform-origin: center bottom; - `; - return drop; - } - setupEventListeners() { - if (!this.options.enabled) { - return; - } - this.removeEventListeners(); - this.mouseMoveHandler = this.throttle((e) => { - this.createRainAtPosition(e.clientX, e.clientY); - }, 16); // ~60fps throttling - document.addEventListener('mousemove', this.mouseMoveHandler, { passive: true }); - } - removeEventListeners() { - if (this.mouseMoveHandler) { - document.removeEventListener('mousemove', this.mouseMoveHandler); - this.mouseMoveHandler = null; - } - if (this.timeoutId) { - clearTimeout(this.timeoutId); - this.timeoutId = null; - } - } - createRainAtPosition(x, y) { - if (!this.rainContainer || this.drops.length >= this.options.maxDrops) { - return; - } - // Get available drop from pool - const dropElement = this.getAvailableDrop(); - if (!dropElement) { - return; - } - const size = this.randomBetween(this.options.dropSize[0], this.options.dropSize[1]); - const duration = this.randomBetween(this.options.duration[0], this.options.duration[1]); - // Add some randomness to position - const offsetX = this.randomBetween(-20, 20); - const offsetY = this.randomBetween(-10, 10); - const finalX = x + offsetX; - const finalY = y + offsetY; - const drop = { - element: dropElement, - x: finalX, - y: finalY, - size, - isAnimating: true - }; - this.drops.push(drop); - // Set initial position and size - gsap.set(dropElement, { - x: finalX - size / 4, // 调整X偏移，因为宽度变小了 - y: finalY - size / 2, - width: size * 0.3, // 宽度减小到原来的30%，让雨滴更细 - height: size * 4, // 高度增加到4倍，让雨滴更长 - opacity: 0, - scaleY: 0.1, - rotation: this.randomBetween(-15, 15) - }); - // Animate the raindrop - continuous fall with gradual rotation change - const initialRotation = this.randomBetween(-15, 15); // 初始随机角度 - const fallDistance = window.innerHeight - finalY + 100; - const tl = gsap.timeline({ - onComplete: () => { - this.returnDropToPool(drop); - } - }); - // 快速出现 - tl.to(dropElement, { - opacity: 1, - scaleY: 1, - duration: 0.1, - ease: 'power2.out' - }) - // 连续下落：一次性完成整个下落过程，同时角度逐渐变垂直 - .to(dropElement, { - y: `+=${fallDistance}`, // 一次性完成所有下落距离 - x: `+=${initialRotation * 0.3}`, // 轻微的水平漂移 - scaleY: 1.5, // 逐渐拉长 - opacity: 0.3, // 逐渐变透明 - rotation: 0, // 角度从初始角度平滑变为垂直 - duration: duration, - ease: 'power1.in' // 重力加速效果 - }, 0.05); - } - getAvailableDrop() { - return this.animationPool.find(drop => gsap.getTweensOf(drop).length === 0) || null; - } - returnDropToPool(drop) { - const index = this.drops.indexOf(drop); - if (index > -1) { - this.drops.splice(index, 1); - } - drop.isAnimating = false; - // Reset the element - gsap.set(drop.element, { - opacity: 0, - x: 0, - y: 0, - scaleY: 1, - rotation: 0 - }); - } - randomBetween(min, max) { - return Math.random() * (max - min) + min; - } - throttle(func, delay) { - let timeoutId = null; - let lastExecTime = 0; - return (...args) => { - const currentTime = Date.now(); - if (currentTime - lastExecTime > delay) { - func(...args); - lastExecTime = currentTime; - } - else { - if (timeoutId) { - clearTimeout(timeoutId); - } - timeoutId = window.setTimeout(() => { - func(...args); - lastExecTime = Date.now(); - }, delay - (currentTime - lastExecTime)); - } - }; - } - cleanup() { - this.removeEventListeners(); - // Kill all GSAP animations - this.drops.forEach(drop => { - gsap.killTweensOf(drop.element); - }); - this.drops = []; - this.animationPool = []; - if (this.rainContainer && this.rainContainer.parentNode) { - this.rainContainer.parentNode.removeChild(this.rainContainer); - this.rainContainer = null; - } - } -} - -/** - * Create a new cursor rain effect instance - */ -function createCursorRainEffect(options) { - return new CursorRainEffect(options); -} -/** - * Initialize cursor rain effect with default options - * This is a convenience function for quick setup - */ -function initCursorRain(options) { - const effect = createCursorRainEffect(options); - // Auto-initialize when DOM is ready - if (document.readyState === 'loading') { - document.addEventListener('DOMContentLoaded', () => { - effect.init(); - }); - } - else { - // DOM is already ready - effect.init(); - } - return effect; -} -/** - * VitePress compatible initialization - * This function ensures the effect works correctly in VitePress environment - */ -function initCursorRainForVitePress(options) { - const effect = createCursorRainEffect({ - container: document.body, - zIndex: 1000, // Lower z-index to avoid conflicts with VitePress UI - ...options - }); - // Handle VitePress page navigation - const initEffect = () => { - // Small delay to ensure VitePress has finished rendering - setTimeout(() => { - effect.init(); - }, 100); - }; - // Handle both initial load and client-side navigation - if (typeof window !== 'undefined') { - if (document.readyState === 'loading') { - document.addEventListener('DOMContentLoaded', initEffect); - } - else { - initEffect(); - } - // Handle VitePress client-side navigation - window.addEventListener('popstate', () => { - effect.destroy(); - initEffect(); - }); - // Handle programmatic navigation (if using Vue Router) - if (window.history && window.history.pushState) { - const originalPushState = window.history.pushState; - window.history.pushState = function (...args) { - originalPushState.apply(window.history, args); - effect.destroy(); - initEffect(); - }; - } - } - return effect; -} -// Default export for convenience -var index = { - createCursorRainEffect, - initCursorRain, - initCursorRainForVitePress, - CursorRainEffect -}; - -export { CursorRainEffect, createCursorRainEffect, index as default, initCursorRain, initCursorRainForVitePress }; +import { gsap } from 'gsap'; + +class CursorRainEffect { + constructor(options = {}) { + this.rainContainer = null; + this.drops = []; + this.isInitialized = false; + this.mouseMoveHandler = null; + this.timeoutId = null; + this.animationPool = []; + this.options = { + maxDrops: options.maxDrops ?? 50, + dropSize: options.dropSize ?? 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[0.8, 1.5], + delay: options.delay ?? 100, + enabled: options.enabled ?? true, + zIndex: options.zIndex ?? 9999, + container: options.container ?? document.body + }; + this.container = this.options.container; + } + init() { + if (this.isInitialized) { + return; + } + this.createRainContainer(); + this.setupEventListeners(); + this.preCreateDrops(); + this.isInitialized = true; + } + destroy() { + if (!this.isInitialized) { + return; + } + this.cleanup(); + this.isInitialized = false; + } + enable() { + this.options.enabled = true; + if (this.isInitialized) { + this.setupEventListeners(); + } + } + disable() { + this.options.enabled = false; + this.removeEventListeners(); + } + updateOptions(newOptions) { + this.options = { ...this.options, ...newOptions }; + if (newOptions.container && newOptions.container !== this.container) { + this.container = newOptions.container; + if (this.isInitialized) { + this.destroy(); + this.init(); + } + } + } + createRainContainer() { + this.rainContainer = document.createElement('div'); + this.rainContainer.className = 'cursor-rain-container'; + this.rainContainer.style.cssText = ` + position: fixed; + top: 0; + left: 0; + width: 100vw; + height: 100vh; + pointer-events: none; + z-index: ${this.options.zIndex}; + overflow: hidden; + `; + this.container.appendChild(this.rainContainer); + } + preCreateDrops() { + // Pre-create drop elements for better performance + for (let i = 0; i < this.options.maxDrops; i++) { + const drop = this.createDropElement(); + this.animationPool.push(drop); + if (this.rainContainer) { + this.rainContainer.appendChild(drop); + } + } + } + createDropElement() { + const drop = document.createElement('div'); + drop.className = 'rain-drop'; + drop.style.cssText = ` + position: absolute; + background: ${this.options.color}; + border-radius: 50% 50% 50% 50% / 90% 90% 10% 10%; + pointer-events: none; + opacity: 0; + transform-origin: center bottom; + `; + return drop; + } + setupEventListeners() { + if (!this.options.enabled) { + return; + } + this.removeEventListeners(); + this.mouseMoveHandler = this.throttle((e) => { + this.createRainAtPosition(e.clientX, e.clientY); + }, 16); // ~60fps throttling + document.addEventListener('mousemove', this.mouseMoveHandler, { passive: true }); + } + removeEventListeners() { + if (this.mouseMoveHandler) { + document.removeEventListener('mousemove', this.mouseMoveHandler); + this.mouseMoveHandler = null; + } + if (this.timeoutId) { + clearTimeout(this.timeoutId); + this.timeoutId = null; + } + } + createRainAtPosition(x, y) { + if (!this.rainContainer || this.drops.length >= this.options.maxDrops) { + return; + } + // Get available drop from pool + const dropElement = this.getAvailableDrop(); + if (!dropElement) { + return; + } + const size = this.randomBetween(this.options.dropSize[0], this.options.dropSize[1]); + const duration = this.randomBetween(this.options.duration[0], this.options.duration[1]); + // Add some randomness to position + const offsetX = this.randomBetween(-20, 20); + const offsetY = this.randomBetween(-10, 10); + const finalX = x + offsetX; + const finalY = y + offsetY; + const drop = { + element: dropElement, + x: finalX, + y: finalY, + size, + isAnimating: true + }; + this.drops.push(drop); + // Set initial position and size + gsap.set(dropElement, { + x: finalX - size / 4, // 调整X偏移，因为宽度变小了 + y: finalY - size / 2, + width: size * 0.3, // 宽度减小到原来的30%，让雨滴更细 + height: size * 4, // 高度增加到4倍，让雨滴更长 + opacity: 0, + scaleY: 0.1, + rotation: this.randomBetween(-15, 15) + }); + // Animate the raindrop - continuous fall with gradual rotation change + const initialRotation = this.randomBetween(-15, 15); // 初始随机角度 + const fallDistance = window.innerHeight - finalY + 100; + const tl = gsap.timeline({ + onComplete: () => { + this.returnDropToPool(drop); + } + }); + // 快速出现 + tl.to(dropElement, { + opacity: 1, + scaleY: 1, + duration: 0.1, + ease: 'power2.out' + }) + // 连续下落：一次性完成整个下落过程，同时角度逐渐变垂直 + .to(dropElement, { + y: `+=${fallDistance}`, // 一次性完成所有下落距离 + x: `+=${initialRotation * 0.3}`, // 轻微的水平漂移 + scaleY: 1.5, // 逐渐拉长 + opacity: 0.3, // 逐渐变透明 + rotation: 0, // 角度从初始角度平滑变为垂直 + duration: duration, + ease: 'power1.in' // 重力加速效果 + }, 0.05); + } + getAvailableDrop() { + return this.animationPool.find(drop => gsap.getTweensOf(drop).length === 0) || null; + } + returnDropToPool(drop) { + const index = this.drops.indexOf(drop); + if (index > -1) { + this.drops.splice(index, 1); + } + drop.isAnimating = false; + // Reset the element + gsap.set(drop.element, { + opacity: 0, + x: 0, + y: 0, + scaleY: 1, + rotation: 0 + }); + } + randomBetween(min, max) { + return Math.random() * (max - min) + min; + } + throttle(func, delay) { + let timeoutId = null; + let lastExecTime = 0; + return (...args) => { + const currentTime = Date.now(); + if (currentTime - lastExecTime > delay) { + func(...args); + lastExecTime = currentTime; + } + else { + if (timeoutId) { + clearTimeout(timeoutId); + } + timeoutId = window.setTimeout(() => { + func(...args); + lastExecTime = Date.now(); + }, delay - (currentTime - lastExecTime)); + } + }; + } + cleanup() { + this.removeEventListeners(); + // Kill all GSAP animations + this.drops.forEach(drop => { + gsap.killTweensOf(drop.element); + }); + this.drops = []; + this.animationPool = []; + if (this.rainContainer && this.rainContainer.parentNode) { + this.rainContainer.parentNode.removeChild(this.rainContainer); + this.rainContainer = null; + } + } +} + +/** + * Create a new cursor rain effect instance + */ +function createCursorRainEffect(options) { + return new CursorRainEffect(options); +} +/** + * Initialize cursor rain effect with default options + * This is a convenience function for quick setup + */ +function initCursorRain(options) { + const effect = createCursorRainEffect(options); + // Auto-initialize when DOM is ready + if (document.readyState === 'loading') { + document.addEventListener('DOMContentLoaded', () => { + effect.init(); + }); + } + else { + // DOM is already ready + effect.init(); + } + return effect; +} +/** + * VitePress compatible initialization + * This function ensures the effect works correctly in VitePress environment + */ +function initCursorRainForVitePress(options) { + const effect = createCursorRainEffect({ + container: document.body, + zIndex: 1000, // Lower z-index to avoid conflicts with VitePress UI + ...options + }); + // Handle VitePress page navigation + const initEffect = () => { + // Small delay to ensure VitePress has finished rendering + setTimeout(() => { + effect.init(); + }, 100); + }; + // Handle both initial load and client-side navigation + if (typeof window !== 'undefined') { + if (document.readyState === 'loading') { + document.addEventListener('DOMContentLoaded', initEffect); + } + else { + initEffect(); + } + // Handle VitePress client-side navigation + window.addEventListener('popstate', () => { + effect.destroy(); + initEffect(); + }); + // Handle programmatic navigation (if using Vue Router) + if (window.history && window.history.pushState) { + const originalPushState = window.history.pushState; + window.history.pushState = function (...args) { + originalPushState.apply(window.history, args); + effect.destroy(); + initEffect(); + }; + } + } + return effect; +} +// Default export for convenience +var index = { + createCursorRainEffect, + initCursorRain, + initCursorRainForVitePress, + CursorRainEffect +}; + +export { CursorRainEffect, createCursorRainEffect, index as default, initCursorRain, initCursorRainForVitePress }; diff --git a/docs/.vitepress/cursor-rain/index.js b/docs/.vitepress/cursor-rain/index.js index d7f2749..0504361 100644 --- a/docs/.vitepress/cursor-rain/index.js +++ b/docs/.vitepress/cursor-rain/index.js @@ -1,315 +1,315 @@ -'use strict'; - -Object.defineProperty(exports, '__esModule', { value: true }); - -var gsap = require('gsap'); - -class CursorRainEffect { - constructor(options = {}) { - this.rainContainer = null; - this.drops = []; - this.isInitialized = false; - this.mouseMoveHandler = null; - this.timeoutId = null; - this.animationPool = []; - this.options = { - maxDrops: options.maxDrops ?? 50, - dropSize: options.dropSize ?? [2, 8], - color: options.color ?? 'rgba(173, 216, 230, 0.8)', - duration: options.duration ?? [0.8, 1.5], - delay: options.delay ?? 100, - enabled: options.enabled ?? true, - zIndex: options.zIndex ?? 9999, - container: options.container ?? document.body - }; - this.container = this.options.container; - } - init() { - if (this.isInitialized) { - return; - } - this.createRainContainer(); - this.setupEventListeners(); - this.preCreateDrops(); - this.isInitialized = true; - } - destroy() { - if (!this.isInitialized) { - return; - } - this.cleanup(); - this.isInitialized = false; - } - enable() { - this.options.enabled = true; - if (this.isInitialized) { - this.setupEventListeners(); - } - } - disable() { - this.options.enabled = false; - this.removeEventListeners(); - } - updateOptions(newOptions) { - this.options = { ...this.options, ...newOptions }; - if (newOptions.container && newOptions.container !== this.container) { - this.container = newOptions.container; - if (this.isInitialized) { - this.destroy(); - this.init(); - } - } - } - createRainContainer() { - this.rainContainer = document.createElement('div'); - this.rainContainer.className = 'cursor-rain-container'; - this.rainContainer.style.cssText = ` - position: fixed; - top: 0; - left: 0; - width: 100vw; - height: 100vh; - pointer-events: none; - z-index: ${this.options.zIndex}; - overflow: hidden; - `; - this.container.appendChild(this.rainContainer); - } - preCreateDrops() { - // Pre-create drop elements for better performance - for (let i = 0; i < this.options.maxDrops; i++) { - const drop = this.createDropElement(); - this.animationPool.push(drop); - if (this.rainContainer) { - this.rainContainer.appendChild(drop); - } - } - } - createDropElement() { - const drop = document.createElement('div'); - drop.className = 'rain-drop'; - drop.style.cssText = ` - position: absolute; - background: ${this.options.color}; - border-radius: 50% 50% 50% 50% / 90% 90% 10% 10%; - pointer-events: none; - opacity: 0; - transform-origin: center bottom; - `; - return drop; - } - setupEventListeners() { - if (!this.options.enabled) { - return; - } - this.removeEventListeners(); - this.mouseMoveHandler = this.throttle((e) => { - this.createRainAtPosition(e.clientX, e.clientY); - }, 16); // ~60fps throttling - document.addEventListener('mousemove', this.mouseMoveHandler, { passive: true }); - } - removeEventListeners() { - if (this.mouseMoveHandler) { - document.removeEventListener('mousemove', this.mouseMoveHandler); - this.mouseMoveHandler = null; - } - if (this.timeoutId) { - clearTimeout(this.timeoutId); - this.timeoutId = null; - } - } - createRainAtPosition(x, y) { - if (!this.rainContainer || this.drops.length >= this.options.maxDrops) { - return; - } - // Get available drop from pool - const dropElement = this.getAvailableDrop(); - if (!dropElement) { - return; - } - const size = this.randomBetween(this.options.dropSize[0], this.options.dropSize[1]); - const duration = this.randomBetween(this.options.duration[0], this.options.duration[1]); - // Add some randomness to position - const offsetX = this.randomBetween(-20, 20); - const offsetY = this.randomBetween(-10, 10); - const finalX = x + offsetX; - const finalY = y + offsetY; - const drop = { - element: dropElement, - x: finalX, - y: finalY, - size, - isAnimating: true - }; - this.drops.push(drop); - // Set initial position and size - gsap.gsap.set(dropElement, { - x: finalX - size / 4, // 调整X偏移，因为宽度变小了 - y: finalY - size / 2, - width: size * 0.3, // 宽度减小到原来的30%，让雨滴更细 - height: size * 4, // 高度增加到4倍，让雨滴更长 - opacity: 0, - scaleY: 0.1, - rotation: this.randomBetween(-15, 15) - }); - // Animate the raindrop - continuous fall with gradual rotation change - const initialRotation = this.randomBetween(-15, 15); // 初始随机角度 - const fallDistance = window.innerHeight - finalY + 100; - const tl = gsap.gsap.timeline({ - onComplete: () => { - this.returnDropToPool(drop); - } - }); - // 快速出现 - tl.to(dropElement, { - opacity: 1, - scaleY: 1, - duration: 0.1, - ease: 'power2.out' - }) - // 连续下落：一次性完成整个下落过程，同时角度逐渐变垂直 - .to(dropElement, { - y: `+=${fallDistance}`, // 一次性完成所有下落距离 - x: `+=${initialRotation * 0.3}`, // 轻微的水平漂移 - scaleY: 1.5, // 逐渐拉长 - opacity: 0.3, // 逐渐变透明 - rotation: 0, // 角度从初始角度平滑变为垂直 - duration: duration, - ease: 'power1.in' // 重力加速效果 - }, 0.05); - } - getAvailableDrop() { - return this.animationPool.find(drop => gsap.gsap.getTweensOf(drop).length === 0) || null; - } - returnDropToPool(drop) { - const index = this.drops.indexOf(drop); - if (index > -1) { - this.drops.splice(index, 1); - } - drop.isAnimating = false; - // Reset the element - gsap.gsap.set(drop.element, { - opacity: 0, - x: 0, - y: 0, - scaleY: 1, - rotation: 0 - }); - } - randomBetween(min, max) { - return Math.random() * (max - min) + min; - } - throttle(func, delay) { - let timeoutId = null; - let lastExecTime = 0; - return (...args) => { - const currentTime = Date.now(); - if (currentTime - lastExecTime > delay) { - func(...args); - lastExecTime = currentTime; - } - else { - if (timeoutId) { - clearTimeout(timeoutId); - } - timeoutId = window.setTimeout(() => { - func(...args); - lastExecTime = Date.now(); - }, delay - (currentTime - lastExecTime)); - } - }; - } - cleanup() { - this.removeEventListeners(); - // Kill all GSAP animations - this.drops.forEach(drop => { - gsap.gsap.killTweensOf(drop.element); - }); - this.drops = []; - this.animationPool = []; - if (this.rainContainer && this.rainContainer.parentNode) { - this.rainContainer.parentNode.removeChild(this.rainContainer); - this.rainContainer = null; - } - } -} - -/** - * Create a new cursor rain effect instance - */ -function createCursorRainEffect(options) { - return new CursorRainEffect(options); -} -/** - * Initialize cursor rain effect with default options - * This is a convenience function for quick setup - */ -function initCursorRain(options) { - const effect = createCursorRainEffect(options); - // Auto-initialize when DOM is ready - if (document.readyState === 'loading') { - document.addEventListener('DOMContentLoaded', () => { - effect.init(); - }); - } - else { - // DOM is already ready - effect.init(); - } - return effect; -} -/** - * VitePress compatible initialization - * This function ensures the effect works correctly in VitePress environment - */ -function initCursorRainForVitePress(options) { - const effect = createCursorRainEffect({ - container: document.body, - zIndex: 1000, // Lower z-index to avoid conflicts with VitePress UI - ...options - }); - // Handle VitePress page navigation - const initEffect = () => { - // Small delay to ensure VitePress has finished rendering - setTimeout(() => { - effect.init(); - }, 100); - }; - // Handle both initial load and client-side navigation - if (typeof window !== 'undefined') { - if (document.readyState === 'loading') { - document.addEventListener('DOMContentLoaded', initEffect); - } - else { - initEffect(); - } - // Handle VitePress client-side navigation - window.addEventListener('popstate', () => { - effect.destroy(); - initEffect(); - }); - // Handle programmatic navigation (if using Vue Router) - if (window.history && window.history.pushState) { - const originalPushState = window.history.pushState; - window.history.pushState = function (...args) { - originalPushState.apply(window.history, args); - effect.destroy(); - initEffect(); - }; - } - } - return effect; -} -// Default export for convenience -var index = { - createCursorRainEffect, - initCursorRain, - initCursorRainForVitePress, - CursorRainEffect -}; - -exports.CursorRainEffect = CursorRainEffect; -exports.createCursorRainEffect = createCursorRainEffect; -exports.default = index; -exports.initCursorRain = initCursorRain; -exports.initCursorRainForVitePress = initCursorRainForVitePress; +'use strict'; + +Object.defineProperty(exports, '__esModule', { value: true }); + +var gsap = require('gsap'); + +class CursorRainEffect { + constructor(options = {}) { + this.rainContainer = null; + this.drops = []; + this.isInitialized = false; + this.mouseMoveHandler = null; + this.timeoutId = null; + this.animationPool = []; + this.options = { + maxDrops: options.maxDrops ?? 50, + dropSize: options.dropSize ?? [2, 8], + color: options.color ?? 'rgba(173, 216, 230, 0.8)', + duration: options.duration ?? [0.8, 1.5], + delay: options.delay ?? 100, + enabled: options.enabled ?? true, + zIndex: options.zIndex ?? 9999, + container: options.container ?? document.body + }; + this.container = this.options.container; + } + init() { + if (this.isInitialized) { + return; + } + this.createRainContainer(); + this.setupEventListeners(); + this.preCreateDrops(); + this.isInitialized = true; + } + destroy() { + if (!this.isInitialized) { + return; + } + this.cleanup(); + this.isInitialized = false; + } + enable() { + this.options.enabled = true; + if (this.isInitialized) { + this.setupEventListeners(); + } + } + disable() { + this.options.enabled = false; + this.removeEventListeners(); + } + updateOptions(newOptions) { + this.options = { ...this.options, ...newOptions }; + if (newOptions.container && newOptions.container !== this.container) { + this.container = newOptions.container; + if (this.isInitialized) { + this.destroy(); + this.init(); + } + } + } + createRainContainer() { + this.rainContainer = document.createElement('div'); + this.rainContainer.className = 'cursor-rain-container'; + this.rainContainer.style.cssText = ` + position: fixed; + top: 0; + left: 0; + width: 100vw; + height: 100vh; + pointer-events: none; + z-index: ${this.options.zIndex}; + overflow: hidden; + `; + this.container.appendChild(this.rainContainer); + } + preCreateDrops() { + // Pre-create drop elements for better performance + for (let i = 0; i < this.options.maxDrops; i++) { + const drop = this.createDropElement(); + this.animationPool.push(drop); + if (this.rainContainer) { + this.rainContainer.appendChild(drop); + } + } + } + createDropElement() { + const drop = document.createElement('div'); + drop.className = 'rain-drop'; + drop.style.cssText = ` + position: absolute; + background: ${this.options.color}; + border-radius: 50% 50% 50% 50% / 90% 90% 10% 10%; + pointer-events: none; + opacity: 0; + transform-origin: center bottom; + `; + return drop; + } + setupEventListeners() { + if (!this.options.enabled) { + return; + } + this.removeEventListeners(); + this.mouseMoveHandler = this.throttle((e) => { + this.createRainAtPosition(e.clientX, e.clientY); + }, 16); // ~60fps throttling + document.addEventListener('mousemove', this.mouseMoveHandler, { passive: true }); + } + removeEventListeners() { + if (this.mouseMoveHandler) { + document.removeEventListener('mousemove', this.mouseMoveHandler); + this.mouseMoveHandler = null; + } + if (this.timeoutId) { + clearTimeout(this.timeoutId); + this.timeoutId = null; + } + } + createRainAtPosition(x, y) { + if (!this.rainContainer || this.drops.length >= this.options.maxDrops) { + return; + } + // Get available drop from pool + const dropElement = this.getAvailableDrop(); + if (!dropElement) { + return; + } + const size = this.randomBetween(this.options.dropSize[0], this.options.dropSize[1]); + const duration = this.randomBetween(this.options.duration[0], this.options.duration[1]); + // Add some randomness to position + const offsetX = this.randomBetween(-20, 20); + const offsetY = this.randomBetween(-10, 10); + const finalX = x + offsetX; + const finalY = y + offsetY; + const drop = { + element: dropElement, + x: finalX, + y: finalY, + size, + isAnimating: true + }; + this.drops.push(drop); + // Set initial position and size + gsap.gsap.set(dropElement, { + x: finalX - size / 4, // 调整X偏移，因为宽度变小了 + y: finalY - size / 2, + width: size * 0.3, // 宽度减小到原来的30%，让雨滴更细 + height: size * 4, // 高度增加到4倍，让雨滴更长 + opacity: 0, + scaleY: 0.1, + rotation: this.randomBetween(-15, 15) + }); + // Animate the raindrop - continuous fall with gradual rotation change + const initialRotation = this.randomBetween(-15, 15); // 初始随机角度 + const fallDistance = window.innerHeight - finalY + 100; + const tl = gsap.gsap.timeline({ + onComplete: () => { + this.returnDropToPool(drop); + } + }); + // 快速出现 + tl.to(dropElement, { + opacity: 1, + scaleY: 1, + duration: 0.1, + ease: 'power2.out' + }) + // 连续下落：一次性完成整个下落过程，同时角度逐渐变垂直 + .to(dropElement, { + y: `+=${fallDistance}`, // 一次性完成所有下落距离 + x: `+=${initialRotation * 0.3}`, // 轻微的水平漂移 + scaleY: 1.5, // 逐渐拉长 + opacity: 0.3, // 逐渐变透明 + rotation: 0, // 角度从初始角度平滑变为垂直 + duration: duration, + ease: 'power1.in' // 重力加速效果 + }, 0.05); + } + getAvailableDrop() { + return this.animationPool.find(drop => gsap.gsap.getTweensOf(drop).length === 0) || null; + } + returnDropToPool(drop) { + const index = this.drops.indexOf(drop); + if (index > -1) { + this.drops.splice(index, 1); + } + drop.isAnimating = false; + // Reset the element + gsap.gsap.set(drop.element, { + opacity: 0, + x: 0, + y: 0, + scaleY: 1, + rotation: 0 + }); + } + randomBetween(min, max) { + return Math.random() * (max - min) + min; + } + throttle(func, delay) { + let timeoutId = null; + let lastExecTime = 0; + return (...args) => { + const currentTime = Date.now(); + if (currentTime - lastExecTime > delay) { + func(...args); + lastExecTime = currentTime; + } + else { + if (timeoutId) { + clearTimeout(timeoutId); + } + timeoutId = window.setTimeout(() => { + func(...args); + lastExecTime = Date.now(); + }, delay - (currentTime - lastExecTime)); + } + }; + } + cleanup() { + this.removeEventListeners(); + // Kill all GSAP animations + this.drops.forEach(drop => { + gsap.gsap.killTweensOf(drop.element); + }); + this.drops = []; + this.animationPool = []; + if (this.rainContainer && this.rainContainer.parentNode) { + this.rainContainer.parentNode.removeChild(this.rainContainer); + this.rainContainer = null; + } + } +} + +/** + * Create a new cursor rain effect instance + */ +function createCursorRainEffect(options) { + return new CursorRainEffect(options); +} +/** + * Initialize cursor rain effect with default options + * This is a convenience function for quick setup + */ +function initCursorRain(options) { + const effect = createCursorRainEffect(options); + // Auto-initialize when DOM is ready + if (document.readyState === 'loading') { + document.addEventListener('DOMContentLoaded', () => { + effect.init(); + }); + } + else { + // DOM is already ready + effect.init(); + } + return effect; +} +/** + * VitePress compatible initialization + * This function ensures the effect works correctly in VitePress environment + */ +function initCursorRainForVitePress(options) { + const effect = createCursorRainEffect({ + container: document.body, + zIndex: 1000, // Lower z-index to avoid conflicts with VitePress UI + ...options + }); + // Handle VitePress page navigation + const initEffect = () => { + // Small delay to ensure VitePress has finished rendering + setTimeout(() => { + effect.init(); + }, 100); + }; + // Handle both initial load and client-side navigation + if (typeof window !== 'undefined') { + if (document.readyState === 'loading') { + document.addEventListener('DOMContentLoaded', initEffect); + } + else { + initEffect(); + } + // Handle VitePress client-side navigation + window.addEventListener('popstate', () => { + effect.destroy(); + initEffect(); + }); + // Handle programmatic navigation (if using Vue Router) + if (window.history && window.history.pushState) { + const originalPushState = window.history.pushState; + window.history.pushState = function (...args) { + originalPushState.apply(window.history, args); + effect.destroy(); + initEffect(); + }; + } + } + return effect; +} +// Default export for convenience +var index = { + createCursorRainEffect, + initCursorRain, + initCursorRainForVitePress, + CursorRainEffect +}; + +exports.CursorRainEffect = CursorRainEffect; +exports.createCursorRainEffect = createCursorRainEffect; +exports.default = index; +exports.initCursorRain = initCursorRain; +exports.initCursorRainForVitePress = initCursorRainForVitePress; diff --git a/docs/.vitepress/cursor-rain/types.d.ts b/docs/.vitepress/cursor-rain/types.d.ts index ec0ebb4..9fb69af 100644 --- a/docs/.vitepress/cursor-rain/types.d.ts +++ b/docs/.vitepress/cursor-rain/types.d.ts @@ -1,71 +1,71 @@ -export interface RainDropOptions { - /** - * Maximum number of raindrops to show at once - * @default 50 - */ - maxDrops?: number; - /** - * Size range for raindrops [min, max] - * @default [2, 8] - */ - dropSize?: [number, number]; - /** - * Color of the raindrops - * @default 'rgba(173, 216, 230, 0.8)' - */ - color?: string; - /** - * Animation duration range in seconds [min, max] - * @default [0.8, 1.5] - */ - duration?: [number, number]; - /** - * Delay between cursor move and rain start in milliseconds - * @default 100 - */ - delay?: number; - /** - * Whether to enable the effect - * @default true - */ - enabled?: boolean; - /** - * Z-index for the rain container - * @default 9999 - */ - zIndex?: number; - /** - * Container element to attach the rain effect - * @default document.body - */ - container?: HTMLElement; -} -export interface RainDrop { - element: HTMLElement; - x: number; - y: number; - size: number; - isAnimating: boolean; -} -export interface CursorRainEffect { - /** - * Initialize the rain effect - */ - init(): void; - /** - * Destroy the rain effect and clean up - */ - destroy(): void; - /** - * Enable the rain effect - */ - enable(): void; - /** - * Disable the rain effect - */ - disable(): void; - /** - * Update options - */ - updateOptions(options: Partial): void; -} +export interface RainDropOptions { + /** + * Maximum number of raindrops to show at once + * @default 50 + */ + maxDrops?: number; + /** + * Size range for raindrops [min, max] + * @default [2, 8] + */ + dropSize?: [number, number]; + /** + * Color of the raindrops + * @default 'rgba(173, 216, 230, 0.8)' + */ + color?: string; + /** + * Animation duration range in seconds [min, max] + * @default [0.8, 1.5] + */ + duration?: [number, number]; + /** + * Delay between cursor move and rain start in milliseconds + * @default 100 + */ + delay?: number; + /** + * Whether to enable the effect + * @default true + */ + enabled?: boolean; + /** + * Z-index for the rain container + * @default 9999 + */ + zIndex?: number; + /** + * Container element to attach the rain effect + * @default document.body + */ + container?: HTMLElement; +} +export interface RainDrop { + element: HTMLElement; + x: number; + y: number; + size: number; + isAnimating: boolean; +} +export interface CursorRainEffect { + /** + * Initialize the rain effect + */ + init(): void; + /** + * Destroy the rain effect and clean up + */ + destroy(): void; + /** + * Enable the rain effect + */ + enable(): void; + /** + * Disable the rain effect + */ + disable(): void; + /** + * Update options + */ + updateOptions(options: Partial): void; +} diff --git a/docs/.vitepress/theme/cursor-rain-config.ts b/docs/.vitepress/theme/cursor-rain-config.ts index a46f856..5baef10 100644 --- a/docs/.vitepress/theme/cursor-rain-config.ts +++ b/docs/.vitepress/theme/cursor-rain-config.ts @@ -1,125 +1,125 @@ -// 光标雨点效果配置文件 -// 你可以在这里定义不同的配置预设 - -import type { RainDropOptions } from '../cursor-rain/types' - -// 预设配置 -export const rainPresets = { - // 默认配置 - default: { - maxDrops: 25, - color: 'rgba(173, 216, 230, 0.6)', - duration: [1.0, 2.0], - dropSize: [3, 8], - delay: 100, - zIndex: 1000 - } as RainDropOptions, - - // 轻量模式（适合低性能设备） - light: { - maxDrops: 15, - color: 'rgba(173, 216, 230, 0.5)', - duration: [1.2, 2.5], - dropSize: [2, 6], - delay: 150, - zIndex: 1000 - } as RainDropOptions, - - // 华丽模式 - fancy: { - maxDrops: 40, - color: 'rgba(173, 216, 230, 0.8)', - duration: [0.8, 1.5], - dropSize: [4, 12], - delay: 50, - zIndex: 1000 - } as RainDropOptions, - - // 粉色主题 - pink: { - maxDrops: 30, - color: 'rgba(255, 182, 193, 0.7)', - duration: [1.0, 2.0], - dropSize: [3, 9], - delay: 80, - zIndex: 1000 - } as RainDropOptions, - - // 绿色主题 - green: { - maxDrops: 25, - color: 'rgba(144, 238, 144, 0.7)', - duration: [1.0, 2.0], - dropSize: [3, 8], - delay: 100, - zIndex: 1000 - } as RainDropOptions, - - // 金色主题 - gold: { - maxDrops: 20, - color: 'rgba(255, 215, 0, 0.6)', - duration: [1.5, 2.5], - dropSize: [2, 6], - delay: 120, - zIndex: 1000 - } as RainDropOptions, - - // 移动端优化配置 - mobile: { - maxDrops: 10, - color: 'rgba(173, 216, 230, 0.5)', - duration: [1.5, 3.0], - dropSize: [2, 5], - delay: 200, - zIndex: 1000 - } as RainDropOptions -} - -// 根据设备类型自动选择配置 -export function getOptimalConfig(): RainDropOptions { - if (typeof window === 'undefined') return rainPresets.default - - // 检测移动设备 - const isMobile = window.innerWidth < 768 || /Android|iPhone|iPad|iPod|BlackBerry|IEMobile|Opera Mini/i.test(navigator.userAgent) - - // 检测低性能设备（简单的启发式检测） - const isLowPerformance = navigator.hardwareConcurrency && navigator.hardwareConcurrency < 4 - - if (isMobile) { - return rainPresets.mobile - } else if (isLowPerformance) { - return rainPresets.light - } else { - return rainPresets.default - } -} - -// 主题配色方案 -export const colorThemes = { - blue: 'rgba(100, 149, 237, 0.7)', - lightBlue: 'rgba(173, 216, 230, 0.6)', - pink: 'rgba(255, 182, 193, 0.7)', - green: 'rgba(144, 238, 144, 0.7)', - gold: 'rgba(255, 215, 0, 0.6)', - purple: 'rgba(147, 112, 219, 0.7)', - orange: 'rgba(255, 165, 0, 0.7)', - red: 'rgba(255, 99, 99, 0.7)' -} - -// 动态切换主题的函数 -export function switchRainTheme(effect: any, themeName: keyof typeof colorThemes) { - const color = colorThemes[themeName] - if (color && effect) { - effect.updateOptions({ color }) - - // 同时更新CSS类名以应用对应的样式 - const container = document.querySelector('.cursor-rain-container') - if (container) { - // 移除所有主题类 - container.classList.remove('rain-theme-blue', 'rain-theme-pink', 'rain-theme-green', 'rain-theme-gold', 'rain-theme-rainbow') - // 添加新主题类 - container.classList.add(`rain-theme-${themeName}`) - } - } -} +// 光标雨点效果配置文件 +// 你可以在这里定义不同的配置预设 + +import type { RainDropOptions } from '../cursor-rain/types' + +// 预设配置 +export const rainPresets = { + // 默认配置 + default: { + maxDrops: 25, + color: 'rgba(173, 216, 230, 0.6)', + duration: [1.0, 2.0], + dropSize: [3, 8], + delay: 100, + zIndex: 1000 + } as RainDropOptions, + + // 轻量模式（适合低性能设备） + light: { + maxDrops: 15, + color: 'rgba(173, 216, 230, 0.5)', + duration: [1.2, 2.5], + dropSize: [2, 6], + delay: 150, + zIndex: 1000 + } as RainDropOptions, + + // 华丽模式 + fancy: { + maxDrops: 40, + color: 'rgba(173, 216, 230, 0.8)', + duration: [0.8, 1.5], + dropSize: [4, 12], + delay: 50, + zIndex: 1000 + } as RainDropOptions, + + // 粉色主题 + pink: { + maxDrops: 30, + color: 'rgba(255, 182, 193, 0.7)', + duration: [1.0, 2.0], + dropSize: [3, 9], + delay: 80, + zIndex: 1000 + } as RainDropOptions, + + // 绿色主题 + green: { + maxDrops: 25, + color: 'rgba(144, 238, 144, 0.7)', + duration: [1.0, 2.0], + dropSize: [3, 8], + delay: 100, + zIndex: 1000 + } as RainDropOptions, + + // 金色主题 + gold: { + maxDrops: 20, + color: 'rgba(255, 215, 0, 0.6)', + duration: [1.5, 2.5], + dropSize: [2, 6], + delay: 120, + zIndex: 1000 + } as RainDropOptions, + + // 移动端优化配置 + mobile: { + maxDrops: 10, + color: 'rgba(173, 216, 230, 0.5)', + duration: [1.5, 3.0], + dropSize: [2, 5], + delay: 200, + zIndex: 1000 + } as RainDropOptions +} + +// 根据设备类型自动选择配置 +export function getOptimalConfig(): RainDropOptions { + if (typeof window === 'undefined') return rainPresets.default + + // 检测移动设备 + const isMobile = window.innerWidth < 768 || /Android|iPhone|iPad|iPod|BlackBerry|IEMobile|Opera Mini/i.test(navigator.userAgent) + + // 检测低性能设备（简单的启发式检测） + const isLowPerformance = navigator.hardwareConcurrency && navigator.hardwareConcurrency < 4 + + if (isMobile) { + return rainPresets.mobile + } else if (isLowPerformance) { + return rainPresets.light + } else { + return rainPresets.default + } +} + +// 主题配色方案 +export const colorThemes = { + blue: 'rgba(100, 149, 237, 0.7)', + lightBlue: 'rgba(173, 216, 230, 0.6)', + pink: 'rgba(255, 182, 193, 0.7)', + green: 'rgba(144, 238, 144, 0.7)', + gold: 'rgba(255, 215, 0, 0.6)', + purple: 'rgba(147, 112, 219, 0.7)', + orange: 'rgba(255, 165, 0, 0.7)', + red: 'rgba(255, 99, 99, 0.7)' +} + +// 动态切换主题的函数 +export function switchRainTheme(effect: any, themeName: keyof typeof colorThemes) { + const color = colorThemes[themeName] + if (color && effect) { + effect.updateOptions({ color }) + + // 同时更新CSS类名以应用对应的样式 + const container = document.querySelector('.cursor-rain-container') + if (container) { + // 移除所有主题类 + container.classList.remove('rain-theme-blue', 'rain-theme-pink', 'rain-theme-green', 'rain-theme-gold', 'rain-theme-rainbow') + // 添加新主题类 + container.classList.add(`rain-theme-${themeName}`) + } + } +} diff --git a/docs/.vitepress/theme/cursor-rain-styles.css b/docs/.vitepress/theme/cursor-rain-styles.css index 38e8740..47f4fb4 100644 --- a/docs/.vitepress/theme/cursor-rain-styles.css +++ b/docs/.vitepress/theme/cursor-rain-styles.css @@ -1,108 +1,108 @@ -/* 光标雨点效果自定义样式 */ - -/* 基础雨点样式 */ -.cursor-rain-container { - pointer-events: none; - position: fixed; - top: 0; - left: 0; - width: 100%; - height: 100%; - z-index: 1000; -} - -.cursor-rain-container .rain-drop { - position: absolute; - pointer-events: none; - - /* 细长雨滴形状 - 更像雨丝的细长形状 - 使用!important覆盖内联样式 */ - border-radius: 50% 50% 50% 50% / 90% 90% 10% 10% !important; - - /* 添加一些视觉效果 */ - box-shadow: 0 0 6px rgba(173, 216, 230, 0.4); - filter: blur(0.5px); - - /* 渐变效果 - 垂直方向的渐变更符合拉长的雨滴 */ - background: linear-gradient(to bottom, - rgba(173, 216, 230, 0.9) 0%, - rgba(173, 216, 230, 0.7) 50%, - rgba(173, 216, 230, 0.3) 100%) !important; -} - -/* 深色主题适配 */ -@media (prefers-color-scheme: dark) { - .cursor-rain-container .rain-drop { - background: linear-gradient(to bottom, - rgba(173, 216, 230, 0.7) 0%, - rgba(173, 216, 230, 0.5) 50%, - rgba(173, 216, 230, 0.2) 100%); - box-shadow: 0 0 8px rgba(173, 216, 230, 0.3); - } -} - -/* 移动端优化 */ -@media (max-width: 768px) { - .cursor-rain-container .rain-drop { - /* 移动端减少模糊效果以提高性能 */ - filter: none; - box-shadow: 0 0 4px rgba(173, 216, 230, 0.3); - } -} - -/* 自定义颜色主题类 */ -.rain-theme-blue .rain-drop { - background: linear-gradient(to bottom, - rgba(100, 149, 237, 0.9) 0%, - rgba(100, 149, 237, 0.7) 50%, - rgba(100, 149, 237, 0.3) 100%); - box-shadow: 0 0 6px rgba(100, 149, 237, 0.4); -} - -.rain-theme-pink .rain-drop { - background: linear-gradient(to bottom, - rgba(255, 182, 193, 0.9) 0%, - rgba(255, 182, 193, 0.7) 50%, - rgba(255, 182, 193, 0.3) 100%); - box-shadow: 0 0 6px rgba(255, 182, 193, 0.4); -} - -.rain-theme-green .rain-drop { - background: linear-gradient(to bottom, - rgba(144, 238, 144, 0.9) 0%, - rgba(144, 238, 144, 0.7) 50%, - rgba(144, 238, 144, 0.3) 100%); - box-shadow: 0 0 6px rgba(144, 238, 144, 0.4); -} - -.rain-theme-gold .rain-drop { - background: linear-gradient(to bottom, - rgba(255, 215, 0, 0.9) 0%, - rgba(255, 215, 0, 0.7) 50%, - rgba(255, 215, 0, 0.3) 100%); - box-shadow: 0 0 6px rgba(255, 215, 0, 0.4); -} - -/* 特殊效果：彩虹雨点 */ -.rain-theme-rainbow .rain-drop:nth-child(6n+1) { - background: linear-gradient(to bottom, rgba(255, 99, 99, 0.9) 0%, rgba(255, 99, 99, 0.7) 50%, rgba(255, 99, 99, 0.3) 100%); -} - -.rain-theme-rainbow .rain-drop:nth-child(6n+2) { - background: linear-gradient(to bottom, rgba(255, 159, 64, 0.9) 0%, rgba(255, 159, 64, 0.7) 50%, rgba(255, 159, 64, 0.3) 100%); -} - -.rain-theme-rainbow .rain-drop:nth-child(6n+3) { - background: linear-gradient(to bottom, rgba(255, 205, 86, 0.9) 0%, rgba(255, 205, 86, 0.7) 50%, rgba(255, 205, 86, 0.3) 100%); -} - -.rain-theme-rainbow .rain-drop:nth-child(6n+4) { - background: linear-gradient(to bottom, rgba(75, 192, 192, 0.9) 0%, rgba(75, 192, 192, 0.7) 50%, rgba(75, 192, 192, 0.3) 100%); -} - -.rain-theme-rainbow .rain-drop:nth-child(6n+5) { - background: linear-gradient(to bottom, rgba(54, 162, 235, 0.9) 0%, rgba(54, 162, 235, 0.7) 50%, rgba(54, 162, 235, 0.3) 100%); -} - -.rain-theme-rainbow .rain-drop:nth-child(6n+6) { - background: linear-gradient(to bottom, rgba(153, 102, 255, 0.9) 0%, rgba(153, 102, 255, 0.7) 50%, rgba(153, 102, 255, 0.3) 100%); -} +/* 光标雨点效果自定义样式 */ + +/* 基础雨点样式 */ +.cursor-rain-container { + pointer-events: none; + position: fixed; + top: 0; + left: 0; + width: 100%; + height: 100%; + z-index: 1000; +} + +.cursor-rain-container .rain-drop { + position: absolute; + pointer-events: none; + + /* 细长雨滴形状 - 更像雨丝的细长形状 - 使用!important覆盖内联样式 */ + border-radius: 50% 50% 50% 50% / 90% 90% 10% 10% !important; + + /* 添加一些视觉效果 */ + box-shadow: 0 0 6px rgba(173, 216, 230, 0.4); + filter: blur(0.5px); + + /* 渐变效果 - 垂直方向的渐变更符合拉长的雨滴 */ + background: linear-gradient(to bottom, + rgba(173, 216, 230, 0.9) 0%, + rgba(173, 216, 230, 0.7) 50%, + rgba(173, 216, 230, 0.3) 100%) !important; +} + +/* 深色主题适配 */ +@media (prefers-color-scheme: dark) { + .cursor-rain-container .rain-drop { + background: linear-gradient(to bottom, + rgba(173, 216, 230, 0.7) 0%, + rgba(173, 216, 230, 0.5) 50%, + rgba(173, 216, 230, 0.2) 100%); + box-shadow: 0 0 8px rgba(173, 216, 230, 0.3); + } +} + +/* 移动端优化 */ +@media (max-width: 768px) { + .cursor-rain-container .rain-drop { + /* 移动端减少模糊效果以提高性能 */ + filter: none; + box-shadow: 0 0 4px rgba(173, 216, 230, 0.3); + } +} + +/* 自定义颜色主题类 */ +.rain-theme-blue .rain-drop { + background: linear-gradient(to bottom, + rgba(100, 149, 237, 0.9) 0%, + rgba(100, 149, 237, 0.7) 50%, + rgba(100, 149, 237, 0.3) 100%); + box-shadow: 0 0 6px rgba(100, 149, 237, 0.4); +} + +.rain-theme-pink .rain-drop { + background: linear-gradient(to bottom, + rgba(255, 182, 193, 0.9) 0%, + rgba(255, 182, 193, 0.7) 50%, + rgba(255, 182, 193, 0.3) 100%); + box-shadow: 0 0 6px rgba(255, 182, 193, 0.4); +} + +.rain-theme-green .rain-drop { + background: linear-gradient(to bottom, + rgba(144, 238, 144, 0.9) 0%, + rgba(144, 238, 144, 0.7) 50%, + rgba(144, 238, 144, 0.3) 100%); + box-shadow: 0 0 6px rgba(144, 238, 144, 0.4); +} + +.rain-theme-gold .rain-drop { + background: linear-gradient(to bottom, + rgba(255, 215, 0, 0.9) 0%, + rgba(255, 215, 0, 0.7) 50%, + rgba(255, 215, 0, 0.3) 100%); + box-shadow: 0 0 6px rgba(255, 215, 0, 0.4); +} + +/* 特殊效果：彩虹雨点 */ +.rain-theme-rainbow .rain-drop:nth-child(6n+1) { + background: linear-gradient(to bottom, rgba(255, 99, 99, 0.9) 0%, rgba(255, 99, 99, 0.7) 50%, rgba(255, 99, 99, 0.3) 100%); +} + +.rain-theme-rainbow .rain-drop:nth-child(6n+2) { + background: linear-gradient(to bottom, rgba(255, 159, 64, 0.9) 0%, rgba(255, 159, 64, 0.7) 50%, rgba(255, 159, 64, 0.3) 100%); +} + +.rain-theme-rainbow .rain-drop:nth-child(6n+3) { + background: linear-gradient(to bottom, rgba(255, 205, 86, 0.9) 0%, rgba(255, 205, 86, 0.7) 50%, rgba(255, 205, 86, 0.3) 100%); +} + +.rain-theme-rainbow .rain-drop:nth-child(6n+4) { + background: linear-gradient(to bottom, rgba(75, 192, 192, 0.9) 0%, rgba(75, 192, 192, 0.7) 50%, rgba(75, 192, 192, 0.3) 100%); +} + +.rain-theme-rainbow .rain-drop:nth-child(6n+5) { + background: linear-gradient(to bottom, rgba(54, 162, 235, 0.9) 0%, rgba(54, 162, 235, 0.7) 50%, rgba(54, 162, 235, 0.3) 100%); +} + +.rain-theme-rainbow .rain-drop:nth-child(6n+6) { + background: linear-gradient(to bottom, rgba(153, 102, 255, 0.9) 0%, rgba(153, 102, 255, 0.7) 50%, rgba(153, 102, 255, 0.3) 100%); +} diff --git a/docs/sop/article-template.md b/docs/sop/article-template.md index a0c4880..58c0cc7 100644 --- a/docs/sop/article-template.md +++ b/docs/sop/article-template.md @@ -1,152 +1,152 @@ ---- -title: 文章标题 - 副标题 # 文章标题，支持副标题格式（用 - 分隔） -top: 1 # 置顶级别：1-3，数字越大越靠前，0表示不置顶 -date: 2025-01-01 12:00:00 # 发布日期和时间，格式：YYYY-MM-DD HH:MM:SS -descriptionHTML: ' -文章描述，支持HTML格式 -' -tags: # 文章标签列表，用于分类和搜索 - - AI - - 生活 -sidebar: true # 是否显示侧边栏：true显示，false隐藏 -readingTime: true # 是否显示阅读时间：true显示，false隐藏 -hiddenCover: false # 是否隐藏封面图：true隐藏，false显示 -cover: url # 封面图片路径，相对于public目录 -sticky: 0 # 精选文章设置：值越大在首页展示越靠前，0表示不精选 -hidden: true # 是否隐藏文章：true隐藏（模板用），false显示（正式文章用） -recommend: false -publish: false ---- - -# 文章标题 - -
- -## 前言 - -
- - -  这是一个前言段落，使用较小的字体和蓝色文字。通常用于介绍文章的背景、目的或重要说明。 - - -
- -## 第一章 - -
- -  这是正文段落，使用缩进格式。您可以在这里写入主要内容。 - -  这是另一个段落，继续您的内容。 - -### 小标题 - -  这是小标题下的内容。 - -#### 更小的标题 - -  这是更小标题下的内容。 - -
- -## 第二章 - -
- -  这是第二章的内容。 - -### 代码示例 - -```javascript -// 这是一个代码块示例 -function example() { - console.log("Hello World"); -} -``` - -### 引用文本 - -> 这是一个引用块，用于突出显示重要信息或引用他人的话。 - -### 列表格式 - -#### 无序列表 -- **粗体项目**：这是粗体文本 -- *斜体项目*：这是斜体文本 -- 绿色文本：这是带颜色的文本 - -#### 有序列表 -1. 第一项 -2. 第二项 -3. 第三项 - -### 表格示例 - -| 列1 | 列2 | 列3 | -|-----|-----|-----| -| 内容1 | 内容2 | 内容3 | -| 内容4 | 内容5 | 内容6 | - -### 图片插入 - -
- -示例图片 - -*图片说明文字* - -
- -### 链接格式 - -- [普通链接](https://example.com) -- [带颜色的链接](https://example.com) - -### 特殊格式文本 - -- 红色警告文本 -- 绿色成功文本 -- 蓝色信息文本 -- 小字体文本 -- 粗体文本 - -### 分割线 - ---- - -### 代码内联 - -您可以在文本中使用 `内联代码` 来突出显示代码片段。 - -### 数学公式（如果支持） - -$$ -E = mc^2 -$$ - -
- -## 总结 - -
- -  这是文章的总结部分。 - -
- -#### 重要提示或结论 - -
- -
- -结束图片 - -
- ---- - -*文章结束，可以添加版权信息或其他说明* - -[原文链接](https://example.com) +--- +title: 文章标题 - 副标题 # 文章标题，支持副标题格式（用 - 分隔） +top: 1 # 置顶级别：1-3，数字越大越靠前，0表示不置顶 +date: 2025-01-01 12:00:00 # 发布日期和时间，格式：YYYY-MM-DD HH:MM:SS +descriptionHTML: ' +文章描述，支持HTML格式 +' +tags: # 文章标签列表，用于分类和搜索 + - AI + - 生活 +sidebar: true # 是否显示侧边栏：true显示，false隐藏 +readingTime: true # 是否显示阅读时间：true显示，false隐藏 +hiddenCover: false # 是否隐藏封面图：true隐藏，false显示 +cover: url # 封面图片路径，相对于public目录 +sticky: 0 # 精选文章设置：值越大在首页展示越靠前，0表示不精选 +hidden: true # 是否隐藏文章：true隐藏（模板用），false显示（正式文章用） +recommend: false +publish: false +--- + +# 文章标题 + +
+ +## 前言 + +
+ + +  这是一个前言段落，使用较小的字体和蓝色文字。通常用于介绍文章的背景、目的或重要说明。 + + +
+ +## 第一章 + +
+ +  这是正文段落，使用缩进格式。您可以在这里写入主要内容。 + +  这是另一个段落，继续您的内容。 + +### 小标题 + +  这是小标题下的内容。 + +#### 更小的标题 + +  这是更小标题下的内容。 + +
+ +## 第二章 + +
+ +  这是第二章的内容。 + +### 代码示例 + +```javascript +// 这是一个代码块示例 +function example() { + console.log("Hello World"); +} +``` + +### 引用文本 + +> 这是一个引用块，用于突出显示重要信息或引用他人的话。 + +### 列表格式 + +#### 无序列表 +- **粗体项目**：这是粗体文本 +- *斜体项目*：这是斜体文本 +- 绿色文本：这是带颜色的文本 + +#### 有序列表 +1. 第一项 +2. 第二项 +3. 第三项 + +### 表格示例 + +| 列1 | 列2 | 列3 | +|-----|-----|-----| +| 内容1 | 内容2 | 内容3 | +| 内容4 | 内容5 | 内容6 | + +### 图片插入 + +
+ +示例图片 + +*图片说明文字* + +
+ +### 链接格式 + +- [普通链接](https://example.com) +- [带颜色的链接](https://example.com) + +### 特殊格式文本 + +- 红色警告文本 +- 绿色成功文本 +- 蓝色信息文本 +- 小字体文本 +- 粗体文本 + +### 分割线 + +--- + +### 代码内联 + +您可以在文本中使用 `内联代码` 来突出显示代码片段。 + +### 数学公式（如果支持） + +$$ +E = mc^2 +$$ + +
+ +## 总结 + +
+ +  这是文章的总结部分。 + +
+ +#### 重要提示或结论 + +
+ +
+ +结束图片 + +
+ +--- + +*文章结束，可以添加版权信息或其他说明* + +[原文链接](https://example.com) diff --git a/docs/sop/live/fishing-nothing-2.md b/docs/sop/live/fishing-nothing-2.md index d61ca48..8db7c64 100644 --- a/docs/sop/live/fishing-nothing-2.md +++ b/docs/sop/live/fishing-nothing-2.md @@ -1,37 +1,37 @@ ---- -title: 今天二战钓鱼，还是空军 # 文章标题，支持副标题格式（用 - 分隔） -top: 0 # 置顶级别：1-3，数字越大越靠前，0表示不置顶 -date: 2025-08-26 21:00:00 # 发布日期和时间，格式：YYYY-MM-DD HH:MM:SS -descriptionHTML: ' -下次不来了，有机会再钓 -' -tags: # 文章标签列表，用于分类和搜索 - - 生活 -sidebar: false # 是否显示侧边栏：true显示，false隐藏 -readingTime: true # 是否显示阅读时间：true显示，false隐藏 -hiddenCover: true # 是否隐藏封面图：true隐藏，false显示 -cover: url # 封面图片路径，相对于public目录 -sticky: 0 # 精选文章设置：值越大在首页展示越靠前，0表示不精选 -hidden: false # 是否隐藏文章：true隐藏（模板用），false显示（正式文章用） -recommend: true ---- - -# 今天二战钓鱼，还是空军 - -今天天气很好，附一张图，想着怎么都得整得到一两条 - -![1](/3/1.jpg) - -![3](/3/3.jpg) - -可能是技术不佳，鱼倒是有，但是就是不上钩 - -![2](/3/2.jpg) - -旁边的渔友也有钓到的，可是鱼很狡猾，吃了一小点就跑了 - -按理说应该在浮漂抖动的时候就要提一下，把鱼勾住 - -但是总想着要黑漂才拉上来 - -等着寒假再回来钓 +--- +title: 今天二战钓鱼，还是空军 # 文章标题，支持副标题格式（用 - 分隔） +top: 0 # 置顶级别：1-3，数字越大越靠前，0表示不置顶 +date: 2025-08-26 21:00:00 # 发布日期和时间，格式：YYYY-MM-DD HH:MM:SS +descriptionHTML: ' +下次不来了，有机会再钓 +' +tags: # 文章标签列表，用于分类和搜索 + - 生活 +sidebar: false # 是否显示侧边栏：true显示，false隐藏 +readingTime: true # 是否显示阅读时间：true显示，false隐藏 +hiddenCover: true # 是否隐藏封面图：true隐藏，false显示 +cover: url # 封面图片路径，相对于public目录 +sticky: 0 # 精选文章设置：值越大在首页展示越靠前，0表示不精选 +hidden: false # 是否隐藏文章：true隐藏（模板用），false显示（正式文章用） +recommend: true +--- + +# 今天二战钓鱼，还是空军 + +今天天气很好，附一张图，想着怎么都得整得到一两条 + +![1](/3/1.jpg) + +![3](/3/3.jpg) + +可能是技术不佳，鱼倒是有，但是就是不上钩 + +![2](/3/2.jpg) + +旁边的渔友也有钓到的，可是鱼很狡猾，吃了一小点就跑了 + +按理说应该在浮漂抖动的时候就要提一下，把鱼勾住 + +但是总想着要黑漂才拉上来 + +等着寒假再回来钓 diff --git a/docs/sop/live/fishing-nothing.md b/docs/sop/live/fishing-nothing.md index 370fdd0..334b5c7 100644 --- a/docs/sop/live/fishing-nothing.md +++ b/docs/sop/live/fishing-nothing.md @@ -1,49 +1,49 @@ ---- -title: 今天第一次钓鱼，空军 # 文章标题，支持副标题格式（用 - 分隔） -top: 0 # 置顶级别：1-3，数字越大越靠前，0表示不置顶 -date: 2025-08-25 17:30:00 # 发布日期和时间，格式：YYYY-MM-DD HH:MM:SS -descriptionHTML: ' -下次还来 -' -tags: # 文章标签列表，用于分类和搜索 - - 生活 -sidebar: false # 是否显示侧边栏：true显示，false隐藏 -readingTime: true # 是否显示阅读时间：true显示，false隐藏 -hiddenCover: true # 是否隐藏封面图：true隐藏，false显示 -cover: url # 封面图片路径，相对于public目录 -sticky: 0 # 精选文章设置：值越大在首页展示越靠前，0表示不精选 -hidden: false # 是否隐藏文章：true隐藏（模板用），false显示（正式文章用） -recommend: true ---- - -# 今天第一次钓鱼，空军 - -这几天在老家，由于之前一直下雨，外公没有去钓鱼，今天早上没有雨了，天气预报也是晴，索性就带上我去钓鱼 🎣 - -外公喜欢野钓，县城不远的村子旁有个小河道 - -早上六点就起床，七点多抵达目的地 - -可能是连下了几天的雨，河水水流有点急，而且还浑 - -感觉不太好搞 😅 - -![1](/2/1.jpg) - -![11](/2/11.jpg) - -等到十点多还没有，只是偶尔有小鱼碰一下 - -换个地点继续 - -![2](/2/2.jpg) - -![22](/2/22.jpg) - -又过了一个小时，其实中途我看到浮漂有向下了一下（很迅速，不是水流冲下去的），但是经验不足，没有管，等着拉起来，食已经被吃了 🫠 - -外公也是一无所获 - -还是回家吧，等过两天再来，今天晚上感觉又要下大雨了 🌧️ - -艹 +--- +title: 今天第一次钓鱼，空军 # 文章标题，支持副标题格式（用 - 分隔） +top: 0 # 置顶级别：1-3，数字越大越靠前，0表示不置顶 +date: 2025-08-25 17:30:00 # 发布日期和时间，格式：YYYY-MM-DD HH:MM:SS +descriptionHTML: ' +下次还来 +' +tags: # 文章标签列表，用于分类和搜索 + - 生活 +sidebar: false # 是否显示侧边栏：true显示，false隐藏 +readingTime: true # 是否显示阅读时间：true显示，false隐藏 +hiddenCover: true # 是否隐藏封面图：true隐藏，false显示 +cover: url # 封面图片路径，相对于public目录 +sticky: 0 # 精选文章设置：值越大在首页展示越靠前，0表示不精选 +hidden: false # 是否隐藏文章：true隐藏（模板用），false显示（正式文章用） +recommend: true +--- + +# 今天第一次钓鱼，空军 + +这几天在老家，由于之前一直下雨，外公没有去钓鱼，今天早上没有雨了，天气预报也是晴，索性就带上我去钓鱼 🎣 + +外公喜欢野钓，县城不远的村子旁有个小河道 + +早上六点就起床，七点多抵达目的地 + +可能是连下了几天的雨，河水水流有点急，而且还浑 + +感觉不太好搞 😅 + +![1](/2/1.jpg) + +![11](/2/11.jpg) + +等到十点多还没有，只是偶尔有小鱼碰一下 + +换个地点继续 + +![2](/2/2.jpg) + +![22](/2/22.jpg) + +又过了一个小时，其实中途我看到浮漂有向下了一下（很迅速，不是水流冲下去的），但是经验不足，没有管，等着拉起来，食已经被吃了 🫠 + +外公也是一无所获 + +还是回家吧，等过两天再来，今天晚上感觉又要下大雨了 🌧️ + +艹 diff --git a/docs/sop/live/he-might-be-really-busy.md b/docs/sop/live/he-might-be-really-busy.md index 2ea6f5a..ec6721c 100644 --- a/docs/sop/live/he-might-be-really-busy.md +++ b/docs/sop/live/he-might-be-really-busy.md @@ -1,48 +1,48 @@ ---- -title: 他可能真的很忙吧 -top: 0 -date: 2025-09-06 20:00:00 -descriptionHTML: ' -他在飞机上一直在用电脑 -' -tags: - - 生活 -sidebar: true -readingTime: true -hiddenCover: false -sticky: 0 -hidden: false -recommend: true -publish: true ---- - -# 他可能真的很忙吧 - -今天飞回广州了，因为开学了 - -大部分大学生应该都飞回来了 - -今天在机场遇到挺多大学生的，北京飞广州的是波音777的大飞机，我坐在C，有位同学坐在G，隔着一段距离。暂且称呼为同学，因为感觉看上去和我年龄相仿，然后起飞平稳后就一直在用电脑。 - -他可能真的很忙吧 - -平稳后就一直在用，水也不喝，饭也不吃（空姐还告诉他要是需要用餐就告诉他们，但是最后降落前也没吃饭） - -一开始我也没看清是在干什么，以为是打代码呢，但是我也偶尔写写代码，界面看着不像代码 - -直到他缩放了一下，我才看清是个思维导图或者是流程图之类的东西，因为没写过，下飞机还特意查了一下 - - - -#### emmm 没别的意思就是记录一下 - -我想没必要这么夸张吧，偶尔也需要休息一下 - -或者是为了炫耀？满足心里的自豪感？ - -我不知道，可能是现在世间太纷繁了，连别人忙碌都能看成装X。因为我看见这样的人心里总是有种怪怪的感觉讲不上来 - -##### 我现在就是处于一种状态，看见别人过得不好很是可怜，但是看见别人过得好却有点嫉妒，然后就是有些自卑 -##### 在学校里也是，看到别人放飞自我的玩感到怜惜，自己玩的太嗨也是会有些自怜；看到别人学又有些嫉妒，自己学又学不进去了😑😶 - -就这样吧，又是开学，不想上课 +--- +title: 他可能真的很忙吧 +top: 0 +date: 2025-09-06 20:00:00 +descriptionHTML: ' +他在飞机上一直在用电脑 +' +tags: + - 生活 +sidebar: true +readingTime: true +hiddenCover: false +sticky: 0 +hidden: false +recommend: true +publish: true +--- + +# 他可能真的很忙吧 + +今天飞回广州了，因为开学了 + +大部分大学生应该都飞回来了 + +今天在机场遇到挺多大学生的，北京飞广州的是波音777的大飞机，我坐在C，有位同学坐在G，隔着一段距离。暂且称呼为同学，因为感觉看上去和我年龄相仿，然后起飞平稳后就一直在用电脑。 + +他可能真的很忙吧 + +平稳后就一直在用，水也不喝，饭也不吃（空姐还告诉他要是需要用餐就告诉他们，但是最后降落前也没吃饭） + +一开始我也没看清是在干什么，以为是打代码呢，但是我也偶尔写写代码，界面看着不像代码 + +直到他缩放了一下，我才看清是个思维导图或者是流程图之类的东西，因为没写过，下飞机还特意查了一下 + + + +#### emmm 没别的意思就是记录一下 + +我想没必要这么夸张吧，偶尔也需要休息一下 + +或者是为了炫耀？满足心里的自豪感？ + +我不知道，可能是现在世间太纷繁了，连别人忙碌都能看成装X。因为我看见这样的人心里总是有种怪怪的感觉讲不上来 + +##### 我现在就是处于一种状态，看见别人过得不好很是可怜，但是看见别人过得好却有点嫉妒，然后就是有些自卑 +##### 在学校里也是，看到别人放飞自我的玩感到怜惜，自己玩的太嗨也是会有些自怜；看到别人学又有些嫉妒，自己学又学不进去了😑😶 + +就这样吧，又是开学，不想上课 diff --git a/docs/sop/maindocs/ai-role-play.md b/docs/sop/maindocs/ai-role-play.md index 2a49d3e..56ead33 100644 --- a/docs/sop/maindocs/ai-role-play.md +++ b/docs/sop/maindocs/ai-role-play.md @@ -1,131 +1,131 @@ ---- -title: 从角色扮演到剧情聊天，翻开AI的另一面 # 文章标题，支持副标题格式（用 - 分隔） -top: 3 # 置顶级别：1-3，数字越大越靠前，0表示不置顶 -date: 2025-04-08 18:00:00 # 发布日期和时间，格式：YYYY-MM-DD HH:MM:SS -descriptionHTML: ' -我与Silly Tavern -' -tags: # 文章标签列表，用于分类和搜索 - - AI - - 酒馆 - - 随笔 -sidebar: true # 是否显示侧边栏：true显示，false隐藏 -readingTime: true # 是否显示阅读时间：true显示，false隐藏 -hiddenCover: true # 是否隐藏封面图：true隐藏，false显示 -cover: url # 封面图片路径，相对于public目录 -sticky: 3 # 精选文章设置：值越大在首页展示越靠前，0表示不精选 -hidden: false # 是否隐藏文章：true隐藏（模板用），false显示（正式文章用） -recommend: true ---- - -# 从角色扮演到剧情聊天，翻开AI的另一面 - - -#### -##### 写在前面： -#### - - - -  这个合集我会整理有关大模型发展和应用的一些看法，不会很及时。但是目标是有独特的视角，有深度有温度。这些文章都是拼拼凑凑的所以没有什么配图，如果有也是AI的，或者是一些表情包。敬请谅解😥 - - - - -
- -## 壹 - -
- - -  第一篇我就写最近接触到的一些东西——AI角色扮演。这类东西其实很早就有了，一般就是通过强制性的提示词（prompt） ，然后大语言模型就会展现出预定的行为或语言效果。 - - -  我没有用过这个功能，现在国产很多平台都有角色扮演，从语气到风格都可以模仿。这个不是坏事，大模型发展本来就是多方面的，不是说AI只能用来解题，写代码💻。 - -  我一向支持AI全面的发展。对于大模型的管控国家也有政策，现在大模型也有批准上市这个环节。但是只是中国有，国外的模型大多只有一层简单的审查机制😥。所以很多问题就出现在这个环节上。 - -  经常能听说[酒馆](https://github.com/SillyTavern/SillyTavern)（Silly Tavern）这个名字，一开始不以为然，直到有人找到我。前几天有人找到我，要我帮他充值Claude的积分，大概20刀，我只是当做一个简单的客户应付了，结果过了不到半天他就用完了😨？ - - - - -（大家可能对这个速度没什么概念，举个例子：Claude最贵的3.7-sonnet，每百万token输出15刀，他大约输出了一百三十万token。再说token，大致1 token对应一个中文字符，考虑符号等因素，约1.3 token对应一个汉字。也就是说，一百万汉字的输出量。半天时间，他就用大模型写了一本《红楼梦》（约96万字））！ - - -#### - -1 - - -
- -## 贰 - -
- - -  后面他不满足，要我充值了好几个网站，比如[you.com](https://you.com)，比如某海外vps。来来回回好几百RMB，其实我赚的不多，我主营就是兜售一些API罢了。后面甚至发了一堆教程给我，让我用电脑帮他建酒馆。 - -  故事到这就是正常给他搭建了，然后收点钱，这个对于我来说易如反掌，但是对于这位朋友却恰恰相反。这样一个完整的云端服务需要很多专业知识，搭建起来后还需要配置API，如果API是国外的还需要中转，API又有两种来路……他竟一窍不通🤔，这个确实颠覆了我的认知，我原以为来找我买API的都是“业内人士”，只是懒得搞海外卡。没想到一个完完全全的小白就涉足这个领域了。 - -
- -## 叁 - -
- -  后来深入了解，我也第一次使用了酒馆，其实就是个有着奇怪功能和高扩展性的[OpenWebUI](https://ai.zzhdsgsss.xyz/)，和我那个平台没什么区别。但是就是这样一个可以用于角色扮演的平台出现了很多灰色地带。 - -  首当其冲的就是涌入了很多对个性化虚拟对话有需求的玩家，他们可能是二次元，可能是颜色文学的狂热粉，AI浪潮推动他们去解锁本应被限制的功能。其次就是对海外网络的高需求，就是翻墙。 - -  最后就是生成的文章被二次转发和利用，如果只是某个正经角色的扮演那没问题，但是敢问这些对话的虚拟对象就不涉及一点黄色问题？诸如此类，那酒馆能不能解锁更多敏感话题？这些敏感话题是AI高速生成的，是不是带来了非常多的问题…… - -  不过后来我也懂了，可能更多的人都是依此来满足自身需求的。这或许是新时代逃避社会的一种方式罢了，就像上个世纪末本世纪初，青年一代成溺于游戏机，以此逃避社会；也像这几年大家抱起手机就刷短视频，同样是一种逃避社会的表现。也许在不久的将来，和AI深度的角色对话就是新一代青年逃避社会的方法。 - -  最后也是很成功，通过反代you白嫖claude，就是延迟很高。不过一个月只要30刀就能无限畅玩，很适合酒馆。 - -
- -## 肆 - -
- -  再简单讲一下酒馆，就算当科普了。酒馆这个平台还是比较简陋，虽说是高扩展性，但是一般人都要依靠别人的预设来做一些大模型破限之类的事情。酒馆主要就是三大部分： - -- **预设**：属于永久prompt，主要是规范提交给大模型的提示词，比如有多少上下文，模型的Temperature、Top-k和Top-p，还有一些强制性的提示词规范大模型回答。 - -- **世界书**：属于永久prompt，提供故事背景和线索，也有人物和角色，为什么酒馆在对话中保持在同一个故事就是依靠这个东西。 - -- **卡片**：一个神奇的png图片。卡片一般会自带正则表达式和世界书，我第一次去找卡片测试很幸运是JSON的，我非常确信我找对了。结果第二次发现根本没有JSON文件，帖子里面写到：“卡和说明”，然后配了两张图。后面才知道原来卡真的只是一张图，应该是在base64编码时把世界书和预设编进去了。（这招真的是绝啊） - -1 - -
- -## 伍 - -
- -  最后完整的prompt就是由世界书，用户自己定义的自我角色，预设，对话记录，当前对话组成。大模型返回的长文本由于已经格式化，之后不同的区块被记录在不同的地方，比如实时故事进展的表格，物品或者线索…… - -  总的看下来这是一个非常消耗token的东西，如果真的能够提供等额的情绪价值那确实是个不错的东西，相反，如果毫无意义，那么就是给大模型厂商送钱。 - -
- -## 陆 - -
- -
- -#### 所以，Anthropic，你封我号，什么时候给我退钱 - -
- -#### - -1 - +--- +title: 从角色扮演到剧情聊天，翻开AI的另一面 # 文章标题，支持副标题格式（用 - 分隔） +top: 3 # 置顶级别：1-3，数字越大越靠前，0表示不置顶 +date: 2025-04-08 18:00:00 # 发布日期和时间，格式：YYYY-MM-DD HH:MM:SS +descriptionHTML: ' +我与Silly Tavern +' +tags: # 文章标签列表，用于分类和搜索 + - AI + - 酒馆 + - 随笔 +sidebar: true # 是否显示侧边栏：true显示，false隐藏 +readingTime: true # 是否显示阅读时间：true显示，false隐藏 +hiddenCover: true # 是否隐藏封面图：true隐藏，false显示 +cover: url # 封面图片路径，相对于public目录 +sticky: 3 # 精选文章设置：值越大在首页展示越靠前，0表示不精选 +hidden: false # 是否隐藏文章：true隐藏（模板用），false显示（正式文章用） +recommend: true +--- + +# 从角色扮演到剧情聊天，翻开AI的另一面 + + +#### +##### 写在前面： +#### + + + +  这个合集我会整理有关大模型发展和应用的一些看法，不会很及时。但是目标是有独特的视角，有深度有温度。这些文章都是拼拼凑凑的所以没有什么配图，如果有也是AI的，或者是一些表情包。敬请谅解😥 + + + + +
+ +## 壹 + +
+ + +  第一篇我就写最近接触到的一些东西——AI角色扮演。这类东西其实很早就有了，一般就是通过强制性的提示词（prompt） ，然后大语言模型就会展现出预定的行为或语言效果。 + + +  我没有用过这个功能，现在国产很多平台都有角色扮演，从语气到风格都可以模仿。这个不是坏事，大模型发展本来就是多方面的，不是说AI只能用来解题，写代码💻。 + +  我一向支持AI全面的发展。对于大模型的管控国家也有政策，现在大模型也有批准上市这个环节。但是只是中国有，国外的模型大多只有一层简单的审查机制😥。所以很多问题就出现在这个环节上。 + +  经常能听说[酒馆](https://github.com/SillyTavern/SillyTavern)（Silly Tavern）这个名字，一开始不以为然，直到有人找到我。前几天有人找到我，要我帮他充值Claude的积分，大概20刀，我只是当做一个简单的客户应付了，结果过了不到半天他就用完了😨？ + + + + +（大家可能对这个速度没什么概念，举个例子：Claude最贵的3.7-sonnet，每百万token输出15刀，他大约输出了一百三十万token。再说token，大致1 token对应一个中文字符，考虑符号等因素，约1.3 token对应一个汉字。也就是说，一百万汉字的输出量。半天时间，他就用大模型写了一本《红楼梦》（约96万字））！ + + +#### + +1 + + +
+ +## 贰 + +
+ + +  后面他不满足，要我充值了好几个网站，比如[you.com](https://you.com)，比如某海外vps。来来回回好几百RMB，其实我赚的不多，我主营就是兜售一些API罢了。后面甚至发了一堆教程给我，让我用电脑帮他建酒馆。 + +  故事到这就是正常给他搭建了，然后收点钱，这个对于我来说易如反掌，但是对于这位朋友却恰恰相反。这样一个完整的云端服务需要很多专业知识，搭建起来后还需要配置API，如果API是国外的还需要中转，API又有两种来路……他竟一窍不通🤔，这个确实颠覆了我的认知，我原以为来找我买API的都是“业内人士”，只是懒得搞海外卡。没想到一个完完全全的小白就涉足这个领域了。 + +
+ +## 叁 + +
+ +  后来深入了解，我也第一次使用了酒馆，其实就是个有着奇怪功能和高扩展性的[OpenWebUI](https://ai.zzhdsgsss.xyz/)，和我那个平台没什么区别。但是就是这样一个可以用于角色扮演的平台出现了很多灰色地带。 + +  首当其冲的就是涌入了很多对个性化虚拟对话有需求的玩家，他们可能是二次元，可能是颜色文学的狂热粉，AI浪潮推动他们去解锁本应被限制的功能。其次就是对海外网络的高需求，就是翻墙。 + +  最后就是生成的文章被二次转发和利用，如果只是某个正经角色的扮演那没问题，但是敢问这些对话的虚拟对象就不涉及一点黄色问题？诸如此类，那酒馆能不能解锁更多敏感话题？这些敏感话题是AI高速生成的，是不是带来了非常多的问题…… + +  不过后来我也懂了，可能更多的人都是依此来满足自身需求的。这或许是新时代逃避社会的一种方式罢了，就像上个世纪末本世纪初，青年一代成溺于游戏机，以此逃避社会；也像这几年大家抱起手机就刷短视频，同样是一种逃避社会的表现。也许在不久的将来，和AI深度的角色对话就是新一代青年逃避社会的方法。 + +  最后也是很成功，通过反代you白嫖claude，就是延迟很高。不过一个月只要30刀就能无限畅玩，很适合酒馆。 + +
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+ +  再简单讲一下酒馆，就算当科普了。酒馆这个平台还是比较简陋，虽说是高扩展性，但是一般人都要依靠别人的预设来做一些大模型破限之类的事情。酒馆主要就是三大部分： + +- **预设**：属于永久prompt，主要是规范提交给大模型的提示词，比如有多少上下文，模型的Temperature、Top-k和Top-p，还有一些强制性的提示词规范大模型回答。 + +- **世界书**：属于永久prompt，提供故事背景和线索，也有人物和角色，为什么酒馆在对话中保持在同一个故事就是依靠这个东西。 + +- **卡片**：一个神奇的png图片。卡片一般会自带正则表达式和世界书，我第一次去找卡片测试很幸运是JSON的，我非常确信我找对了。结果第二次发现根本没有JSON文件，帖子里面写到：“卡和说明”，然后配了两张图。后面才知道原来卡真的只是一张图，应该是在base64编码时把世界书和预设编进去了。（这招真的是绝啊） + +1 + +
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+ +  最后完整的prompt就是由世界书，用户自己定义的自我角色，预设，对话记录，当前对话组成。大模型返回的长文本由于已经格式化，之后不同的区块被记录在不同的地方，比如实时故事进展的表格，物品或者线索…… + +  总的看下来这是一个非常消耗token的东西，如果真的能够提供等额的情绪价值那确实是个不错的东西，相反，如果毫无意义，那么就是给大模型厂商送钱。 + +
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+ +#### 所以，Anthropic，你封我号，什么时候给我退钱 + +
+ +#### + +1 + [文章原发布于我的微信公众号，稍有修改](https://mp.weixin.qq.com/s/3FHP6BL50yLm9E9wL4APoQ) \ No newline at end of file diff --git a/docs/sop/maindocs/blockchain-web3-virtual-currency-stablecoin.md b/docs/sop/maindocs/blockchain-web3-virtual-currency-stablecoin.md index bc45aa9..8e07ad3 100644 --- a/docs/sop/maindocs/blockchain-web3-virtual-currency-stablecoin.md +++ b/docs/sop/maindocs/blockchain-web3-virtual-currency-stablecoin.md @@ -1,95 +1,95 @@ ---- -title: 区块链·web3·虚拟币·稳定币 -top: 0 -date: 2025-09-23 12:00:00 -descriptionHTML: ' -随便聊聊区块链、web3、虚拟币和稳定币。 -' -tags: - - 区块链 - - web3 - - 随笔 -sidebar: true -readingTime: true -hiddenCover: false -sticky: 0 -hidden: false -recommend: true -publish: true ---- - -# 区块链·web3·虚拟币·稳定币 - -#### -##### 写在前面： -#### - - - -  比特币这个东西炒了很久了，从中本聪，到挖矿，到区块链。现在美国和香港都在稳定币方面有所动作。 - - -## 文中将出现的专有名词介绍 - - - -### 区块链 - -  区块链是一种革命性的分布式数据库技术。想象一个由许多计算机共同维护的数字账本，任何新的交易（或数据）都会被打包成一个“区块”，并通过密码学方法安全地连接到前一个区块，形成一条不可中断的“链”。这个账本不是由任何单一实体控制，而是分布在网络中的所有参与者之间，因此具有高度的**去中心化**特性。其核心特点包括： -- **不可篡改性**：一旦数据被记录到区块链上，就极难被修改或删除。 -- **透明性**：虽然参与者的真实身份可以是匿名的，但交易记录本身对网络中的所有参与者都是公开可见的。 -- **安全性**：通过密码学和共识机制（如工作量证明PoW或权益证明PoS）来确保网络的安全和数据的一致性。 - - -### Web3 - -  Web3被视为互联网的下一个演进阶段，旨在解决当前Web2时代由少数科技巨头主导的中心化问题。如果说Web1是“只读”的（用户只能消费内容），Web2是“读写”的（用户可以创造内容，但平台拥有数据），那么Web3就是“读-写-拥有”的。 - -  它基于区块链技术，核心理念是构建一个**去中心化**的网络。在这个网络中，用户通过自己的加密钱包管理数字身份和数据，而不是依赖于传统的用户名和密码。这催生了去中心化应用（dApps）、去中心化自治组织（DAOs）等新形态，用户不仅是使用者，更是网络的参与者和所有者。 - - -### 虚拟币 - -  虚拟币，通常被称为加密货币，是构建在区块链技术之上的数字资产。它们使用密码学来确保交易安全并控制新单位的创建。我们可以将其分为两大类： -- **原生币（Coin）**：如比特币（BTC）和以太坊（ETH），它们是各自区块链网络的原生资产，主要用于支付网络交易费用（Gas Fee）和激励网络维护者（矿工或验证者）。 -- **代币（Token）**：它们构建在现有的区块链之上（如以太坊上的ERC-20代币），可以代表各种价值，如公司的股份、数字艺术品（NFT）、或者某个去中心化应用的功能性通证。 - - -### 挖矿 - -  在区块链的世界里，“挖矿”是一个形象的比喻，它指的是验证和记录交易到区块链上的过程。在像比特币这样的网络中，计算机（矿工）需要竞争解决一个复杂的数学难题。第一个成功解决难题的矿工，就有权将最新的交易打包成一个新区块，并将其添加到链上。作为回报，该矿工会获得一定数量的新发行的虚拟币和交易手续费。这个过程不仅创造了新的货币，更重要的是，它通过去中心化的方式确保了整个网络的安全和一致性。 - -### 工作量证明 (PoW) & 股权证明 (PoS) - -这是两种最主流的区块链**共识机制**，用于确保所有参与者对账本状态达成一致。 - -  **工作量证明 (Proof of Work, PoW)**：这是比特币所采用的经典机制。矿工们需要投入大量的计算资源（工作量也就是GPU计算）来竞争解决一个数学难题。谁先解决，谁就获得了记账权。这种机制的优点是极其安全，因为攻击者需要掌握超过全网51%的算力才能篡改账本，成本极高。缺点是能源消耗巨大，被广为诟病。 - -  **股权证明 (Proof of Stake, PoS)**：这是以太坊等新一代区块链采用的机制。在这种模式下，不再需要进行大规模的计算竞赛。取而代之的是，用户可以质押（Stake）自己的虚拟币来成为“验证者”。系统会根据质押数量的多少和时间长短等因素，随机选择一个验证者来创建新区块。如果验证者作恶，其质押的虚拟币将被罚没。PoS机制极大地降低了能源消耗，被认为是更环保、更高效的共识方案。 - -### 稳定币 - -  稳定币是一种价值相对稳定的虚拟币，通常与某种法定货币（如美元）挂钩，以减少价格波动。近年来，各国监管机构也开始密切关注稳定币的发展。 - -  **美国方面**，国会和监管机构一直在积极探讨稳定币的监管框架。多项法案被提出，旨在为稳定币发行方建立明确的银行级或类似的监管标准，要求其具备充足的储备金并接受定期审计。此举旨在保护消费者、防范金融风险，并确保美元在数字资产时代的主导地位。像USDC的发行方Circle，就是一家受美国监管的公司。 - -  **香港方面**，则表现出更为积极和开放的态度，力图成为全球Web3和虚拟资产的中心。香港金融管理局（HKMA）已经发布了关于稳定币的监管咨询文件，并计划推出“沙盒”安排，允许机构在受控环境中试行稳定币发行。其目标是建立一个明确的许可制度，规范稳定币发行方的储备管理、所有权和赎回机制，以吸引合规的虚拟资产业务落户香港。 - - - -
- -## 壹 - -
- -我第一次接触到这类虚拟货币，不是搞投资，也不是炒币。因为有很多国外的服务要充值，比如ChatGPT，Claude。有些服务虽然是白嫖的，但是还是需要卡里有钱来验证。但是实体卡是开不了的，只能找虚拟卡。常见的虚拟卡都是和虚拟币挂钩的，不过现在想想确实虚拟币解决了跨境支付的问题。 - -我唯一受益的点在于能避开各类政策和法律的围堵，然后把钱给到中介，中介又帮我把钱给到商家。但是对于炒作虚拟币，似乎不太行，因为虚拟货币的价值似乎一直是个迷。 - -基于我浅陋的认知，我来举个小小的例子：如果我来发行一个虚拟货币，就叫辛木币，如果做成和比特币一样的机制，那么就可以通过挖矿来计算出区块，然后基于辛木币的规则给这个人发币。但是最为重点的价格何来呢？这个就是共识机制，得大家都认可他的价值才有用。比如此时我和我开的便利店店挂钩，你可以用一辛木币来换一瓶水（早期挖矿效率极高，工作量证明也越多）。后面慢慢的很多大老板都有了我的辛木币，他们也支持辛木币交易，那么辛木币的价值在这个圈子里面就慢慢升值了。只要这个圈子够大，辛木币的价值够大，就和今天的比特币一样。说到虚拟货币，几乎都知道比特币。 - -那么在价值挂钩这一步，是不是可以是黄金，期权，股权，石油……现在的稳定币就是和美元挂钩，挖矿机制也和比特币的挖矿不一样了。比特币纯靠GPU计算哈希值，稳定币的挖矿就靠质押，靠股权（如USDT的PoS股权证明），也靠兑换（GUSD的美元兑换） - - +--- +title: 区块链·web3·虚拟币·稳定币 +top: 0 +date: 2025-09-23 12:00:00 +descriptionHTML: ' +随便聊聊区块链、web3、虚拟币和稳定币。 +' +tags: + - 区块链 + - web3 + - 随笔 +sidebar: true +readingTime: true +hiddenCover: false +sticky: 0 +hidden: false +recommend: true +publish: true +--- + +# 区块链·web3·虚拟币·稳定币 + +#### +##### 写在前面： +#### + + + +  比特币这个东西炒了很久了，从中本聪，到挖矿，到区块链。现在美国和香港都在稳定币方面有所动作。 + + +## 文中将出现的专有名词介绍 + + + +### 区块链 + +  区块链是一种革命性的分布式数据库技术。想象一个由许多计算机共同维护的数字账本，任何新的交易（或数据）都会被打包成一个“区块”，并通过密码学方法安全地连接到前一个区块，形成一条不可中断的“链”。这个账本不是由任何单一实体控制，而是分布在网络中的所有参与者之间，因此具有高度的**去中心化**特性。其核心特点包括： +- **不可篡改性**：一旦数据被记录到区块链上，就极难被修改或删除。 +- **透明性**：虽然参与者的真实身份可以是匿名的，但交易记录本身对网络中的所有参与者都是公开可见的。 +- **安全性**：通过密码学和共识机制（如工作量证明PoW或权益证明PoS）来确保网络的安全和数据的一致性。 + + +### Web3 + +  Web3被视为互联网的下一个演进阶段，旨在解决当前Web2时代由少数科技巨头主导的中心化问题。如果说Web1是“只读”的（用户只能消费内容），Web2是“读写”的（用户可以创造内容，但平台拥有数据），那么Web3就是“读-写-拥有”的。 + +  它基于区块链技术，核心理念是构建一个**去中心化**的网络。在这个网络中，用户通过自己的加密钱包管理数字身份和数据，而不是依赖于传统的用户名和密码。这催生了去中心化应用（dApps）、去中心化自治组织（DAOs）等新形态，用户不仅是使用者，更是网络的参与者和所有者。 + + +### 虚拟币 + +  虚拟币，通常被称为加密货币，是构建在区块链技术之上的数字资产。它们使用密码学来确保交易安全并控制新单位的创建。我们可以将其分为两大类： +- **原生币（Coin）**：如比特币（BTC）和以太坊（ETH），它们是各自区块链网络的原生资产，主要用于支付网络交易费用（Gas Fee）和激励网络维护者（矿工或验证者）。 +- **代币（Token）**：它们构建在现有的区块链之上（如以太坊上的ERC-20代币），可以代表各种价值，如公司的股份、数字艺术品（NFT）、或者某个去中心化应用的功能性通证。 + + +### 挖矿 + +  在区块链的世界里，“挖矿”是一个形象的比喻，它指的是验证和记录交易到区块链上的过程。在像比特币这样的网络中，计算机（矿工）需要竞争解决一个复杂的数学难题。第一个成功解决难题的矿工，就有权将最新的交易打包成一个新区块，并将其添加到链上。作为回报，该矿工会获得一定数量的新发行的虚拟币和交易手续费。这个过程不仅创造了新的货币，更重要的是，它通过去中心化的方式确保了整个网络的安全和一致性。 + +### 工作量证明 (PoW) & 股权证明 (PoS) + +这是两种最主流的区块链**共识机制**，用于确保所有参与者对账本状态达成一致。 + +  **工作量证明 (Proof of Work, PoW)**：这是比特币所采用的经典机制。矿工们需要投入大量的计算资源（工作量也就是GPU计算）来竞争解决一个数学难题。谁先解决，谁就获得了记账权。这种机制的优点是极其安全，因为攻击者需要掌握超过全网51%的算力才能篡改账本，成本极高。缺点是能源消耗巨大，被广为诟病。 + +  **股权证明 (Proof of Stake, PoS)**：这是以太坊等新一代区块链采用的机制。在这种模式下，不再需要进行大规模的计算竞赛。取而代之的是，用户可以质押（Stake）自己的虚拟币来成为“验证者”。系统会根据质押数量的多少和时间长短等因素，随机选择一个验证者来创建新区块。如果验证者作恶，其质押的虚拟币将被罚没。PoS机制极大地降低了能源消耗，被认为是更环保、更高效的共识方案。 + +### 稳定币 + +  稳定币是一种价值相对稳定的虚拟币，通常与某种法定货币（如美元）挂钩，以减少价格波动。近年来，各国监管机构也开始密切关注稳定币的发展。 + +  **美国方面**，国会和监管机构一直在积极探讨稳定币的监管框架。多项法案被提出，旨在为稳定币发行方建立明确的银行级或类似的监管标准，要求其具备充足的储备金并接受定期审计。此举旨在保护消费者、防范金融风险，并确保美元在数字资产时代的主导地位。像USDC的发行方Circle，就是一家受美国监管的公司。 + +  **香港方面**，则表现出更为积极和开放的态度，力图成为全球Web3和虚拟资产的中心。香港金融管理局（HKMA）已经发布了关于稳定币的监管咨询文件，并计划推出“沙盒”安排，允许机构在受控环境中试行稳定币发行。其目标是建立一个明确的许可制度，规范稳定币发行方的储备管理、所有权和赎回机制，以吸引合规的虚拟资产业务落户香港。 + + + +
+ +## 壹 + +
+ +我第一次接触到这类虚拟货币，不是搞投资，也不是炒币。因为有很多国外的服务要充值，比如ChatGPT，Claude。有些服务虽然是白嫖的，但是还是需要卡里有钱来验证。但是实体卡是开不了的，只能找虚拟卡。常见的虚拟卡都是和虚拟币挂钩的，不过现在想想确实虚拟币解决了跨境支付的问题。 + +我唯一受益的点在于能避开各类政策和法律的围堵，然后把钱给到中介，中介又帮我把钱给到商家。但是对于炒作虚拟币，似乎不太行，因为虚拟货币的价值似乎一直是个迷。 + +基于我浅陋的认知，我来举个小小的例子：如果我来发行一个虚拟货币，就叫辛木币，如果做成和比特币一样的机制，那么就可以通过挖矿来计算出区块，然后基于辛木币的规则给这个人发币。但是最为重点的价格何来呢？这来自于**价值共识**。技术上的共识机制（如PoW）保证了辛木币无法被伪造和双花，但它的市场价格，则需要大家都认可它的价值才有用。比如此时我和我开的便利店店挂钩，你可以用一辛木币来换一瓶水（早期挖矿效率极高，工作量证明也越多）。后面慢慢的很多大老板都有了我的辛木币，他们也支持辛木币交易，那么辛木币的价值在这个圈子里面就慢慢升值了。只要这个圈子够大，辛木币的价值够大，就和今天的比特币一样。说到虚拟货币，几乎都知道比特币。 + +那么在价值挂钩这一步，是不是可以是黄金，期权，股权，石油……现在的稳定币就是和美元挂钩，挖矿机制也和比特币的挖矿不一样了。比特币纯靠GPU计算哈希值，稳定币的挖矿就靠质押，靠股权（如USDT的PoS股权证明），也靠兑换（GUSD的美元兑换） + + (没写完，后面慢慢写)……………………………… \ No newline at end of file diff --git a/docs/sop/maindocs/hu-chen-feng.md b/docs/sop/maindocs/hu-chen-feng.md index bc42720..7ac8902 100644 --- a/docs/sop/maindocs/hu-chen-feng.md +++ b/docs/sop/maindocs/hu-chen-feng.md @@ -1,158 +1,158 @@ ---- -title: 身份、地位、家庭、学历是如何裹挟中国人的一生的？ # 文章标题，支持副标题格式（用 - 分隔） -top: 2 # 置顶级别：1-3，数字越大越靠前，0表示不置顶 -date: 2025-09-13 22:00:00 # 发布日期和时间，格式：YYYY-MM-DD HH:MM:SS -descriptionHTML: ' -来聊聊网红户晨风 -' -tags: # 文章标签列表，用于分类和搜索 - - 随笔 -sidebar: true # 是否显示侧边栏：true显示，false隐藏 -readingTime: true # 是否显示阅读时间：true显示，false隐藏 -hiddenCover: false -sticky: 4 # 精选文章设置：值越大在首页展示越靠前，0表示不精选 -hidden: false # 是否隐藏文章：true隐藏（模板用），false显示（正式文章用） -recommend: true ---- - - -# 身份、地位、家庭、学历是如何裹挟中国人的一生的？ - -#### -##### 写在前面： -#### - - -“什么学历，父母是做什么的，用什么手机？”这是网红户晨风直播连麦的灵魂三问。三个问题就可以大致能描绘一个人认知，地位，经济情况。本文将会围绕户晨风的视频直播，以及他在自媒体中发表的观点讲起，来谈谈身份、地位、家庭、学历是如何裹挟中国人的一生的？ - - -## 文中将出现的人物简介以及专有名词介绍 - -### 户晨风 -#### - -  国际高中肄业，干过汽修工，后投身于股市，当过私募基金研究员，后因投资失败被公司裁员，2023年开始短视频的拍摄。模仿国外博主拍摄购买力视频获取流量，后因拍摄内容涉及国内社保相关情况，部分内容违反社区规定，被封号至2024年4月。之后转战国外，拍摄国外购买力视频，同时，国内转为拍摄随机送路人钱（大多确为普通百姓）。除以上两种视频内容，每个月户晨风还公开自己的收入情况。 - -  但直播却与本人拍摄视频基本无关，户晨风在直播间发表自己的言论，包括但不限于：手机就是苹果，汽车就是特斯拉，超市就是山姆，推崇中医无用，推崇高铁私有化等。 - -  连麦的网友大多是反对户晨风的，同时也有一部分网友支持户晨风给予户晨风打赏，成为户晨风收入主要来源。由于他所推崇的东西几乎都是国外的，在当今爱国主义是社会核心价值观的时代，有人对户晨风的言论表示反对。 - -  2025年9月，户晨风在带货方面收获颇丰，同时借助知名度在淘宝售卖祝福视频，且单个视频价格不低（如图，仅有2999元档）。本人在直播中表示本月收入超过60万。 - - - -![1](/7/1.jpg) - - -![2](/7/2.jpg) - -### 商品拜物教 -#### - -  商品拜物教是马克思在《资本论》中提出的概念，指商品的社会属性（人与人的劳动交换关系）被物的自然属性掩盖，人们像崇拜神一样追逐商品，将其视为能支配生活的神秘力量，且商品交换越普遍，这种“拜物”倾向越明显。 - -  它的核心是掩盖商品背后人与人的关系：商品价值源于人类抽象劳动，但在市场中，价值通过价格波动、供求关系体现，仿佛是商品自身的“魔力”，而非劳动者创造。 - - - -
- -## 壹 - -
- -  我比较早就关注到户晨风了，因为他的一些理论确实很敏感，按理说国内互联网是很少有些些言论的。其实他的理论不是说简单的吹捧美国，或者西方的东西，以此来贬低国内的。只是他刻意避开中国好的一些东西，只议论西方优秀的部分和国内做的不足的部分。而后他慢慢转向为追从好的东西，追从贵的东西。 - -他的直播间从多数人看来就是**崇洋媚外**，有这几个证据，我也讲讲我的看法： - -- 第一，他宣扬中医无用论。理由是没有通过临床双盲实验（不得不说，为了这些，一个没有什么文化的人能研究这么深，属实不易，这也是他能成功的原因之一） ，这给根生于中华传统文化的中华儿女带来了冲击感。 - - 基本上所有中国人都受到过中医的治疗，只是说在西医和医学科学的理论下，中医的作用没有科学的理论性，但是不代表无法用于治疗。就像下面这个数学公式，拉马努金没法给出推到过程，但是不妨碍这是正确的等式。我第一次看到这个式子的时候就觉得他和中医很像，但是确实不妨碍这是正确的。 -$$ -\frac{1}{\pi} -=\frac{2\sqrt{2}}{9801}\sum_{k=0}^{\infty} -\frac{(4k)!}{(k!)^4}\, -\frac{1103+26390k}{396^{4k}} -$$ -- 第二，他宣称高铁私有化。其实我是不大赞同，他可能没有考虑到铁路具有的**战略意义**。如果国家处于战时，铁路是最好的运输方式，陆运太慢，而且效率很低，空运太贵，不能让大部分的经济用于空运。至少近二十年内，铁路还是战时重要的运输路线，铁路被炸了，有抢修队，没电就烧油，没油甚至可以用蒸汽机车。所以铁路必须归国有，因为他具有战略意义。 - -- 第三，他还宣称手机就用 iPhone。可能他目标的粉丝人群就是介于能买 iPhone 的用户们，因为再往上的人群可能确实选择 iPhone 较多，或者是折叠屏手机（？总之不会是两三千的手机）。户晨风就抓住这批人的想法，抨击安卓机，鼓吹 iPhone。 - - 其实我们确实需要承认苹果的产品是不错的，但是起步就是 6k（最低配 256GB 内存，多半不适合很多人使用），真的是所有人能消费得起的吗？城镇居民人均可支配收入中位数 **49302** 元，农村居民人均可支配收入中位数 **19605** 元$^{[1]}$。意味着半数以上的农村居民不可能购买 iPhone，半数以内的城镇居民需要花费年收入八分之一用于支付手机费用。即使是用五年，也是一笔不小的支出。:expressionless: - - -
- -## 贰 - -
- -  还有很多琐碎的观点不胜枚举，户晨风的观点其实早已不在于对错与否，这样的观点是漏洞百出、以偏概全的。**但是，恰恰这样的观点才是互联网需要的**。当下的互联网各类人群聚集，能让很多人透过互联网看到不一样的世界，有人养尊处优，第一次看到别人生活清贫；有人出身并不富贵，第一次看到别人开豪车住豪宅…… - -  时至今日，社会的差异还是存在的，贫富差异、地域差距、认知差异……。中产和中产的孩子们，是户晨风直播间连线的香饽饽，他们可能是留学，可能是展示家财万贯，因为户晨风总是投来向往的羡慕的目光和表达夸张的赞誉。反观普通人，户晨风讨厌低学历，讨厌那些家里是普普通通的人，户晨风总是展现着一种嫌弃的厌恶的目光和不断发出诋毁和说教。 - -  但是户晨风的直播间却毫无意外的只有两种人连麦，他们是谈吐清晰的中产家庭，因为户晨风的反应能给他们带来欢乐，他们把户晨风当做娱乐主播；他们也会是支支吾吾的普通人，因为始终不认命，希望能扳倒这个长相和言语都怪异的主播。我想不明白为什么，可能恰恰是这些人才是户晨风的目标粉丝。 - -  确实，能用苹果的，能开特斯拉的，能逛山姆的已经是中产。户晨风认为自己也是这类人，因为不了解他实际资产之类的隐私信息，但是能确定的是他目前唯一收入就是做自媒体，近半年来的收入也在逐步上升且都不低。也许有一天也能开上特斯拉，也能在某个山姆会员店遇到他。但是世界上还有很多普通人，也许能给普通人更多一些鼓励和建议会更好，还是说没有反差就没法给各位“总”$^{[2]}$带来快乐，就没有收入了？我不知道。 :sleeping: - -
- -## 叁 - -
- -  户晨风在直播间还会问学历，当今的中国确实很看重学历，这是毋庸置疑的。但是学历延伸出来的还是家庭问题。先说国外，普通家庭的孩子很难出国留学，除非是非常厉害的一批作为公派留学。国内的高等教育也不乐观，大部分普通家庭的孩子，要么止步于高考，要么就是在普通本科或者专科毕业后进入就业市场。部分家庭是很难供给到研究生的，或者是希望孩子早早就业…… - ->“太多极有天资的小伙伴因为某次大考差了几分，或者遭遇了学业阶段转换过程中的不适应，或者家庭出现变故，走着走着就变换了人生道路。”$^{[3]}$ - ->“这样一条通过教育向上流动的道路越是艰辛，个体在这样一个过程中经历的制度不公和隐性歧视越是深重，越说明我们的社会流动之路并不通畅，可能有越来越多的人正在被埋没。”$^{[3]}$ - ->“低阶层的父母不插手，多半是因为没有能力和见识去参与孩子的决策。他们绝大多数从未踏进大学的校门，对大学里发生的一切几乎一无所知。除了精神上的支持和经济上的帮助，他们再无法就子女高中以后的重大决策给出具体的咨询意见了，更不用说指导他们管理大学生活和确立生涯目标。实际上，他们的子女能够超越他们成为全家第一个大学生，已经在很大程度上满足了他们的期望。至于上大学的目标，已经超越了他们的认知范围。”$^{[4]}$ - -（以上摘自其他作者文章，来源已在文末参考文献标注） - -  学历对一个人的影响确实存在，但是当前的中国社会在慢慢放大这个影响，因为社会还是缺少一套标准来评判人。所以学历对个人带来的压力，不亚于经济情况对人带来的压力。社会给不同学历的人分为三教九流，所以这也不是户晨风的主观意愿，只是如果能多方面评价一个人可能会更好。低学历的人并不代表就一事无成。 - -
- - - -## 肆 - -
- -再来说说户晨风的视频。 - -- 第一个是他的公开收入，其实没有什么问题，因为依旧可以造假，就像我也可以公开我的收入，因为互联网是虚拟世界这件事情是板上钉钉的。 - -![3](/7/3.jpg) - -- 第二是购买力视频，算是发家视频，让墙内$^{[5]}$的人们能看到较为真实的外面的世界。也正是因为这类视频，在国内会采访到一些特殊人群，暴露了这类人群在收入上遇到的困难。让户晨风在多个平台处处碰壁。 - -![4](/7/4.jpg) - -- 第三个是随机送路人钱。这算是几乎没有争议的视频，因为**两千块钱**是真实送出去的（户晨风在直播间中提过以后会加到五千元，可能会带来不一样的视频效果）。虽然他在直播间看不起普通人，但是遇到真正困难的人确实会提供帮助。:+1: - -![5](/7/5.jpg) - -  个人认为户晨风后续的视频只会是这几类，因为视频带来的收益并不可观。在各大社交媒体中，始终是以直播收入为主要来源。所以户晨风应该依旧会在直播中加码，制造更多的效果，借助流量带货，以及博得各位“总”的打赏。 - - -
- -## 伍 - -
- -  最后，户晨风还有一招，也是罕见的一招。公开在淘宝上售卖祝福视频，这是一个一石二鸟的方法，既宣传自己，又给自己套上了商品的属性:joy:（文章开头介绍了商品拜物教，但是我却仅在文末提及，如果你能看完我的文章，也看过户晨风的视频还有他的直播切片，你会发现户晨风的方方面面都透露着商品属性以及商品拜物教） - -  户晨风确实是个矛盾的人，他的视频和直播间是对立矛盾的，他的粉丝群体是对立矛盾的。可恰恰是这样的冲突让户晨风在社交媒体如鱼得水，网络世界的今天，需要的就是激烈的争论才能留住前来的客户。再把目光放回这些引起矛盾的观点，这些关于身份、地位、家庭、学历的话题，在这个时代始终裹挟着中国人，甚至伴随他们一生，倘若多年以后没有人再记得户晨风，倘若多年后户晨风还是需要就业来解决温饱，他确实只是一个高中学历。 - - - -### 参考文献及注释 -[1] 中华人民共和国国家统计局. 2024年居民收入和消费支出情况[EB/OL]. (2025-01-17). https://www.stats.gov.cn/sj/zxfb/202501/t20250117_1958325.html. -[2] 户晨风在直播间常常以“xx总”称呼打赏的粉丝 -[3] 程猛. “教育改变农家子弟的命运”，究竟改变了什么？[EB/OL]. (2018-09-15). https://yixi.tv/speech/657. -[4] 那些原本是废话的常识. 寒门大学生难改命？其实“考上”就已不容易[EB/OL]. (2024-07-22). https://mp.weixin.qq.com/s/P1zKLPHN4efzpkRoGFwDIA. +--- +title: 身份、地位、家庭、学历是如何裹挟中国人的一生的？ # 文章标题，支持副标题格式（用 - 分隔） +top: 2 # 置顶级别：1-3，数字越大越靠前，0表示不置顶 +date: 2025-09-13 22:00:00 # 发布日期和时间，格式：YYYY-MM-DD HH:MM:SS +descriptionHTML: ' +来聊聊网红户晨风 +' +tags: # 文章标签列表，用于分类和搜索 + - 随笔 +sidebar: true # 是否显示侧边栏：true显示，false隐藏 +readingTime: true # 是否显示阅读时间：true显示，false隐藏 +hiddenCover: false +sticky: 4 # 精选文章设置：值越大在首页展示越靠前，0表示不精选 +hidden: false # 是否隐藏文章：true隐藏（模板用），false显示（正式文章用） +recommend: true +--- + + +# 身份、地位、家庭、学历是如何裹挟中国人的一生的？ + +#### +##### 写在前面： +#### + + +“什么学历，父母是做什么的，用什么手机？”这是网红户晨风直播连麦的灵魂三问。三个问题就可以大致能描绘一个人认知，地位，经济情况。本文将会围绕户晨风的视频直播，以及他在自媒体中发表的观点讲起，来谈谈身份、地位、家庭、学历是如何裹挟中国人的一生的？ + + +## 文中将出现的人物简介以及专有名词介绍 + +### 户晨风 +#### + +  国际高中肄业，干过汽修工，后投身于股市，当过私募基金研究员，后因投资失败被公司裁员，2023年开始短视频的拍摄。模仿国外博主拍摄购买力视频获取流量，后因拍摄内容涉及国内社保相关情况，部分内容违反社区规定，被封号至2024年4月。之后转战国外，拍摄国外购买力视频，同时，国内转为拍摄随机送路人钱（大多确为普通百姓）。除以上两种视频内容，每个月户晨风还公开自己的收入情况。 + +  但直播却与本人拍摄视频基本无关，户晨风在直播间发表自己的言论，包括但不限于：手机就是苹果，汽车就是特斯拉，超市就是山姆，推崇中医无用，推崇高铁私有化等。 + +  连麦的网友大多是反对户晨风的，同时也有一部分网友支持户晨风给予户晨风打赏，成为户晨风收入主要来源。由于他所推崇的东西几乎都是国外的，在当今爱国主义是社会核心价值观的时代，有人对户晨风的言论表示反对。 + +  2025年9月，户晨风在带货方面收获颇丰，同时借助知名度在淘宝售卖祝福视频，且单个视频价格不低（如图，仅有2999元档）。本人在直播中表示本月收入超过60万。 + + + +![1](/7/1.jpg) + + +![2](/7/2.jpg) + +### 商品拜物教 +#### + +  商品拜物教是马克思在《资本论》中提出的概念，指商品的社会属性（人与人的劳动交换关系）被物的自然属性掩盖，人们像崇拜神一样追逐商品，将其视为能支配生活的神秘力量，且商品交换越普遍，这种“拜物”倾向越明显。 + +  它的核心是掩盖商品背后人与人的关系：商品价值源于人类抽象劳动，但在市场中，价值通过价格波动、供求关系体现，仿佛是商品自身的“魔力”，而非劳动者创造。 + + + +
+ +## 壹 + +
+ +  我比较早就关注到户晨风了，因为他的一些理论确实很敏感，按理说国内互联网是很少有些些言论的。其实他的理论不是说简单的吹捧美国，或者西方的东西，以此来贬低国内的。只是他刻意避开中国好的一些东西，只议论西方优秀的部分和国内做的不足的部分。而后他慢慢转向为追从好的东西，追从贵的东西。 + +他的直播间从多数人看来就是**崇洋媚外**，有这几个证据，我也讲讲我的看法： + +- 第一，他宣扬中医无用论。理由是没有通过临床双盲实验（不得不说，为了这些，一个没有什么文化的人能研究这么深，属实不易，这也是他能成功的原因之一） ，这给根生于中华传统文化的中华儿女带来了冲击感。 + + 基本上所有中国人都受到过中医的治疗，只是说在西医和医学科学的理论下，中医的作用没有科学的理论性，但是不代表无法用于治疗。就像下面这个数学公式，拉马努金没法给出推到过程，但是不妨碍这是正确的等式。我第一次看到这个式子的时候就觉得他和中医很像，但是确实不妨碍这是正确的。 +$$ +\frac{1}{\pi} +=\frac{2\sqrt{2}}{9801}\sum_{k=0}^{\infty} +\frac{(4k)!}{(k!)^4}\, +\frac{1103+26390k}{396^{4k}} +$$ +- 第二，他宣称高铁私有化。其实我是不大赞同，他可能没有考虑到铁路具有的**战略意义**。如果国家处于战时，铁路是最好的运输方式，陆运太慢，而且效率很低，空运太贵，不能让大部分的经济用于空运。至少近二十年内，铁路还是战时重要的运输路线，铁路被炸了，有抢修队，没电就烧油，没油甚至可以用蒸汽机车。所以铁路必须归国有，因为他具有战略意义。 + +- 第三，他还宣称手机就用 iPhone。可能他目标的粉丝人群就是介于能买 iPhone 的用户们，因为再往上的人群可能确实选择 iPhone 较多，或者是折叠屏手机（？总之不会是两三千的手机）。户晨风就抓住这批人的想法，抨击安卓机，鼓吹 iPhone。 + + 其实我们确实需要承认苹果的产品是不错的，但是起步就是 6k（最低配 256GB 内存，多半不适合很多人使用），真的是所有人能消费得起的吗？城镇居民人均可支配收入中位数 **49302** 元，农村居民人均可支配收入中位数 **19605** 元$^{[1]}$。意味着半数以上的农村居民不可能购买 iPhone，半数以内的城镇居民需要花费年收入八分之一用于支付手机费用。即使是用五年，也是一笔不小的支出。:expressionless: + + +
+ +## 贰 + +
+ +  还有很多琐碎的观点不胜枚举，户晨风的观点其实早已不在于对错与否，这样的观点是漏洞百出、以偏概全的。**但是，恰恰这样的观点才是互联网需要的**。当下的互联网各类人群聚集，能让很多人透过互联网看到不一样的世界，有人养尊处优，第一次看到别人生活清贫；有人出身并不富贵，第一次看到别人开豪车住豪宅…… + +  时至今日，社会的差异还是存在的，贫富差异、地域差距、认知差异……。中产和中产的孩子们，是户晨风直播间连线的香饽饽，他们可能是留学，可能是展示家财万贯，因为户晨风总是投来向往的羡慕的目光和表达夸张的赞誉。反观普通人，户晨风讨厌低学历，讨厌那些家里是普普通通的人，户晨风总是展现着一种嫌弃的厌恶的目光和不断发出诋毁和说教。 + +  但是户晨风的直播间却毫无意外的只有两种人连麦，他们是谈吐清晰的中产家庭，因为户晨风的反应能给他们带来欢乐，他们把户晨风当做娱乐主播；他们也会是支支吾吾的普通人，因为始终不认命，希望能扳倒这个长相和言语都怪异的主播。我想不明白为什么，可能恰恰是这些人才是户晨风的目标粉丝。 + +  确实，能用苹果的，能开特斯拉的，能逛山姆的已经是中产。户晨风认为自己也是这类人，因为不了解他实际资产之类的隐私信息，但是能确定的是他目前唯一收入就是做自媒体，近半年来的收入也在逐步上升且都不低。也许有一天也能开上特斯拉，也能在某个山姆会员店遇到他。但是世界上还有很多普通人，也许能给普通人更多一些鼓励和建议会更好，还是说没有反差就没法给各位“总”$^{[2]}$带来快乐，就没有收入了？我不知道。 :sleeping: + +
+ +## 叁 + +
+ +  户晨风在直播间还会问学历，当今的中国确实很看重学历，这是毋庸置疑的。但是学历延伸出来的还是家庭问题。先说国外，普通家庭的孩子很难出国留学，除非是非常厉害的一批作为公派留学。国内的高等教育也不乐观，大部分普通家庭的孩子，要么止步于高考，要么就是在普通本科或者专科毕业后进入就业市场。部分家庭是很难供给到研究生的，或者是希望孩子早早就业…… + +>“太多极有天资的小伙伴因为某次大考差了几分，或者遭遇了学业阶段转换过程中的不适应，或者家庭出现变故，走着走着就变换了人生道路。”$^{[3]}$ + +>“这样一条通过教育向上流动的道路越是艰辛，个体在这样一个过程中经历的制度不公和隐性歧视越是深重，越说明我们的社会流动之路并不通畅，可能有越来越多的人正在被埋没。”$^{[3]}$ + +>“低阶层的父母不插手，多半是因为没有能力和见识去参与孩子的决策。他们绝大多数从未踏进大学的校门，对大学里发生的一切几乎一无所知。除了精神上的支持和经济上的帮助，他们再无法就子女高中以后的重大决策给出具体的咨询意见了，更不用说指导他们管理大学生活和确立生涯目标。实际上，他们的子女能够超越他们成为全家第一个大学生，已经在很大程度上满足了他们的期望。至于上大学的目标，已经超越了他们的认知范围。”$^{[4]}$ + +（以上摘自其他作者文章，来源已在文末参考文献标注） + +  学历对一个人的影响确实存在，但是当前的中国社会在慢慢放大这个影响，因为社会还是缺少一套标准来评判人。所以学历对个人带来的压力，不亚于经济情况对人带来的压力。社会给不同学历的人分为三教九流，所以这也不是户晨风的主观意愿，只是如果能多方面评价一个人可能会更好。低学历的人并不代表就一事无成。 + +
+ + + +## 肆 + +
+ +再来说说户晨风的视频。 + +- 第一个是他的公开收入，其实没有什么问题，因为依旧可以造假，就像我也可以公开我的收入，因为互联网是虚拟世界这件事情是板上钉钉的。 + +![3](/7/3.jpg) + +- 第二是购买力视频，算是发家视频，让墙内$^{[5]}$的人们能看到较为真实的外面的世界。也正是因为这类视频，在国内会采访到一些特殊人群，暴露了这类人群在收入上遇到的困难。让户晨风在多个平台处处碰壁。 + +![4](/7/4.jpg) + +- 第三个是随机送路人钱。这算是几乎没有争议的视频，因为**两千块钱**是真实送出去的（户晨风在直播间中提过以后会加到五千元，可能会带来不一样的视频效果）。虽然他在直播间看不起普通人，但是遇到真正困难的人确实会提供帮助。:+1: + +![5](/7/5.jpg) + +  个人认为户晨风后续的视频只会是这几类，因为视频带来的收益并不可观。在各大社交媒体中，始终是以直播收入为主要来源。所以户晨风应该依旧会在直播中加码，制造更多的效果，借助流量带货，以及博得各位“总”的打赏。 + + +
+ +## 伍 + +
+ +  最后，户晨风还有一招，也是罕见的一招。公开在淘宝上售卖祝福视频，这是一个一石二鸟的方法，既宣传自己，又给自己套上了商品的属性:joy:（文章开头介绍了商品拜物教，但是我却仅在文末提及，如果你能看完我的文章，也看过户晨风的视频还有他的直播切片，你会发现户晨风的方方面面都透露着商品属性以及商品拜物教） + +  户晨风确实是个矛盾的人，他的视频和直播间是对立矛盾的，他的粉丝群体是对立矛盾的。可恰恰是这样的冲突让户晨风在社交媒体如鱼得水，网络世界的今天，需要的就是激烈的争论才能留住前来的客户。再把目光放回这些引起矛盾的观点，这些关于身份、地位、家庭、学历的话题，在这个时代始终裹挟着中国人，甚至伴随他们一生，倘若多年以后没有人再记得户晨风，倘若多年后户晨风还是需要就业来解决温饱，他确实只是一个高中学历。 + + + +### 参考文献及注释 +[1] 中华人民共和国国家统计局. 2024年居民收入和消费支出情况[EB/OL]. (2025-01-17). https://www.stats.gov.cn/sj/zxfb/202501/t20250117_1958325.html. +[2] 户晨风在直播间常常以“xx总”称呼打赏的粉丝 +[3] 程猛. “教育改变农家子弟的命运”，究竟改变了什么？[EB/OL]. (2018-09-15). https://yixi.tv/speech/657. +[4] 那些原本是废话的常识. 寒门大学生难改命？其实“考上”就已不容易[EB/OL]. (2024-07-22). https://mp.weixin.qq.com/s/P1zKLPHN4efzpkRoGFwDIA. [5] 指[防火长城（Great Firewall）](https://zh.wikipedia.org/wiki/%E9%98%B2%E7%81%AB%E9%95%BF%E5%9F%8E) \ No newline at end of file diff --git a/docs/sop/notes/digital-circuit-notes.md b/docs/sop/notes/digital-circuit-notes.md index 085d3bf..2fa1d11 100644 --- a/docs/sop/notes/digital-circuit-notes.md +++ b/docs/sop/notes/digital-circuit-notes.md @@ -1,431 +1,431 @@ ---- -title: 数字电路笔记 -date: 2025-01-20 15:00:00 -descriptionHTML: '纯情男大自用数字电路基础笔记' -tags: - - 笔记 - - 数字电路 -sidebar: true -readingTime: true -hidden: false -recommend: true ---- - - -# 数字电路笔记 - - -## 资料下载 - - -#### Markdown源码版本 -- **文件名**：数字电路基础.md -- **下载链接**：[点击下载源码版本](https://github.com/handsomezhuzhu/other_note/raw/main/数字电路/数字电路基础.md) - -#### PDF版本 -- **文件名**：数字电路基础.pdf -- **下载链接**：[点击下载PDF版本](https://github.com/handsomezhuzhu/other_note/raw/main/数字电路/数字电路基础.pdf) - - - -## 完整笔记 - - -## 一、逻辑代数定律和计算规则 - -| 定律/规则名称 | 表达式 | 解释 | -| --------- | ----------------------------------------------------------------------------------- | ------------------- | -| 恒等律 | $A + 0 = A$
$A \cdot 1 = A$ | 任何变量与0相加或与1相乘等于自身 | -| 零律 | $A + 1 = 1$
$A \cdot 0 = 0$ | 任何变量与1相加或与0相乘等于1或0 | -| 幂等律 | $A + A = A$
$A \cdot A = A$ | 任何变量与自身相加或相乘等于自身 | -| 互补律 | $A + \overline{A} = 1$
$A \cdot \overline{A} = 0$ | 任何变量与其补码相加等于1，相乘等于0 | -| **交换律** | | | -| 加法交换律 | $A + B = B + A$ | 加法运算的交换律 | -| 乘法交换律 | $A \cdot B = B \cdot A$ | 乘法运算的交换律 | -| **结合律** | | | -| 加法结合律 | $(A + B) + C = A + (B + C)$ | 加法运算的结合律 | -| 乘法结合律 | $(A \cdot B) \cdot C = A \cdot (B \cdot C)$ | 乘法运算的结合律 | -| **分配律** | | | -| 乘法分配律 | $A \cdot (B + C) = A \cdot B + A \cdot C$ | 乘法对加法的分配律 | -| 加法分配律 | $A + (B \cdot C) = (A + B) \cdot (A + C)$ | 加法对乘法的分配律 | -| **吸收律** | | | -| 吸收律1 | $A + A \cdot B = A$ | 吸收律的第一种形式 | -| 吸收律2 | $A \cdot (A + B) = A$ | 吸收律的第二种形式 | -| **德摩根定律** | | | -| 德摩根定律1 | $\overline{A + B} = \overline{A} \cdot \overline{B}$ | 逻辑加法的德摩根定律 | -| 德摩根定律2 | $\overline{A \cdot B} = \overline{A} + \overline{B}$ | 逻辑乘法的德摩根定律 | -| **简化定律** | | | -| 简化定律1 | $A + \overline{A} \cdot B = A + B$ | 简化逻辑表达式 | -| 简化定律2 | $A \cdot (\overline{A} + B) = A \cdot B$ | 简化逻辑表达式 | -| **共识定律** | | | -| 共识定律 (积之和形式) | $AB + \overline{A}C + BC = AB + \overline{A}C$ | 较难，常用于逻辑化简。项 `BC` 是 `AB` 和 `A`C 的共识项，是冗余的。 | -| 共识定律 (和之积形式) | $(A+B)(\overline{A}+C)(B+C) = (A+B)(\overline{A}+C)$ | 较难，常用于逻辑化简。项 `(B+C)` 是 `(A+B)` 和 `(A`+C) 的共识项，是冗余的。| -| **反演定律** | | | -| 反演定律 | $A = \overline{\overline{A}}$ | 变量的双重否定等于自身 | - -### 推导过程 - -1. **基本定律** - - **恒等律**：$A + 0 = A$ 和 $A \cdot 1 = A$ 是逻辑代数的基本定义。 - - **零律**：$A + 1 = 1$ 和 $A \cdot 0 = 0$ 也是逻辑代数的基本定义。 - - **幂等律**：$A + A = A$ 和 $A \cdot A = A$ 是因为逻辑加法和乘法运算的特性。 - - **互补律**：$A + \overline{A} = 1$ 和 $A \cdot \overline{A} = 0$ 是逻辑变量和其补码的定义。 - -2. **交换律** - - **加法交换律**：$A + B = B + A$ 是逻辑加法的交换特性。 - - **乘法交换律**：$A \cdot B = B \cdot A$ 是逻辑乘法的交换特性。 - -3. **结合律** - - **加法结合律**：$(A + B) + C = A + (B + C)$ 是逻辑加法的结合特性。 - - **乘法结合律**：$(A \cdot B) \cdot C = A \cdot (B \cdot C)$ 是逻辑乘法的结合特性。 - -4. **分配律** - - **乘法分配律**：$A \cdot (B + C) = A \cdot B + A \cdot C$ 是逻辑乘法对加法的分配特性。 - - **加法分配律**：$A + (B \cdot C) = (A + B) \cdot (A + C)$ 是逻辑加法对乘法的分配特性。 - -5. **吸收律** - - **吸收律1**：$A + A \cdot B = A$ 可以从 $A + A \cdot B = A \cdot (1 + B) = A \cdot 1 = A$ 推导得出。 - - **吸收律2**：$A \cdot (A + B) = A$ 可以从 $A \cdot (A + B) = A \cdot A + A \cdot B = A + A \cdot B = A$ 推导得出。 - -6. **德摩根定律** - - **德摩根定律1**：$\overline{A + B} = \overline{A} \cdot \overline{B}$ 是逻辑加法的德摩根定律。 - - **德摩根定律2**：$\overline{A \cdot B} = \overline{A} + \overline{B}$ 是逻辑乘法的德摩根定律。 - -7. **简化定律** - - **简化定律1**：$A + \overline{A} \cdot B = A + B$ 可以从 $A + \overline{A} \cdot B = (A + \overline{A}) \cdot (A + B) = 1 \cdot (A + B) = A + B$ 推导得出。 - - **简化定律2**：$A \cdot (\overline{A} + B) = A \cdot B$ 可以从 $A \cdot (\overline{A} + B) = A \cdot \overline{A} + A \cdot B = 0 + A \cdot B = A \cdot B$ 推导得出。 - -8. **共识定律** - - **共识定律**：$(A + B) \cdot (\overline{A} + C) = (A + B) \cdot (\overline{A} + C) \cdot (B + C)$ 可以从 $(A + B) \cdot (\overline{A} + C) = (A + B) \cdot (\overline{A} + C) \cdot (B + C)$ 推导得出，因为 $(A + B) \cdot (\overline{A} + C) \leq (B + C)$。 - -9. **反演定律** - - **反演定律**：$A = \overline{\overline{A}}$ 是逻辑变量的双重否定特性。 - ---- -## 二、基本门电路 - -### 1. 非门 - -$$ -Y = \overline{A} -$$ - - - -### 2. 与门 - -$$ -Y = A \cdot B -$$ - -**真值表:** - -| 输入 A | 输入 B | 输出 Y | -| --- | --- | --- | -| 0 | 0 | 0 | -| 0 | 1 | 0 | -| 1 | 0 | 0 | -| 1 | 1 | 1 | - - - -### 3. 或门 - -$$ -Y = A + B -$$ - -**真值表:** - -| 输入 A | 输入 B | 输出 Y | -| --- | --- | --- | -| 0 | 0 | 0 | -| 0 | 1 | 1 | -| 1 | 0 | 1 | -| 1 | 1 | 1 | - - - -### 4. 与非门 -与非门是“与门”和“非门”的结合。 -$$ -Y = \overline{A \cdot B} -$$ - -**真值表:** - -| 输入 A | 输入 B | 输出 Y | -|:---:|:---:|:---:| -| 0 | 0 | 1 | -| 0 | 1 | 1 | -| 1 | 0 | 1 | -| 1 | 1 | 0 | - - - -### 5. 或非门 -或非门是“或门”和“非门”的结合。 -$$ -Y = \overline{A + B} -$$ - -**真值表:** - -| 输入 A | 输入 B | 输出 Y | -|:---:|:---:|:---:| -| 0 | 0 | 1 | -| 0 | 1 | 0 | -| 1 | 0 | 0 | -| 1 | 1 | 0 | - - - -### 6. 异或门 -当两个输入不相同时，输出为高电平（1）；当两个输入相同时，输出为低电平（0）。这也被称为“半加器”的求和逻辑。 - -**逻辑表达式:** -$$ -Y = A \oplus B -$$ - -**真值表:** - -| 输入 A | 输入 B | 输出 Y | -|:---:|:---:|:---:| -| 0 | 0 | 0 | -| 0 | 1 | 1 | -| 1 | 0 | 1 | -| 1 | 1 | 0 | - ---- -## 三、编码 - -### 1. 原码、反码和补码 -为了在二进制系统中表示正负数，我们通常会使用最高位作为**符号位**。 -* 符号位为 **0** 代表**正数**。 -* 符号位为 **1** 代表**负数**。 - - - -#### **原码** - - -* **规则**: 符号位 + 数值的绝对值的二进制表示。 -* **正数**: 符号位为0，其余位表示数值。 - * 例如，$+12$ 的原码是 **00001100**。 -* **负数**: 符号位为1，其余位表示数值。 - * 例如，$-12$ 的原码是 **10001100**。 -* **缺点**: - 1. 零的表示不唯一：$+0$ 是 **00000000**，$-0$ 是 **10000000**。 - 2. 进行加减法运算时，需要单独处理符号位，硬件实现复杂。 - -#### **反码** - -反码的出现是为了简化减法运算。 - -* **规则**: - * **正数**的反码与其原码**相同**。 - * **负数**的反码是在其**原码**的基础上，**符号位不变**，其余各位**按位取反**。 -* **示例**: - * $+12$ 的原码是 `00001100`，其反码也是 **00001100**。 - * $-12$ 的原码是 `10001100`，其反码是 **11110011** (符号位1不变，后面7位 `0001100` 按位取反得到 `1110011`)。 -* **缺点**: - * 仍然存在“双零”问题：$+0$ 的反码是 **00000000**，$-0$ 的反码是 **11111111**。 - * 跨零运算会产生循环进位问题。 - -#### **补码** - -补码是现代计算机系统中最常用的有符号数表示法，它解决了原码和反码的缺点。 - -* **规则**: - * **正数**的补码与其原码**相同**。 - * **负数**的补码是其**反码加 1**。 -* **求负数补码的方式**: - * 从其原码的**最低位（最右边）**向左找，找到的**第一个 1** 保持不变，这个 1 **左边**的所有位（不含符号位）按位取反，符号位仍为1。 -* **示例**: - * $+12$ 的补码是 **00001100**。 - * $-12$ 的补码求法： - 1. 原码: `10001100` - 2. 反码: `11110011` - 3. 加 1: `11110011 + 1` = **11110100**。 -* **优点**: - 1. **零的表示唯一**: **00000000**。 - 2. **简化运算**: 可以将减法运算转换为加法运算。例如，计算 $A - B$ 等同于计算 $A + (-B)$ 的补码。 - 3. 对于一个 $n$ 位的补码系统，其表示范围为 $[-2^{n-1}, 2^{n-1}-1]$。例如，8位补码的范围是 $[-128, 127]$。 - -**总结表格 (以 ±12 为例)** - -| 值 | 原码 | 反码 | 补码 | -|:---:|:---:|:---:|:---:| -| +12 | 00001100 | 00001100 | 00001100 | -| -12 | 10001100 | 11110011 | 11110100 | - - - -### 2. BCD 码 - -BCD码是用**二进制**来表示**十进制**数的一种编码方式。它与直接将十进制数转换为二进制数不同。 - -* **规则**: 用 **4 位二进制数**来表示一位十进制数（0-9）。最常用的是 **8421 BCD 码**，其中各位的权值从高到低分别是 8、4、2、1。 -* **特点**: - * 它介于二进制和十进制之间，便于人机交互（如数码管显示、计算器）。 - * 运算比纯二进制复杂，但比直接处理十进制字符简单。 - * 由于用4位二进制表示一位十进制数，所以 `1010` 到 `1111` 这 6 个码是无效或非法的。 - -**BCD 码对照表** - -| 十进制 | BCD 码 | -|:---:|:---:| -| 0 | 0000 | -| 1 | 0001 | -| 2 | 0010 | -| 3 | 0011 | -| 4 | 0100 | -| 5 | 0101 | -| 6 | 0110 | -| 7 | 0111 | -| 8 | 1000 | -| 9 | 1001 | - -**示例**: -将十进制数 **129** 转换为 BCD 码。 - -1. 将每一位十进制数分开：`1`、`2`、`9`。 -2. 将每一位分别转换为对应的4位BCD码： - * $1 \rightarrow 0001$ - * $2 \rightarrow 0010$ - * $9 \rightarrow 1001$ -3. 将它们组合起来： - $$ - (129)_{10} = (0001 \ 0010 \ 1001)_{\text{BCD}} - $$ -**对比**: 如果将 (129)₁₀ 直接转换为纯二进制，结果是 **10000001**。这与它的 BCD 码是完全不同的。 ---- -## 四、加法器、编码器、译码器、选择器、比较器 ---- -## 五、触发器 - -### 1. RS 触发器 - -最基本的触发器，但存在一个不确定状态，在实际应用中较少直接使用。 - -* **输入**: $S$ (Set, 置位), $R$ (Reset, 复位) -* **输出**: $Q$ (状态输出), $\overline{Q}$ (反向输出) - -#### **功能表** -这张表描述了在不同输入下，下一个状态 $Q_{n+1}$ 是什么。 - -| $S$ | $R$ | $Q_{n+1}$ | 功能 | -|:---:|:---:|:---:|:---| -| 0 | 0 | $Q_n$ | 保持 | -| 0 | 1 | 0 | 复位/置0 | -| 1 | 0 | 1 | 置位/置1| -| 1 | 1 | **?** | **禁止/不定** | - -#### **特性方程** -$$ -Q_{n+1} = S + \overline{R}Q_n \quad (\text{约束条件: } S \cdot R = 0) -$$ - -#### **激励表** -这张表在电路设计时非常有用，它回答了“为了让状态从 $Q_n$ 变为 $Q_{n+1}$，输入 $S$ 和 $R$ 应该是什么？”。（X表示Don't Care，即0或1均可） - -| $Q_n$ | $Q_{n+1}$ | $S$ | $R$ | -|:---:|:---:|:---:|:---:| -| 0 | 0 | 0 | X | -| 0 | 1 | 1 | 0 | -| 1 | 0 | 0 | 1 | -| 1 | 1 | X | 0 | - - -### 2. JK 触发器 - -JK 触发器是 RS 触发器的改进版，它解决了 RS 触发器的“禁止”状态问题，是最通用的触发器。 - -* **输入**: $J$ (功能类似 $S$), $K$ (功能类似 $R$) -* **输出**: $Q$, $\overline{Q}$ - -#### **功能表** - -| $J$ | $K$ | $Q_{n+1}$ | 功能 | -|:---:|:---:|:---:|:---| -| 0 | 0 | $Q_n$ | 保持 | -| 0 | 1 | 0 | 复0 | -| 1 | 0 | 1 | 置1 | -| 1 | 1 | $\overline{Q_n}$ | **翻转 ** | - -*JK触发器将RS触发器的禁止状态（1,1输入）变成了一个非常有用的**翻转**功能。* - -#### **特性方程** -$$ -Q_{n+1} = J\overline{Q_n} + \overline{K}Q_n -$$ - -#### **激励表** - -| $Q_n$ | $Q_{n+1}$ | $J$ | $K$ | -|:---:|:---:|:---:|:---:| -| 0 | 0 | 0 | X | -| 0 | 1 | 1 | X | -| 1 | 0 | X | 1 | -| 1 | 1 | X | 0 | - - -### 3. D 触发器 -D 触发器的功能非常直接：在时钟脉冲到来时，将输入 $D$ 的值传递给输出 $Q$。它常被用作数据锁存器或移位寄存器的基本单元。 - -* **输入**: $D$ (Data) -* **输出**: $Q$, $\overline{Q}$ - -#### **功能表** - -| $D$ | $Q_{n+1}$ | 功能 | -|:---:|:---:|:---| -| 0 | 0 | 置0 | -| 1 | 1 | 置1 | - -*无论当前状态 $Q_n$ 是什么，下一个状态 $Q_{n+1}$ 都等于时钟边沿到来时的 $D$ 输入值。* - -#### **特性方程 ** -$$ -Q_{n+1} = D -$$ - -#### **激励表 ** - -| $Q_n$ | $Q_{n+1}$ | $D$ | -|:---:|:---:|:---:| -| 0 | 0 | 0 | -| 0 | 1 | 1 | -| 1 | 0 | 0 | -| 1 | 1 | 1 | - - - -### 4. T 触发器 - -T 触发器是一个翻转触发器。当输入 $T=1$ 时，状态翻转；当 $T=0$ 时，状态保持不变。它常用于构建计数器。 - -* **输入**: $T$ -* **输出**: $Q$, $\overline{Q}$ - -#### **功能表** - -| $T$ | $Q_{n+1}$ | 功能 | -|:---:|:---:|:---| -| 0 | $Q_n$ | 保持 | -| 1 | $\overline{Q_n}$ | 翻转 | - -#### **特性方程** -$$ -Q_{n+1} = T \oplus Q_n = T\overline{Q_n} + \overline{T}Q_n -$$ - -#### **激励表** - -| $Q_n$ | $Q_{n+1}$ | $T$ | -|:---:|:---:|:---:| -| 0 | 0 | 0 | -| 0 | 1 | 1 | -| 1 | 0 | 1 | -| 1 | 1 | 0 | +--- +title: 数字电路笔记 +date: 2025-01-20 15:00:00 +descriptionHTML: '纯情男大自用数字电路基础笔记' +tags: + - 笔记 + - 数字电路 +sidebar: true +readingTime: true +hidden: false +recommend: true +--- + + +# 数字电路笔记 + + +## 资料下载 + + +#### Markdown源码版本 +- **文件名**：数字电路基础.md +- **下载链接**：[点击下载源码版本](https://github.com/handsomezhuzhu/other_note/raw/main/数字电路/数字电路基础.md) + +#### PDF版本 +- **文件名**：数字电路基础.pdf +- **下载链接**：[点击下载PDF版本](https://github.com/handsomezhuzhu/other_note/raw/main/数字电路/数字电路基础.pdf) + + + +## 完整笔记 + + +## 一、逻辑代数定律和计算规则 + +| 定律/规则名称 | 表达式 | 解释 | +| --------- | ----------------------------------------------------------------------------------- | ------------------- | +| 恒等律 | $A + 0 = A$
$A \cdot 1 = A$ | 任何变量与0相加或与1相乘等于自身 | +| 零律 | $A + 1 = 1$
$A \cdot 0 = 0$ | 任何变量与1相加或与0相乘等于1或0 | +| 幂等律 | $A + A = A$
$A \cdot A = A$ | 任何变量与自身相加或相乘等于自身 | +| 互补律 | $A + \overline{A} = 1$
$A \cdot \overline{A} = 0$ | 任何变量与其补码相加等于1，相乘等于0 | +| **交换律** | | | +| 加法交换律 | $A + B = B + A$ | 加法运算的交换律 | +| 乘法交换律 | $A \cdot B = B \cdot A$ | 乘法运算的交换律 | +| **结合律** | | | +| 加法结合律 | $(A + B) + C = A + (B + C)$ | 加法运算的结合律 | +| 乘法结合律 | $(A \cdot B) \cdot C = A \cdot (B \cdot C)$ | 乘法运算的结合律 | +| **分配律** | | | +| 乘法分配律 | $A \cdot (B + C) = A \cdot B + A \cdot C$ | 乘法对加法的分配律 | +| 加法分配律 | $A + (B \cdot C) = (A + B) \cdot (A + C)$ | 加法对乘法的分配律 | +| **吸收律** | | | +| 吸收律1 | $A + A \cdot B = A$ | 吸收律的第一种形式 | +| 吸收律2 | $A \cdot (A + B) = A$ | 吸收律的第二种形式 | +| **德摩根定律** | | | +| 德摩根定律1 | $\overline{A + B} = \overline{A} \cdot \overline{B}$ | 逻辑加法的德摩根定律 | +| 德摩根定律2 | $\overline{A \cdot B} = \overline{A} + \overline{B}$ | 逻辑乘法的德摩根定律 | +| **简化定律** | | | +| 简化定律1 | $A + \overline{A} \cdot B = A + B$ | 简化逻辑表达式 | +| 简化定律2 | $A \cdot (\overline{A} + B) = A \cdot B$ | 简化逻辑表达式 | +| **共识定律** | | | +| 共识定律 (积之和形式) | $AB + \overline{A}C + BC = AB + \overline{A}C$ | 较难，常用于逻辑化简。项 `BC` 是 `AB` 和 `A`C 的共识项，是冗余的。 | +| 共识定律 (和之积形式) | $(A+B)(\overline{A}+C)(B+C) = (A+B)(\overline{A}+C)$ | 较难，常用于逻辑化简。项 `(B+C)` 是 `(A+B)` 和 `(A`+C) 的共识项，是冗余的。| +| **反演定律** | | | +| 反演定律 | $A = \overline{\overline{A}}$ | 变量的双重否定等于自身 | + +### 推导过程 + +1. **基本定律** + - **恒等律**：$A + 0 = A$ 和 $A \cdot 1 = A$ 是逻辑代数的基本定义。 + - **零律**：$A + 1 = 1$ 和 $A \cdot 0 = 0$ 也是逻辑代数的基本定义。 + - **幂等律**：$A + A = A$ 和 $A \cdot A = A$ 是因为逻辑加法和乘法运算的特性。 + - **互补律**：$A + \overline{A} = 1$ 和 $A \cdot \overline{A} = 0$ 是逻辑变量和其补码的定义。 + +2. **交换律** + - **加法交换律**：$A + B = B + A$ 是逻辑加法的交换特性。 + - **乘法交换律**：$A \cdot B = B \cdot A$ 是逻辑乘法的交换特性。 + +3. **结合律** + - **加法结合律**：$(A + B) + C = A + (B + C)$ 是逻辑加法的结合特性。 + - **乘法结合律**：$(A \cdot B) \cdot C = A \cdot (B \cdot C)$ 是逻辑乘法的结合特性。 + +4. **分配律** + - **乘法分配律**：$A \cdot (B + C) = A \cdot B + A \cdot C$ 是逻辑乘法对加法的分配特性。 + - **加法分配律**：$A + (B \cdot C) = (A + B) \cdot (A + C)$ 是逻辑加法对乘法的分配特性。 + +5. **吸收律** + - **吸收律1**：$A + A \cdot B = A$ 可以从 $A + A \cdot B = A \cdot (1 + B) = A \cdot 1 = A$ 推导得出。 + - **吸收律2**：$A \cdot (A + B) = A$ 可以从 $A \cdot (A + B) = A \cdot A + A \cdot B = A + A \cdot B = A$ 推导得出。 + +6. **德摩根定律** + - **德摩根定律1**：$\overline{A + B} = \overline{A} \cdot \overline{B}$ 是逻辑加法的德摩根定律。 + - **德摩根定律2**：$\overline{A \cdot B} = \overline{A} + \overline{B}$ 是逻辑乘法的德摩根定律。 + +7. **简化定律** + - **简化定律1**：$A + \overline{A} \cdot B = A + B$ 可以从 $A + \overline{A} \cdot B = (A + \overline{A}) \cdot (A + B) = 1 \cdot (A + B) = A + B$ 推导得出。 + - **简化定律2**：$A \cdot (\overline{A} + B) = A \cdot B$ 可以从 $A \cdot (\overline{A} + B) = A \cdot \overline{A} + A \cdot B = 0 + A \cdot B = A \cdot B$ 推导得出。 + +8. **共识定律** + - **共识定律**：$(A + B) \cdot (\overline{A} + C) = (A + B) \cdot (\overline{A} + C) \cdot (B + C)$ 可以从 $(A + B) \cdot (\overline{A} + C) = (A + B) \cdot (\overline{A} + C) \cdot (B + C)$ 推导得出，因为 $(A + B) \cdot (\overline{A} + C) \leq (B + C)$。 + +9. **反演定律** + - **反演定律**：$A = \overline{\overline{A}}$ 是逻辑变量的双重否定特性。 + +--- +## 二、基本门电路 + +### 1. 非门 + +$$ +Y = \overline{A} +$$ + + + +### 2. 与门 + +$$ +Y = A \cdot B +$$ + +**真值表:** + +| 输入 A | 输入 B | 输出 Y | +| --- | --- | --- | +| 0 | 0 | 0 | +| 0 | 1 | 0 | +| 1 | 0 | 0 | +| 1 | 1 | 1 | + + + +### 3. 或门 + +$$ +Y = A + B +$$ + +**真值表:** + +| 输入 A | 输入 B | 输出 Y | +| --- | --- | --- | +| 0 | 0 | 0 | +| 0 | 1 | 1 | +| 1 | 0 | 1 | +| 1 | 1 | 1 | + + + +### 4. 与非门 +与非门是“与门”和“非门”的结合。 +$$ +Y = \overline{A \cdot B} +$$ + +**真值表:** + +| 输入 A | 输入 B | 输出 Y | +|:---:|:---:|:---:| +| 0 | 0 | 1 | +| 0 | 1 | 1 | +| 1 | 0 | 1 | +| 1 | 1 | 0 | + + + +### 5. 或非门 +或非门是“或门”和“非门”的结合。 +$$ +Y = \overline{A + B} +$$ + +**真值表:** + +| 输入 A | 输入 B | 输出 Y | +|:---:|:---:|:---:| +| 0 | 0 | 1 | +| 0 | 1 | 0 | +| 1 | 0 | 0 | +| 1 | 1 | 0 | + + + +### 6. 异或门 +当两个输入不相同时，输出为高电平（1）；当两个输入相同时，输出为低电平（0）。这也被称为“半加器”的求和逻辑。 + +**逻辑表达式:** +$$ +Y = A \oplus B +$$ + +**真值表:** + +| 输入 A | 输入 B | 输出 Y | +|:---:|:---:|:---:| +| 0 | 0 | 0 | +| 0 | 1 | 1 | +| 1 | 0 | 1 | +| 1 | 1 | 0 | + +--- +## 三、编码 + +### 1. 原码、反码和补码 +为了在二进制系统中表示正负数，我们通常会使用最高位作为**符号位**。 +* 符号位为 **0** 代表**正数**。 +* 符号位为 **1** 代表**负数**。 + + + +#### **原码** + + +* **规则**: 符号位 + 数值的绝对值的二进制表示。 +* **正数**: 符号位为0，其余位表示数值。 + * 例如，$+12$ 的原码是 **00001100**。 +* **负数**: 符号位为1，其余位表示数值。 + * 例如，$-12$ 的原码是 **10001100**。 +* **缺点**: + 1. 零的表示不唯一：$+0$ 是 **00000000**，$-0$ 是 **10000000**。 + 2. 进行加减法运算时，需要单独处理符号位，硬件实现复杂。 + +#### **反码** + +反码的出现是为了简化减法运算。 + +* **规则**: + * **正数**的反码与其原码**相同**。 + * **负数**的反码是在其**原码**的基础上，**符号位不变**，其余各位**按位取反**。 +* **示例**: + * $+12$ 的原码是 `00001100`，其反码也是 **00001100**。 + * $-12$ 的原码是 `10001100`，其反码是 **11110011** (符号位1不变，后面7位 `0001100` 按位取反得到 `1110011`)。 +* **缺点**: + * 仍然存在“双零”问题：$+0$ 的反码是 **00000000**，$-0$ 的反码是 **11111111**。 + * 跨零运算会产生循环进位问题。 + +#### **补码** + +补码是现代计算机系统中最常用的有符号数表示法，它解决了原码和反码的缺点。 + +* **规则**: + * **正数**的补码与其原码**相同**。 + * **负数**的补码是其**反码加 1**。 +* **求负数补码的方式**: + * 从其原码的**最低位（最右边）**向左找，找到的**第一个 1** 保持不变，这个 1 **左边**的所有位（不含符号位）按位取反，符号位仍为1。 +* **示例**: + * $+12$ 的补码是 **00001100**。 + * $-12$ 的补码求法： + 1. 原码: `10001100` + 2. 反码: `11110011` + 3. 加 1: `11110011 + 1` = **11110100**。 +* **优点**: + 1. **零的表示唯一**: **00000000**。 + 2. **简化运算**: 可以将减法运算转换为加法运算。例如，计算 $A - B$ 等同于计算 $A + (-B)$ 的补码。 + 3. 对于一个 $n$ 位的补码系统，其表示范围为 $[-2^{n-1}, 2^{n-1}-1]$。例如，8位补码的范围是 $[-128, 127]$。 + +**总结表格 (以 ±12 为例)** + +| 值 | 原码 | 反码 | 补码 | +|:---:|:---:|:---:|:---:| +| +12 | 00001100 | 00001100 | 00001100 | +| -12 | 10001100 | 11110011 | 11110100 | + + + +### 2. BCD 码 + +BCD码是用**二进制**来表示**十进制**数的一种编码方式。它与直接将十进制数转换为二进制数不同。 + +* **规则**: 用 **4 位二进制数**来表示一位十进制数（0-9）。最常用的是 **8421 BCD 码**，其中各位的权值从高到低分别是 8、4、2、1。 +* **特点**: + * 它介于二进制和十进制之间，便于人机交互（如数码管显示、计算器）。 + * 运算比纯二进制复杂，但比直接处理十进制字符简单。 + * 由于用4位二进制表示一位十进制数，所以 `1010` 到 `1111` 这 6 个码是无效或非法的。 + +**BCD 码对照表** + +| 十进制 | BCD 码 | +|:---:|:---:| +| 0 | 0000 | +| 1 | 0001 | +| 2 | 0010 | +| 3 | 0011 | +| 4 | 0100 | +| 5 | 0101 | +| 6 | 0110 | +| 7 | 0111 | +| 8 | 1000 | +| 9 | 1001 | + +**示例**: +将十进制数 **129** 转换为 BCD 码。 + +1. 将每一位十进制数分开：`1`、`2`、`9`。 +2. 将每一位分别转换为对应的4位BCD码： + * $1 \rightarrow 0001$ + * $2 \rightarrow 0010$ + * $9 \rightarrow 1001$ +3. 将它们组合起来： + $$ + (129)_{10} = (0001 \ 0010 \ 1001)_{\text{BCD}} + $$ +**对比**: 如果将 (129)₁₀ 直接转换为纯二进制，结果是 **10000001**。这与它的 BCD 码是完全不同的。 +--- +## 四、加法器、编码器、译码器、选择器、比较器 +--- +## 五、触发器 + +### 1. RS 触发器 + +最基本的触发器，但存在一个不确定状态，在实际应用中较少直接使用。 + +* **输入**: $S$ (Set, 置位), $R$ (Reset, 复位) +* **输出**: $Q$ (状态输出), $\overline{Q}$ (反向输出) + +#### **功能表** +这张表描述了在不同输入下，下一个状态 $Q_{n+1}$ 是什么。 + +| $S$ | $R$ | $Q_{n+1}$ | 功能 | +|:---:|:---:|:---:|:---| +| 0 | 0 | $Q_n$ | 保持 | +| 0 | 1 | 0 | 复位/置0 | +| 1 | 0 | 1 | 置位/置1| +| 1 | 1 | **?** | **禁止/不定** | + +#### **特性方程** +$$ +Q_{n+1} = S + \overline{R}Q_n \quad (\text{约束条件: } S \cdot R = 0) +$$ + +#### **激励表** +这张表在电路设计时非常有用，它回答了“为了让状态从 $Q_n$ 变为 $Q_{n+1}$，输入 $S$ 和 $R$ 应该是什么？”。（X表示Don't Care，即0或1均可） + +| $Q_n$ | $Q_{n+1}$ | $S$ | $R$ | +|:---:|:---:|:---:|:---:| +| 0 | 0 | 0 | X | +| 0 | 1 | 1 | 0 | +| 1 | 0 | 0 | 1 | +| 1 | 1 | X | 0 | + + +### 2. JK 触发器 + +JK 触发器是 RS 触发器的改进版，它解决了 RS 触发器的“禁止”状态问题，是最通用的触发器。 + +* **输入**: $J$ (功能类似 $S$), $K$ (功能类似 $R$) +* **输出**: $Q$, $\overline{Q}$ + +#### **功能表** + +| $J$ | $K$ | $Q_{n+1}$ | 功能 | +|:---:|:---:|:---:|:---| +| 0 | 0 | $Q_n$ | 保持 | +| 0 | 1 | 0 | 复0 | +| 1 | 0 | 1 | 置1 | +| 1 | 1 | $\overline{Q_n}$ | **翻转 ** | + +*JK触发器将RS触发器的禁止状态（1,1输入）变成了一个非常有用的**翻转**功能。* + +#### **特性方程** +$$ +Q_{n+1} = J\overline{Q_n} + \overline{K}Q_n +$$ + +#### **激励表** + +| $Q_n$ | $Q_{n+1}$ | $J$ | $K$ | +|:---:|:---:|:---:|:---:| +| 0 | 0 | 0 | X | +| 0 | 1 | 1 | X | +| 1 | 0 | X | 1 | +| 1 | 1 | X | 0 | + + +### 3. D 触发器 +D 触发器的功能非常直接：在时钟脉冲到来时，将输入 $D$ 的值传递给输出 $Q$。它常被用作数据锁存器或移位寄存器的基本单元。 + +* **输入**: $D$ (Data) +* **输出**: $Q$, $\overline{Q}$ + +#### **功能表** + +| $D$ | $Q_{n+1}$ | 功能 | +|:---:|:---:|:---| +| 0 | 0 | 置0 | +| 1 | 1 | 置1 | + +*无论当前状态 $Q_n$ 是什么，下一个状态 $Q_{n+1}$ 都等于时钟边沿到来时的 $D$ 输入值。* + +#### **特性方程 ** +$$ +Q_{n+1} = D +$$ + +#### **激励表 ** + +| $Q_n$ | $Q_{n+1}$ | $D$ | +|:---:|:---:|:---:| +| 0 | 0 | 0 | +| 0 | 1 | 1 | +| 1 | 0 | 0 | +| 1 | 1 | 1 | + + + +### 4. T 触发器 + +T 触发器是一个翻转触发器。当输入 $T=1$ 时，状态翻转；当 $T=0$ 时，状态保持不变。它常用于构建计数器。 + +* **输入**: $T$ +* **输出**: $Q$, $\overline{Q}$ + +#### **功能表** + +| $T$ | $Q_{n+1}$ | 功能 | +|:---:|:---:|:---| +| 0 | $Q_n$ | 保持 | +| 1 | $\overline{Q_n}$ | 翻转 | + +#### **特性方程** +$$ +Q_{n+1} = T \oplus Q_n = T\overline{Q_n} + \overline{T}Q_n +$$ + +#### **激励表** + +| $Q_n$ | $Q_{n+1}$ | $T$ | +|:---:|:---:|:---:| +| 0 | 0 | 0 | +| 0 | 1 | 1 | +| 1 | 0 | 1 | +| 1 | 1 | 0 | diff --git a/docs/sop/notes/linear-algebra-notes.md b/docs/sop/notes/linear-algebra-notes.md index 38fa0cd..a84b938 100644 --- a/docs/sop/notes/linear-algebra-notes.md +++ b/docs/sop/notes/linear-algebra-notes.md @@ -1,655 +1,655 @@ ---- -title: 高等代数笔记 -date: 2025-01-20 14:30:00 -descriptionHTML: '纯情男大自用线性代数笔记' -tags: - - 数学 - - 笔记 -sidebar: true -readingTime: true -hidden: false -recommend: true ---- - -# 高等代数笔记 - - -## 下载 - - -#### 第一章：线性方程组 -- **Markdown源码**：[高等代数第一章.md](https://github.com/handsomezhuzhu//Linear-Algebra-note/raw/main/高等代数笔记/高等代数第一章.md) -- **PDF版本**：[高等代数第一章.pdf](https://github.com/handsomezhuzhu//Linear-Algebra-note/raw/main/高等代数笔记/高等代数第一章.pdf) - -#### 第二章：矩阵 -- **Markdown源码**：[高等代数第二章.md](https://github.com/handsomezhuzhu//Linear-Algebra-note/raw/main/高等代数笔记/高等代数第二章.md) -- **PDF版本**：[高等代数第二章.pdf](https://github.com/handsomezhuzhu//Linear-Algebra-note/raw/main/高等代数笔记/高等代数第二章.pdf) - -#### 第三章：向量空间 -- **Markdown源码**：[高等代数第三章.md](https://github.com/handsomezhuzhu//Linear-Algebra-note/raw/main/高等代数笔记/高等代数第三章.md) -- **PDF版本**：[高等代数第三章.pdf](https://github.com/handsomezhuzhu//Linear-Algebra-note/raw/main/高等代数笔记/高等代数第三章.pdf) - -#### 第四章：线性变换 -- **Markdown源码**：[高等代数第四章.md](https://github.com/handsomezhuzhu//Linear-Algebra-note/raw/main/高等代数笔记/高等代数第四章.md) -- **PDF版本**：[高等代数第四章.pdf](https://github.com/handsomezhuzhu//Linear-Algebra-note/raw/main/高等代数笔记/高等代数第四章.pdf) - -#### 第五章：多项式 -- **Markdown源码**：[高等代数第五章.md](https://github.com/handsomezhuzhu//Linear-Algebra-note/raw/main/高等代数笔记/高等代数第五章.md) -- **PDF版本**：[高等代数第五章.pdf](https://github.com/handsomezhuzhu//Linear-Algebra-note/raw/main/高等代数笔记/高等代数第五章.pdf) - -#### 第六章：矩阵的标准形 -- **Markdown源码**：[高等代数第六章.md](https://github.com/handsomezhuzhu//Linear-Algebra-note/raw/main/高等代数笔记/高等代数第六章.md) -- **PDF版本**：[高等代数第六章.pdf](https://github.com/handsomezhuzhu//Linear-Algebra-note/raw/main/高等代数笔记/高等代数第六章.pdf) - -#### 第七章：二次型 -- **Markdown源码**：[高等代数第七章.md](https://github.com/handsomezhuzhu//Linear-Algebra-note/raw/main/高等代数笔记/高等代数第七章.md) -- **PDF版本**：[高等代数第七章.pdf](https://github.com/handsomezhuzhu//Linear-Algebra-note/raw/main/高等代数笔记/高等代数第七章.pdf) - - - -## 第一章 - -### 1.1 线性方程组 -#### (1) 矩阵与增广矩阵 - $$ - 2x_1 - x_2 + 1.5x_3 = 8 - $$ - $$ - x_1 - 4x_3 = -7 - $$ - -* 矩阵 (Matrix) - -$$ -\begin{bmatrix} -2 & -1 & 1.5\\ -1 & 0 & -4 -\end{bmatrix} -$$ - -* 增广矩阵 (Augmented Matrix) - -$$ -\begin{bmatrix} -2 & -1 & 1.5 & 8\\ -1 & 0 & -4 & -7 -\end{bmatrix} -$$ - -* 线性方程组解的三种情况： -1. 无解 (不相容) (incompatibility) -2. 有唯一解 (相容) (compatibility) -3. 有无穷多解 (相容) (compatibility) - - -#### (2) 矩阵变换 - -* 倍加 -* 对换 -* 倍乘 - - -### 1.2 行化简与阶梯形矩阵 - ->**先导元素 (Leading element)** -**定义** -一个矩阵称为阶梯形(或行阶梯形),若它有以下三个性质: -l.每一非零行都在每一零行之上. -2.某一行的先导元素所在的列位于前一行先导元素的右边 -3.某一先导元素所在列下方元素都是零. -若一个阶梯形矩阵还满足以下性质,贝则称它为简化阶梯形(或简化行阶梯形) . -4.每一非零行的先导元素是 1. -5.每一先导元素 1 是该元素所在列的唯一非零元素 - - - ->**定理1** (简化阶梯形矩阵的唯一性) -每个矩阵行等价于唯一的简化阶梯形矩阵. - - ->**主元位置 (Pivot position)** -**定义** -矩阵中的主元位置是A中对应于它的阶梯形中先导元素 1 的位直.主元列是$A$的含有主元往直的列 - ->**定理2** (存在与唯一性定理) -线性方程组相容的充要条件是增广矩阵的最右列不是主元列.也就是说增广矩阵的阶梯形没有形如 -$[0 \ \ \cdots \ \ 0 \ \ b] \ \ ,\ \ b\neq0$ - ->的行若线性方程组相容,则它的解集可能有两种情形: -( i )当没有自由变量时,有唯一解; -( ii )若至少有一个自由变量,则有无穷多解. - -### 1.3 向量方程 - -$$u= -\begin{bmatrix} -\ 2 \ \\ -\ 1 \ -\end{bmatrix} -$$ - ->满足加法乘法的性质 - -* 线性组合 - $y=x_1c_1+\cdots+x_ic_i$ 中 $c_i$ 为权 - -* 向量张成 (生成) - - $span\{x_1,x_2,\cdots,x_i\}$ - 即判断 - $y=x_1c_1+\cdots+x_ic_i$ - 是否有解；或 - $\begin{bmatrix} - \ x_1\ x_2\ \cdots \ x_3 \ y\\ - \end{bmatrix}$ - 是否有解 - -### 1.4 矩阵方程 Ax=b - ->**定义** -若$A$是$m \times n$矩阵,它的各列为 $a$ -若 $x$ 是$R$n中的向量,则 $A$ 与 $x$ 的积(记为$Ax$) 就是 $A$ 的各列以 $x$ 中对应元素为权的线性组合 - ->**定理3** -$Ax=b$ -等价于 -$\begin{bmatrix} - \ a_1\ a_2\ \cdots \ a_3 \ \ b\\ - \end{bmatrix}$ - - -* 解的存在性 - ->**方程Ax = b 有解当且仅当 b 是 A 的各列的线性组合.** - - - ->**定理4** -设 $A$ 是 $m \times n$ 矩阵,则下列命题是逻辑上等价的. -也就是说,对某个 $Ax = b$ 它们都成立或者都不成立. -a. 对$R$m中每个 $b$ ,方程 $Ax=b$ 有解. -b. $R$m中的每个 $b$ 都是 $A$ 的列的一个线性组合. -c. $A$ 的各列生成$R$m. -d. $A$ 在每一行都有一个主元位置. - ->**计算** -计算 $Ax$ 的行-向量规则 -若乘积 $Ax$ 有定义,则 $Ax$ 中的第 $i$ 个元素是 $A$ 的第 $i$ 行元素与 $x$ 的相应元素乘积之和. - ->**定理5** -若 $A$ 是 $m\times n$ 矩阵,$u$ 和 $v$ 是$R$n中向量, $c$ 是标量,如: -a. $A(u+v) = Au+Av.$ -b. $A(cu) = c(Au).$ - -### 1.5 线性方程组的解集 -* 齐次线性方程组 - ->齐次方程 $Ax=0$ 有非平凡解当且仅当方程至少有一个自由变量. - ->**定理6** -设方程 $Ax=b$ 对某个 $b$ 是相容的, $p$ 为一个特解,则 $Ax=b$ 的解集是所有形如 -$w = p+v_h$ ->的向量的集, 其中 $v$h 是齐次方程 $Ax=0$ 的任意一个解. - -### 1.7 线性无关 - ->**定义** -向量方程 $0=x_1c_1+\cdots+x_ic_i$ 仅有平凡解(trivial solution) 向量组 (集) 称为线性无关的 (linearly independent) -若存在不全为零的权 -$c_i$ -使 -$x_1c_1+\cdots+x_ic_i+0$ -则向量组 (集) 称为线性相关的 (linearly dependent) - ->**矩阵 $A$ 的各列线性无关,当且仅当方程 $Ax=0$ 仅有平凡** - ->**定理7** (线性相关集的特征) -两个或更多个向量的集合 -$S=\{v_1,v_2,\cdots,v_p\}$ ->线性相关,当且仅当 $S$ 中至少有一个向量是其他向量的线性组合. - ->**定理8** -若一个向量组的向量个数超过每个向量的元素个数,那么这个向量组线性相关.就 -是说, $R$n 中任意向量组 -$\{v_1,v_2,\cdots,v_p\}$ ->当 $p>n$ 时线性相关. - ->**定理9** -若 $R$n 中向量组 -$S=\{v_1,v_2,\cdots,v_p\}$ ->包含零向量,则它线性相关 - -### 1.8 线性变换介绍 -* 变换(transformation)(或称函数、映射(map)) $T$ 是一个规则 -* $T$ : $R$n → $R$m - $R$n称为 $T$ 的定义域 (domain) - $R$m称为 $T$ 的余定义域 (codomain) (或取值空间) - -* 线性变换 -$$T(0) = 0$$ -$$T(cu+ dv) = cT(u) + dT(v)$$ - -### 1.9 线性变换的矩阵 - ->**定理10** -设 $T$ : $R$n → $R$m 为线性变换,则存在唯一的矩阵 $A$ ,使得对 $R$n中一切 $x$ 满足 $T(x)=Ax$ - -* 满射 - >映射 $T$ : $R$n → $R$m 称为到 $R$m 上的映射,若 $R$m 中每个 $b$ 是 $R$n 中至少一个 $x$ 的像. - - >“满射” 的英文是 “surjective” 或 “surjection” 或 “onto mapping” 或 “onto function” - - -* 单射 - >映射 $T$ : $R$n → $R$m 称为一对一映射(或1:1),若 $R$m 中每个 $b$ 是 $R$m 中至多一个 $x$ 的像. - - >“单射” 的英文是 “injective” 或 “injection” 或 “one-to-one mapping” 或 “one-to-one function” - - ->**定理11** -设 $T$ : $R$n → $R$m 为线性变换,则 $T$ 是一对一的当且仅当方程 $Ax=0$ 仅有平凡解. - ->**定理12** -设 $T$ : $R$n → $R$m 为线性变换,设 $A$ 为 $T$ 的标准矩阵，则： -a. $T$ 把 $R$n 映上到 $R$m ，当且仅当 $A$ 的列生成 $R$m. -b. $T$ 是一对一的，当且仅当 $A$ 的列线性无关. - -## 第二章 - -### 2.1 矩阵运算 -加减乘 -### 2.2 矩阵的逆 ->不可逆矩阵有时称为**奇异矩阵**，而可逆矩阵也称为**非奇异矩阵**. -$$A^{-1}A=I$$ -$$A^{-1}=\frac{1}{det A} \times A_{adj}$$ -$A_{adj}$是伴随矩阵（adjugate matrix） -$$(A^{-1})^{-1}=A$$ -$$(AB)^{-1}=A^{-1}B^{-1}$$ - ->若干个$n \times n$ 可逆矩阵的积也是可逆的，其逆等于这些矩阵的逆按相反顺序的乘积 ->~~看不懂，不爱用这种方法~~ - -求法（我常用）： -$$[\ A\ \ \ I\ ]=[\ I\ \ \ A^{-1}\ ] $$ - -### 2.3 矩阵的特征 - -* 挺多的 - - -### 2.4 分块矩阵 -* 没什么特别的 - -### 2.5 LU分解 ->L 是 $m \times m$ 下三角矩阵， 主对角线元素全是1， ->$A=LU$ ->AI写的： - -* Doolittle分解（LU分解的一种常见形式） -* 原理 对于一个$n \times n$矩阵 $A$，将其分解为一个下三角矩阵$L$,主对角线元素为1和一个上三角矩阵$U$的乘积，即$A = LU$。 -> 计算步骤 -> 1. **设定矩阵形式** 设 -$$A=\left[\begin{array}{cccc}a_{11}&a_{12}&\cdots&a_{1n}\\a_{21}&a_{22}&\cdots&a_{2n}\\\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\a_{n1}&a_{n2}&\cdots&a_{nn}\end{array}\right]$$ -$$L=\left[\begin{array}{cccc}1&0&\cdots&0\\l_{21}&1&\cdots&0\\\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\l_{n1}&l_{n2}&\cdots&1\end{array}\right]$$ -$$U=\left[\begin{array}{cccc}u_{11}&u_{12}&\cdots&u_{1n}\\0&u_{22}&\cdots&u_{2n}\\\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\0&0&\cdots&u_{nn}\end{array}\right]$$ -> 2. **计算$U$的第一行和$L$的第一列** -$$u_{1j}=a_{1j}(j = 1,2,\cdots,n)$$ -$$l_{i1}=\frac{a_{i1}}{u_{11}}(i = 2,3,\cdots,n)$$ -> 3. **对于$k = 2,3,\cdots,n$，分别计算$U$的第$k$行和$L$的第$k$列计算$U$的第$k$行**： -$$u_{kj}=a_{kj}-\sum_{m = 1}^{k - 1}l_{km}u_{mj}(j = k,k + 1,\cdots,n)$$ ->**计算$L$的第$k$列**： -$$l_{ik}=\frac{1}{u_{kk}}(a_{ik}-\sum_{m = 1}^{k - 1}l_{im}u_{mk})(i = k + 1,k + 2,\cdots,n)$$ - ->*示例* ->对于矩阵 -$$A=\left[\begin{array}{ccc}2&1&1\\4&3&3\\8&7&9\end{array}\right]$$ ->1. **第一步计算** ->首先$u_{11}=2$， $u_{12}=1$，$u_{13}=1$，$l_{21}=\frac{4}{2}=2$，$l_{31}=\frac{8}{2}=4$ ->2. **第二步计算** 然后计算 -> $u_{22}=a_{22}-l_{21}u_{12}=3 - 2×1 = 1$， -> $u_{23}=a_{23}-l_{21}u_{13}=3 - 2×1 = 1$ ->4. **第三步计算** -$$l_{32}=\frac{1}{u_{22}}(a_{32}-l_{31}u_{12})=\frac{1}{1}(7 - 4×1)=3$$ ->5. **第四步计算** 最后 -$$u_{33}=a_{33}-l_{31}u_{13}-l_{32}u_{23}=9 - 4×1 - 3×1 = 2$$ ->6. **得出结果** 得到 -$$L=\left[\begin{array}{ccc}1&0&0\\2&1&0\\4&3&1\end{array}\right]$$ -$$U=\left[\begin{array}{ccc}2&1&1\\0&1&1\\0&0&2\end{array}\right]$$ - -## 第三章 - -### 3.1 行列式介绍 -* 人话版本： ->我的方法： ->1、选择一行零最多的， ->2、他的位置是第（$i$，$j$）,那就删去第$i$行，第$j$列，剩下的就是（余因子） ->3、这一行每个数都这样算$a_{ij} \times |C_{ij}| \times (-1)^{i+j}$，最后求和 - ->**定理 2** ->若 $A$ 为三角阵，则 det$A$ 等于 $A$ 的主对角线上元素的乘积 - -### 3.2 行列式的性质 ->**定理3 (行变换)** ->令 $A$ 是一个方阵. ->a. 若 $A$ 的某一行的倍数加到另一行得矩阵B ， 则det $B$ = det $A$ . ->b 若 $A$ 的两行互换得矩阵 $B$ ， 则 det $B$ = - det $A$. ->c. 若 $A$ 的某行来以 $k$ 倍得到矩阵 $B$ ， 则det $B$ = $k$ det $A$ . ->** 补充 ->$$\vert A^T\vert=\vert A\vert$$ ->$$\vert A^{-1}\vert=\frac{1}{\vert A\vert}$$ -> ->$$|A^{*}|=|A|^{n - 1}$$ ->$$\vert kA\vert=k^{n}\vert A\vert$$ - ->**定理4** -> 方阵 $A$ 是可逆的当且仅当 det $A \neq 0$ - ->**定理5** -> 若 $A$ 为一个 $n \times n$ 矩阵，则det $A^T$ = det $A$. - ->**定理6 (乘法的性质)** -若 $A$ 和 $B$ 均为 $n \times n$ 矩阵，则 det $AB$ = (det $A$)( det $B$) . - -* 行列式与秩的关系 ->$\text{det}(A)\neq0$那么矩阵$A$是满秩的，秩$\text{rank}(A) = n$。这是因为行列式不为零意味着矩阵的列（行）向量组是线性无关的 ->也就是齐次线性方程组$Ax=0$的充要条件是系数矩阵秩$\text{rank}(A) = n$ - -* **$r(A) = n$** $\Leftrightarrow$ **$|A| \neq 0$** $\Leftrightarrow$ **齐次线性方程组 $Ax = 0$ 只有零解 $\Leftrightarrow$ 可逆** - -### 3.3 克拉默法则 ->**定理7 (克拉默法则)** -设 $A$ 是一个可逆的 $n \times n$ 矩阵，对 $R$m 中任意向量 $b$ ， 方程 $Ax =b$ 的唯一解可由下式给出: -$$\displaystyle x_i=\frac{det \ \ A_i(b)}{det \ \ A},i=1,2,\cdots,,n$$ - -~~不太能解释~~ -## 第四章 - - -### 4.1 向量空间(vector space)与子空间(subspace) ->向量空间和向量计算法则一样 - -* 子空间 - >定义向量空间 $V$ 的一个子空间是 $V$ 的一个满足以下三个性质的子集 $H$: - a. $V$ 中的零向量在 $H$ 中 - b. $H$ 对向量加法封闭，即对 $H$ 中任意向量 $U$，$V$ ， 和 $u + v$ 仍在 $H$ 中. - c. $H$ 对标量乘法封闭， 即对 $H$ 中任意向量 $u$ 和任意标量 $C$ ，向量 $cu$ 仍在 $H$ 中. - - ->**定理1** 若 $v_1,v_2,\cdots,v_p$ 在向量空间 $V$ 中，则$span\{x_1,x_2,\cdots,x_i\}$是 $V$ 的一个子空间. - -### 4.2 零空间、列空间和线性变换 -* 矩阵的零空间(null space) - - >**定义** - 矩阵 $A$ 的零空间写成 $NulA$ ， 是齐次方程 $Ax = 0$ 的全体解的集合. - ->**定理2** $m \times n$ 矩阵 $A$ 的零空间是$R$m的一个子空间.等价地, $m$ 个方程、$n$ 个未知数的齐次线性方程组 $Ax = 0$ 的全体解的集合是$R$m的一个子空间 - -* 矩阵的列空间(column space) - >**定义** - $m \times n$矩阵 $A$ 的列空间(记为 $ColA$ ) 是由 $A$ 的列的所有线性组合组成的集合.若 $A=\begin{bmatrix} - \ x_1\ x_2\ \cdots \ x_3 \ \\ - \end{bmatrix}$，则 $ColA = span\{x_1,x_2,\cdots,x_i\}$. - ->**定理3** $m \times n$ 矩阵 $A$ 的列空间是 $R$m 的一个子空间. - -* 线性变换的核与值域 - >线性变换 见1.8 - * 核(零空间 $Nul A$) - >线性变换 $T$ 的核(或零空间)是 $V$ 中所有满足 $T(u) = 0$ 的向量 $u$ 的集合 - -### 4.3 线性无关集(linearly independent set)和基(basis) -* 线性无关 见1.7 - ->**定理5 (生成集定理)** -令$S = \{v_1,v_2,\cdots,v_p\}$是$V$中的向量集，$H = span\{v_1,v_2,\cdots,v_p\}$. -a.若 $S$ 中某一个向量(比如说 $v_k$ ) 是 $S$ 中其余向量的线性组合，则 $S$ 中去掉$v_k$ 后形成的集合仍然可以生成 $H$. -b. 若$H \neq \{0\}$ ，则 $S$ 的某一子集是 $H$ 的一个基. - -* NulA 和ColA 的基 - >**定理6** - 矩阵 $A$ 的主元列构成 $ColA$ 的一个基. - - -### 4.5 向量空间的维数(dimension) ->**定理9** -若向量空间 $V$ 具有一组基(n个基向量)， 则 $V$ 中任意包含多于 $n$ 个向量的集合一 -定线性相关. - -~~这是期中考证明题，没做出来~~ - ->**定理10** 若向量空间 $V$ 有一组基含有 $n$ 个向量，则 $V$ 的每一组基一定恰好含有 $n$ 个向量. - -* $NulA$ 的维数是方程 $Ax=0$ 中自由变量的个数，$ColA$ 的维数是 $A$ 中主元列的个数. - -### 4.6 秩(rank) - -* $ColA^T = Row A$. ->**定理13** 若两个矩阵 $A$ 和 $B$ 行等价，则它们的行空间相同.若 $B$ 是阶梯形矩阵，则 $B$ 的非零行构成 $A$ 的行空间的一个基同时也是 $B$ 的行空间的一个基 - -~~?看不太懂~~ - -*以下比较重要* - ->**定义** -$A$ 的秩即 $A$ 的列空间的维数 - ->**定理14 (秩定理)** -$m \times n$ 矩阵 $A$ 的列空间和行空间的维数相等，这个公共的维数(即 $A$ 的秩)还等于 $A$ 的主元位置的个数且,满足方程 -$$rank\ A+dim\ \ Nul \ A = n$$ - ->**定理 (可逆矩阵定理(续))** -令 $A$ 是一个 $n \times n$ 矩阵，则下列命题中的每一个均等价于 $A$ 是可逆矩阵: -a. $A$ 的列构成$R$n的一个基. -b. $ColA=$$R$n. -c. $dim \ ColA = n$. -d. $rank A = n$. -e. $Nul A = \{0\}$. -f. $dim \ NulA=0$. - - -### 4.7 基的变换 -~~先欠着~~ - -## 第五章 - - -### 5.1 特征向量(eigenvector)与特征值(eigenvalue) - >定义 $A$ 为 $n \times n$ 矩阵，$x$ 为非零向量， 若存在数 $λ$ 使 $Ax=λx$ 有非平凡解 $x$， 则称 $λ$ 为 $A$的特征值,$x$ 称为对应于 $λ$ 的特征向量 -也可写作$(A-λI)x=0$ - ->**定理1** -三角矩阵的主对角线的元素是其特征值. - ->**定理2** -$λ_1,\cdots,λ_r$ 是 $n \times n$ 矩阵 $A$ 相异的特征值，$v_1,\cdots,v_r$是与$λ_1,\cdots,λ_r$对应的特征向量，那么向量集合{$v_1,\cdots,v_r$}线性无关. - - - -* 一、逆矩阵的特征值 -若矩阵$A$可逆，$\lambda$是$A$的特征值，则$A^{-1}$的特征值是$\displaystyle \frac{1}{\lambda}$，特征向量不变。 - -* 二、转置矩阵的特征值 -矩阵$A$与其转置矩阵$A^T$具有相同的特征值。 - -* 三、伴随矩阵的特征值 -若$A$可逆，$A$的特征值为$\lambda_i$（$i = 1,2,\cdots,n$，$\lambda_i\neq0$），则伴随矩阵$A^*$的特征值为$\displaystyle \frac{\vert A\vert}{\lambda_i}$，特征向量不变。 - -### 5.2 特征方程(eigen equation) ->**定理(可逆矩阵定理(续))** -设 $A$ 是 $n \times n$ 矩阵，则 $A$ 是可逆的当且仅当 -a.0不是 $A$ 的特征值. -b.$A$ 的行列式不等于零. - - - ->**定理3 (行列式的性质)** -设 $A$ 和 $B$ 是 $n \times n$ 矩阵. -a. $A$ 可逆的元要条件是 det$A \neq 0$. -b. det $AB =$ (det $A$) (det$B$). -c. det $A^T$ = det $A$. -d. 若 $A$ 是三角形矩阵，那么det $A$ 是 $A$ 主对角线元素的乘积. -e. 对 $A$ 作行替换不改变其行列式值.作一次行交换，行列式值符号改变一次数来一行后， -行列式值等于用此数来原来的行列式值. - ->**定理4** -若 $n \times n$ 矩阵 $A$ 和 $B$ 是相似的，那么它们有相同的特征多项式，从而有相同的特征值(和相同的重数). - -### 5.3 对角化(diagonalize) ->**定理5 (对角化定理)** -$n \times n$ 矩阵 $A$ 可对角化的充分必要条件是 $A$ 有 $n$ 个线性无关的特征向量. -事实上， $A=PDP^{-1}$ , $D$ 为对角矩阵的充分必要条件是 $P$ 的列向量是 $A$ 的 $n$ 个线性无关的特征向量.此时，$D$ 的主对角线上的元素分别是 $A$ 的对应于 $P$ 中特征向量的特征值. - ->**定理6** -有 $n$ 个相异特征值的$n \times n$ 矩阵可对角化. - ->**定理7** -~~似乎不重要，因为我也读不懂~~ - ->**定理8 (对角矩阵表示)** -设 $A=PDP^{-1}$ ， 其中 $D$ 为 $n \times n$ 对角矩阵，若 $R$n 的基$\beta$由 $P$ 的列向量组成，那么 $D$ 是变换 $x$ → $Ax$的$\beta$-矩阵. - -## 第六章 - -### 6.1 内积、长度和正交性 - -* 内积 - 内积的英文是 “inner product” 或 “dot product” -> **定理1** -> 设 $v$，$u$ 和 $w$ 是 $R$n 中的向量, $c$ 是一个数,那么 - - -$a. \ \ \ u \cdot v = v \cdot u$ - -$b.\ \ \ (u +v) \cdot w = u \cdot w +v \cdot w$ - -$c. \ \ \ (cu) \cdot v=c(u \cdot v)=u \cdot (cv)$ - -$d. \ \ \ u \cdot u \geq 0，并且u \cdot u=0 成立的充分必要条件是u=0$ - - -* 向量的长度 - - $$||v|| ^2 = v \cdot v$$ - -$$dist(u,v)=||u-v||$$ - -* 正交向量 - 正交向量的英文是 “orthogonal vectors” 或 “perpendicular vectors” - ->定义如果 $u \cdot v = 0$ ，如 $R$n 中的两个向量 $u$ 和 $v$ 是(相互) 正交的. - ->对于一个方阵$A$，Col$A$中的向量与Nul$A$中的向量正交。 - ->**定理2 (毕达哥拉斯(勾股)定理)** - -$$||u+v||^2=||u||^2+||v||^2$$ - -* 正交补 - 正交补的英文是 “orthogonal complement” - ->1.向量 $x$ 属于 $W$⊥ 的充分必要条件是向量 $x$ 与生成空间 $W$ 的任一向量都正交. ->2. $W$⊥ 止是 $R$n 的一个子空间. - ->**定理3** -$( Row A )$⊥ = $Nul A$ 且 $( ColA )$⊥ = $Nul A$T - -### 6.2 正交集 - * 正交集的英文是 “orthogonal set” 或 “orthonormal set” ->**定理4** -如果 $S=\{x_1,x_2,\cdots,x_i\}$ 是由 $R$n 中非零向量构成的正交集，那么 $S$ 是线性无关集，因此构成 $S$ 所生成的子空间的一组基. - ->**定理5** -假设$\{x_1,x_2,\cdots,x_i\}$是 $R$n 中于空间 $W$ 的正文基,对 $W$ 中的每个向量y,线性组合 $y=x_1c_1+\cdots+x_ic_i$ 中的权可以由 $c_j=(y \cdot u_j)/(u_j \cdot u_j)$计算 - -#### 正交投影 **先欠着** ~~懒得写~~ - - ->**定理6** -一个 $m \times n$ 矩阵 U 具有单位正交列向量的充分必要条件是 $U$T $U$ = $I$. - ->**定理7** -假设 $U$ 是一个具有单位正交列的 $m \times n$ 矩阵，且 $x$ 和 $y$ 是 $R$n 中的向量，那么 -a. $||Ux|| = ||x|| .$ -b. $(Ux) \cdot (Uy) =x \cdot y$ -c. $(Ux) \cdot (Uy) = 0$ 的充分必要条件是 $x \cdot y = 0$ - ->**定理9 (最佳逼近定理)** -假设 $W$ 是 $R$n 的一个子空间，$y$ 是 $R$n 中的任意向量， $\widehat{y}$ 是 $y$ 在 $W$ 上的正支投影，那么 $\widehat{y}$ 是 $W$ 中最接近 $y$ 的点，也就是 -$$||y-\widehat{y}||<||y-v||$$ ->对所有属于 $W$ 又异于 $\widehat{y}$ 的 $v$ 成立. - -### 6.4 格拉姆-施密特方法 - -#### 格拉姆 - 施密特方法 - -设$\left\{\boldsymbol{v}_{1},\boldsymbol{v}_{2},\cdots,\boldsymbol{v}_{n}\right\}$是内积空间$V$中的一组线性无关向量。 -首先$\boldsymbol{u}_{1}=\boldsymbol{v}_{1}$；对于$k = 2,3,\cdots,n$， -$$\boldsymbol{u}_{k}=\boldsymbol{v}_{k}-\sum_{j = 1}^{k - 1}\frac{\left\langle\boldsymbol{v}_{k},\boldsymbol{u}_{j}\right\rangle}{\left\langle\boldsymbol{u}_{j},\boldsymbol{u}_{j}\right\rangle}\boldsymbol{u}_{j}$$ -即从$\boldsymbol{v}_{k}$中减去它在已构造正交向量$\boldsymbol{u}_{1},\boldsymbol{u}_{2},\cdots,\boldsymbol{u}_{k - 1}$上的投影，得到新正交向量$\boldsymbol{u}_{k}$。 - - -### 6.5 最小二乘问题 -* 最小二乘的英文是 “least squares” 或 “least square method”； -最小二乘解的英文是 “least squares solution”。 - -* **定义** - $$||b-A\widehat{x}||\leq||b-Ax||$$ - ->**定理13** -方程 $Ax=b$ 的最小二乘解集和法方程 $A$T $Ax = A$T $b$ 的非空解集一致. - ->**定理14** -设 $A$ 是 $m \times n$ 矩阵. 下面的条件是逻辑等价的: -a.对于 $R$n 中的每个 $b$ ， 方程 $Ax =b$ 有唯一最小二乘解. -b.$A$ 的列是线性无关的. -c.矩阵 $A$T $A$是可逆的. -当这些条件成立时，最小二乘解￡有下面的表示: -$$\widehat{x}=( A^T A)^{-1}A^Tb$$ - - -### 6.7 内积空间 - ->**定义** -向量空间 $V$ 上的内积是一个函数，对每一对属于$V$的向量 $u$ 和 $v$，存在一个实数$\langle u,v \rangle$满足下面公理，其中 $u$，$v$，$w$ 属于$V$，$C$ 为所有数. -1.$\langle u,v\rangle= \langle v,u \rangle$ -2.$\langle u +v, w\rangle =\langle u, w\rangle +\langle v,w\rangle$ -3.$\langle$c$u,v\rangle=$c$\langle u, v\rangle$ -4.$\langle u,u\rangle \geq 0$且$\langle u,u\rangle =0$ 的充分必要条件是 $u=0$ -一个赋予上面内积的向量空间称为**内积空间** - -* 内积空间的英文是 “inner product space” 或 “pre-Hilbert space” - - ->**定理16 (柯西-施瓦茨不等式)** -对 $V$ 中任意向量 $u$ 和 $v$，有 -$$|\langle u,v \rangle| \leq ||u||\ \ ||v||$$ - - ->**定理17 (三角不等式)** -对属于$V$ 的所有向量$u$,$v$，有 -$$||u-v||\leq||u||+||v||$$ - - - - - - -## 第七章 - -### 7.1 对称矩阵的对角化 - -就是$A^T=A$ - ->**定理1** 如果 $A$ 是对称矩阵，那么不同特征空间的任意两个特征向量是正交的. - ->**定理2** 一个$n \times n$ 矩阵 $A$ 可正交对角化的充分必要条件是 $A$ 是对称矩阵. - -### 7.2 二次型 -* 二次型是一个定义在 $R$n 上的函数， 它在向量 $x$ 处的值可由表达式$Q(x) = x^T Ax$ 计算，其中 $A$ 是一个 $n \times n$ 对称矩阵.矩阵 $A$ 称为关于二次型的矩阵. -### 7.4 SVD -SVD是奇异值分解（Singular Value Decomposition）的英文缩写。它是一种重要的矩阵分解方法。对于任意一个实矩阵$A_{m\times n}$（$m$行$n$列），都可以分解为 -$$A = U\Sigma V^{T}$$ -的形式。其中$U$是$m\times m$的正交矩阵，$V$是$n\times n$的正交矩阵，$\Sigma$是$m\times n$的对角矩阵，其对角线上的元素$\sigma_{ii}$（$i = 1,2,\cdots,\min(m,n)$）称为奇异值，并且$\sigma_{ii}\geq0$，这些奇异值按照从大到小的顺序排列在$\Sigma$的对角线上。 - - +--- +title: 高等代数笔记 +date: 2025-01-20 14:30:00 +descriptionHTML: '纯情男大自用线性代数笔记' +tags: + - 数学 + - 笔记 +sidebar: true +readingTime: true +hidden: false +recommend: true +--- + +# 高等代数笔记 + + +## 下载 + + +#### 第一章：线性方程组 +- **Markdown源码**：[高等代数第一章.md](https://github.com/handsomezhuzhu//Linear-Algebra-note/raw/main/高等代数笔记/高等代数第一章.md) +- **PDF版本**：[高等代数第一章.pdf](https://github.com/handsomezhuzhu//Linear-Algebra-note/raw/main/高等代数笔记/高等代数第一章.pdf) + +#### 第二章：矩阵 +- **Markdown源码**：[高等代数第二章.md](https://github.com/handsomezhuzhu//Linear-Algebra-note/raw/main/高等代数笔记/高等代数第二章.md) +- **PDF版本**：[高等代数第二章.pdf](https://github.com/handsomezhuzhu//Linear-Algebra-note/raw/main/高等代数笔记/高等代数第二章.pdf) + +#### 第三章：向量空间 +- **Markdown源码**：[高等代数第三章.md](https://github.com/handsomezhuzhu//Linear-Algebra-note/raw/main/高等代数笔记/高等代数第三章.md) +- **PDF版本**：[高等代数第三章.pdf](https://github.com/handsomezhuzhu//Linear-Algebra-note/raw/main/高等代数笔记/高等代数第三章.pdf) + +#### 第四章：线性变换 +- **Markdown源码**：[高等代数第四章.md](https://github.com/handsomezhuzhu//Linear-Algebra-note/raw/main/高等代数笔记/高等代数第四章.md) +- **PDF版本**：[高等代数第四章.pdf](https://github.com/handsomezhuzhu//Linear-Algebra-note/raw/main/高等代数笔记/高等代数第四章.pdf) + +#### 第五章：多项式 +- **Markdown源码**：[高等代数第五章.md](https://github.com/handsomezhuzhu//Linear-Algebra-note/raw/main/高等代数笔记/高等代数第五章.md) +- **PDF版本**：[高等代数第五章.pdf](https://github.com/handsomezhuzhu//Linear-Algebra-note/raw/main/高等代数笔记/高等代数第五章.pdf) + +#### 第六章：矩阵的标准形 +- **Markdown源码**：[高等代数第六章.md](https://github.com/handsomezhuzhu//Linear-Algebra-note/raw/main/高等代数笔记/高等代数第六章.md) +- **PDF版本**：[高等代数第六章.pdf](https://github.com/handsomezhuzhu//Linear-Algebra-note/raw/main/高等代数笔记/高等代数第六章.pdf) + +#### 第七章：二次型 +- **Markdown源码**：[高等代数第七章.md](https://github.com/handsomezhuzhu//Linear-Algebra-note/raw/main/高等代数笔记/高等代数第七章.md) +- **PDF版本**：[高等代数第七章.pdf](https://github.com/handsomezhuzhu//Linear-Algebra-note/raw/main/高等代数笔记/高等代数第七章.pdf) + + + +## 第一章 + +### 1.1 线性方程组 +#### (1) 矩阵与增广矩阵 + $$ + 2x_1 - x_2 + 1.5x_3 = 8 + $$ + $$ + x_1 - 4x_3 = -7 + $$ + +* 矩阵 (Matrix) + +$$ +\begin{bmatrix} +2 & -1 & 1.5\\ +1 & 0 & -4 +\end{bmatrix} +$$ + +* 增广矩阵 (Augmented Matrix) + +$$ +\begin{bmatrix} +2 & -1 & 1.5 & 8\\ +1 & 0 & -4 & -7 +\end{bmatrix} +$$ + +* 线性方程组解的三种情况： +1. 无解 (不相容) (incompatibility) +2. 有唯一解 (相容) (compatibility) +3. 有无穷多解 (相容) (compatibility) + + +#### (2) 矩阵变换 + +* 倍加 +* 对换 +* 倍乘 + + +### 1.2 行化简与阶梯形矩阵 + +>**先导元素 (Leading element)** +**定义** +一个矩阵称为阶梯形(或行阶梯形),若它有以下三个性质: +l.每一非零行都在每一零行之上. +2.某一行的先导元素所在的列位于前一行先导元素的右边 +3.某一先导元素所在列下方元素都是零. +若一个阶梯形矩阵还满足以下性质,贝则称它为简化阶梯形(或简化行阶梯形) . +4.每一非零行的先导元素是 1. +5.每一先导元素 1 是该元素所在列的唯一非零元素 + + + +>**定理1** (简化阶梯形矩阵的唯一性) +每个矩阵行等价于唯一的简化阶梯形矩阵. + + +>**主元位置 (Pivot position)** +**定义** +矩阵中的主元位置是A中对应于它的阶梯形中先导元素 1 的位直.主元列是$A$的含有主元往直的列 + +>**定理2** (存在与唯一性定理) +线性方程组相容的充要条件是增广矩阵的最右列不是主元列.也就是说增广矩阵的阶梯形没有形如 +$[0 \ \ \cdots \ \ 0 \ \ b] \ \ ,\ \ b\neq0$ + +>的行若线性方程组相容,则它的解集可能有两种情形: +( i )当没有自由变量时,有唯一解; +( ii )若至少有一个自由变量,则有无穷多解. + +### 1.3 向量方程 + +$$u= +\begin{bmatrix} +\ 2 \ \\ +\ 1 \ +\end{bmatrix} +$$ + +>满足加法乘法的性质 + +* 线性组合 + $y=x_1c_1+\cdots+x_ic_i$ 中 $c_i$ 为权 + +* 向量张成 (生成) + + $span\{x_1,x_2,\cdots,x_i\}$ + 即判断 + $y=x_1c_1+\cdots+x_ic_i$ + 是否有解；或 + $\begin{bmatrix} + \ x_1\ x_2\ \cdots \ x_3 \ y\\ + \end{bmatrix}$ + 是否有解 + +### 1.4 矩阵方程 Ax=b + +>**定义** +若$A$是$m \times n$矩阵,它的各列为 $a$ +若 $x$ 是$R$n中的向量,则 $A$ 与 $x$ 的积(记为$Ax$) 就是 $A$ 的各列以 $x$ 中对应元素为权的线性组合 + +>**定理3** +$Ax=b$ +等价于 +$\begin{bmatrix} + \ a_1\ a_2\ \cdots \ a_3 \ \ b\\ + \end{bmatrix}$ + + +* 解的存在性 + +>**方程Ax = b 有解当且仅当 b 是 A 的各列的线性组合.** + + + +>**定理4** +设 $A$ 是 $m \times n$ 矩阵,则下列命题是逻辑上等价的. +也就是说,对某个 $Ax = b$ 它们都成立或者都不成立. +a. 对$R$m中每个 $b$ ,方程 $Ax=b$ 有解. +b. $R$m中的每个 $b$ 都是 $A$ 的列的一个线性组合. +c. $A$ 的各列生成$R$m. +d. $A$ 在每一行都有一个主元位置. + +>**计算** +计算 $Ax$ 的行-向量规则 +若乘积 $Ax$ 有定义,则 $Ax$ 中的第 $i$ 个元素是 $A$ 的第 $i$ 行元素与 $x$ 的相应元素乘积之和. + +>**定理5** +若 $A$ 是 $m\times n$ 矩阵,$u$ 和 $v$ 是$R$n中向量, $c$ 是标量,如: +a. $A(u+v) = Au+Av.$ +b. $A(cu) = c(Au).$ + +### 1.5 线性方程组的解集 +* 齐次线性方程组 + +>齐次方程 $Ax=0$ 有非平凡解当且仅当方程至少有一个自由变量. + +>**定理6** +设方程 $Ax=b$ 对某个 $b$ 是相容的, $p$ 为一个特解,则 $Ax=b$ 的解集是所有形如 +$w = p+v_h$ +>的向量的集, 其中 $v$h 是齐次方程 $Ax=0$ 的任意一个解. + +### 1.7 线性无关 + +>**定义** +向量方程 $0=x_1c_1+\cdots+x_ic_i$ 仅有平凡解(trivial solution) 向量组 (集) 称为线性无关的 (linearly independent) +若存在不全为零的权 +$c_i$ +使 +$x_1c_1+\cdots+x_ic_i+0$ +则向量组 (集) 称为线性相关的 (linearly dependent) + +>**矩阵 $A$ 的各列线性无关,当且仅当方程 $Ax=0$ 仅有平凡** + +>**定理7** (线性相关集的特征) +两个或更多个向量的集合 +$S=\{v_1,v_2,\cdots,v_p\}$ +>线性相关,当且仅当 $S$ 中至少有一个向量是其他向量的线性组合. + +>**定理8** +若一个向量组的向量个数超过每个向量的元素个数,那么这个向量组线性相关.就 +是说, $R$n 中任意向量组 +$\{v_1,v_2,\cdots,v_p\}$ +>当 $p>n$ 时线性相关. + +>**定理9** +若 $R$n 中向量组 +$S=\{v_1,v_2,\cdots,v_p\}$ +>包含零向量,则它线性相关 + +### 1.8 线性变换介绍 +* 变换(transformation)(或称函数、映射(map)) $T$ 是一个规则 +* $T$ : $R$n → $R$m + $R$n称为 $T$ 的定义域 (domain) + $R$m称为 $T$ 的余定义域 (codomain) (或取值空间) + +* 线性变换 +$$T(0) = 0$$ +$$T(cu+ dv) = cT(u) + dT(v)$$ + +### 1.9 线性变换的矩阵 + +>**定理10** +设 $T$ : $R$n → $R$m 为线性变换,则存在唯一的矩阵 $A$ ,使得对 $R$n中一切 $x$ 满足 $T(x)=Ax$ + +* 满射 + >映射 $T$ : $R$n → $R$m 称为到 $R$m 上的映射,若 $R$m 中每个 $b$ 是 $R$n 中至少一个 $x$ 的像. + + >“满射” 的英文是 “surjective” 或 “surjection” 或 “onto mapping” 或 “onto function” + + +* 单射 + >映射 $T$ : $R$n → $R$m 称为一对一映射(或1:1),若 $R$m 中每个 $b$ 是 $R$m 中至多一个 $x$ 的像. + + >“单射” 的英文是 “injective” 或 “injection” 或 “one-to-one mapping” 或 “one-to-one function” + + +>**定理11** +设 $T$ : $R$n → $R$m 为线性变换,则 $T$ 是一对一的当且仅当方程 $Ax=0$ 仅有平凡解. + +>**定理12** +设 $T$ : $R$n → $R$m 为线性变换,设 $A$ 为 $T$ 的标准矩阵，则： +a. $T$ 把 $R$n 映上到 $R$m ，当且仅当 $A$ 的列生成 $R$m. +b. $T$ 是一对一的，当且仅当 $A$ 的列线性无关. + +## 第二章 + +### 2.1 矩阵运算 +加减乘 +### 2.2 矩阵的逆 +>不可逆矩阵有时称为**奇异矩阵**，而可逆矩阵也称为**非奇异矩阵**. +$$A^{-1}A=I$$ +$$A^{-1}=\frac{1}{det A} \times A_{adj}$$ +$A_{adj}$是伴随矩阵（adjugate matrix） +$$(A^{-1})^{-1}=A$$ +$$(AB)^{-1}=A^{-1}B^{-1}$$ + +>若干个$n \times n$ 可逆矩阵的积也是可逆的，其逆等于这些矩阵的逆按相反顺序的乘积 +>~~看不懂，不爱用这种方法~~ + +求法（我常用）： +$$[\ A\ \ \ I\ ]=[\ I\ \ \ A^{-1}\ ] $$ + +### 2.3 矩阵的特征 + +* 挺多的 + + +### 2.4 分块矩阵 +* 没什么特别的 + +### 2.5 LU分解 +>L 是 $m \times m$ 下三角矩阵， 主对角线元素全是1， +>$A=LU$ +>AI写的： + +* Doolittle分解（LU分解的一种常见形式） +* 原理 对于一个$n \times n$矩阵 $A$，将其分解为一个下三角矩阵$L$,主对角线元素为1和一个上三角矩阵$U$的乘积，即$A = LU$。 +> 计算步骤 +> 1. **设定矩阵形式** 设 +$$A=\left[\begin{array}{cccc}a_{11}&a_{12}&\cdots&a_{1n}\\a_{21}&a_{22}&\cdots&a_{2n}\\\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\a_{n1}&a_{n2}&\cdots&a_{nn}\end{array}\right]$$ +$$L=\left[\begin{array}{cccc}1&0&\cdots&0\\l_{21}&1&\cdots&0\\\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\l_{n1}&l_{n2}&\cdots&1\end{array}\right]$$ +$$U=\left[\begin{array}{cccc}u_{11}&u_{12}&\cdots&u_{1n}\\0&u_{22}&\cdots&u_{2n}\\\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\0&0&\cdots&u_{nn}\end{array}\right]$$ +> 2. **计算$U$的第一行和$L$的第一列** +$$u_{1j}=a_{1j}(j = 1,2,\cdots,n)$$ +$$l_{i1}=\frac{a_{i1}}{u_{11}}(i = 2,3,\cdots,n)$$ +> 3. **对于$k = 2,3,\cdots,n$，分别计算$U$的第$k$行和$L$的第$k$列计算$U$的第$k$行**： +$$u_{kj}=a_{kj}-\sum_{m = 1}^{k - 1}l_{km}u_{mj}(j = k,k + 1,\cdots,n)$$ +>**计算$L$的第$k$列**： +$$l_{ik}=\frac{1}{u_{kk}}(a_{ik}-\sum_{m = 1}^{k - 1}l_{im}u_{mk})(i = k + 1,k + 2,\cdots,n)$$ + +>*示例* +>对于矩阵 +$$A=\left[\begin{array}{ccc}2&1&1\\4&3&3\\8&7&9\end{array}\right]$$ +>1. **第一步计算** +>首先$u_{11}=2$， $u_{12}=1$，$u_{13}=1$，$l_{21}=\frac{4}{2}=2$，$l_{31}=\frac{8}{2}=4$ +>2. **第二步计算** 然后计算 +> $u_{22}=a_{22}-l_{21}u_{12}=3 - 2×1 = 1$， +> $u_{23}=a_{23}-l_{21}u_{13}=3 - 2×1 = 1$ +>4. **第三步计算** +$$l_{32}=\frac{1}{u_{22}}(a_{32}-l_{31}u_{12})=\frac{1}{1}(7 - 4×1)=3$$ +>5. **第四步计算** 最后 +$$u_{33}=a_{33}-l_{31}u_{13}-l_{32}u_{23}=9 - 4×1 - 3×1 = 2$$ +>6. **得出结果** 得到 +$$L=\left[\begin{array}{ccc}1&0&0\\2&1&0\\4&3&1\end{array}\right]$$ +$$U=\left[\begin{array}{ccc}2&1&1\\0&1&1\\0&0&2\end{array}\right]$$ + +## 第三章 + +### 3.1 行列式介绍 +* 人话版本： +>我的方法： +>1、选择一行零最多的， +>2、他的位置是第（$i$，$j$）,那就删去第$i$行，第$j$列，剩下的就是（余因子） +>3、这一行每个数都这样算$a_{ij} \times |C_{ij}| \times (-1)^{i+j}$，最后求和 + +>**定理 2** +>若 $A$ 为三角阵，则 det$A$ 等于 $A$ 的主对角线上元素的乘积 + +### 3.2 行列式的性质 +>**定理3 (行变换)** +>令 $A$ 是一个方阵. +>a. 若 $A$ 的某一行的倍数加到另一行得矩阵B ， 则det $B$ = det $A$ . +>b 若 $A$ 的两行互换得矩阵 $B$ ， 则 det $B$ = - det $A$. +>c. 若 $A$ 的某行来以 $k$ 倍得到矩阵 $B$ ， 则det $B$ = $k$ det $A$ . +>** 补充 +>$$\vert A^T\vert=\vert A\vert$$ +>$$\vert A^{-1}\vert=\frac{1}{\vert A\vert}$$ +> +>$$|A^{*}|=|A|^{n - 1}$$ +>$$\vert kA\vert=k^{n}\vert A\vert$$ + +>**定理4** +> 方阵 $A$ 是可逆的当且仅当 det $A \neq 0$ + +>**定理5** +> 若 $A$ 为一个 $n \times n$ 矩阵，则det $A^T$ = det $A$. + +>**定理6 (乘法的性质)** +若 $A$ 和 $B$ 均为 $n \times n$ 矩阵，则 det $AB$ = (det $A$)( det $B$) . + +* 行列式与秩的关系 +>$\text{det}(A)\neq0$那么矩阵$A$是满秩的，秩$\text{rank}(A) = n$。这是因为行列式不为零意味着矩阵的列（行）向量组是线性无关的 +>也就是齐次线性方程组$Ax=0$的充要条件是系数矩阵秩$\text{rank}(A) = n$ + +* **$r(A) = n$** $\Leftrightarrow$ **$|A| \neq 0$** $\Leftrightarrow$ **齐次线性方程组 $Ax = 0$ 只有零解 $\Leftrightarrow$ 可逆** + +### 3.3 克拉默法则 +>**定理7 (克拉默法则)** +设 $A$ 是一个可逆的 $n \times n$ 矩阵，对 $R$m 中任意向量 $b$ ， 方程 $Ax =b$ 的唯一解可由下式给出: +$$\displaystyle x_i=\frac{det \ \ A_i(b)}{det \ \ A},i=1,2,\cdots,,n$$ + +~~不太能解释~~ +## 第四章 + + +### 4.1 向量空间(vector space)与子空间(subspace) +>向量空间和向量计算法则一样 + +* 子空间 + >定义向量空间 $V$ 的一个子空间是 $V$ 的一个满足以下三个性质的子集 $H$: + a. $V$ 中的零向量在 $H$ 中 + b. $H$ 对向量加法封闭，即对 $H$ 中任意向量 $U$，$V$ ， 和 $u + v$ 仍在 $H$ 中. + c. $H$ 对标量乘法封闭， 即对 $H$ 中任意向量 $u$ 和任意标量 $C$ ，向量 $cu$ 仍在 $H$ 中. + + +>**定理1** 若 $v_1,v_2,\cdots,v_p$ 在向量空间 $V$ 中，则$span\{x_1,x_2,\cdots,x_i\}$是 $V$ 的一个子空间. + +### 4.2 零空间、列空间和线性变换 +* 矩阵的零空间(null space) + + >**定义** + 矩阵 $A$ 的零空间写成 $NulA$ ， 是齐次方程 $Ax = 0$ 的全体解的集合. + +>**定理2** $m \times n$ 矩阵 $A$ 的零空间是$R$m的一个子空间.等价地, $m$ 个方程、$n$ 个未知数的齐次线性方程组 $Ax = 0$ 的全体解的集合是$R$m的一个子空间 + +* 矩阵的列空间(column space) + >**定义** + $m \times n$矩阵 $A$ 的列空间(记为 $ColA$ ) 是由 $A$ 的列的所有线性组合组成的集合.若 $A=\begin{bmatrix} + \ x_1\ x_2\ \cdots \ x_3 \ \\ + \end{bmatrix}$，则 $ColA = span\{x_1,x_2,\cdots,x_i\}$. + +>**定理3** $m \times n$ 矩阵 $A$ 的列空间是 $R$m 的一个子空间. + +* 线性变换的核与值域 + >线性变换 见1.8 + * 核(零空间 $Nul A$) + >线性变换 $T$ 的核(或零空间)是 $V$ 中所有满足 $T(u) = 0$ 的向量 $u$ 的集合 + +### 4.3 线性无关集(linearly independent set)和基(basis) +* 线性无关 见1.7 + +>**定理5 (生成集定理)** +令$S = \{v_1,v_2,\cdots,v_p\}$是$V$中的向量集，$H = span\{v_1,v_2,\cdots,v_p\}$. +a.若 $S$ 中某一个向量(比如说 $v_k$ ) 是 $S$ 中其余向量的线性组合，则 $S$ 中去掉$v_k$ 后形成的集合仍然可以生成 $H$. +b. 若$H \neq \{0\}$ ，则 $S$ 的某一子集是 $H$ 的一个基. + +* NulA 和ColA 的基 + >**定理6** + 矩阵 $A$ 的主元列构成 $ColA$ 的一个基. + + +### 4.5 向量空间的维数(dimension) +>**定理9** +若向量空间 $V$ 具有一组基(n个基向量)， 则 $V$ 中任意包含多于 $n$ 个向量的集合一 +定线性相关. + +~~这是期中考证明题，没做出来~~ + +>**定理10** 若向量空间 $V$ 有一组基含有 $n$ 个向量，则 $V$ 的每一组基一定恰好含有 $n$ 个向量. + +* $NulA$ 的维数是方程 $Ax=0$ 中自由变量的个数，$ColA$ 的维数是 $A$ 中主元列的个数. + +### 4.6 秩(rank) + +* $ColA^T = Row A$. +>**定理13** 若两个矩阵 $A$ 和 $B$ 行等价，则它们的行空间相同.若 $B$ 是阶梯形矩阵，则 $B$ 的非零行构成 $A$ 的行空间的一个基同时也是 $B$ 的行空间的一个基 + +~~?看不太懂~~ + +*以下比较重要* + +>**定义** +$A$ 的秩即 $A$ 的列空间的维数 + +>**定理14 (秩定理)** +$m \times n$ 矩阵 $A$ 的列空间和行空间的维数相等，这个公共的维数(即 $A$ 的秩)还等于 $A$ 的主元位置的个数且,满足方程 +$$rank\ A+dim\ \ Nul \ A = n$$ + +>**定理 (可逆矩阵定理(续))** +令 $A$ 是一个 $n \times n$ 矩阵，则下列命题中的每一个均等价于 $A$ 是可逆矩阵: +a. $A$ 的列构成$R$n的一个基. +b. $ColA=$$R$n. +c. $dim \ ColA = n$. +d. $rank A = n$. +e. $Nul A = \{0\}$. +f. $dim \ NulA=0$. + + +### 4.7 基的变换 +~~先欠着~~ + +## 第五章 + + +### 5.1 特征向量(eigenvector)与特征值(eigenvalue) + >定义 $A$ 为 $n \times n$ 矩阵，$x$ 为非零向量， 若存在数 $λ$ 使 $Ax=λx$ 有非平凡解 $x$， 则称 $λ$ 为 $A$的特征值,$x$ 称为对应于 $λ$ 的特征向量 +也可写作$(A-λI)x=0$ + +>**定理1** +三角矩阵的主对角线的元素是其特征值. + +>**定理2** +$λ_1,\cdots,λ_r$ 是 $n \times n$ 矩阵 $A$ 相异的特征值，$v_1,\cdots,v_r$是与$λ_1,\cdots,λ_r$对应的特征向量，那么向量集合{$v_1,\cdots,v_r$}线性无关. + + + +* 一、逆矩阵的特征值 +若矩阵$A$可逆，$\lambda$是$A$的特征值，则$A^{-1}$的特征值是$\displaystyle \frac{1}{\lambda}$，特征向量不变。 + +* 二、转置矩阵的特征值 +矩阵$A$与其转置矩阵$A^T$具有相同的特征值。 + +* 三、伴随矩阵的特征值 +若$A$可逆，$A$的特征值为$\lambda_i$（$i = 1,2,\cdots,n$，$\lambda_i\neq0$），则伴随矩阵$A^*$的特征值为$\displaystyle \frac{\vert A\vert}{\lambda_i}$，特征向量不变。 + +### 5.2 特征方程(eigen equation) +>**定理(可逆矩阵定理(续))** +设 $A$ 是 $n \times n$ 矩阵，则 $A$ 是可逆的当且仅当 +a.0不是 $A$ 的特征值. +b.$A$ 的行列式不等于零. + + + +>**定理3 (行列式的性质)** +设 $A$ 和 $B$ 是 $n \times n$ 矩阵. +a. $A$ 可逆的元要条件是 det$A \neq 0$. +b. det $AB =$ (det $A$) (det$B$). +c. det $A^T$ = det $A$. +d. 若 $A$ 是三角形矩阵，那么det $A$ 是 $A$ 主对角线元素的乘积. +e. 对 $A$ 作行替换不改变其行列式值.作一次行交换，行列式值符号改变一次数来一行后， +行列式值等于用此数来原来的行列式值. + +>**定理4** +若 $n \times n$ 矩阵 $A$ 和 $B$ 是相似的，那么它们有相同的特征多项式，从而有相同的特征值(和相同的重数). + +### 5.3 对角化(diagonalize) +>**定理5 (对角化定理)** +$n \times n$ 矩阵 $A$ 可对角化的充分必要条件是 $A$ 有 $n$ 个线性无关的特征向量. +事实上， $A=PDP^{-1}$ , $D$ 为对角矩阵的充分必要条件是 $P$ 的列向量是 $A$ 的 $n$ 个线性无关的特征向量.此时，$D$ 的主对角线上的元素分别是 $A$ 的对应于 $P$ 中特征向量的特征值. + +>**定理6** +有 $n$ 个相异特征值的$n \times n$ 矩阵可对角化. + +>**定理7** +~~似乎不重要，因为我也读不懂~~ + +>**定理8 (对角矩阵表示)** +设 $A=PDP^{-1}$ ， 其中 $D$ 为 $n \times n$ 对角矩阵，若 $R$n 的基$\beta$由 $P$ 的列向量组成，那么 $D$ 是变换 $x$ → $Ax$的$\beta$-矩阵. + +## 第六章 + +### 6.1 内积、长度和正交性 + +* 内积 + 内积的英文是 “inner product” 或 “dot product” +> **定理1** +> 设 $v$，$u$ 和 $w$ 是 $R$n 中的向量, $c$ 是一个数,那么 + + +$a. \ \ \ u \cdot v = v \cdot u$ + +$b.\ \ \ (u +v) \cdot w = u \cdot w +v \cdot w$ + +$c. \ \ \ (cu) \cdot v=c(u \cdot v)=u \cdot (cv)$ + +$d. \ \ \ u \cdot u \geq 0，并且u \cdot u=0 成立的充分必要条件是u=0$ + + +* 向量的长度 + + $$||v|| ^2 = v \cdot v$$ + +$$dist(u,v)=||u-v||$$ + +* 正交向量 + 正交向量的英文是 “orthogonal vectors” 或 “perpendicular vectors” + +>定义如果 $u \cdot v = 0$ ，如 $R$n 中的两个向量 $u$ 和 $v$ 是(相互) 正交的. + +>对于一个方阵$A$，Col$A$中的向量与Nul$A$中的向量正交。 + +>**定理2 (毕达哥拉斯(勾股)定理)** + +$$||u+v||^2=||u||^2+||v||^2$$ + +* 正交补 + 正交补的英文是 “orthogonal complement” + +>1.向量 $x$ 属于 $W$⊥ 的充分必要条件是向量 $x$ 与生成空间 $W$ 的任一向量都正交. +>2. $W$⊥ 止是 $R$n 的一个子空间. + +>**定理3** +$( Row A )$⊥ = $Nul A$ 且 $( ColA )$⊥ = $Nul A$T + +### 6.2 正交集 + * 正交集的英文是 “orthogonal set” 或 “orthonormal set” +>**定理4** +如果 $S=\{x_1,x_2,\cdots,x_i\}$ 是由 $R$n 中非零向量构成的正交集，那么 $S$ 是线性无关集，因此构成 $S$ 所生成的子空间的一组基. + +>**定理5** +假设$\{x_1,x_2,\cdots,x_i\}$是 $R$n 中于空间 $W$ 的正文基,对 $W$ 中的每个向量y,线性组合 $y=x_1c_1+\cdots+x_ic_i$ 中的权可以由 $c_j=(y \cdot u_j)/(u_j \cdot u_j)$计算 + +#### 正交投影 **先欠着** ~~懒得写~~ + + +>**定理6** +一个 $m \times n$ 矩阵 U 具有单位正交列向量的充分必要条件是 $U$T $U$ = $I$. + +>**定理7** +假设 $U$ 是一个具有单位正交列的 $m \times n$ 矩阵，且 $x$ 和 $y$ 是 $R$n 中的向量，那么 +a. $||Ux|| = ||x|| .$ +b. $(Ux) \cdot (Uy) =x \cdot y$ +c. $(Ux) \cdot (Uy) = 0$ 的充分必要条件是 $x \cdot y = 0$ + +>**定理9 (最佳逼近定理)** +假设 $W$ 是 $R$n 的一个子空间，$y$ 是 $R$n 中的任意向量， $\widehat{y}$ 是 $y$ 在 $W$ 上的正支投影，那么 $\widehat{y}$ 是 $W$ 中最接近 $y$ 的点，也就是 +$$||y-\widehat{y}||<||y-v||$$ +>对所有属于 $W$ 又异于 $\widehat{y}$ 的 $v$ 成立. + +### 6.4 格拉姆-施密特方法 + +#### 格拉姆 - 施密特方法 + +设$\left\{\boldsymbol{v}_{1},\boldsymbol{v}_{2},\cdots,\boldsymbol{v}_{n}\right\}$是内积空间$V$中的一组线性无关向量。 +首先$\boldsymbol{u}_{1}=\boldsymbol{v}_{1}$；对于$k = 2,3,\cdots,n$， +$$\boldsymbol{u}_{k}=\boldsymbol{v}_{k}-\sum_{j = 1}^{k - 1}\frac{\left\langle\boldsymbol{v}_{k},\boldsymbol{u}_{j}\right\rangle}{\left\langle\boldsymbol{u}_{j},\boldsymbol{u}_{j}\right\rangle}\boldsymbol{u}_{j}$$ +即从$\boldsymbol{v}_{k}$中减去它在已构造正交向量$\boldsymbol{u}_{1},\boldsymbol{u}_{2},\cdots,\boldsymbol{u}_{k - 1}$上的投影，得到新正交向量$\boldsymbol{u}_{k}$。 + + +### 6.5 最小二乘问题 +* 最小二乘的英文是 “least squares” 或 “least square method”； +最小二乘解的英文是 “least squares solution”。 + +* **定义** + $$||b-A\widehat{x}||\leq||b-Ax||$$ + +>**定理13** +方程 $Ax=b$ 的最小二乘解集和法方程 $A$T $Ax = A$T $b$ 的非空解集一致. + +>**定理14** +设 $A$ 是 $m \times n$ 矩阵. 下面的条件是逻辑等价的: +a.对于 $R$n 中的每个 $b$ ， 方程 $Ax =b$ 有唯一最小二乘解. +b.$A$ 的列是线性无关的. +c.矩阵 $A$T $A$是可逆的. +当这些条件成立时，最小二乘解￡有下面的表示: +$$\widehat{x}=( A^T A)^{-1}A^Tb$$ + + +### 6.7 内积空间 + +>**定义** +向量空间 $V$ 上的内积是一个函数，对每一对属于$V$的向量 $u$ 和 $v$，存在一个实数$\langle u,v \rangle$满足下面公理，其中 $u$，$v$，$w$ 属于$V$，$C$ 为所有数. +1.$\langle u,v\rangle= \langle v,u \rangle$ +2.$\langle u +v, w\rangle =\langle u, w\rangle +\langle v,w\rangle$ +3.$\langle$c$u,v\rangle=$c$\langle u, v\rangle$ +4.$\langle u,u\rangle \geq 0$且$\langle u,u\rangle =0$ 的充分必要条件是 $u=0$ +一个赋予上面内积的向量空间称为**内积空间** + +* 内积空间的英文是 “inner product space” 或 “pre-Hilbert space” + + +>**定理16 (柯西-施瓦茨不等式)** +对 $V$ 中任意向量 $u$ 和 $v$，有 +$$|\langle u,v \rangle| \leq ||u||\ \ ||v||$$ + + +>**定理17 (三角不等式)** +对属于$V$ 的所有向量$u$,$v$，有 +$$||u-v||\leq||u||+||v||$$ + + + + + + +## 第七章 + +### 7.1 对称矩阵的对角化 + +就是$A^T=A$ + +>**定理1** 如果 $A$ 是对称矩阵，那么不同特征空间的任意两个特征向量是正交的. + +>**定理2** 一个$n \times n$ 矩阵 $A$ 可正交对角化的充分必要条件是 $A$ 是对称矩阵. + +### 7.2 二次型 +* 二次型是一个定义在 $R$n 上的函数， 它在向量 $x$ 处的值可由表达式$Q(x) = x^T Ax$ 计算，其中 $A$ 是一个 $n \times n$ 对称矩阵.矩阵 $A$ 称为关于二次型的矩阵. +### 7.4 SVD +SVD是奇异值分解（Singular Value Decomposition）的英文缩写。它是一种重要的矩阵分解方法。对于任意一个实矩阵$A_{m\times n}$（$m$行$n$列），都可以分解为 +$$A = U\Sigma V^{T}$$ +的形式。其中$U$是$m\times m$的正交矩阵，$V$是$n\times n$的正交矩阵，$\Sigma$是$m\times n$的对角矩阵，其对角线上的元素$\sigma_{ii}$（$i = 1,2,\cdots,\min(m,n)$）称为奇异值，并且$\sigma_{ii}\geq0$，这些奇异值按照从大到小的顺序排列在$\Sigma$的对角线上。 + + diff --git a/docs/sop/notes/math-analysis-notes.md b/docs/sop/notes/math-analysis-notes.md index 47a80a6..891cda3 100644 --- a/docs/sop/notes/math-analysis-notes.md +++ b/docs/sop/notes/math-analysis-notes.md @@ -1,1477 +1,1477 @@ ---- -title: 数学分析笔记 -date: 2025-01-20 14:00:00 -descriptionHTML: '纯情男大自用数学分析笔记' -tags: - - 数学 - - 笔记 -sidebar: true -readingTime: true -hidden: false -recommend: true ---- - -# 数学分析笔记 - - -## 资料下载 - -#### Markdown源码版本 -- **文件名**：数学分析完整笔记.md -- **下载链接**：[点击下载源码版本](https://github.com/handsomezhuzhu/other_note/raw/main/数学分析/数学分析完整笔记.md) - -#### PDF版本 -- **文件名**：数学分析完整笔记.pdf -- **下载链接**：[点击下载PDF版本](https://github.com/handsomezhuzhu/other_note/raw/main/数学分析/数学分析完整笔记.pdf) - - -## 完整笔记 - -**Copyright © 2024 Simon** - -## 第一章 序章 - -* 暂无 - -## 第二章 函数 - -* 反函数 - -### 三角函数和反函数 - -**倒数关系：** - -$$ -\cos\theta \cdot \sec\theta = 1 -$$ - -$$ -\sin\theta \cdot \csc\theta = 1 -$$ - -$$ -\tan\theta \cdot \cot\theta = 1 -$$ - -**商数关系：** - -$$ -\tan\theta = \frac{\sin\theta}{\cos\theta} -$$ - -$$ -\cot\theta = \frac{\cos\theta}{\sin\theta} -$$ - -**平方关系：** - -$$ -\sin^{2}\theta + \cos^{2}\theta = 1 -$$ - -$$ -1 + \tan^{2}\theta = \sec^{2}\theta -$$ - -$$ -1 + \cot^{2}\theta = \csc^{2}\theta -$$ - -**积化和差公式：** - -$$ -sin\alpha\cos\beta=\frac{1}{2}[\ \sin(\alpha + \beta)+\sin(\alpha-\beta)] -$$ - -$$ -cos\alpha\sin\beta=\frac{1}{2}[\ \sin(\alpha + \beta)-\sin(\alpha-\beta)] -$$ - -$$ -cos\alpha\cos\beta=\frac{1}{2}[\ \cos(\alpha + \beta)+\cos(\alpha-\beta)] -$$ - -$$ -sin\alpha\sin\beta=-\frac{1}{2}[\ \cos(\alpha + \beta)-\cos(\alpha-\beta)] -$$ - -**和差化积：** - -1. **正弦函数的和差化积公式：** - - $$ - sin\alpha+\sin\beta = 2\sin\frac{\alpha + \beta}{2}\cos\frac{\alpha-\beta}{2} - $$ - - $$ - sin\alpha-\sin\beta = 2\cos\frac{\alpha + \beta}{2}\sin\frac{\alpha-\beta}{2} - $$ -2. **余弦函数的和差化积公式：** - - $$ - cos\alpha+\cos\beta = 2\cos\frac{\alpha + \beta}{2}\cos\frac{\alpha-\beta}{2} - $$ - - $$ - cos\alpha-\cos\beta=2\sin\frac{\alpha + \beta}{2}\sin\frac{\alpha-\beta}{2} - $$ - -#### 三角函数 - -* **余切函数**： - 定义： - - $$ - \cot\theta = \frac{\cos\theta}{\sin\theta} - $$ - - 在直角三角形中 - - $$ - \cot\theta = \frac{邻边}{对边} - $$ - - 值域：$R$，定义域：$\theta \neq k\pi, k \in Z$ -* **正割函数**： - 定义： - - $$ - \sec\theta = \frac{1}{\cos\theta} - $$ - - 值域：$(-\infty, 1]\cup[1,\infty)$，定义域：$\displaystyle \theta \neq k\pi + \frac{\pi}{2}, k \in Z$。 -* **余割函数**： - 定义： - - $$ - \csc\theta = \frac{1}{\sin\theta} - $$ - - 值域：$(-\infty, 1]\cup[1,\infty)$，定义域：$\theta \neq k\pi, k \in Z$。 - -#### 反三角函数 - -1. **反正弦函数**： - 符号： - - $$ - y = \arcsin x - $$ - - 定义域：$[-1,1]$，值域：$\displaystyle\left[-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right]$ - 性质： - - $$ - \sin(\arcsin x) = x, x \in [1,1] - $$ - - $$ - \arcsin(\sin y) = y, y \in \left[-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right] - $$ -2. **反余弦函数**： - 符号： - - $$ - y = \arccos x - $$ - - 定义域：$[-1,1]$，值域：$[0,\pi]$ - 性质： - - $$ - \cos(\arccos x) = x, x \in [-1,1] - $$ - - $$ - \arccos(\cos y) = y, y \in [0,\pi] - $$ -3. **反正切函数**： - 符号： - - $$ - y = \arctan x - $$ - - 定义域：$R$，值域：$\left(-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right)$ - 性质： - - $$ - \tan(\arctan x) = x, x \in R - $$ - - $$ - \arctan(\tan y) = y, y \in \left(-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right) - $$ -4. **反余切函数**： - 符号： - - $$ - y = \text{arccot} x - $$ - - 定义域：$R$，值域：$(0,\pi)$ - 性质： - - $$ - \cot(\text{arccot} x) = x, x \in R - $$ - - $$ - \text{arccot}(\cot y) = y, y \in (0,\pi) - $$ - -## 第三章 极限 - -### 数列的极限 - -#### 数列极限的$\varepsilon - N$语言证明 - -1. **定义** - 数列$\{a_{n}\}$极限是$A$（记为$\lim_{n\rightarrow\infty}a_{n}=A$）的$\varepsilon - N$定义：对于任意给定的正数$\varepsilon\gt0$，存在正整数$N$，使得当$n > N$时，$\vert a_{n}-A\vert\lt\varepsilon$成立。 -2. **证明步骤** - - **步骤一：给定$\varepsilon\gt0$** - - **步骤二：寻找$N$** - - - 通过分析$\vert a_{n}-A\vert\lt\varepsilon$，对$a_{n}$表达式变形来确定与$\varepsilon$有关的正整数$N$。 - - 例如，对于数列$\displaystyle a_{n}=\frac{1}{n}$证明$\displaystyle\lim_{n\rightarrow\infty}a_{n}=0$，由$\displaystyle\vert a_{n}-0\vert=\vert\frac{1}{n}-0\vert=\frac{1}{n}$，要使$\displaystyle \frac{1}{n}\lt\varepsilon$，得$\displaystyle n>\frac{1}{\varepsilon}$，可取$\displaystyle N = [\frac{1}{\varepsilon}]+1$（$[x]$表示不超过 $x$ 的最大整数）。 - - **步骤三：验证$n > N$时$\vert a_{n}-A\vert\lt\varepsilon$成立** - - - 仍以上例说明，当$\displaystyle n > N = [\frac{1}{\varepsilon}]+1$时，$n>\frac{1}{\varepsilon}$，则$\displaystyle \frac{1}{n}\lt\varepsilon$，即$\displaystyle \vert a_{n}-0\vert\lt\varepsilon$，证得$\displaystyle \lim_{n\rightarrow\infty}\frac{1}{n}=0$。 - -#### 利用夹迫性证明数列极限 - -1. **夹迫性定理** - 若存在三个数列$\{a_{n}\}$，$\{b_{n}\}$，$\{c_{n}\}$，满足当$n$足够大（比如$n > N_{0}$，$N_{0}$为某个正整数）时，$a_{n}\leq b_{n}\leq c_{n}$，且$\lim_{n\rightarrow\infty}a_{n}=\lim_{n\rightarrow\infty}c_{n}=A$，那么$\lim_{n\rightarrow\infty}b_{n}=A$。 - -### 函数的极限 - -1. **当$x\to0$时** - - **$x$与$\sin x$是等价无穷小**： - - 根据等价无穷小的定义， - $$ - \lim_{x \to 0}\frac{\sin x}{x}=1 - $$ - - **$x$与$\tan x$是等价无穷小**： - - 同样有 - $$ - \lim_{x \to 0}\frac{\tan x}{x}=1 - $$ - - **$1 - \cos x$与$\frac{1}{2}x^{2}$是高阶等价无穷小**： - - 由 - $$ - \lim_{x \to 0}\frac{1 - \cos x}{\frac{1}{2}x^{2}} = 1 - $$ - -- 补充： -- $$ - x-\sin x\sim\frac{1}{6}x^{3} - $$ - -1. **当$x\to+\infty$时** - - **$\ln x$与$\sqrt{x}$的关系**： - - 对于任意正整数$n$， - $$ - \lim_{x \to +\infty}\frac{\ln x}{x^{n}} = 0 - $$ - - **$x^{n}$与$e^{x}$（$n$为常数）**： - - 对于任意常数$n$， - $$ - \lim_{x \to +\infty}\frac{x^{n}}{e^{x}} = 0 - $$ - -* 当$x\to0$时 - -$$ -\arctan{x}\to\sin{x}\to x\to \arcsin{x}\to \tan{x} \ \ \ \ \ \ {他们相差}\ \ \frac{x^3}{6} -$$ - -***重点：！！！！！（如果考试要用的话就要用泰勒展开写出来）*** - -### 函数连续性 - -暂无 - -### 无限小量和无限大量 - -暂无 - -## 第四章 微分和微商 - -### 各种函数的导数 - -1. $(kx)' = k$ -2. $(x^n)' = nx^{n - 1}$ -3. $(a^x)' = a^x \ln a$ -4. $(e^x)' = e^x$ -5. $(\log_a x)' = \frac{1}{x \ln a}$ -6. $(\ln x)' = \frac{1}{x}$ -7. $(\sin x)' = \cos x$ -8. $(\cos x)' = - \sin x$ - -*以下是重点* - -**9. $(\tan x)' = \sec^2 x$** - -**10. $(\cot x)' = - \csc^2 x$** - -**11. $(\sec x)' = \sec x \tan x$** - -**12. $(\csc x)' = - \csc x \cot x$** - -**13. $\displaystyle( \arcsin x)' = \frac{1}{\sqrt{1 - x^2}}$** - -**14. $\displaystyle( \arccos x)' = - \frac{1}{\sqrt{1 - x^2}}$** - -**15. $\displaystyle( \arctan x)' = \frac{1}{1 + x^2}$** - -**16. $\displaystyle( \text{arccot} x)' = - \frac{1}{1 + x^2}$** - -1. **双曲正弦函数（sinh x）** - - 定义：$\displaystyle\sinh x=\frac{e^{x}-e^{-x}}{2}$ - - 导数：$\displaystyle(\sinh x)'=\cosh x$ -2. **双曲余弦函数（cosh x）** - - 定义：$\displaystyle\cosh x=\frac{e^{x}+e^{-x}}{2}$ - - 导数：$\displaystyle(\cosh x)'=\sinh x$ - -### 莱布尼兹公式 - -#### 公式表述 - -若函数$u(x)$和$v(x)$都有$n$阶导数，则 - -$$ -(uv)^{(n)}=\sum_{k = 0}^{n}C_{n}^{k}u^{(n - k)}v^{(k)} -$$ - -其中： - -- $\displaystyle C_{n}^{k}=\frac{n!}{k!(n - k)!}$是二项式系数 -- $\displaystyle u^{(n-k)}$表示$u$的$(n - k)$阶导数，当$n-k = 0$时，$u^{(0)}=u$ -- $\displaystyle v^{(k)}$表示$v$的$k$阶导数，当$k = 0$时，$v^{(0)}=v$ - -> **应用举例** -> 求$y=x^{2}e^{x}$的$n$阶导数。 -> 令$u = x^{2}$，$v=e^{x}$ -> $u' = 2x$，$u''=2$，$u^{(k)}=0$ for $k>2$ -> $v^{(k)}=e^{x}$ for all $k\geqslant0$ -> 根据莱布尼兹公式$(x^{2}e^{x})^{(n)}=C_{n}^{0}x^{2}e^{x}+C_{n}^{1}(2x)e^{x}+C_{n}^{2}(2)e^{x}$ -> 即$(x^{2}e^{x})^{(n)}=(x^{2}+2nx + n(n - 1))e^{x}$ - -## 第五章 中值定理 - -### 拉格朗日中值定理 - -**定理内容** - -- 若函数$y = f(x)$满足： - - 在闭区间$[a,b]$上连续； - - 在开区间$(a,b)$内可导。 -- 那么在$(a,b)$内至少存在一点$\xi$，使得 -- $$ - f(b)-f(a)=f^{\prime}(\xi)(b - a) - $$ - -> **应用举例** -> 例如，证明不等式$\displaystyle \frac{b - a}{1 + b^{2}}<\arctan b-\arctan a<\frac{b - a}{1 + a^{2}}$，其中$a < b$。 -> 设$f(x)=\arctan x$，$f(x)$在$[a,b]$上连续，在$(a,b)$内可导，且$\displaystyle f^{\prime}(x)=\frac{1}{1 + x^{2}}$。 -> 根据拉格朗日中值定理，存在$\xi\in(a,b)$，使得$\displaystyle \arctan b-\arctan a=\frac{1}{1+\xi^{2}}(b - a)$。 -> 因为$\displaystyle \frac{1}{1 + b^{2}}<\frac{1}{1+\xi^{2}}<\frac{1}{1 + a^{2}}$ -> 所以$\displaystyle \frac{b - a}{1 + b^{2}}<\arctan b-\arctan a<\frac{b - a}{1 + a^{2}}$。 - -### 洛必达 - -没什么好说的 - -### 函数的极限 - -1. **函数极限存在的第一充分条件** - - - **内容**：设函数$f(x)$在$x_0$的某去心邻域$\dot{U}(x_0,\delta)$内有定义。 - - 若当$x \in (x_0 - \delta,x_0)$时，$f(x)$单调递增且有上界，当$x\in(x_0,x_0+\delta)$时，$f(x)$单调递减且有下界，则$\lim_{x \to x_0}f(x)$存在。 - - 反之，若当$x\in(x_0 - \delta,x_0)$时，$f(x)$单调递减且有下界，当$x\in(x_0,x_0+\delta)$时，$f(x)$单调递增且有上界，则$\lim_{x \to x_0}f(x)$存在。 -2. **函数极限存在的第二充分条件（重点看这个）** - - - **内容**：设函数$y = f(x)$在点$x_0$处具有二阶导数且$f^{\prime}(x_0)=0$，$f^{\prime\prime}(x_0)\neq0$。 - - 若$f^{\prime\prime}(x_0)>0$，则函数$y = f(x)$在$x = x_0$处取得极小值； - - 若$f^{\prime\prime}(x_0)<0$，则函数$y = f(x$在$x = x_0$处取得极大值。 - -### 函数凹凸性 - -**利用二阶导数判定** -设函数$y = f(x)$在区间$I$内具有二阶导数。 -如果$f^{\prime\prime}(x)>0$，$x\in I$，那么函数$y = f(x)$在区间$I$上是凹的。 -如果$f^{\prime\prime}(x)<0$，$x\in I$，那么函数$y = f(x)$在区间$I$上是凸的。 - -**定义5.2** -设$f(x)$在$(a,b)$有定义。若对任意$x_1$，$x_2\in(a,b)$和任意$\lambda\in(0,1)$，有 - -$$ -f(\lambda x_1+(1 - \lambda)x_2)\leq\lambda f(x_1)+(1 - \lambda)f(x_2) -$$ - -则称$f(x)$在$(a,b)$为下凸函数；若对任意$x_1$，$x_2\in(a,b)$和任意$\lambda\in(0,1)$，有 - -$$ -f(\lambda x_1+(1 - \lambda)x_2)\geq\lambda f(x_1)+(1 - \lambda)f(x_2) -$$ - -则称$f(x)$在$(a,b)$为上凸函数。 - -### 函数拐点 - -**判定方法** - -- **二阶导数法** - - 一般地，若函数$y = f(x)$在点$x_0$处二阶可导，且在$x_0$的某邻域内二阶导数$f^{\prime\prime}(x)$变号（即函数的凹凸性发生改变），同时$f^{\prime\prime}(x_0) = 0$，那么点$(x_0,f(x_0))$是函数$y = f(x)$的一个拐点。 - -> **二阶导数不存在的点也可能是拐点** - -## 第六章&第七章&第八章 积分 - -* 常见积分公式 - -## 不定积分基本公式 - -$$ -\int kdx = kx + c -$$ - -$$ -\int x^{n}dx = \frac{x^{n + 1}}{n + 1}+c -$$ - -$$ -\int e^{x}dx = e^{x}+c -$$ - -$$ -\int a^{x}dx = \frac{a^{x}}{\ln a}+c -$$ - -$$ -\int \frac{1}{x}dx = \ln |x|+c -$$ - -$$ -\int \sin xdx = -\cos x + c -$$ - -$$ -\int \cos xdx = \sin x + c -$$ - -$$ -\int \tan xdx = -\ln |\cos x|+c -$$ - -$$ -\int \cot xdx = \ln |\sin x|+c -$$ - -$$ -\int \csc xdx = \ln |\csc x - \cot x|+c -$$ - -$$ -\int \sec xdx = \ln |\sec x + \tan x|+c -$$ - -$$ -\int x^{2}dx = \frac{1}{3}x^{3}+c -$$ - -$$ -\int \frac{1}{x^{2}}dx = -\frac{1}{x}+c -$$ - -$$ -\int \frac{1}{\sin x}dx = \int \csc^{2}xdx = -\cot x + c -$$ - -$$ -\int \frac{1}{\cos^{2}x}dx = \int \sec^{2}xdx = \tan x + c -$$ - -$$ -\int \frac{1}{1 + x^{2}}dx = \arctan x + c -$$ - -$$ -\int \frac{1}{\sqrt{1 - x^{2}}}dx = \arcsin x + c -$$ - -$$ -\int \sec x\tan xdx = \sec x + c -$$ - -$$ -\int \csc x\cot xdx = -\csc x + c -$$ - -$$ -\int \frac{dx}{a^{2}+x^{2}}=\frac{1}{a}\arctan\frac{x}{a}+c -$$ - -$$ -\int \frac{dx}{x^{2}-a^{2}}=\frac{1}{2a}\ln|\frac{x - a}{x + a}|+c -$$ - -$$ -\int \frac{dx}{\sqrt{a^{2}-x^{2}}}=\arcsin\frac{x}{a}+c -$$ - -$$ -\int \frac{dx}{\sqrt{x^{2}+a^{2}}}=\ln|x+\sqrt{x^{2}+a^{2}}|+c -$$ - -$$ -\int \frac{dx}{\sqrt{x^{2}-a^{2}}}=\ln|x+\sqrt{x^{2}-a^{2}}|+c -$$ - -$$ -\int \frac{x^{2}}{1 + x^{2}}dx=\frac{1}{2}\ln(1 + x^{2})+c -$$ - -$$ -\int \frac{1}{1 + x^{2}}dx=\arctan x + c -$$ - -#### 补充 - -$$ -\int \frac{x^2}{1 + x^{2}}dx = x - \arctan x + C -$$ - -过程如下（懂了吧） - -$$ -\begin{align*} -\frac{x^2}{1 + x^{2}}&=\frac{x^2 + 1 - 1}{1 + x^{2}}\\ -&=\frac{x^2 + 1}{1 + x^{2}} - \frac{1}{1 + x^{2}}\\ -&= 1 - \frac{1}{1 + x^{2}} -\end{align*} -$$ - -$$ -\int\ln xdx=x\ln x - x + C -$$ - -### 换元积分 - -1. **第一类换元法（凑微分法）** - - - **示例**：计算$\displaystyle \int 2x\cos(x^{2})dx$。 - - - 令$u = x^{2}$，则$du=2xdx$。 - - 原积分$\displaystyle \int 2x\cos(x^{2})dx=\int\cos udu=\sin u + C$。 - - 再把$u = x^{2}$代回，得到$\sin(x^{2})+C$。 - - **常见的凑微分形式**： - - - $\displaystyle \int f(ax + b)dx=\frac{1}{a}\int f(ax + b)d(ax + b)(a\neq0)$ - - $\displaystyle \int f(x^{n})x^{n - 1}dx=\frac{1}{n}\int f(x^{n})d(x^{n})$。 - - $\displaystyle \int f(\sin x)\cos xdx=\int f(\sin x)d(\sin x)$。 -2. **第二类换元法** - - - **根式代换** - - 当被积函数中含有$\displaystyle \sqrt{a^{2}-x^{2}}(a>0)$时，可令$x = a\sin t$，$t\displaystyle \in\left(-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right)$。 - - 示例：计算$\displaystyle \int\frac{1}{\sqrt{1 - x^{2}}}dx$。 - - 令$x=\sin t$，$\displaystyle t\in\left(-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right)$，则$dx=\cos tdt$。 - - 原积分 - - $$ - \displaystyle \int\frac{1}{\sqrt{1 - x^{2}}}dx=\int\frac{1}{\sqrt{1-\sin^{2}t}}\cos tdt=\int 1dt=t + C - $$ - - 因为$\displaystyle x = \sin t$，所以$t=\arcsin x$，最终结果为$\arcsin x + C$ - - 当被积函数中含有$\displaystyle \sqrt{x^{2}+a^{2}}(a>0)$时，可令$x = a\tan t$，$\displaystyle t\in\left(-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right)$。 - - 当被积函数中含有$\displaystyle \sqrt{x^{2}-a^{2}}(a>0)$时，可令$x = a\sec t$，$\displaystyle t\in\left(0,\frac{\pi}{2}\right)\cup\left(\frac{\pi}{2},\pi\right)$。 - - **倒代换** - - 当分母的次数比分子的次数高很多时，可考虑倒代换，即令$\displaystyle x=\frac{1}{t}$。 - - 示例：计算$\displaystyle \int\frac{1}{x^{4}(1 + x^{2})}dx$。 - - - 令$\displaystyle x=\frac{1}{t}$，则$\displaystyle dx=-\frac{1}{t^{2}}dt$。 - - 原积分 - - $$ - \displaystyle \int\frac{1}{x^{4}(1 + x^{2})}dx=\int\frac{t^{4}}{1 + t^{2}}\left(-\frac{1}{t^{2}}\right)dt=-\int\frac{t^{2}}{1 + t^{2}}dt - $$ - - - 进一步化简 - $$ - \displaystyle =-\int\left(1-\frac{1}{1 + t^{2}}\right)dt=-t+\arctan t + C - $$ - - 再把$\displaystyle t=\frac{1}{x}$代回，得到$\displaystyle -\frac{1}{x}+\arctan\frac{1}{x}+C$。 -3. **三角代换与双曲代换（补充方法）** - - - **三角代换**：三角代换主要是利用三角函数之间的关系 - $\sin^{2}t+\cos^{2}t = 1$，$\sec^{2}t-\tan^{2}t = 1$等来化简根式。 - - **双曲代换(暂时没遇过)**： - - 双曲函数定义为$\displaystyle \sinh x=\frac{e^{x}-e^{-x}}{2}$，$\displaystyle \cosh x=\frac{e^{x}+e^{-x}}{2}$，且$\cosh^{2}x-\sinh^{2}x = 1$。 - - 当被积函数含有$\displaystyle \sqrt{x^{2}+a^{2}}$时，也可令$x = a\sinh t$，因为$\displaystyle \sqrt{x^{2}+a^{2}}=\sqrt{a^{2}\sinh^{2}t+a^{2}}=a\cosh t$，这样代换后可以简化积分运算。 - -### 分部积分法 - -**分部积分公式** - -- 设函数$u = u(x)$及$v = v(x)$具有连续导数，那么 - - $$ - \int u(x)v^{\prime}(x)dx = u(x)v(x)-\int v(x)u^{\prime}(x)dx - $$ - - 也可以写成 - - $$ - \int udv = uv-\int vdu - $$ - -### 有理函数的积分 - -就是拆开 - -### 定积分 - -暂无 - -### 积分中值定理 - -**积分第一中值定理** - -- 若函数$f(x)$在闭区间$[a,b]$上连续，则在$[a,b]$上至少存在一点$\xi$，使得 - $$ - \displaystyle \int_{a}^{b}f(x)dx = f(\xi)(b - a) - $$ - -> 这个定理的几何意义是：对于在区间$[a,b]$上连续的函数$y = f(x)$，由曲线$y = f(x)$、$x=a$、$x = b$以及$x$轴所围成的曲边梯形的面积等于以区间$[a,b]$为底，以这个区间内某一点$\xi$处的函数值$f(\xi)$为高的矩形的面积。 - -**积分第二中值定理** - -- 第一形式：设$f(x)$在$[a,b]$上可积，$g(x)$在$[a,b]$上单调递减且$g(x)\geq0$，则存在$\xi\in[a,b]$，使得 - -$$ -\int_{a}^{b}f(x)g(x)dx = g(a)\int_{a}^{\xi}f(x)dx -$$ - -- 第二形式：设$f(x)$在$[a,b]$上可积，$g(x)$在$[a,b]$上单调，那么存在$\xi\in[a,b]$，使得 - -$$ -\int_{a}^{b}f(x)g(x)dx = g(a)\int_{a}^{\xi}f(x)dx+g(b)\int_{\xi}^{b}f(x)dx -$$ - -### 泰勒公式 - -#### 带佩亚诺余项 - -若函数$f(x)$在点$x_0$存在直至$n$阶导数，则 - -$$ -\displaystyle f(x)=f(x_0)+f'(x_0)(x - x_0)+\frac{f''(x_0)}{2!}(x - x_0)^2+\cdots+\frac{f^{(n)}(x_0)}{n!}(x - x_0)^n+o((x - x_0)^n) -$$ - -其中$o((x - x_0)^n)$为佩亚诺余项，表示当$x\to x_0$时，余项是比$(x - x_0)^n$高阶的无穷小. - -#### 带拉格朗日余项 - -若函数$f(x)$在含有$x_0$的某个开区间$(a,b)$内具有$n + 1$阶导数，则对于$\forall x\in(a,b)$，有 - -$$ -f(x)=f(x_0)+f'(x_0)(x - x_0)+\frac{f''(x_0)}{2!}(x - x_0)^2+\cdots+\frac{f^{(n)}(x_0)}{n!}(x - x_0)^n+R_n(x) -$$ - -其中$\displaystyle R_n(x)=\frac{f^{(n + 1)}(\xi)}{(n + 1)!}(x - x_0)^{n + 1}$，$\xi$是介于$x_0$与$x$之间的某个值. - -### 常见泰勒公式 - -#### 指数函数 - -$$ -e^x = 1 + x +\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!}+\cdots+\frac{x^n}{n!}+\cdots -$$ - -#### 对数函数 - -$$ -\ln(1 + x)=x-\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{3}-\cdots+(-1)^{n - 1}\frac{x^n}{n}+\cdots -$$ - -#### 三角函数 - -- **正弦函数**： - -$$ -\sin x = x -\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}-\cdots+(-1)^{n - 1}\frac{x^{2n - 1}}{(2n - 1)!}+\cdots -$$ - -- **余弦函数**： - -$$ -\cos x = 1 -\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}-\cdots+(-1)^{n}\frac{x^{2n}}{(2n)!}+\cdots -$$ - -- **正切函数**： - -$$ -\tan x = x +\frac{x^3}{3}+\frac{2x^5}{15}+\cdots -$$ - -#### 反三角函数 - -- **反正弦函数**： - -$$ -\arcsin x = x +\frac{1}{2}\cdot\frac{x^3}{3}+\frac{1\cdot3}{2\cdot4}\cdot\frac{x^5}{5}+\cdots -$$ - -- **反正切函数**： - -$$ -\arctan x = x -\frac{x^3}{3}+\frac{x^5}{5}-\cdots+(-1)^{k - 1}\frac{x^{2k - 1}}{2k - 1}+\cdots -$$ - -#### 双曲函数 - -- **双曲正弦函数**： - -$$ -\sinh x = x +\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}+\cdots+(-1)^{k - 1}\frac{x^{2k - 1}}{(2k - 1)!}+\cdots -$$ - -- **双曲余弦函数**： - -$$ -\cosh x = 1 +\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}+\cdots+(-1)^{k}\frac{x^{2k}}{(2k)!}+\cdots -$$ - -#### 幂函数 - -$$ -(1 + x)^{\alpha}=1+\alpha x+\frac{\alpha(\alpha - 1)}{2!}x^{2}+\cdots+\frac{\alpha(\alpha - 1)\cdots(\alpha - n + 1)}{n!}x^{n}+\cdots -$$ - -#### 自己推到: - -麦克劳林展开式为： - -$$ -f(x)=f(0)+f'(0)x+\frac{f''(0)}{2!}x^{2}+\frac{f'''(0)}{3!}x^{3}+\cdots+\frac{f^{(n)}(0)}{n!}x^{n}+r_{n}(x) -$$ - -其中$r_{n}(x)$为余项 - -### 体积 - -暂无 - -### 弧长 - -##### （1）直角坐标形式 - -若曲线的方程为$y = f(x)$，$a\leq x\leq b$，且$f(x)$在区间$[a,b]$上具有连续导数，则曲线弧长$s$的计算公式为： - -$$ -s=\int_{a}^{b}\sqrt{1 + [f'(x)]^{2}}dx -$$ - -##### （2）参数方程形式 - -若曲线由参数方程$\left\{\begin{array}{l}x = x(t)\\y = y(t)\end{array}\right.$给出，$\alpha\leq t\leq\beta$，其中$x(t)$、$y(t)$在区间$[\alpha,\beta]$上具有连续导数，则曲线弧长$s$的计算公式为： - -$$ -s=\int_{\alpha}^{\beta}\sqrt{[x'(t)]^{2}+[y'(t)]^{2}}dt -$$ - -##### （3）极坐标形式 - -若曲线的极坐标方程为$\rho = \rho(\theta)$，$\alpha\leq\theta\leq\beta$，且$\rho(\theta)$在区间$[\alpha,\beta]$上具有连续导数，则曲线弧长$s$的计算公式为： - -$$ -s=\int_{\alpha}^{\beta}\sqrt{\rho^{2}(\theta)+[\rho'(\theta)]^{2}}d\theta -$$ - -### 曲率 - -**直角坐标系的曲率** - -$$ -\left|\frac{y^{\prime\prime}}{\left[1+(y^{\prime})^{2}\right]^{\frac{3}{2}}}\right| -$$ - -**参数方程的曲率** - -- 若曲线由参数方程$\left\{\begin{array}{l}x = x(t)\\y = y(t)\end{array}\right.$给出，$t$为参数。则$x^{\prime}=x^{\prime}(t)$，$y^{\prime}=y^{\prime}(t)$，$x^{\prime\prime}=x^{\prime\prime}(t)$，$y^{\prime\prime}=y^{\prime\prime}(t)$。 -- 曲率公式为 - $$ - \left|\frac{x^{\prime}(t)y^{\prime\prime}(t)-x^{\prime\prime}(t)y^{\prime}(t)}{\left[(x^{\prime}(t))^{2}+(y^{\prime}(t))^{2}\right]^{\frac{3}{2}}}\right| - $$ - -### 面积 - -1. **直角坐标下求面积** - - - 设函数$y = f(x)$在区间$[a,b]$上连续且$f(x)\geqslant0$，那么由曲线$y = f(x)$，直线$x = a$，$x = b$以及$x$轴所围成的曲边梯形的面积 - - $$ - \int_{a}^{b}f(x)dx - $$ - -2. **极坐标下求面积** - - - 由极坐标方程$\rho=\rho(\theta)$，$\alpha\leqslant\theta\leqslant\beta$所围成的图形的面积 - $$ - S=\frac{1}{2}\int_{\alpha}^{\beta}\rho^{2}(\theta)d\theta - $$ -3. **参数方程下求面积** - - - 若曲线$C$的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}x = x(t)\\y = y(t)\end{array}\right.$，$\alpha\leqslant t\leqslant\beta$，且$x(t)$，$y(t)$具有连续的一阶导数，$x^{\prime}(t)$不变号。 - - 当$x^{\prime}(t)>0$时，曲线$C$与直线$x = a,x = b,y = 0$所围成的图形的面积 - - $$ - A=\int_{\alpha}^{\beta}y(t)x^{\prime}(t)dt - $$ - -#### **直角坐标与极坐标的转换关系** - -- 直角坐标用$(x,y)$表示，极坐标用$(\rho,\theta)$表示，它们之间的转换公式为$x = \rho\cos\theta$，$y=\rho\sin\theta$，且$\rho^{2}=x^{2} + y^{2}$ - -## 一些例题 - -* 求极限 - -$$ -\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n \frac{\ln (1+1 / i)}{\sin 1 / i} -$$ - -* 解答： - -$$ -\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n \frac{\ln (1+1 / i)}{\sin 1 / i}=\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{\ln (1+1 / n)}{\sin 1 / n}=\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\ln (1+x)}{\sin x}=1 -$$ - -## 黎曼和 - -当分割子区间的最大长度$\lambda \to 0$（$n\to+\infty$且分割越来越细）时，黎曼和的极限若存在，就是函数$f(x)$在区间$[a,b]$上的定积分，即 - -$$ -\int_{a}^{b}f(x)dx=\lim\limits_{\lambda\to0}\sum_{i = 1}^{n}f(\xi_{i})\Delta x_{i} -$$ - -## 第十章 数项级数 - -### 一、正项级数敛散性判别法 - -#### （一）比较判别法 - -1. **原理**：设$\displaystyle\sum_{n = 1}^{\infty}a_{n}$和$\displaystyle\sum_{n = 1}^{\infty}b_{n}$是两个正项级数，且$a_{n}\leq b_{n}(n = 1,2,\cdots)$。若$\displaystyle\sum_{n = 1}^{\infty}b_{n}$收敛，则$\displaystyle\sum_{n = 1}^{\infty}a_{n}$也收敛；若$\displaystyle\sum_{n = 1}^{\infty}a_{n}$发散，则$\displaystyle\sum_{n = 1}^{\infty}b_{n}$也发散。 -2. **例如**：判断$\displaystyle\sum_{n = 1}^{\infty}\frac{1}{n^{2}+ 1}$的敛散性。因为$\displaystyle\frac{1}{n^{2}+1}<\frac{1}{n^{2}}$，而$\displaystyle\sum_{n = 1}^{\infty}\frac{1}{n^{2}}$是收敛的$p$级数（$p = 2>1$），所以$\displaystyle\sum_{n = 1}^{\infty}\frac{1}{n^{2}+1}$收敛。 - -#### （二）比较判别法的极限形式 - -1. **原理**：设$\displaystyle\sum_{n = 1}^{\infty}a_{n}$和$\displaystyle\sum_{n = 1}^{\infty}b_{n}$是两个正项级数，且$\displaystyle\lim_{n \rightarrow \infty}\frac{a_{n}}{b_{n}} = l$（ $ 0 < l <+\infty$），则$\displaystyle\sum_{n = 1}^{\infty}a_{n}$与$\displaystyle\sum_{n = 1}^{\infty}b_{n}$敛散性相同。 -2. **例如**：判断$\displaystyle\sum_{n = 1}^{\infty}\sin\frac{1}{n}$的敛散性。因为$\displaystyle\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{\sin\frac{1}{n}}{\frac{1}{n}} = 1$，而$\displaystyle\sum_{n = 1}^{\infty}\frac{1}{n}$发散，所以$\displaystyle\sum_{n = 1}^{\infty}\sin\frac{1}{n}$发散。 - -#### （三）比值判别法（达朗贝尔判别法） - -1. **原理**：设$\displaystyle\sum_{n = 1}^{\infty}a_{n}$是正项级数，且$\displaystyle\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{a_{n + 1}}{a_{n}}=\rho$。当$\displaystyle\rho<1$时，级数$\displaystyle\sum_{n = 1}^{\infty}a_{n}$收敛；当$\displaystyle\rho>1$（包括$\displaystyle\rho = +\infty$）时，级数$\displaystyle\sum_{n = 1}^{\infty}a_{n}$发散；当$\displaystyle\rho = 1$时，判别法失效。 -2. **例如**：判断$\displaystyle\sum_{n = 1}^{\infty}\frac{n!}{n^{n}}$的敛散性。计算$\displaystyle\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{a_{n+1}}{a_{n}}=\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{(n + 1)!}{(n+1)^{n+1}}\cdot\frac{n^{n}}{n!}=\lim_{n\rightarrow\infty}\left(\frac{n}{n + 1}\right)^{n}=\frac{1}{e}<1$，所以级数收敛。 - -#### （四）根值判别法（柯西判别法） - -1. **原理**：设$\displaystyle\sum_{n = 1}^{\infty}a_{n}$是正项级数，且$\displaystyle\lim_{n\rightarrow\infty}\sqrt[n]{a_{n}}=\rho$。当$\displaystyle\rho<1$时，级数$\displaystyle\sum_{n = 1}^{\infty}a_{n}$收敛；当$\displaystyle\rho>1$（包括$\displaystyle\rho = +\infty$）时，级数$\displaystyle\sum_{n = 1}^{\infty}a_{n}$发散；当$\displaystyle\rho = 1$时，判别法失效。 -2. **例如**：判断$\displaystyle\sum_{n = 1}^{\infty}\left(\frac{n}{2n+1}\right)^{n}$的敛散性。$\displaystyle\lim_{n\rightarrow\infty}\sqrt[n]{a_{n}}=\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{n}{2n + 1}=\frac{1}{2}<1$，所以该级数收敛。 - -#### （五）积分判别法 - -1. **原理**：设$f(x)$是$[1,+\infty)$上非负、单调递减的连续函数，令$a_{n}=f(n)$，则级数$\displaystyle\sum_{n = 1}^{\infty}a_{n}$与反常积分$\displaystyle\int_{1}^{+\infty}f(x)dx$同敛散。 -2. **例如**：判断$\displaystyle\sum_{n = 2}^{\infty}\frac{1}{n\ln n}$的敛散性。考虑函数$f(x)=\frac{1}{x\ln x}$，$\displaystyle\int_{2}^{+\infty}\frac{1}{x\ln x}dx=\lim_{t\rightarrow+\infty}\int_{2}^{t}\frac{1}{x\ln x}dx=\lim_{t\rightarrow+\infty}[\ln(\ln x)]_{2}^{t}=+\infty$，所以级数$\displaystyle\sum_{n = 2}^{\infty}\frac{1}{n\ln n}$发散。 - -#### （六）拉阿比判别法 - -1. **原理**：设$\displaystyle\sum_{n = 1}^{\infty}a_{n}$是正项级数，且$\displaystyle\lim_{n \to \infty} n\left(\frac{a_{n}}{a_{n + 1}} - 1\right)=R$。 - - 当$R > 1$时，级数$\displaystyle\sum_{n = 1}^{\infty}a_{n}$收敛； - - 当$R < 1$时，级数$\displaystyle\sum_{n = 1}^{\infty}a_{n}$发散； - - 当$R = 1$时，判别法失效。 -2. **例如**：判断级数$\displaystyle\sum_{n = 1}^{\infty}\frac{(2n)!}{(n!)^{2}}\cdot\frac{1}{2^{n}}$的敛散性。 - 计算$\displaystyle\lim_{n \to \infty} n\left(\frac{a_{n}}{a_{n + 1}} - 1\right)$： - -$$ -\begin{align*} -a_{n}&=\frac{(2n)!}{(n!)^{2}}\cdot\frac{1}{2^{n}}\\ -a_{n + 1}&=\frac{(2(n + 1))!}{((n + 1)!)^{2}}\cdot\frac{1}{2^{n + 1}}\\ -\frac{a_{n}}{a_{n + 1}}&=\frac{(2n)!}{(n!)^{2}}\cdot\frac{1}{2^{n}}\cdot\frac{((n + 1)!)^{2}}{(2(n + 1))!}\cdot 2^{n + 1}\\ -&=\frac{(2n)!}{(n!)^{2}}\cdot\frac{((n + 1)!)^{2}}{(2n + 2)!}\cdot 2\\ -&=\frac{(2n)!}{(n!)^{2}}\cdot\frac{(n + 1)^{2}\cdot (n!)^{2}}{(2n + 2)\cdot(2n + 1)\cdot(2n)!}\cdot 2\\ -&=\frac{(n + 1)^{2}}{(2n + 2)\cdot(2n + 1)}\cdot 2\\ -&=\frac{(n + 1)^{2}}{(n + 1)(2n + 1)}\cdot 2\\ -&=\frac{n + 1}{2n + 1}\cdot 2 -\end{align*} -$$ - -$$ -\begin{align*} -\lim_{n \to \infty} n\left(\frac{a_{n}}{a_{n + 1}} - 1\right)&=\lim_{n \to \infty} n\left(\frac{n + 1}{2n + 1}\cdot 2 - 1\right)\\ -&=\lim_{n \to \infty} n\left(\frac{2n + 2 - (2n + 1)}{2n + 1}\right)\\ -&=\lim_{n \to \infty} n\cdot\frac{1}{2n + 1}\\ -&=\lim_{n \to \infty}\frac{n}{2n + 1}\\ -&=\frac{1}{2} < 1 -\end{align*} -$$ - -所以级数$\displaystyle\sum_{n = 1}^{\infty}\frac{(2n)!}{(n!)^{2}}\cdot\frac{1}{2^{n}}$发散。 - -### 二、交错级数敛散性判别法 - -#### （一）莱布尼茨判别法 - -1. **原理**：对于交错级数$\displaystyle\sum_{n = 1}^{\infty}(- 1)^{n - 1}a_{n}(a_{n}>0)$，如果$a_{n}\geq a_{n + 1}(n = 1,2,\cdots)$，且$\displaystyle\lim_{n\rightarrow\infty}a_{n}=0$，那么交错级数$\displaystyle\sum_{n = 1}^{\infty}(-1)^{n-1}a_{n}$收敛。 -2. **例如**：判断$\displaystyle\sum_{n = 1}^{\infty}(-1)^{n - 1}\frac{1}{n}$的敛散性。$a_{n}=\frac{1}{n}$，显然$\displaystyle\frac{1}{n}\geq\frac{1}{n + 1}$，且$\displaystyle\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{1}{n}=0$，所以该交错级数收敛。 - -### 三、任意项级数敛散性判别法 - -#### （一）绝对收敛判别法 - -1. **原理**：若$\displaystyle\sum_{n = 1}^{\infty}\vert a_{n}\vert$收敛，则$\displaystyle\sum_{n = 1}^{\infty}a_{n}$绝对收敛，且$\displaystyle\sum_{n = 1}^{\infty}a_{n}$收敛。 -2. **例如**：判断$\displaystyle\sum_{n = 1}^{\infty}\frac{\sin n}{n^{2}}$的敛散性。因为$\displaystyle\left|\frac{\sin n}{n^{2}}\right|\leq\frac{1}{n^{2}}$，而$\displaystyle\sum_{n = 1}^{\infty}\frac{1}{n^{2}}$收敛，所以$\displaystyle\sum_{n = 1}^{\infty}\frac{\sin n}{n^{2}}$绝对收敛，从而该级数收敛。 - -#### （二）条件收敛判别法 - -如果$\displaystyle\sum_{n = 1}^{\infty}a_{n}$收敛，但$\displaystyle\sum_{n = 1}^{\infty}\vert a_{n}\vert$发散，则$\displaystyle\sum_{n = 1}^{\infty}a_{n}$条件收敛。例如$\displaystyle\sum_{n = 1}^{\infty}(-1)^{n - 1}\frac{1}{n}$收敛，但$\displaystyle\sum_{n = 1}^{\infty}\left|(-1)^{n - 1}\frac{1}{n}\right|=\sum_{n = 1}^{\infty}\frac{1}{n}$发散，所以$\displaystyle\sum_{n = 1}^{\infty}(-1)^{n - 1}\frac{1}{n}$条件收敛。 - -## 第十一章到第十三章 - -## 狄利克雷判别法： - -### 一、数项级数的狄利克雷判别法 - -设级数$\sum_{n=1}^{\infty}a_n b_n$，如果满足： - -1. 部分和序列$A_n = \sum_{k=1}^{n}a_k$有界，即存在常数$M$，使得对所有$n$，都有： -$$ -|A_n| = \left|\sum_{k=1}^{n}a_k\right| \leq M -$$ - -2. 数列$\{b_n\}$单调趋于零，即： - - 单调递减或单调递增； - $\lim_{n \to \infty} b_n = 0$。 - -则级数$\sum_{n=1}^{\infty} a_n b_n$收敛。 - -### 二、函数项级数的狄利克雷判别法 - -设函数项级数： - -$$ -\sum_{n=1}^{\infty} a_n(x)b_n(x) -$$ - -如果满足： - -1. 对每个固定的$x$，部分和序列 - -$$ -A_n(x) = \sum_{k=1}^{n} a_k(x) -$$ - -有界，即存在常数$M(x)$，使得： - -$$ -|A_n(x)|\leq M(x) -$$ - -2. 函数序列$\{b_n(x)\}$对$n$单调趋于零，即满足： - - 单调性：对于每个固定的$x$，$b_n(x)$关于$n$单调递减或递增； - - 极限性：对每个固定的$x$，有$\lim_{n \to \infty} b_n(x) = 0$。 - -则函数项级数$\sum_{n=1}^{\infty} a_n(x)b_n(x)$收敛。 - -### 三、广义积分的狄利克雷判别法 - -设积分： - -$$ -\int_{a}^{+\infty} f(x)g(x)\,\mathrm{d}x -$$ - -如果满足： - -1. 积分的原函数 - -$$ -F(x)=\int_{a}^{x}f(t)\,\mathrm{d}t -$$ - -有界，即存在常数$M$，使得： - -$$ -|F(x)|\leq M, \quad x \ge a -$$ - -2. 函数$g(x)$满足： - - 在区间$[a,+\infty)$上单调趋于零； - $\lim_{x \to +\infty} g(x)=0$。 - -则广义积分$\int_{a}^{+\infty} f(x)g(x)\,\mathrm{d}x$收敛。 - -### 四、瑕积分的狄利克雷判别法 - -设积分存在瑕点$x = a$（假设瑕点为积分下限，其他点类似），考虑积分： - -$$ -\int_{a}^{b}f(x)g(x)\,\mathrm{d}x -$$ - -如果满足： - -1. 积分的原函数： - -$$ -F(x)=\int_{a}^{x}f(t)\,\mathrm{d}t -$$ - -在靠近瑕点$x=a$时有界。 - -2. 函数$g(x)$满足： - - 在$(a,b]$上单调趋于零（当$x \to a^+$时）； - -$\lim_{x \to a^+}g(x)=0$。 - -则瑕积分$\int_{a}^{b}f(x)g(x)\,\mathrm{d}x$收敛。 - -## 阿贝尔判别法： - -### 一、数项级数的阿贝尔判别法 - -考虑级数： - -$$ -\sum_{n=1}^{\infty} a_n b_n -$$ - -如果满足以下两个条件： - -1. 级数$\sum_{n=1}^{\infty} a_n$**收敛**（而非仅仅有界）； -2. 数列$\{b_n\}$为**单调有界数列**，即： - - 存在有限的常数$M$，使得$|b_n|\leq M$，且单调（递增或递减）。 - -则级数$\sum_{n=1}^{\infty} a_n b_n$**收敛**。 - -### 二、函数项级数的阿贝尔判别法 - -#### 判别法描述： - -考虑函数项级数： - -$$ -\sum_{n=1}^{\infty} a_n(x) b_n(x) -$$ - -如果满足： - -1. 对每个固定的$x$，级数 - -$$ -\sum_{n=1}^{\infty} a_n(x) -$$ - -收敛； - -2. 对每个固定的$x$，函数序列$\{b_n(x)\}$单调有界，即： - - 存在常数$M(x)$，使得对所有$n$，$|b_n(x)|\leq M(x)$； - - 对于固定的$x$，关于$n$单调递增或递减。 - -则函数项级数$\sum_{n=1}^{\infty}a_n(x)b_n(x)$收敛。 - -### 三、广义积分的阿贝尔判别法 - -#### 判别法描述： - -考虑广义积分： - -$$ -\int_{a}^{+\infty} f(x)g(x)\,\mathrm{d}x -$$ - -如果满足： - -1. 积分$\int_{a}^{+\infty} f(x)\,\mathrm{d}x$**收敛**； -2. 函数$g(x)$在区间$[a,+\infty)$上**单调有界**，即： - - 存在常数$M$，使得$|g(x)|\leq M$，且$g(x)$在$[a,+\infty)$上单调。 - -则广义积分$\int_{a}^{+\infty} f(x)g(x)\,\mathrm{d}x$**收敛**。 - -### 四、瑕积分的阿贝尔判别法 - -#### 判别法描述： - -考虑具有瑕点的积分（例如积分下限有瑕点$a$）： - -$$ -\int_{a}^{b} f(x)g(x)\,\mathrm{d}x -$$ - -如果满足： - -1. 瑕积分$\int_{a}^{b} f(x)\,\mathrm{d}x$**收敛**； -2. 函数$g(x)$在$(a,b]$上**单调有界**，即： - - 存在常数$M$，使得对所有$x\in(a,b]$，有$|g(x)|\leq M$； - - 在区间靠近瑕点$a$时，函数$g(x)$是单调的。 - -则瑕积分$\int_{a}^{b} f(x)g(x)\,\mathrm{d}x$**收敛**。 - -## 总结成一句话： - -- **狄利克雷** 判别法：部分和有界 (震荡) × 单调趋零 = 收敛。 -- **阿贝尔** 判别法：已知收敛 (收敛×单调有界) = 收敛。 - -## 第十四章 傅里叶级数 - -### 一、傅里叶级数的基本概念与公式 - -一个定义在区间$[-l, l]$上周期为$2l$的函数$f(x)$，可表示成傅里叶级数： - -$$ -f(x) = \frac{a_0}{2} + \sum_{n=1}^{\infty} \left[a_n\cos\frac{n\pi x}{l} + b_n\sin\frac{n\pi x}{l}\right] -$$ - -#### 系数计算公式： - -- **常数项$a_0$**： - -$$ -a_0 = \frac{1}{l}\int_{-l}^{l}f(x)\,dx -$$ - -- **余弦项系数$a_n$**（$n\geq 1$）： - -$$ -a_n = \frac{1}{l}\int_{-l}^{l}f(x)\cos\frac{n\pi x}{l}\,dx -$$ - -- **正弦项系数$b_n$**（$n\geq 1$）： - -$$ -b_n = \frac{1}{l}\int_{-l}^{l}f(x)\sin\frac{n\pi x}{l}\,dx -$$ - -### 二、傅里叶级数的特殊区间（常见）: - -#### （一）区间$[-\pi,\pi]$（标准区间） - -若函数定义在$[- \pi,\pi]$，周期为$2\pi$，傅里叶级数为： - -$$ -f(x)=\frac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^{\infty}(a_n\cos nx+b_n\sin nx) -$$ - -- 系数公式： - -$$ -a_0=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(x)\,dx,\quad -a_n=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(x)\cos nx\,dx,\quad -b_n=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(x)\sin nx\,dx -$$ - -#### （二）区间$[0,2\pi]$ - -若函数定义在区间$[0,2\pi]$，周期为$2\pi$，傅里叶级数展开为： - -$$ -f(x)=\frac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^{\infty}(a_n\cos nx+b_n\sin nx) -$$ - -- 系数计算： - -$$ -a_0=\frac{1}{\pi}\int_{0}^{2\pi}f(x)\,dx,\quad -a_n=\frac{1}{\pi}\int_{0}^{2\pi}f(x)\cos nx\,dx,\quad -b_n=\frac{1}{\pi}\int_{0}^{2\pi}f(x)\sin nx\,dx -$$ - -#### （三）区间$[-l,l]$（一般区间） - -一般区间的情况（区间长度为$2l$），傅里叶级数通式为： - -$$ -f(x)=\frac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^{\infty}\left(a_n\cos\frac{n\pi x}{l}+b_n\sin\frac{n\pi x}{l}\right) -$$ - -- 系数计算： - -$$ -a_0=\frac{1}{l}\int_{-l}^{l}f(x)\,dx,\quad -a_n=\frac{1}{l}\int_{-l}^{l}f(x)\cos\frac{n\pi x}{l}\,dx,\quad -b_n=\frac{1}{l}\int_{-l}^{l}f(x)\sin\frac{n\pi x}{l}\,dx -$$ - -### 三、小结（核心公式记忆）： - -- 通式记忆： - -$$ -f(x)=\frac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^{\infty}(a_n\cos\frac{n\pi x}{l}+b_n\sin\frac{n\pi x}{l}) -$$ - -- 一般系数公式： - -$$ -a_0=\frac{1}{l}\int_{-l}^{l}f(x)dx,\quad -a_n=\frac{1}{l}\int_{-l}^{l}f(x)\cos\frac{n\pi x}{l}dx,\quad -b_n=\frac{1}{l}\int_{-l}^{l}f(x)\sin\frac{n\pi x}{l}dx -$$ - -- 区间特化记忆： - - 标准区间$[-\pi,\pi]$时，公式中$l=\pi$； - - 区间$[0,2\pi]$时，积分区间改为$[0,2\pi]$。 - -## 第十五章——第二十章 - -### 一、二元函数的极限与连续性 - -#### 1. 函数极限定义 - -假设函数$f(x,y)$定义在点$(x_0,y_0)$的去心领域内，若对任意路径$(x,y)\rightarrow(x_0,y_0)$，极限值均存在且相等，则记为极限： - -$$ -\lim_{(x,y)\to(x_0,y_0)} f(x,y)=L -$$ - -#### 2. 二元函数极限存在判定 - -- 当沿不同路径趋于同一点的极限值不同时，则该二元函数极限不存在。 - -常用方法： - -- 沿特殊路径（如$x = x_0$,$y = y_0$,$y = k(x - x_0)$等）求极限并比较。 -- 极坐标法：将$(x, y)$替换为$(r\cos\theta, r\sin\theta)$，考察当$r \to 0$时的极限。 - -#### 3. 二元函数的连续性 - -若二元函数满足： - -$$ -\lim_{(x,y)\to(x_0,y_0)}f(x,y)=f(x_0,y_0) -$$ - -则称函数在点$(x_0,y_0)$连续。 - -连续函数的性质： - -- 基本运算法则（加、减、乘、除、复合运算）在连续点均保持连续。 -- 多项式函数、指数函数、三角函数在定义域内连续。 - -### 二、二元函数的偏导数与高阶偏导 - -#### 1. 偏导数定义 - -给定二元函数$z = f(x, y)$，偏导数表示函数沿坐标轴方向的变化率： - -$$ -f_x(x,y)=\frac{\partial f}{\partial x}=\lim_{\Delta x \to 0}\frac{f(x+\Delta x,y)-f(x,y)}{\Delta x} -$$ - -$$ -f_y(x,y)=\frac{\partial f}{\partial y}=\lim_{\Delta y \to 0}\frac{f(x,y+\Delta y)-f(x,y)}{\Delta y} -$$ - -#### 2. 高阶偏导 - -常见的二阶偏导： - -$$ -f_{xx}(x,y)=\frac{\partial^2 f}{\partial x^2}, \quad f_{yy}(x,y)=\frac{\partial^2 f}{\partial y^2},\quad f_{xy}(x,y)=\frac{\partial^2 f}{\partial y \partial x},\quad f_{yx}(x,y)=\frac{\partial^2 f}{\partial x \partial y} -$$ - -偏导连续、光滑函数具有性质： - -$$ -f_{xy}(x,y)=f_{yx}(x,y) -$$ - -（克莱罗定理） - -### 三、二元函数的可微性与全微分 - -#### 1. 二元函数的可微定义 - -设二元函数$z=f(x,y)$，若其变化量可表示为线性主部与高阶无穷小之和： - -$$ -\Delta z = f(x+\Delta x,y+\Delta y)-f(x,y)=f_x(x,y)\Delta x+f_y(x,y)\Delta y+o(\rho),\quad(\rho=\sqrt{\Delta x^2+\Delta y^2}) -$$ - -且满足： - -$$ -\lim_{\rho\to 0}\frac{o(\rho)}{\rho}=0 -$$ - -则称函数在该点可微。其中： - --$f_x(x,y), f_y(x,y)$为函数在$(x,y)$点的偏导数。 --$o(\rho)$为高阶无穷小量，其在点邻域内趋于零的速度快于线性小量$\rho$。 - -几何意义： -可微函数在该点局部表现如同一个线性函数，且误差项相对于线性近似部分极小，保证函数在该点附近可用线性函数很好地逼近。 - -#### 2. 全微分形式 - -若函数在点$(x,y)$可微，则全微分为： - -$$ -dz = f_x(x,y)dx + f_y(x,y)dy -$$ - -作为函数在该点的线性近似。 - -#### 3. 可微性与连续性、偏导关系： - -函数可微 ⇒ 函数必定连续，且偏导数存在。但偏导数存在不能保证函数一定可微。充分条件（常见判定定理）： - -- 若函数两个偏导数在点附近连续，则该函数在该点一定可微。 - -### 四、二元函数的极值与最小二乘法 - -#### 1. 极值 - -若点$(x_0, y_0)$为极值点（可能极大或极小），则有： - -$$ -f_x(x_0,y_0)=0,\quad f_y(x_0,y_0)=0 -$$ - -##### 二阶导数判别法 - -定义 Hessian 判别式： - -$$ -H = -\begin{vmatrix} -f_{xx}(x_0,y_0) & f_{xy}(x_0,y_0) \\ -f_{yx}(x_0,y_0) & f_{yy}(x_0,y_0) -\end{vmatrix} -$$ - -- 若$H>0, f_{xx}(x_0,y_0)>0$，点为极小； -- 若$H>0, f_{xx}(x_0,y_0)<0$，点为极大； -- 若$H<0$，则为鞍点，不为极值点。 - -#### 2. 最小二乘法（Least Squares Method） - -拟合数据曲线，用以确定线性模型参数： - -对于拟合函数$y = ax + b$，最小化平方误差之和： - -$$ -S(a,b) = \sum_{i=1}^{n}(y_i - ax_i - b)^2 -$$ - -通过偏导求驻点建立法方程： - -$$ -\frac{\partial S}{\partial a}=0,\quad \frac{\partial S}{\partial b}=0 -$$ - -由此解出最优参数$a, b$。 - -### 五、条件极值与拉格朗日乘数法 - -求函数$f(x,y)$在约束条件$g(x,y)=0$下的极值。 - -构建拉格朗日函数： - -$$ -L(x,y,\lambda)=f(x,y)-\lambda g(x,y) -$$ - -其中$g(x,y)=h(x,y)-c$为约束函数。 - -由方程组： - -$$ -\nabla L = 0 \Rightarrow -\begin{cases} -f_x(x,y)-\lambda g_x(x,y)=0 \\ -f_y(x,y)-\lambda g_y(x,y)=0 \\ -g(x,y)=0 -\end{cases} -$$ - -求解确定极值点。 - -### 六、含参变量的积分、广义积分与欧拉积分 - -#### 1. 含参变量积分 - -积分形式： - -$$ -F(a)=\int_{u(a)}^{v(a)} f(x,a)\,dx -$$ - -求导法则（Leibniz公式）： - -$$ -F'(a)=f[v(a),a]\cdot v'(a)-f[u(a),a]\cdot u'(a)+\int_{u(a)}^{v(a)} \frac{\partial f}{\partial a}(x,a)\,dx -$$ - -#### 2. 广义积分 - -例如： - -$$ -\int_{0}^{+\infty} f(x,a)\,dx -$$ - -判断广义积分收敛的常用方法： - -- 比较判别法 -- 极限判别法 - -#### 3. 欧拉积分 - -- 第一类欧拉积分（Beta函数）： - -$$ -B(x,y)=\int_0^1 t^{x-1}(1-t)^{y-1}\,dt,\quad x>0,y>0 -$$ - -- 第二类欧拉积分（Gamma函数）： - -$$ -\Gamma(x)=\int_0^{+\infty} t^{x-1}e^{-t}\,dt,\quad x>0 -$$ - -- 两者关系： - -$$ -B(x,y)=\frac{\Gamma(x)\Gamma(y)}{\Gamma(x+y)} -$$ - -### 七、重积分 - -#### 二重积分定义 - -设区域$D$为闭区域，则二重积分表示为： - -$$ -\iint_{D} f(x,y)\,dxdy -$$ - -#### 计算方法 - -- 直角坐标系下的积分： - -$$ -\iint_{D} f(x,y)\,dxdy=\int_{x=a}^{x=b}\int_{y=g_1(x)}^{y=g_2(x)} f(x,y)\,dydx -$$ - -- 极坐标变换： - -$$ -x=r\cos\theta,\quad y=r\sin\theta,\quad dxdy=r\,drd\theta -$$ - -#### 应用 - -- 求面积、体积、质量、重心等 -- 交换积分次序 (Fubini定理)： - -$$ -\int_{x=a}^{x=b}\int_{y=c}^{y=d}f(x,y)\,dydx=\int_{y=c}^{y=d}\int_{x=a}^{x=b}f(x,y)\,dxdy +--- +title: 数学分析笔记 +date: 2025-01-20 14:00:00 +descriptionHTML: '纯情男大自用数学分析笔记' +tags: + - 数学 + - 笔记 +sidebar: true +readingTime: true +hidden: false +recommend: true +--- + +# 数学分析笔记 + + +## 资料下载 + +#### Markdown源码版本 +- **文件名**：数学分析完整笔记.md +- **下载链接**：[点击下载源码版本](https://github.com/handsomezhuzhu/other_note/raw/main/数学分析/数学分析完整笔记.md) + +#### PDF版本 +- **文件名**：数学分析完整笔记.pdf +- **下载链接**：[点击下载PDF版本](https://github.com/handsomezhuzhu/other_note/raw/main/数学分析/数学分析完整笔记.pdf) + + +## 完整笔记 + +**Copyright © 2024 Simon** + +## 第一章 序章 + +* 暂无 + +## 第二章 函数 + +* 反函数 + +### 三角函数和反函数 + +**倒数关系：** + +$$ +\cos\theta \cdot \sec\theta = 1 +$$ + +$$ +\sin\theta \cdot \csc\theta = 1 +$$ + +$$ +\tan\theta \cdot \cot\theta = 1 +$$ + +**商数关系：** + +$$ +\tan\theta = \frac{\sin\theta}{\cos\theta} +$$ + +$$ +\cot\theta = \frac{\cos\theta}{\sin\theta} +$$ + +**平方关系：** + +$$ +\sin^{2}\theta + \cos^{2}\theta = 1 +$$ + +$$ +1 + \tan^{2}\theta = \sec^{2}\theta +$$ + +$$ +1 + \cot^{2}\theta = \csc^{2}\theta +$$ + +**积化和差公式：** + +$$ +sin\alpha\cos\beta=\frac{1}{2}[\ \sin(\alpha + \beta)+\sin(\alpha-\beta)] +$$ + +$$ +cos\alpha\sin\beta=\frac{1}{2}[\ \sin(\alpha + \beta)-\sin(\alpha-\beta)] +$$ + +$$ +cos\alpha\cos\beta=\frac{1}{2}[\ \cos(\alpha + \beta)+\cos(\alpha-\beta)] +$$ + +$$ +sin\alpha\sin\beta=-\frac{1}{2}[\ \cos(\alpha + \beta)-\cos(\alpha-\beta)] +$$ + +**和差化积：** + +1. **正弦函数的和差化积公式：** + + $$ + sin\alpha+\sin\beta = 2\sin\frac{\alpha + \beta}{2}\cos\frac{\alpha-\beta}{2} + $$ + + $$ + sin\alpha-\sin\beta = 2\cos\frac{\alpha + \beta}{2}\sin\frac{\alpha-\beta}{2} + $$ +2. **余弦函数的和差化积公式：** + + $$ + cos\alpha+\cos\beta = 2\cos\frac{\alpha + \beta}{2}\cos\frac{\alpha-\beta}{2} + $$ + + $$ + cos\alpha-\cos\beta=2\sin\frac{\alpha + \beta}{2}\sin\frac{\alpha-\beta}{2} + $$ + +#### 三角函数 + +* **余切函数**： + 定义： + + $$ + \cot\theta = \frac{\cos\theta}{\sin\theta} + $$ + + 在直角三角形中 + + $$ + \cot\theta = \frac{邻边}{对边} + $$ + + 值域：$R$，定义域：$\theta \neq k\pi, k \in Z$ +* **正割函数**： + 定义： + + $$ + \sec\theta = \frac{1}{\cos\theta} + $$ + + 值域：$(-\infty, 1]\cup[1,\infty)$，定义域：$\displaystyle \theta \neq k\pi + \frac{\pi}{2}, k \in Z$。 +* **余割函数**： + 定义： + + $$ + \csc\theta = \frac{1}{\sin\theta} + $$ + + 值域：$(-\infty, 1]\cup[1,\infty)$，定义域：$\theta \neq k\pi, k \in Z$。 + +#### 反三角函数 + +1. **反正弦函数**： + 符号： + + $$ + y = \arcsin x + $$ + + 定义域：$[-1,1]$，值域：$\displaystyle\left[-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right]$ + 性质： + + $$ + \sin(\arcsin x) = x, x \in [1,1] + $$ + + $$ + \arcsin(\sin y) = y, y \in \left[-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right] + $$ +2. **反余弦函数**： + 符号： + + $$ + y = \arccos x + $$ + + 定义域：$[-1,1]$，值域：$[0,\pi]$ + 性质： + + $$ + \cos(\arccos x) = x, x \in [-1,1] + $$ + + $$ + \arccos(\cos y) = y, y \in [0,\pi] + $$ +3. **反正切函数**： + 符号： + + $$ + y = \arctan x + $$ + + 定义域：$R$，值域：$\left(-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right)$ + 性质： + + $$ + \tan(\arctan x) = x, x \in R + $$ + + $$ + \arctan(\tan y) = y, y \in \left(-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right) + $$ +4. **反余切函数**： + 符号： + + $$ + y = \text{arccot} x + $$ + + 定义域：$R$，值域：$(0,\pi)$ + 性质： + + $$ + \cot(\text{arccot} x) = x, x \in R + $$ + + $$ + \text{arccot}(\cot y) = y, y \in (0,\pi) + $$ + +## 第三章 极限 + +### 数列的极限 + +#### 数列极限的$\varepsilon - N$语言证明 + +1. **定义** + 数列$\{a_{n}\}$极限是$A$（记为$\lim_{n\rightarrow\infty}a_{n}=A$）的$\varepsilon - N$定义：对于任意给定的正数$\varepsilon\gt0$，存在正整数$N$，使得当$n > N$时，$\vert a_{n}-A\vert\lt\varepsilon$成立。 +2. **证明步骤** + - **步骤一：给定$\varepsilon\gt0$** + - **步骤二：寻找$N$** + + - 通过分析$\vert a_{n}-A\vert\lt\varepsilon$，对$a_{n}$表达式变形来确定与$\varepsilon$有关的正整数$N$。 + - 例如，对于数列$\displaystyle a_{n}=\frac{1}{n}$证明$\displaystyle\lim_{n\rightarrow\infty}a_{n}=0$，由$\displaystyle\vert a_{n}-0\vert=\vert\frac{1}{n}-0\vert=\frac{1}{n}$，要使$\displaystyle \frac{1}{n}\lt\varepsilon$，得$\displaystyle n>\frac{1}{\varepsilon}$，可取$\displaystyle N = [\frac{1}{\varepsilon}]+1$（$[x]$表示不超过 $x$ 的最大整数）。 + - **步骤三：验证$n > N$时$\vert a_{n}-A\vert\lt\varepsilon$成立** + + - 仍以上例说明，当$\displaystyle n > N = [\frac{1}{\varepsilon}]+1$时，$n>\frac{1}{\varepsilon}$，则$\displaystyle \frac{1}{n}\lt\varepsilon$，即$\displaystyle \vert a_{n}-0\vert\lt\varepsilon$，证得$\displaystyle \lim_{n\rightarrow\infty}\frac{1}{n}=0$。 + +#### 利用夹迫性证明数列极限 + +1. **夹迫性定理** + 若存在三个数列$\{a_{n}\}$，$\{b_{n}\}$，$\{c_{n}\}$，满足当$n$足够大（比如$n > N_{0}$，$N_{0}$为某个正整数）时，$a_{n}\leq b_{n}\leq c_{n}$，且$\lim_{n\rightarrow\infty}a_{n}=\lim_{n\rightarrow\infty}c_{n}=A$，那么$\lim_{n\rightarrow\infty}b_{n}=A$。 + +### 函数的极限 + +1. **当$x\to0$时** + - **$x$与$\sin x$是等价无穷小**： + - 根据等价无穷小的定义， + $$ + \lim_{x \to 0}\frac{\sin x}{x}=1 + $$ + - **$x$与$\tan x$是等价无穷小**： + - 同样有 + $$ + \lim_{x \to 0}\frac{\tan x}{x}=1 + $$ + - **$1 - \cos x$与$\frac{1}{2}x^{2}$是高阶等价无穷小**： + - 由 + $$ + \lim_{x \to 0}\frac{1 - \cos x}{\frac{1}{2}x^{2}} = 1 + $$ + +- 补充： +- $$ + x-\sin x\sim\frac{1}{6}x^{3} + $$ + +1. **当$x\to+\infty$时** + - **$\ln x$与$\sqrt{x}$的关系**： + - 对于任意正整数$n$， + $$ + \lim_{x \to +\infty}\frac{\ln x}{x^{n}} = 0 + $$ + - **$x^{n}$与$e^{x}$（$n$为常数）**： + - 对于任意常数$n$， + $$ + \lim_{x \to +\infty}\frac{x^{n}}{e^{x}} = 0 + $$ + +* 当$x\to0$时 + +$$ +\arctan{x}\to\sin{x}\to x\to \arcsin{x}\to \tan{x} \ \ \ \ \ \ {他们相差}\ \ \frac{x^3}{6} +$$ + +***重点：！！！！！（如果考试要用的话就要用泰勒展开写出来）*** + +### 函数连续性 + +暂无 + +### 无限小量和无限大量 + +暂无 + +## 第四章 微分和微商 + +### 各种函数的导数 + +1. $(kx)' = k$ +2. $(x^n)' = nx^{n - 1}$ +3. $(a^x)' = a^x \ln a$ +4. $(e^x)' = e^x$ +5. $(\log_a x)' = \frac{1}{x \ln a}$ +6. $(\ln x)' = \frac{1}{x}$ +7. $(\sin x)' = \cos x$ +8. $(\cos x)' = - \sin x$ + +*以下是重点* + +**9. $(\tan x)' = \sec^2 x$** + +**10. $(\cot x)' = - \csc^2 x$** + +**11. $(\sec x)' = \sec x \tan x$** + +**12. $(\csc x)' = - \csc x \cot x$** + +**13. $\displaystyle( \arcsin x)' = \frac{1}{\sqrt{1 - x^2}}$** + +**14. $\displaystyle( \arccos x)' = - \frac{1}{\sqrt{1 - x^2}}$** + +**15. $\displaystyle( \arctan x)' = \frac{1}{1 + x^2}$** + +**16. $\displaystyle( \text{arccot} x)' = - \frac{1}{1 + x^2}$** + +1. **双曲正弦函数（sinh x）** + - 定义：$\displaystyle\sinh x=\frac{e^{x}-e^{-x}}{2}$ + - 导数：$\displaystyle(\sinh x)'=\cosh x$ +2. **双曲余弦函数（cosh x）** + - 定义：$\displaystyle\cosh x=\frac{e^{x}+e^{-x}}{2}$ + - 导数：$\displaystyle(\cosh x)'=\sinh x$ + +### 莱布尼兹公式 + +#### 公式表述 + +若函数$u(x)$和$v(x)$都有$n$阶导数，则 + +$$ +(uv)^{(n)}=\sum_{k = 0}^{n}C_{n}^{k}u^{(n - k)}v^{(k)} +$$ + +其中： + +- $\displaystyle C_{n}^{k}=\frac{n!}{k!(n - k)!}$是二项式系数 +- $\displaystyle u^{(n-k)}$表示$u$的$(n - k)$阶导数，当$n-k = 0$时，$u^{(0)}=u$ +- $\displaystyle v^{(k)}$表示$v$的$k$阶导数，当$k = 0$时，$v^{(0)}=v$ + +> **应用举例** +> 求$y=x^{2}e^{x}$的$n$阶导数。 +> 令$u = x^{2}$，$v=e^{x}$ +> $u' = 2x$，$u''=2$，$u^{(k)}=0$ for $k>2$ +> $v^{(k)}=e^{x}$ for all $k\geqslant0$ +> 根据莱布尼兹公式$(x^{2}e^{x})^{(n)}=C_{n}^{0}x^{2}e^{x}+C_{n}^{1}(2x)e^{x}+C_{n}^{2}(2)e^{x}$ +> 即$(x^{2}e^{x})^{(n)}=(x^{2}+2nx + n(n - 1))e^{x}$ + +## 第五章 中值定理 + +### 拉格朗日中值定理 + +**定理内容** + +- 若函数$y = f(x)$满足： + - 在闭区间$[a,b]$上连续； + - 在开区间$(a,b)$内可导。 +- 那么在$(a,b)$内至少存在一点$\xi$，使得 +- $$ + f(b)-f(a)=f^{\prime}(\xi)(b - a) + $$ + +> **应用举例** +> 例如，证明不等式$\displaystyle \frac{b - a}{1 + b^{2}}<\arctan b-\arctan a<\frac{b - a}{1 + a^{2}}$，其中$a < b$。 +> 设$f(x)=\arctan x$，$f(x)$在$[a,b]$上连续，在$(a,b)$内可导，且$\displaystyle f^{\prime}(x)=\frac{1}{1 + x^{2}}$。 +> 根据拉格朗日中值定理，存在$\xi\in(a,b)$，使得$\displaystyle \arctan b-\arctan a=\frac{1}{1+\xi^{2}}(b - a)$。 +> 因为$\displaystyle \frac{1}{1 + b^{2}}<\frac{1}{1+\xi^{2}}<\frac{1}{1 + a^{2}}$ +> 所以$\displaystyle \frac{b - a}{1 + b^{2}}<\arctan b-\arctan a<\frac{b - a}{1 + a^{2}}$。 + +### 洛必达 + +没什么好说的 + +### 函数的极限 + +1. **函数极限存在的第一充分条件** + + - **内容**：设函数$f(x)$在$x_0$的某去心邻域$\dot{U}(x_0,\delta)$内有定义。 + - 若当$x \in (x_0 - \delta,x_0)$时，$f(x)$单调递增且有上界，当$x\in(x_0,x_0+\delta)$时，$f(x)$单调递减且有下界，则$\lim_{x \to x_0}f(x)$存在。 + - 反之，若当$x\in(x_0 - \delta,x_0)$时，$f(x)$单调递减且有下界，当$x\in(x_0,x_0+\delta)$时，$f(x)$单调递增且有上界，则$\lim_{x \to x_0}f(x)$存在。 +2. **函数极限存在的第二充分条件（重点看这个）** + + - **内容**：设函数$y = f(x)$在点$x_0$处具有二阶导数且$f^{\prime}(x_0)=0$，$f^{\prime\prime}(x_0)\neq0$。 + - 若$f^{\prime\prime}(x_0)>0$，则函数$y = f(x)$在$x = x_0$处取得极小值； + - 若$f^{\prime\prime}(x_0)<0$，则函数$y = f(x$在$x = x_0$处取得极大值。 + +### 函数凹凸性 + +**利用二阶导数判定** +设函数$y = f(x)$在区间$I$内具有二阶导数。 +如果$f^{\prime\prime}(x)>0$，$x\in I$，那么函数$y = f(x)$在区间$I$上是凹的。 +如果$f^{\prime\prime}(x)<0$，$x\in I$，那么函数$y = f(x)$在区间$I$上是凸的。 + +**定义5.2** +设$f(x)$在$(a,b)$有定义。若对任意$x_1$，$x_2\in(a,b)$和任意$\lambda\in(0,1)$，有 + +$$ +f(\lambda x_1+(1 - \lambda)x_2)\leq\lambda f(x_1)+(1 - \lambda)f(x_2) +$$ + +则称$f(x)$在$(a,b)$为下凸函数；若对任意$x_1$，$x_2\in(a,b)$和任意$\lambda\in(0,1)$，有 + +$$ +f(\lambda x_1+(1 - \lambda)x_2)\geq\lambda f(x_1)+(1 - \lambda)f(x_2) +$$ + +则称$f(x)$在$(a,b)$为上凸函数。 + +### 函数拐点 + +**判定方法** + +- **二阶导数法** + - 一般地，若函数$y = f(x)$在点$x_0$处二阶可导，且在$x_0$的某邻域内二阶导数$f^{\prime\prime}(x)$变号（即函数的凹凸性发生改变），同时$f^{\prime\prime}(x_0) = 0$，那么点$(x_0,f(x_0))$是函数$y = f(x)$的一个拐点。 + +> **二阶导数不存在的点也可能是拐点** + +## 第六章&第七章&第八章 积分 + +* 常见积分公式 + +## 不定积分基本公式 + +$$ +\int kdx = kx + c +$$ + +$$ +\int x^{n}dx = \frac{x^{n + 1}}{n + 1}+c +$$ + +$$ +\int e^{x}dx = e^{x}+c +$$ + +$$ +\int a^{x}dx = \frac{a^{x}}{\ln a}+c +$$ + +$$ +\int \frac{1}{x}dx = \ln |x|+c +$$ + +$$ +\int \sin xdx = -\cos x + c +$$ + +$$ +\int \cos xdx = \sin x + c +$$ + +$$ +\int \tan xdx = -\ln |\cos x|+c +$$ + +$$ +\int \cot xdx = \ln |\sin x|+c +$$ + +$$ +\int \csc xdx = \ln |\csc x - \cot x|+c +$$ + +$$ +\int \sec xdx = \ln |\sec x + \tan x|+c +$$ + +$$ +\int x^{2}dx = \frac{1}{3}x^{3}+c +$$ + +$$ +\int \frac{1}{x^{2}}dx = -\frac{1}{x}+c +$$ + +$$ +\int \frac{1}{\sin x}dx = \int \csc^{2}xdx = -\cot x + c +$$ + +$$ +\int \frac{1}{\cos^{2}x}dx = \int \sec^{2}xdx = \tan x + c +$$ + +$$ +\int \frac{1}{1 + x^{2}}dx = \arctan x + c +$$ + +$$ +\int \frac{1}{\sqrt{1 - x^{2}}}dx = \arcsin x + c +$$ + +$$ +\int \sec x\tan xdx = \sec x + c +$$ + +$$ +\int \csc x\cot xdx = -\csc x + c +$$ + +$$ +\int \frac{dx}{a^{2}+x^{2}}=\frac{1}{a}\arctan\frac{x}{a}+c +$$ + +$$ +\int \frac{dx}{x^{2}-a^{2}}=\frac{1}{2a}\ln|\frac{x - a}{x + a}|+c +$$ + +$$ +\int \frac{dx}{\sqrt{a^{2}-x^{2}}}=\arcsin\frac{x}{a}+c +$$ + +$$ +\int \frac{dx}{\sqrt{x^{2}+a^{2}}}=\ln|x+\sqrt{x^{2}+a^{2}}|+c +$$ + +$$ +\int \frac{dx}{\sqrt{x^{2}-a^{2}}}=\ln|x+\sqrt{x^{2}-a^{2}}|+c +$$ + +$$ +\int \frac{x^{2}}{1 + x^{2}}dx=\frac{1}{2}\ln(1 + x^{2})+c +$$ + +$$ +\int \frac{1}{1 + x^{2}}dx=\arctan x + c +$$ + +#### 补充 + +$$ +\int \frac{x^2}{1 + x^{2}}dx = x - \arctan x + C +$$ + +过程如下（懂了吧） + +$$ +\begin{align*} +\frac{x^2}{1 + x^{2}}&=\frac{x^2 + 1 - 1}{1 + x^{2}}\\ +&=\frac{x^2 + 1}{1 + x^{2}} - \frac{1}{1 + x^{2}}\\ +&= 1 - \frac{1}{1 + x^{2}} +\end{align*} +$$ + +$$ +\int\ln xdx=x\ln x - x + C +$$ + +### 换元积分 + +1. **第一类换元法（凑微分法）** + + - **示例**：计算$\displaystyle \int 2x\cos(x^{2})dx$。 + + - 令$u = x^{2}$，则$du=2xdx$。 + - 原积分$\displaystyle \int 2x\cos(x^{2})dx=\int\cos udu=\sin u + C$。 + - 再把$u = x^{2}$代回，得到$\sin(x^{2})+C$。 + - **常见的凑微分形式**： + + - $\displaystyle \int f(ax + b)dx=\frac{1}{a}\int f(ax + b)d(ax + b)(a\neq0)$ + - $\displaystyle \int f(x^{n})x^{n - 1}dx=\frac{1}{n}\int f(x^{n})d(x^{n})$。 + - $\displaystyle \int f(\sin x)\cos xdx=\int f(\sin x)d(\sin x)$。 +2. **第二类换元法** + + - **根式代换** + - 当被积函数中含有$\displaystyle \sqrt{a^{2}-x^{2}}(a>0)$时，可令$x = a\sin t$，$t\displaystyle \in\left(-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right)$。 + - 示例：计算$\displaystyle \int\frac{1}{\sqrt{1 - x^{2}}}dx$。 + - 令$x=\sin t$，$\displaystyle t\in\left(-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right)$，则$dx=\cos tdt$。 + - 原积分 + - $$ + \displaystyle \int\frac{1}{\sqrt{1 - x^{2}}}dx=\int\frac{1}{\sqrt{1-\sin^{2}t}}\cos tdt=\int 1dt=t + C + $$ + - 因为$\displaystyle x = \sin t$，所以$t=\arcsin x$，最终结果为$\arcsin x + C$ + - 当被积函数中含有$\displaystyle \sqrt{x^{2}+a^{2}}(a>0)$时，可令$x = a\tan t$，$\displaystyle t\in\left(-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right)$。 + - 当被积函数中含有$\displaystyle \sqrt{x^{2}-a^{2}}(a>0)$时，可令$x = a\sec t$，$\displaystyle t\in\left(0,\frac{\pi}{2}\right)\cup\left(\frac{\pi}{2},\pi\right)$。 + - **倒代换** + - 当分母的次数比分子的次数高很多时，可考虑倒代换，即令$\displaystyle x=\frac{1}{t}$。 + - 示例：计算$\displaystyle \int\frac{1}{x^{4}(1 + x^{2})}dx$。 + + - 令$\displaystyle x=\frac{1}{t}$，则$\displaystyle dx=-\frac{1}{t^{2}}dt$。 + - 原积分 + + $$ + \displaystyle \int\frac{1}{x^{4}(1 + x^{2})}dx=\int\frac{t^{4}}{1 + t^{2}}\left(-\frac{1}{t^{2}}\right)dt=-\int\frac{t^{2}}{1 + t^{2}}dt + $$ + + - 进一步化简 + $$ + \displaystyle =-\int\left(1-\frac{1}{1 + t^{2}}\right)dt=-t+\arctan t + C + $$ + - 再把$\displaystyle t=\frac{1}{x}$代回，得到$\displaystyle -\frac{1}{x}+\arctan\frac{1}{x}+C$。 +3. **三角代换与双曲代换（补充方法）** + + - **三角代换**：三角代换主要是利用三角函数之间的关系 + $\sin^{2}t+\cos^{2}t = 1$，$\sec^{2}t-\tan^{2}t = 1$等来化简根式。 + - **双曲代换(暂时没遇过)**： + - 双曲函数定义为$\displaystyle \sinh x=\frac{e^{x}-e^{-x}}{2}$，$\displaystyle \cosh x=\frac{e^{x}+e^{-x}}{2}$，且$\cosh^{2}x-\sinh^{2}x = 1$。 + - 当被积函数含有$\displaystyle \sqrt{x^{2}+a^{2}}$时，也可令$x = a\sinh t$，因为$\displaystyle \sqrt{x^{2}+a^{2}}=\sqrt{a^{2}\sinh^{2}t+a^{2}}=a\cosh t$，这样代换后可以简化积分运算。 + +### 分部积分法 + +**分部积分公式** + +- 设函数$u = u(x)$及$v = v(x)$具有连续导数，那么 + + $$ + \int u(x)v^{\prime}(x)dx = u(x)v(x)-\int v(x)u^{\prime}(x)dx + $$ + + 也可以写成 + + $$ + \int udv = uv-\int vdu + $$ + +### 有理函数的积分 + +就是拆开 + +### 定积分 + +暂无 + +### 积分中值定理 + +**积分第一中值定理** + +- 若函数$f(x)$在闭区间$[a,b]$上连续，则在$[a,b]$上至少存在一点$\xi$，使得 + $$ + \displaystyle \int_{a}^{b}f(x)dx = f(\xi)(b - a) + $$ + +> 这个定理的几何意义是：对于在区间$[a,b]$上连续的函数$y = f(x)$，由曲线$y = f(x)$、$x=a$、$x = b$以及$x$轴所围成的曲边梯形的面积等于以区间$[a,b]$为底，以这个区间内某一点$\xi$处的函数值$f(\xi)$为高的矩形的面积。 + +**积分第二中值定理** + +- 第一形式：设$f(x)$在$[a,b]$上可积，$g(x)$在$[a,b]$上单调递减且$g(x)\geq0$，则存在$\xi\in[a,b]$，使得 + +$$ +\int_{a}^{b}f(x)g(x)dx = g(a)\int_{a}^{\xi}f(x)dx +$$ + +- 第二形式：设$f(x)$在$[a,b]$上可积，$g(x)$在$[a,b]$上单调，那么存在$\xi\in[a,b]$，使得 + +$$ +\int_{a}^{b}f(x)g(x)dx = g(a)\int_{a}^{\xi}f(x)dx+g(b)\int_{\xi}^{b}f(x)dx +$$ + +### 泰勒公式 + +#### 带佩亚诺余项 + +若函数$f(x)$在点$x_0$存在直至$n$阶导数，则 + +$$ +\displaystyle f(x)=f(x_0)+f'(x_0)(x - x_0)+\frac{f''(x_0)}{2!}(x - x_0)^2+\cdots+\frac{f^{(n)}(x_0)}{n!}(x - x_0)^n+o((x - x_0)^n) +$$ + +其中$o((x - x_0)^n)$为佩亚诺余项，表示当$x\to x_0$时，余项是比$(x - x_0)^n$高阶的无穷小. + +#### 带拉格朗日余项 + +若函数$f(x)$在含有$x_0$的某个开区间$(a,b)$内具有$n + 1$阶导数，则对于$\forall x\in(a,b)$，有 + +$$ +f(x)=f(x_0)+f'(x_0)(x - x_0)+\frac{f''(x_0)}{2!}(x - x_0)^2+\cdots+\frac{f^{(n)}(x_0)}{n!}(x - x_0)^n+R_n(x) +$$ + +其中$\displaystyle R_n(x)=\frac{f^{(n + 1)}(\xi)}{(n + 1)!}(x - x_0)^{n + 1}$，$\xi$是介于$x_0$与$x$之间的某个值. + +### 常见泰勒公式 + +#### 指数函数 + +$$ +e^x = 1 + x +\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!}+\cdots+\frac{x^n}{n!}+\cdots +$$ + +#### 对数函数 + +$$ +\ln(1 + x)=x-\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{3}-\cdots+(-1)^{n - 1}\frac{x^n}{n}+\cdots +$$ + +#### 三角函数 + +- **正弦函数**： + +$$ +\sin x = x -\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}-\cdots+(-1)^{n - 1}\frac{x^{2n - 1}}{(2n - 1)!}+\cdots +$$ + +- **余弦函数**： + +$$ +\cos x = 1 -\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}-\cdots+(-1)^{n}\frac{x^{2n}}{(2n)!}+\cdots +$$ + +- **正切函数**： + +$$ +\tan x = x +\frac{x^3}{3}+\frac{2x^5}{15}+\cdots +$$ + +#### 反三角函数 + +- **反正弦函数**： + +$$ +\arcsin x = x +\frac{1}{2}\cdot\frac{x^3}{3}+\frac{1\cdot3}{2\cdot4}\cdot\frac{x^5}{5}+\cdots +$$ + +- **反正切函数**： + +$$ +\arctan x = x -\frac{x^3}{3}+\frac{x^5}{5}-\cdots+(-1)^{k - 1}\frac{x^{2k - 1}}{2k - 1}+\cdots +$$ + +#### 双曲函数 + +- **双曲正弦函数**： + +$$ +\sinh x = x +\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}+\cdots+(-1)^{k - 1}\frac{x^{2k - 1}}{(2k - 1)!}+\cdots +$$ + +- **双曲余弦函数**： + +$$ +\cosh x = 1 +\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}+\cdots+(-1)^{k}\frac{x^{2k}}{(2k)!}+\cdots +$$ + +#### 幂函数 + +$$ +(1 + x)^{\alpha}=1+\alpha x+\frac{\alpha(\alpha - 1)}{2!}x^{2}+\cdots+\frac{\alpha(\alpha - 1)\cdots(\alpha - n + 1)}{n!}x^{n}+\cdots +$$ + +#### 自己推到: + +麦克劳林展开式为： + +$$ +f(x)=f(0)+f'(0)x+\frac{f''(0)}{2!}x^{2}+\frac{f'''(0)}{3!}x^{3}+\cdots+\frac{f^{(n)}(0)}{n!}x^{n}+r_{n}(x) +$$ + +其中$r_{n}(x)$为余项 + +### 体积 + +暂无 + +### 弧长 + +##### （1）直角坐标形式 + +若曲线的方程为$y = f(x)$，$a\leq x\leq b$，且$f(x)$在区间$[a,b]$上具有连续导数，则曲线弧长$s$的计算公式为： + +$$ +s=\int_{a}^{b}\sqrt{1 + [f'(x)]^{2}}dx +$$ + +##### （2）参数方程形式 + +若曲线由参数方程$\left\{\begin{array}{l}x = x(t)\\y = y(t)\end{array}\right.$给出，$\alpha\leq t\leq\beta$，其中$x(t)$、$y(t)$在区间$[\alpha,\beta]$上具有连续导数，则曲线弧长$s$的计算公式为： + +$$ +s=\int_{\alpha}^{\beta}\sqrt{[x'(t)]^{2}+[y'(t)]^{2}}dt +$$ + +##### （3）极坐标形式 + +若曲线的极坐标方程为$\rho = \rho(\theta)$，$\alpha\leq\theta\leq\beta$，且$\rho(\theta)$在区间$[\alpha,\beta]$上具有连续导数，则曲线弧长$s$的计算公式为： + +$$ +s=\int_{\alpha}^{\beta}\sqrt{\rho^{2}(\theta)+[\rho'(\theta)]^{2}}d\theta +$$ + +### 曲率 + +**直角坐标系的曲率** + +$$ +\left|\frac{y^{\prime\prime}}{\left[1+(y^{\prime})^{2}\right]^{\frac{3}{2}}}\right| +$$ + +**参数方程的曲率** + +- 若曲线由参数方程$\left\{\begin{array}{l}x = x(t)\\y = y(t)\end{array}\right.$给出，$t$为参数。则$x^{\prime}=x^{\prime}(t)$，$y^{\prime}=y^{\prime}(t)$，$x^{\prime\prime}=x^{\prime\prime}(t)$，$y^{\prime\prime}=y^{\prime\prime}(t)$。 +- 曲率公式为 + $$ + \left|\frac{x^{\prime}(t)y^{\prime\prime}(t)-x^{\prime\prime}(t)y^{\prime}(t)}{\left[(x^{\prime}(t))^{2}+(y^{\prime}(t))^{2}\right]^{\frac{3}{2}}}\right| + $$ + +### 面积 + +1. **直角坐标下求面积** + + - 设函数$y = f(x)$在区间$[a,b]$上连续且$f(x)\geqslant0$，那么由曲线$y = f(x)$，直线$x = a$，$x = b$以及$x$轴所围成的曲边梯形的面积 + + $$ + \int_{a}^{b}f(x)dx + $$ + +2. **极坐标下求面积** + + - 由极坐标方程$\rho=\rho(\theta)$，$\alpha\leqslant\theta\leqslant\beta$所围成的图形的面积 + $$ + S=\frac{1}{2}\int_{\alpha}^{\beta}\rho^{2}(\theta)d\theta + $$ +3. **参数方程下求面积** + + - 若曲线$C$的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}x = x(t)\\y = y(t)\end{array}\right.$，$\alpha\leqslant t\leqslant\beta$，且$x(t)$，$y(t)$具有连续的一阶导数，$x^{\prime}(t)$不变号。 + - 当$x^{\prime}(t)>0$时，曲线$C$与直线$x = a,x = b,y = 0$所围成的图形的面积 + + $$ + A=\int_{\alpha}^{\beta}y(t)x^{\prime}(t)dt + $$ + +#### **直角坐标与极坐标的转换关系** + +- 直角坐标用$(x,y)$表示，极坐标用$(\rho,\theta)$表示，它们之间的转换公式为$x = \rho\cos\theta$，$y=\rho\sin\theta$，且$\rho^{2}=x^{2} + y^{2}$ + +## 一些例题 + +* 求极限 + +$$ +\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n \frac{\ln (1+1 / i)}{\sin 1 / i} +$$ + +* 解答： + +$$ +\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n \frac{\ln (1+1 / i)}{\sin 1 / i}=\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{\ln (1+1 / n)}{\sin 1 / n}=\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\ln (1+x)}{\sin x}=1 +$$ + +## 黎曼和 + +当分割子区间的最大长度$\lambda \to 0$（$n\to+\infty$且分割越来越细）时，黎曼和的极限若存在，就是函数$f(x)$在区间$[a,b]$上的定积分，即 + +$$ +\int_{a}^{b}f(x)dx=\lim\limits_{\lambda\to0}\sum_{i = 1}^{n}f(\xi_{i})\Delta x_{i} +$$ + +## 第十章 数项级数 + +### 一、正项级数敛散性判别法 + +#### （一）比较判别法 + +1. **原理**：设$\displaystyle\sum_{n = 1}^{\infty}a_{n}$和$\displaystyle\sum_{n = 1}^{\infty}b_{n}$是两个正项级数，且$a_{n}\leq b_{n}(n = 1,2,\cdots)$。若$\displaystyle\sum_{n = 1}^{\infty}b_{n}$收敛，则$\displaystyle\sum_{n = 1}^{\infty}a_{n}$也收敛；若$\displaystyle\sum_{n = 1}^{\infty}a_{n}$发散，则$\displaystyle\sum_{n = 1}^{\infty}b_{n}$也发散。 +2. **例如**：判断$\displaystyle\sum_{n = 1}^{\infty}\frac{1}{n^{2}+ 1}$的敛散性。因为$\displaystyle\frac{1}{n^{2}+1}<\frac{1}{n^{2}}$，而$\displaystyle\sum_{n = 1}^{\infty}\frac{1}{n^{2}}$是收敛的$p$级数（$p = 2>1$），所以$\displaystyle\sum_{n = 1}^{\infty}\frac{1}{n^{2}+1}$收敛。 + +#### （二）比较判别法的极限形式 + +1. **原理**：设$\displaystyle\sum_{n = 1}^{\infty}a_{n}$和$\displaystyle\sum_{n = 1}^{\infty}b_{n}$是两个正项级数，且$\displaystyle\lim_{n \rightarrow \infty}\frac{a_{n}}{b_{n}} = l$（ $ 0 < l <+\infty$），则$\displaystyle\sum_{n = 1}^{\infty}a_{n}$与$\displaystyle\sum_{n = 1}^{\infty}b_{n}$敛散性相同。 +2. **例如**：判断$\displaystyle\sum_{n = 1}^{\infty}\sin\frac{1}{n}$的敛散性。因为$\displaystyle\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{\sin\frac{1}{n}}{\frac{1}{n}} = 1$，而$\displaystyle\sum_{n = 1}^{\infty}\frac{1}{n}$发散，所以$\displaystyle\sum_{n = 1}^{\infty}\sin\frac{1}{n}$发散。 + +#### （三）比值判别法（达朗贝尔判别法） + +1. **原理**：设$\displaystyle\sum_{n = 1}^{\infty}a_{n}$是正项级数，且$\displaystyle\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{a_{n + 1}}{a_{n}}=\rho$。当$\displaystyle\rho<1$时，级数$\displaystyle\sum_{n = 1}^{\infty}a_{n}$收敛；当$\displaystyle\rho>1$（包括$\displaystyle\rho = +\infty$）时，级数$\displaystyle\sum_{n = 1}^{\infty}a_{n}$发散；当$\displaystyle\rho = 1$时，判别法失效。 +2. **例如**：判断$\displaystyle\sum_{n = 1}^{\infty}\frac{n!}{n^{n}}$的敛散性。计算$\displaystyle\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{a_{n+1}}{a_{n}}=\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{(n + 1)!}{(n+1)^{n+1}}\cdot\frac{n^{n}}{n!}=\lim_{n\rightarrow\infty}\left(\frac{n}{n + 1}\right)^{n}=\frac{1}{e}<1$，所以级数收敛。 + +#### （四）根值判别法（柯西判别法） + +1. **原理**：设$\displaystyle\sum_{n = 1}^{\infty}a_{n}$是正项级数，且$\displaystyle\lim_{n\rightarrow\infty}\sqrt[n]{a_{n}}=\rho$。当$\displaystyle\rho<1$时，级数$\displaystyle\sum_{n = 1}^{\infty}a_{n}$收敛；当$\displaystyle\rho>1$（包括$\displaystyle\rho = +\infty$）时，级数$\displaystyle\sum_{n = 1}^{\infty}a_{n}$发散；当$\displaystyle\rho = 1$时，判别法失效。 +2. **例如**：判断$\displaystyle\sum_{n = 1}^{\infty}\left(\frac{n}{2n+1}\right)^{n}$的敛散性。$\displaystyle\lim_{n\rightarrow\infty}\sqrt[n]{a_{n}}=\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{n}{2n + 1}=\frac{1}{2}<1$，所以该级数收敛。 + +#### （五）积分判别法 + +1. **原理**：设$f(x)$是$[1,+\infty)$上非负、单调递减的连续函数，令$a_{n}=f(n)$，则级数$\displaystyle\sum_{n = 1}^{\infty}a_{n}$与反常积分$\displaystyle\int_{1}^{+\infty}f(x)dx$同敛散。 +2. **例如**：判断$\displaystyle\sum_{n = 2}^{\infty}\frac{1}{n\ln n}$的敛散性。考虑函数$f(x)=\frac{1}{x\ln x}$，$\displaystyle\int_{2}^{+\infty}\frac{1}{x\ln x}dx=\lim_{t\rightarrow+\infty}\int_{2}^{t}\frac{1}{x\ln x}dx=\lim_{t\rightarrow+\infty}[\ln(\ln x)]_{2}^{t}=+\infty$，所以级数$\displaystyle\sum_{n = 2}^{\infty}\frac{1}{n\ln n}$发散。 + +#### （六）拉阿比判别法 + +1. **原理**：设$\displaystyle\sum_{n = 1}^{\infty}a_{n}$是正项级数，且$\displaystyle\lim_{n \to \infty} n\left(\frac{a_{n}}{a_{n + 1}} - 1\right)=R$。 + - 当$R > 1$时，级数$\displaystyle\sum_{n = 1}^{\infty}a_{n}$收敛； + - 当$R < 1$时，级数$\displaystyle\sum_{n = 1}^{\infty}a_{n}$发散； + - 当$R = 1$时，判别法失效。 +2. **例如**：判断级数$\displaystyle\sum_{n = 1}^{\infty}\frac{(2n)!}{(n!)^{2}}\cdot\frac{1}{2^{n}}$的敛散性。 + 计算$\displaystyle\lim_{n \to \infty} n\left(\frac{a_{n}}{a_{n + 1}} - 1\right)$： + +$$ +\begin{align*} +a_{n}&=\frac{(2n)!}{(n!)^{2}}\cdot\frac{1}{2^{n}}\\ +a_{n + 1}&=\frac{(2(n + 1))!}{((n + 1)!)^{2}}\cdot\frac{1}{2^{n + 1}}\\ +\frac{a_{n}}{a_{n + 1}}&=\frac{(2n)!}{(n!)^{2}}\cdot\frac{1}{2^{n}}\cdot\frac{((n + 1)!)^{2}}{(2(n + 1))!}\cdot 2^{n + 1}\\ +&=\frac{(2n)!}{(n!)^{2}}\cdot\frac{((n + 1)!)^{2}}{(2n + 2)!}\cdot 2\\ +&=\frac{(2n)!}{(n!)^{2}}\cdot\frac{(n + 1)^{2}\cdot (n!)^{2}}{(2n + 2)\cdot(2n + 1)\cdot(2n)!}\cdot 2\\ +&=\frac{(n + 1)^{2}}{(2n + 2)\cdot(2n + 1)}\cdot 2\\ +&=\frac{(n + 1)^{2}}{(n + 1)(2n + 1)}\cdot 2\\ +&=\frac{n + 1}{2n + 1}\cdot 2 +\end{align*} +$$ + +$$ +\begin{align*} +\lim_{n \to \infty} n\left(\frac{a_{n}}{a_{n + 1}} - 1\right)&=\lim_{n \to \infty} n\left(\frac{n + 1}{2n + 1}\cdot 2 - 1\right)\\ +&=\lim_{n \to \infty} n\left(\frac{2n + 2 - (2n + 1)}{2n + 1}\right)\\ +&=\lim_{n \to \infty} n\cdot\frac{1}{2n + 1}\\ +&=\lim_{n \to \infty}\frac{n}{2n + 1}\\ +&=\frac{1}{2} < 1 +\end{align*} +$$ + +所以级数$\displaystyle\sum_{n = 1}^{\infty}\frac{(2n)!}{(n!)^{2}}\cdot\frac{1}{2^{n}}$发散。 + +### 二、交错级数敛散性判别法 + +#### （一）莱布尼茨判别法 + +1. **原理**：对于交错级数$\displaystyle\sum_{n = 1}^{\infty}(- 1)^{n - 1}a_{n}(a_{n}>0)$，如果$a_{n}\geq a_{n + 1}(n = 1,2,\cdots)$，且$\displaystyle\lim_{n\rightarrow\infty}a_{n}=0$，那么交错级数$\displaystyle\sum_{n = 1}^{\infty}(-1)^{n-1}a_{n}$收敛。 +2. **例如**：判断$\displaystyle\sum_{n = 1}^{\infty}(-1)^{n - 1}\frac{1}{n}$的敛散性。$a_{n}=\frac{1}{n}$，显然$\displaystyle\frac{1}{n}\geq\frac{1}{n + 1}$，且$\displaystyle\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{1}{n}=0$，所以该交错级数收敛。 + +### 三、任意项级数敛散性判别法 + +#### （一）绝对收敛判别法 + +1. **原理**：若$\displaystyle\sum_{n = 1}^{\infty}\vert a_{n}\vert$收敛，则$\displaystyle\sum_{n = 1}^{\infty}a_{n}$绝对收敛，且$\displaystyle\sum_{n = 1}^{\infty}a_{n}$收敛。 +2. **例如**：判断$\displaystyle\sum_{n = 1}^{\infty}\frac{\sin n}{n^{2}}$的敛散性。因为$\displaystyle\left|\frac{\sin n}{n^{2}}\right|\leq\frac{1}{n^{2}}$，而$\displaystyle\sum_{n = 1}^{\infty}\frac{1}{n^{2}}$收敛，所以$\displaystyle\sum_{n = 1}^{\infty}\frac{\sin n}{n^{2}}$绝对收敛，从而该级数收敛。 + +#### （二）条件收敛判别法 + +如果$\displaystyle\sum_{n = 1}^{\infty}a_{n}$收敛，但$\displaystyle\sum_{n = 1}^{\infty}\vert a_{n}\vert$发散，则$\displaystyle\sum_{n = 1}^{\infty}a_{n}$条件收敛。例如$\displaystyle\sum_{n = 1}^{\infty}(-1)^{n - 1}\frac{1}{n}$收敛，但$\displaystyle\sum_{n = 1}^{\infty}\left|(-1)^{n - 1}\frac{1}{n}\right|=\sum_{n = 1}^{\infty}\frac{1}{n}$发散，所以$\displaystyle\sum_{n = 1}^{\infty}(-1)^{n - 1}\frac{1}{n}$条件收敛。 + +## 第十一章到第十三章 + +## 狄利克雷判别法： + +### 一、数项级数的狄利克雷判别法 + +设级数$\sum_{n=1}^{\infty}a_n b_n$，如果满足： + +1. 部分和序列$A_n = \sum_{k=1}^{n}a_k$有界，即存在常数$M$，使得对所有$n$，都有： +$$ +|A_n| = \left|\sum_{k=1}^{n}a_k\right| \leq M +$$ + +2. 数列$\{b_n\}$单调趋于零，即： + - 单调递减或单调递增； + $\lim_{n \to \infty} b_n = 0$。 + +则级数$\sum_{n=1}^{\infty} a_n b_n$收敛。 + +### 二、函数项级数的狄利克雷判别法 + +设函数项级数： + +$$ +\sum_{n=1}^{\infty} a_n(x)b_n(x) +$$ + +如果满足： + +1. 对每个固定的$x$，部分和序列 + +$$ +A_n(x) = \sum_{k=1}^{n} a_k(x) +$$ + +有界，即存在常数$M(x)$，使得： + +$$ +|A_n(x)|\leq M(x) +$$ + +2. 函数序列$\{b_n(x)\}$对$n$单调趋于零，即满足： + - 单调性：对于每个固定的$x$，$b_n(x)$关于$n$单调递减或递增； + - 极限性：对每个固定的$x$，有$\lim_{n \to \infty} b_n(x) = 0$。 + +则函数项级数$\sum_{n=1}^{\infty} a_n(x)b_n(x)$收敛。 + +### 三、广义积分的狄利克雷判别法 + +设积分： + +$$ +\int_{a}^{+\infty} f(x)g(x)\,\mathrm{d}x +$$ + +如果满足： + +1. 积分的原函数 + +$$ +F(x)=\int_{a}^{x}f(t)\,\mathrm{d}t +$$ + +有界，即存在常数$M$，使得： + +$$ +|F(x)|\leq M, \quad x \ge a +$$ + +2. 函数$g(x)$满足： + - 在区间$[a,+\infty)$上单调趋于零； + $\lim_{x \to +\infty} g(x)=0$。 + +则广义积分$\int_{a}^{+\infty} f(x)g(x)\,\mathrm{d}x$收敛。 + +### 四、瑕积分的狄利克雷判别法 + +设积分存在瑕点$x = a$（假设瑕点为积分下限，其他点类似），考虑积分： + +$$ +\int_{a}^{b}f(x)g(x)\,\mathrm{d}x +$$ + +如果满足： + +1. 积分的原函数： + +$$ +F(x)=\int_{a}^{x}f(t)\,\mathrm{d}t +$$ + +在靠近瑕点$x=a$时有界。 + +2. 函数$g(x)$满足： + - 在$(a,b]$上单调趋于零（当$x \to a^+$时）； + -$\lim_{x \to a^+}g(x)=0$。 + +则瑕积分$\int_{a}^{b}f(x)g(x)\,\mathrm{d}x$收敛。 + +## 阿贝尔判别法： + +### 一、数项级数的阿贝尔判别法 + +考虑级数： + +$$ +\sum_{n=1}^{\infty} a_n b_n +$$ + +如果满足以下两个条件： + +1. 级数$\sum_{n=1}^{\infty} a_n$**收敛**（而非仅仅有界）； +2. 数列$\{b_n\}$为**单调有界数列**，即： + - 存在有限的常数$M$，使得$|b_n|\leq M$，且单调（递增或递减）。 + +则级数$\sum_{n=1}^{\infty} a_n b_n$**收敛**。 + +### 二、函数项级数的阿贝尔判别法 + +#### 判别法描述： + +考虑函数项级数： + +$$ +\sum_{n=1}^{\infty} a_n(x) b_n(x) +$$ + +如果满足： + +1. 对每个固定的$x$，级数 + +$$ +\sum_{n=1}^{\infty} a_n(x) +$$ + +收敛； + +2. 对每个固定的$x$，函数序列$\{b_n(x)\}$单调有界，即： + - 存在常数$M(x)$，使得对所有$n$，$|b_n(x)|\leq M(x)$； + - 对于固定的$x$，关于$n$单调递增或递减。 + +则函数项级数$\sum_{n=1}^{\infty}a_n(x)b_n(x)$收敛。 + +### 三、广义积分的阿贝尔判别法 + +#### 判别法描述： + +考虑广义积分： + +$$ +\int_{a}^{+\infty} f(x)g(x)\,\mathrm{d}x +$$ + +如果满足： + +1. 积分$\int_{a}^{+\infty} f(x)\,\mathrm{d}x$**收敛**； +2. 函数$g(x)$在区间$[a,+\infty)$上**单调有界**，即： + - 存在常数$M$，使得$|g(x)|\leq M$，且$g(x)$在$[a,+\infty)$上单调。 + +则广义积分$\int_{a}^{+\infty} f(x)g(x)\,\mathrm{d}x$**收敛**。 + +### 四、瑕积分的阿贝尔判别法 + +#### 判别法描述： + +考虑具有瑕点的积分（例如积分下限有瑕点$a$）： + +$$ +\int_{a}^{b} f(x)g(x)\,\mathrm{d}x +$$ + +如果满足： + +1. 瑕积分$\int_{a}^{b} f(x)\,\mathrm{d}x$**收敛**； +2. 函数$g(x)$在$(a,b]$上**单调有界**，即： + - 存在常数$M$，使得对所有$x\in(a,b]$，有$|g(x)|\leq M$； + - 在区间靠近瑕点$a$时，函数$g(x)$是单调的。 + +则瑕积分$\int_{a}^{b} f(x)g(x)\,\mathrm{d}x$**收敛**。 + +## 总结成一句话： + +- **狄利克雷** 判别法：部分和有界 (震荡) × 单调趋零 = 收敛。 +- **阿贝尔** 判别法：已知收敛 (收敛×单调有界) = 收敛。 + +## 第十四章 傅里叶级数 + +### 一、傅里叶级数的基本概念与公式 + +一个定义在区间$[-l, l]$上周期为$2l$的函数$f(x)$，可表示成傅里叶级数： + +$$ +f(x) = \frac{a_0}{2} + \sum_{n=1}^{\infty} \left[a_n\cos\frac{n\pi x}{l} + b_n\sin\frac{n\pi x}{l}\right] +$$ + +#### 系数计算公式： + +- **常数项$a_0$**： + +$$ +a_0 = \frac{1}{l}\int_{-l}^{l}f(x)\,dx +$$ + +- **余弦项系数$a_n$**（$n\geq 1$）： + +$$ +a_n = \frac{1}{l}\int_{-l}^{l}f(x)\cos\frac{n\pi x}{l}\,dx +$$ + +- **正弦项系数$b_n$**（$n\geq 1$）： + +$$ +b_n = \frac{1}{l}\int_{-l}^{l}f(x)\sin\frac{n\pi x}{l}\,dx +$$ + +### 二、傅里叶级数的特殊区间（常见）: + +#### （一）区间$[-\pi,\pi]$（标准区间） + +若函数定义在$[- \pi,\pi]$，周期为$2\pi$，傅里叶级数为： + +$$ +f(x)=\frac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^{\infty}(a_n\cos nx+b_n\sin nx) +$$ + +- 系数公式： + +$$ +a_0=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(x)\,dx,\quad +a_n=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(x)\cos nx\,dx,\quad +b_n=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(x)\sin nx\,dx +$$ + +#### （二）区间$[0,2\pi]$ + +若函数定义在区间$[0,2\pi]$，周期为$2\pi$，傅里叶级数展开为： + +$$ +f(x)=\frac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^{\infty}(a_n\cos nx+b_n\sin nx) +$$ + +- 系数计算： + +$$ +a_0=\frac{1}{\pi}\int_{0}^{2\pi}f(x)\,dx,\quad +a_n=\frac{1}{\pi}\int_{0}^{2\pi}f(x)\cos nx\,dx,\quad +b_n=\frac{1}{\pi}\int_{0}^{2\pi}f(x)\sin nx\,dx +$$ + +#### （三）区间$[-l,l]$（一般区间） + +一般区间的情况（区间长度为$2l$），傅里叶级数通式为： + +$$ +f(x)=\frac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^{\infty}\left(a_n\cos\frac{n\pi x}{l}+b_n\sin\frac{n\pi x}{l}\right) +$$ + +- 系数计算： + +$$ +a_0=\frac{1}{l}\int_{-l}^{l}f(x)\,dx,\quad +a_n=\frac{1}{l}\int_{-l}^{l}f(x)\cos\frac{n\pi x}{l}\,dx,\quad +b_n=\frac{1}{l}\int_{-l}^{l}f(x)\sin\frac{n\pi x}{l}\,dx +$$ + +### 三、小结（核心公式记忆）： + +- 通式记忆： + +$$ +f(x)=\frac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^{\infty}(a_n\cos\frac{n\pi x}{l}+b_n\sin\frac{n\pi x}{l}) +$$ + +- 一般系数公式： + +$$ +a_0=\frac{1}{l}\int_{-l}^{l}f(x)dx,\quad +a_n=\frac{1}{l}\int_{-l}^{l}f(x)\cos\frac{n\pi x}{l}dx,\quad +b_n=\frac{1}{l}\int_{-l}^{l}f(x)\sin\frac{n\pi x}{l}dx +$$ + +- 区间特化记忆： + - 标准区间$[-\pi,\pi]$时，公式中$l=\pi$； + - 区间$[0,2\pi]$时，积分区间改为$[0,2\pi]$。 + +## 第十五章——第二十章 + +### 一、二元函数的极限与连续性 + +#### 1. 函数极限定义 + +假设函数$f(x,y)$定义在点$(x_0,y_0)$的去心领域内，若对任意路径$(x,y)\rightarrow(x_0,y_0)$，极限值均存在且相等，则记为极限： + +$$ +\lim_{(x,y)\to(x_0,y_0)} f(x,y)=L +$$ + +#### 2. 二元函数极限存在判定 + +- 当沿不同路径趋于同一点的极限值不同时，则该二元函数极限不存在。 + +常用方法： + +- 沿特殊路径（如$x = x_0$,$y = y_0$,$y = k(x - x_0)$等）求极限并比较。 +- 极坐标法：将$(x, y)$替换为$(r\cos\theta, r\sin\theta)$，考察当$r \to 0$时的极限。 + +#### 3. 二元函数的连续性 + +若二元函数满足： + +$$ +\lim_{(x,y)\to(x_0,y_0)}f(x,y)=f(x_0,y_0) +$$ + +则称函数在点$(x_0,y_0)$连续。 + +连续函数的性质： + +- 基本运算法则（加、减、乘、除、复合运算）在连续点均保持连续。 +- 多项式函数、指数函数、三角函数在定义域内连续。 + +### 二、二元函数的偏导数与高阶偏导 + +#### 1. 偏导数定义 + +给定二元函数$z = f(x, y)$，偏导数表示函数沿坐标轴方向的变化率： + +$$ +f_x(x,y)=\frac{\partial f}{\partial x}=\lim_{\Delta x \to 0}\frac{f(x+\Delta x,y)-f(x,y)}{\Delta x} +$$ + +$$ +f_y(x,y)=\frac{\partial f}{\partial y}=\lim_{\Delta y \to 0}\frac{f(x,y+\Delta y)-f(x,y)}{\Delta y} +$$ + +#### 2. 高阶偏导 + +常见的二阶偏导： + +$$ +f_{xx}(x,y)=\frac{\partial^2 f}{\partial x^2}, \quad f_{yy}(x,y)=\frac{\partial^2 f}{\partial y^2},\quad f_{xy}(x,y)=\frac{\partial^2 f}{\partial y \partial x},\quad f_{yx}(x,y)=\frac{\partial^2 f}{\partial x \partial y} +$$ + +偏导连续、光滑函数具有性质： + +$$ +f_{xy}(x,y)=f_{yx}(x,y) +$$ + +（克莱罗定理） + +### 三、二元函数的可微性与全微分 + +#### 1. 二元函数的可微定义 + +设二元函数$z=f(x,y)$，若其变化量可表示为线性主部与高阶无穷小之和： + +$$ +\Delta z = f(x+\Delta x,y+\Delta y)-f(x,y)=f_x(x,y)\Delta x+f_y(x,y)\Delta y+o(\rho),\quad(\rho=\sqrt{\Delta x^2+\Delta y^2}) +$$ + +且满足： + +$$ +\lim_{\rho\to 0}\frac{o(\rho)}{\rho}=0 +$$ + +则称函数在该点可微。其中： + +-$f_x(x,y), f_y(x,y)$为函数在$(x,y)$点的偏导数。 +-$o(\rho)$为高阶无穷小量，其在点邻域内趋于零的速度快于线性小量$\rho$。 + +几何意义： +可微函数在该点局部表现如同一个线性函数，且误差项相对于线性近似部分极小，保证函数在该点附近可用线性函数很好地逼近。 + +#### 2. 全微分形式 + +若函数在点$(x,y)$可微，则全微分为： + +$$ +dz = f_x(x,y)dx + f_y(x,y)dy +$$ + +作为函数在该点的线性近似。 + +#### 3. 可微性与连续性、偏导关系： + +函数可微 ⇒ 函数必定连续，且偏导数存在。但偏导数存在不能保证函数一定可微。充分条件（常见判定定理）： + +- 若函数两个偏导数在点附近连续，则该函数在该点一定可微。 + +### 四、二元函数的极值与最小二乘法 + +#### 1. 极值 + +若点$(x_0, y_0)$为极值点（可能极大或极小），则有： + +$$ +f_x(x_0,y_0)=0,\quad f_y(x_0,y_0)=0 +$$ + +##### 二阶导数判别法 + +定义 Hessian 判别式： + +$$ +H = +\begin{vmatrix} +f_{xx}(x_0,y_0) & f_{xy}(x_0,y_0) \\ +f_{yx}(x_0,y_0) & f_{yy}(x_0,y_0) +\end{vmatrix} +$$ + +- 若$H>0, f_{xx}(x_0,y_0)>0$，点为极小； +- 若$H>0, f_{xx}(x_0,y_0)<0$，点为极大； +- 若$H<0$，则为鞍点，不为极值点。 + +#### 2. 最小二乘法（Least Squares Method） + +拟合数据曲线，用以确定线性模型参数： + +对于拟合函数$y = ax + b$，最小化平方误差之和： + +$$ +S(a,b) = \sum_{i=1}^{n}(y_i - ax_i - b)^2 +$$ + +通过偏导求驻点建立法方程： + +$$ +\frac{\partial S}{\partial a}=0,\quad \frac{\partial S}{\partial b}=0 +$$ + +由此解出最优参数$a, b$。 + +### 五、条件极值与拉格朗日乘数法 + +求函数$f(x,y)$在约束条件$g(x,y)=0$下的极值。 + +构建拉格朗日函数： + +$$ +L(x,y,\lambda)=f(x,y)-\lambda g(x,y) +$$ + +其中$g(x,y)=h(x,y)-c$为约束函数。 + +由方程组： + +$$ +\nabla L = 0 \Rightarrow +\begin{cases} +f_x(x,y)-\lambda g_x(x,y)=0 \\ +f_y(x,y)-\lambda g_y(x,y)=0 \\ +g(x,y)=0 +\end{cases} +$$ + +求解确定极值点。 + +### 六、含参变量的积分、广义积分与欧拉积分 + +#### 1. 含参变量积分 + +积分形式： + +$$ +F(a)=\int_{u(a)}^{v(a)} f(x,a)\,dx +$$ + +求导法则（Leibniz公式）： + +$$ +F'(a)=f[v(a),a]\cdot v'(a)-f[u(a),a]\cdot u'(a)+\int_{u(a)}^{v(a)} \frac{\partial f}{\partial a}(x,a)\,dx +$$ + +#### 2. 广义积分 + +例如： + +$$ +\int_{0}^{+\infty} f(x,a)\,dx +$$ + +判断广义积分收敛的常用方法： + +- 比较判别法 +- 极限判别法 + +#### 3. 欧拉积分 + +- 第一类欧拉积分（Beta函数）： + +$$ +B(x,y)=\int_0^1 t^{x-1}(1-t)^{y-1}\,dt,\quad x>0,y>0 +$$ + +- 第二类欧拉积分（Gamma函数）： + +$$ +\Gamma(x)=\int_0^{+\infty} t^{x-1}e^{-t}\,dt,\quad x>0 +$$ + +- 两者关系： + +$$ +B(x,y)=\frac{\Gamma(x)\Gamma(y)}{\Gamma(x+y)} +$$ + +### 七、重积分 + +#### 二重积分定义 + +设区域$D$为闭区域，则二重积分表示为： + +$$ +\iint_{D} f(x,y)\,dxdy +$$ + +#### 计算方法 + +- 直角坐标系下的积分： + +$$ +\iint_{D} f(x,y)\,dxdy=\int_{x=a}^{x=b}\int_{y=g_1(x)}^{y=g_2(x)} f(x,y)\,dydx +$$ + +- 极坐标变换： + +$$ +x=r\cos\theta,\quad y=r\sin\theta,\quad dxdy=r\,drd\theta +$$ + +#### 应用 + +- 求面积、体积、质量、重心等 +- 交换积分次序 (Fubini定理)： + +$$ +\int_{x=a}^{x=b}\int_{y=c}^{y=d}f(x,y)\,dydx=\int_{y=c}^{y=d}\int_{x=a}^{x=b}f(x,y)\,dxdy $$ \ No newline at end of file diff --git a/docs/sop/notes/vllm-learning-notes-1.md b/docs/sop/notes/vllm-learning-notes-1.md index 27ef1b0..41a9a59 100644 --- a/docs/sop/notes/vllm-learning-notes-1.md +++ b/docs/sop/notes/vllm-learning-notes-1.md @@ -1,268 +1,268 @@ ---- -title: vllm学习笔记（壹） -date: 2025-09-06 23:00:00 # 发布日期和时间，格式：YYYY-MM-DD HH:MM:SS -descriptionHTML: '学习笔记：ray介绍，vllm的作用和主要运行方式' -tags: # 文章标签列表，用于分类和搜索 - - AI - - 笔记 -sidebar: true # 是否显示侧边栏：true显示，false隐藏 -readingTime: true # 是否显示阅读时间：true显示，false隐藏 -sticky: 0 # 精选文章设置：值越大在首页展示越靠前，0表示不精选 -recommend: true ---- - -# vLLM学习笔记（壹） - -> **版本说明**: 本文基于 vLLM 0.2.7 版本进行分析 -> **源码位置**: 相关代码主要位于 `vllm/engine/` 和 `vllm/worker/` 目录下 - -## Ray框架介绍 - -### Ray是什么 - -Ray是一个开源的分布式计算框架，专门为机器学习和AI工作负载设计。它提供了简单的API来构建和运行分布式应用程序。 - -### Ray中的有状态和无状态 - -#### 无状态服务 -- **特点**: 每次请求都是独立的，不依赖之前的状态 -- **示例**: HTTP API服务，每个请求处理完就结束 - -#### 有状态(Worker)服务 -- **特点**: 需要维护内部状态，请求之间有依赖关系 -- **优势**: 可以缓存数据，避免重复计算 -- **示例**: 数据库连接池，模型推理服务(需要保持模型在内存中) - -在vLLM中，Worker节点就是典型的**有状态服务**，因为它们需要： -- 在内存中保持加载的模型 -- 维护KV Cache状态 -- 跟踪正在处理的请求状态 - -## vLLM的作用与价值 - -### 主要作用 -1. 专门优化大语言模型的推理速度 -2. 通过PagedAttention技术显著减少内存占用 -3. 支持动态批处理，提高GPU利用率 -4. 支持多GPU和多节点部署 - -### 核心优势 -- **PagedAttention**: 将注意力机制的KV Cache分页管理，类似操作系统的虚拟内存 -- **连续批处理**: 动态调整批大小，无需等待整个批次完成 -- **零拷贝**: 减少不必要的数据复制操作 - -### KV Cache显存分配机制 - -在传统的Transformer推理中，KV Cache需要预先分配连续的显存空间，这会造成大量的内存浪费。vLLM通过PagedAttention技术，将KV Cache分割成固定大小的block块进行管理。 - -#### Block分配原理 -#### - -```mermaid -graph TB - subgraph "GPU显存空间" - subgraph "KV Cache Pool" - B1["Block 1
16 tokens
状态: 已分配"] - B2["Block 2
16 tokens
状态: 已分配"] - B3["Block 3
16 tokens
状态: 空闲"] - B4["Block 4
16 tokens
状态: 空闲"] - B5["Block 5
16 tokens
状态: 已分配"] - B6["Block 6
16 tokens
状态: 空闲"] - end - - subgraph "模型权重" - MW["Model Weights
固定占用"] - end - end - - subgraph "请求管理" - R1["Request 1
Seq ID: 001
长度: 25 tokens"] - R2["Request 2
Seq ID: 002
长度: 18 tokens"] - end - - subgraph "Block映射表" - BT["Block Table
Seq 001: [Block1, Block2]
Seq 002: [Block5]
Free: [Block3, Block4, Block6]"] - end - - R1 --> B1 - R1 --> B2 - R2 --> B5 - - BT --> B1 - BT --> B2 - BT --> B5 - - style B1 fill:#ff9999,stroke:#333,stroke-width:2px,color:#000 - style B2 fill:#ff9999,stroke:#333,stroke-width:2px,color:#000 - style B5 fill:#ff9999,stroke:#333,stroke-width:2px,color:#000 - style B3 fill:#99ff99,stroke:#333,stroke-width:2px,color:#000 - style B4 fill:#99ff99,stroke:#333,stroke-width:2px,color:#000 - style B6 fill:#99ff99,stroke:#333,stroke-width:2px,color:#000 - style MW fill:#cce5ff,stroke:#333,stroke-width:2px,color:#000 - style R1 fill:#fff2cc,stroke:#333,stroke-width:2px,color:#000 - style R2 fill:#fff2cc,stroke:#333,stroke-width:2px,color:#000 - style BT fill:#f0f0f0,stroke:#333,stroke-width:2px,color:#000 -``` - -#### 关键特性说明 - -1. **固定Block大小**: 每个Block通常包含16个token的KV Cache -2. **动态分配**: 根据序列长度动态分配所需的Block数量 -3. **非连续存储**: Block在物理内存中可以不连续，通过映射表管理 -4. **高效回收**: 请求完成后立即回收Block，供其他请求使用 - -#### 内存利用率对比 - -| 方案 | 内存预分配 | 实际使用率 | 浪费率 | -|------|------------|------------|--------| -| 传统方案 | 最大序列长度 | 20-30% | 70-80% | -| PagedAttention | 按需分配 | 90-95% | 5-10% | - -#### Block管理的具体流程 - -```python -# 位置: vllm/core/block_manager.py -class BlockManager: - def allocate_blocks(self, sequence_length): - """为序列分配所需的Block""" - blocks_needed = math.ceil(sequence_length / self.block_size) - allocated_blocks = [] - - for _ in range(blocks_needed): - if self.free_blocks: - block = self.free_blocks.pop() - allocated_blocks.append(block) - else: - # 内存不足，触发抢占机制 - self.preempt_sequences() - - return allocated_blocks - - def free_blocks(self, sequence_id): - """释放序列占用的Block""" - blocks = self.sequence_to_blocks[sequence_id] - self.free_blocks.extend(blocks) - del self.sequence_to_blocks[sequence_id] -``` - -这种设计的优势： -- **内存碎片化最小**: 固定大小的Block避免了内存碎片 -- **动态扩展**: 序列可以根据需要动态申请更多Block -- **共享机制**: 多个序列可以共享相同的prefix Block（如系统提示词） - -## vLLM运作方式详解 - -### 整体架构流程 - -``` -用户请求 → LLMEngine → Scheduler → Workers → GPU推理 → 结果返回 -``` - -### 详细运作步骤 - -1. `LLMEngine`接收用户的文本生成请求 -2. `Scheduler`决定哪些请求可以被处理 -3. 为请求分配GPU内存和计算资源 -4. 多个`Worker`并行执行推理任务 -5. 收集各Worker的输出并返回给用户 - -## 调度器(Scheduler)详解 - -### 调度器的核心职责 - -调度器是vLLM的"大脑"，主要负责： - -#### 1. 请求管理 -```python -# 位置: vllm/engine/llm_engine.py -class LLMEngine: - def __init__(self): - self.scheduler = Scheduler(...) -``` - -#### 2. 资源调度策略 -1. 跟踪可用的GPU内存 -2. 决定哪些请求可以组成一个批次 -3. 根据请求的优先级和到达时间排序 - - -### 调度算法核心逻辑 - -```python -# 简化的调度逻辑示例 -def schedule_requests(self): - # 1. 检查可用资源 - available_memory = self.get_available_memory() - - # 2. 选择可执行的请求 - executable_requests = [] - for request in self.waiting_requests: - if self.can_allocate(request, available_memory): - executable_requests.append(request) - - # 3. 返回调度结果 - return executable_requests -``` - -## Worker的作用与机制 - -### Worker的核心功能 - -Worker是vLLM的"执行者"，每个Worker负责： - -#### 1. 模型加载与管理 -```python -# 位置: vllm/worker/worker.py -class Worker: - def __init__(self): - self.model_runner = ModelRunner(...) - self.cache_engine = CacheEngine(...) -``` - -#### 2. 推理执行 -- **前向传播**: 执行模型的前向计算 -- **KV缓存管理**: 管理注意力机制的键值缓存 -- **内存分配**: 为每个请求分配必要的内存空间 - -#### 3. 状态维护 -- **请求状态跟踪**: 记录每个请求的处理进度 -- **缓存状态管理**: 维护PagedAttention的页面状态 -- **错误处理**: 处理推理过程中的异常情况 - -### Worker的工作流程 - -1. **初始化**: 加载模型权重，初始化缓存引擎 -2. **接收任务**: 从调度器接收批处理任务 -3. **执行推理**: 并行处理批次中的所有请求 -4. **返回结果**: 将推理结果返回给引擎 - -## 关键代码文件位置 - -### 主要源码文件结构 - -``` -vllm/ -├── engine/ -│ ├── llm_engine.py # 主引擎，协调整个推理流程 -│ └── async_llm_engine.py # 异步版本的引擎 -├── core/ -│ ├── scheduler.py # 调度器核心逻辑 -│ └── block_manager.py # 内存块管理器 -├── worker/ -│ ├── worker.py # Worker基类实现 -│ └── model_runner.py # 模型运行器 -└── attention/ - └── backends/ # PagedAttention实现 -``` - -### 重要文件说明 - -- **`vllm/engine/llm_engine.py`**: 整个系统的入口点和协调中心 -- **`vllm/core/scheduler.py`**: 实现了复杂的请求调度算法 -- **`vllm/worker/worker.py`**: Worker的具体实现逻辑 -- **`vllm/core/block_manager.py`**: PagedAttention的内存管理实现 - -## 总结 - -vLLM通过Ray框架实现分布式推理，采用有状态的Worker设计来保持模型和缓存状态。其核心创新在于PagedAttention技术和智能调度系统，大幅提升了大语言模型的推理效率和资源利用率。 - +--- +title: vllm学习笔记（壹） +date: 2025-09-06 23:00:00 # 发布日期和时间，格式：YYYY-MM-DD HH:MM:SS +descriptionHTML: '学习笔记：ray介绍，vllm的作用和主要运行方式' +tags: # 文章标签列表，用于分类和搜索 + - AI + - 笔记 +sidebar: true # 是否显示侧边栏：true显示，false隐藏 +readingTime: true # 是否显示阅读时间：true显示，false隐藏 +sticky: 0 # 精选文章设置：值越大在首页展示越靠前，0表示不精选 +recommend: true +--- + +# vLLM学习笔记（壹） + +> **版本说明**: 本文基于 vLLM 0.2.7 版本进行分析 +> **源码位置**: 相关代码主要位于 `vllm/engine/` 和 `vllm/worker/` 目录下 + +## Ray框架介绍 + +### Ray是什么 + +Ray是一个开源的分布式计算框架，专门为机器学习和AI工作负载设计。它提供了简单的API来构建和运行分布式应用程序。 + +### Ray中的有状态和无状态 + +#### 无状态服务 +- **特点**: 每次请求都是独立的，不依赖之前的状态 +- **示例**: HTTP API服务，每个请求处理完就结束 + +#### 有状态(Worker)服务 +- **特点**: 需要维护内部状态，请求之间有依赖关系 +- **优势**: 可以缓存数据，避免重复计算 +- **示例**: 数据库连接池，模型推理服务(需要保持模型在内存中) + +在vLLM中，Worker节点就是典型的**有状态服务**，因为它们需要： +- 在内存中保持加载的模型 +- 维护KV Cache状态 +- 跟踪正在处理的请求状态 + +## vLLM的作用与价值 + +### 主要作用 +1. 专门优化大语言模型的推理速度 +2. 通过PagedAttention技术显著减少内存占用 +3. 支持动态批处理，提高GPU利用率 +4. 支持多GPU和多节点部署 + +### 核心优势 +- **PagedAttention**: 将注意力机制的KV Cache分页管理，类似操作系统的虚拟内存 +- **连续批处理**: 动态调整批大小，无需等待整个批次完成 +- **零拷贝**: 减少不必要的数据复制操作 + +### KV Cache显存分配机制 + +在传统的Transformer推理中，KV Cache需要预先分配连续的显存空间，这会造成大量的内存浪费。vLLM通过PagedAttention技术，将KV Cache分割成固定大小的block块进行管理。 + +#### Block分配原理 +#### + +```mermaid +graph TB + subgraph "GPU显存空间" + subgraph "KV Cache Pool" + B1["Block 1
16 tokens
状态: 已分配"] + B2["Block 2
16 tokens
状态: 已分配"] + B3["Block 3
16 tokens
状态: 空闲"] + B4["Block 4
16 tokens
状态: 空闲"] + B5["Block 5
16 tokens
状态: 已分配"] + B6["Block 6
16 tokens
状态: 空闲"] + end + + subgraph "模型权重" + MW["Model Weights
固定占用"] + end + end + + subgraph "请求管理" + R1["Request 1
Seq ID: 001
长度: 25 tokens"] + R2["Request 2
Seq ID: 002
长度: 18 tokens"] + end + + subgraph "Block映射表" + BT["Block Table
Seq 001: [Block1, Block2]
Seq 002: [Block5]
Free: [Block3, Block4, Block6]"] + end + + R1 --> B1 + R1 --> B2 + R2 --> B5 + + BT --> B1 + BT --> B2 + BT --> B5 + + style B1 fill:#ff9999,stroke:#333,stroke-width:2px,color:#000 + style B2 fill:#ff9999,stroke:#333,stroke-width:2px,color:#000 + style B5 fill:#ff9999,stroke:#333,stroke-width:2px,color:#000 + style B3 fill:#99ff99,stroke:#333,stroke-width:2px,color:#000 + style B4 fill:#99ff99,stroke:#333,stroke-width:2px,color:#000 + style B6 fill:#99ff99,stroke:#333,stroke-width:2px,color:#000 + style MW fill:#cce5ff,stroke:#333,stroke-width:2px,color:#000 + style R1 fill:#fff2cc,stroke:#333,stroke-width:2px,color:#000 + style R2 fill:#fff2cc,stroke:#333,stroke-width:2px,color:#000 + style BT fill:#f0f0f0,stroke:#333,stroke-width:2px,color:#000 +``` + +#### 关键特性说明 + +1. **固定Block大小**: 每个Block通常包含16个token的KV Cache +2. **动态分配**: 根据序列长度动态分配所需的Block数量 +3. **非连续存储**: Block在物理内存中可以不连续，通过映射表管理 +4. **高效回收**: 请求完成后立即回收Block，供其他请求使用 + +#### 内存利用率对比 + +| 方案 | 内存预分配 | 实际使用率 | 浪费率 | +|------|------------|------------|--------| +| 传统方案 | 最大序列长度 | 20-30% | 70-80% | +| PagedAttention | 按需分配 | 90-95% | 5-10% | + +#### Block管理的具体流程 + +```python +# 位置: vllm/core/block_manager.py +class BlockManager: + def allocate_blocks(self, sequence_length): + """为序列分配所需的Block""" + blocks_needed = math.ceil(sequence_length / self.block_size) + allocated_blocks = [] + + for _ in range(blocks_needed): + if self.free_blocks: + block = self.free_blocks.pop() + allocated_blocks.append(block) + else: + # 内存不足，触发抢占机制 + self.preempt_sequences() + + return allocated_blocks + + def free_blocks(self, sequence_id): + """释放序列占用的Block""" + blocks = self.sequence_to_blocks[sequence_id] + self.free_blocks.extend(blocks) + del self.sequence_to_blocks[sequence_id] +``` + +这种设计的优势： +- **内存碎片化最小**: 固定大小的Block避免了内存碎片 +- **动态扩展**: 序列可以根据需要动态申请更多Block +- **共享机制**: 多个序列可以共享相同的prefix Block（如系统提示词） + +## vLLM运作方式详解 + +### 整体架构流程 + +``` +用户请求 → LLMEngine → Scheduler → Workers → GPU推理 → 结果返回 +``` + +### 详细运作步骤 + +1. `LLMEngine`接收用户的文本生成请求 +2. `Scheduler`决定哪些请求可以被处理 +3. 为请求分配GPU内存和计算资源 +4. 多个`Worker`并行执行推理任务 +5. 收集各Worker的输出并返回给用户 + +## 调度器(Scheduler)详解 + +### 调度器的核心职责 + +调度器是vLLM的"大脑"，主要负责： + +#### 1. 请求管理 +```python +# 位置: vllm/engine/llm_engine.py +class LLMEngine: + def __init__(self): + self.scheduler = Scheduler(...) +``` + +#### 2. 资源调度策略 +1. 跟踪可用的GPU内存 +2. 决定哪些请求可以组成一个批次 +3. 根据请求的优先级和到达时间排序 + + +### 调度算法核心逻辑 + +```python +# 简化的调度逻辑示例 +def schedule_requests(self): + # 1. 检查可用资源 + available_memory = self.get_available_memory() + + # 2. 选择可执行的请求 + executable_requests = [] + for request in self.waiting_requests: + if self.can_allocate(request, available_memory): + executable_requests.append(request) + + # 3. 返回调度结果 + return executable_requests +``` + +## Worker的作用与机制 + +### Worker的核心功能 + +Worker是vLLM的"执行者"，每个Worker负责： + +#### 1. 模型加载与管理 +```python +# 位置: vllm/worker/worker.py +class Worker: + def __init__(self): + self.model_runner = ModelRunner(...) + self.cache_engine = CacheEngine(...) +``` + +#### 2. 推理执行 +- **前向传播**: 执行模型的前向计算 +- **KV缓存管理**: 管理注意力机制的键值缓存 +- **内存分配**: 为每个请求分配必要的内存空间 + +#### 3. 状态维护 +- **请求状态跟踪**: 记录每个请求的处理进度 +- **缓存状态管理**: 维护PagedAttention的页面状态 +- **错误处理**: 处理推理过程中的异常情况 + +### Worker的工作流程 + +1. **初始化**: 加载模型权重，初始化缓存引擎 +2. **接收任务**: 从调度器接收批处理任务 +3. **执行推理**: 并行处理批次中的所有请求 +4. **返回结果**: 将推理结果返回给引擎 + +## 关键代码文件位置 + +### 主要源码文件结构 + +``` +vllm/ +├── engine/ +│ ├── llm_engine.py # 主引擎，协调整个推理流程 +│ └── async_llm_engine.py # 异步版本的引擎 +├── core/ +│ ├── scheduler.py # 调度器核心逻辑 +│ └── block_manager.py # 内存块管理器 +├── worker/ +│ ├── worker.py # Worker基类实现 +│ └── model_runner.py # 模型运行器 +└── attention/ + └── backends/ # PagedAttention实现 +``` + +### 重要文件说明 + +- **`vllm/engine/llm_engine.py`**: 整个系统的入口点和协调中心 +- **`vllm/core/scheduler.py`**: 实现了复杂的请求调度算法 +- **`vllm/worker/worker.py`**: Worker的具体实现逻辑 +- **`vllm/core/block_manager.py`**: PagedAttention的内存管理实现 + +## 总结 + +vLLM通过Ray框架实现分布式推理，采用有状态的Worker设计来保持模型和缓存状态。其核心创新在于PagedAttention技术和智能调度系统，大幅提升了大语言模型的推理效率和资源利用率。 + diff --git a/docs/sop/notes/vllm-learning-notes-pre.md b/docs/sop/notes/vllm-learning-notes-pre.md new file mode 100644 index 0000000..44d4d06 --- /dev/null +++ b/docs/sop/notes/vllm-learning-notes-pre.md @@ -0,0 +1,171 @@ +--- +title: vllm汇报稿 +date: 2025-09-26 23:00:00 # 发布日期和时间，格式：YYYY-MM-DD HH:MM:SS +descriptionHTML: '预汇报稿件' +tags: # 文章标签列表，用于分类和搜索 + - AI + - 笔记 +sidebar: true # 是否显示侧边栏：true显示，false隐藏 +readingTime: true # 是否显示阅读时间：true显示，false隐藏 +sticky: 0 # 精选文章设置：值越大在首页展示越靠前，0表示不精选 +recommend: true +--- + +# vLLM 报告 + +> 主题聚焦：**PagedAttention 分页注意力、整体架构、调度器原理、Worker 原理、PP 与 TP 的区别、预填充（Prefill）与解码（Decode）** + +## 1. 为什么需要 PagedAttention + +### 1.1 传统 KV Cache 的两类浪费 + +* **内部碎片**：必须为每个请求按“可能最长序列（prompt+output）”预留 **连续** KV 空间，未用到的预留位被浪费。 +* **外部碎片**：全局连续大块分配导致“零头”拼不起来，无法切给其他请求。 +* **共享缺失**：**相同前缀的 KV** 无法复用，重复存储。 + + +### 1.2 PagedAttention 的核心思路 + +* 预分配一大块显存，**切成固定大小的 block**。 +* 逻辑上给每个序列分配 **Logical Blocks**，实际落在 **Physical Blocks**；两者通过 **Block Table** 映射。 +* 最多浪费 < block_size 个 slot，**显著减少内外部碎片**。 + +--- + +## 2. vLLM 的总体架构（抓主线） + + +* **LLMEngine**：一次迭代做三件事：`schedule()` → `execute_model()` → `process_outputs()`。 +* **Scheduler**：决定本轮处理哪些请求、是否换入/换出 KV。 +* **Worker / ModelRunner**：执行模型前向，读写 KV cache，采样下一个 token。 +* **CacheEngine**：分配/维护 KV Blocks（GPU/CPU）、管理 **swap in/out、copy** 的 CUDA 流与事件。 + +--- + +## 3. 调度器原理（continuous batching） + +### 3.1 核心策略 + +* **Iteration-level（continuous batching）**：每生成一个 token 后**重新调度**，因此 batch 大小可变。 +* **阶段区分**：vLLM 将请求分为 **Prefill（填充）** 与 **Decode（生成）** 两类批次，**同一轮只处理同一阶段**。 + +### 3.2 三个队列 + +* **waiting**：刚到达的请求，尚未分配 GPU blocks（只分配逻辑块）。 +* **running**：正在解码或已完成 prefill 的请求。 +* **swapped**：因显存不足被抢占、KV 暂存在 CPU 的请求。 + +### 3.3 块管理关键路径 + +* **BlockSpaceManager.can_allocate()**：预判 waiting 请求的 prompt 是否能拿到足够的 GPU blocks。 +* **allocate()**：为 prompt 的每个逻辑块绑定一个物理块。 +* **can_append_slot() / append_slot()**（解码迭代）：若最后一个物理块**独占**则直接追加，否则触发复制。 + +### 3.4 抢占与换入/换出 + +* **Recompute**：单序列分支，释放 GPU 块，下次换回后**重算** KV。 +* **Swap**：多分支或不宜重算的场景，把物理块搬到 CPU；后续再 **swap-in** 回 GPU。 +* **优先级**：`swapped` 队列优先于 `waiting`。 + +--- + +## 4. Worker 原理（模型执行链路） + +### 4.1 角色与初始化 + +* **Worker ↔ GPU**：一张卡一个 Worker；多卡时配合 **Tensor Parallel（TP）** 切分模型。 +* 初始化步骤：加载权重 → 建立分布式组 → **profile** 可用块 → **init CacheEngine** →（可选）**CUDA Graph** 预捕获。 + +### 4.2 一次执行（`execute_model`） + +1. **状态同步**：驱动 Worker 广播批次规模与内存操作。 +2. **数据交换**：调用 CacheEngine 的 `swap_in/out`、`copy`。 +3. **准备输入**：生成 `input_tokens / positions / input_metadata`。 +4. **前向**： + + * **Prefill**：走 FlashAttn； + * **Decode**：走 PagedAttention 内核。 +5. **采样**：产生下一个 token。 + +### 4.3 CacheEngine 的数据结构 + +* 每层有 **key_blocks / value_blocks**。 +* **Block Table**：记录 `seq_id → [block_numbers...]`。 +* **slot_mapping**：映射“本轮 token”写入到物理块的哪个 slot。 + +--- + +## 5. Prefill vs Decode（执行特点与调优，展开版） + +### Prefill（填充阶段） + +* **目标**：对完整 prompt 做一次性前向传播，构建 KV 缓存，并生成第一个 token。 +* **数据特征**：长序列、少批次、padding 多、计算密集。 +* **实现**：FlashAttention；输入 `_prepare_prompt`，输出第一个 token。 +* **瓶颈**：HBM 带宽、padding 浪费、长 prompt 拖慢 batch。 +* **调优**：限制 `max_num_batched_tokens`，分批/压缩长 prompt，减少 padding。 + +### Decode（解码阶段） + +* **目标**：逐 token 生成。 +* **数据特征**：迭代频繁、短序列、并发依赖多。 +* **实现**：PagedAttention；输入 `_prepare_decode`，只追加一个 slot。 +* **瓶颈**：Kernel 启动开销、随机访存、并发不足。 +* **调优**：提高 `max_num_seqs`、用 CUDA Graph、调整 block_size、控制采样分支。 + +### Prefill vs Decode 对比总结 + +| 维度 | Prefill | Decode | +| ---------------- | --------------------- | -------------------------- | +| **目标** | 编码完整 prompt，建立 KV 前缀 | 逐 token 生成 | +| **批次特征** | 少批次、长序列、padding 多 | 多批次、短序列、迭代频繁 | +| **Attention 路径** | FlashAttention | PagedAttention | +| **主要瓶颈** | HBM 带宽 + Padding | Kernel Overhead + 随机访存 | +| **优化抓手** | 控制 padding、限制长 prompt | 提升并发、CUDA Graph、block size | + +--- + +## 6. TP 与 PP：概念、区别与 vLLM 现状 + +* **TP（Tensor Parallelism）**：层内张量切分；通信频繁；适合实时推理。 +* **PP（Pipeline Parallelism）**：层间切分；通信少但需流水线调度；更多见于训练。 +* **vLLM 支持**：TP 是主力；PP 支持有限。 + +--- + +## 7. 关键流程串讲 + +### Prefill 批 + +1. waiting 进入 running；BlockSpaceManager 分配块； +2. Worker `_prepare_prompt` → FlashAttn → 写入 KV； +3. Sampler 采样首 token。 + +### Decode 批 + +1. Scheduler 选择 running 序列； +2. `_append_slot` 写 KV； +3. Worker 调 PagedAttention → 输出； +4. 采样 → EOS/长度 → 释放序列。 + +--- + +## 8. 参数与调优清单 + +* **`block_size`**：16；权衡碎片与索引开销。 +* **`gpu_memory_utilization`**：估算可分配 KV；预留峰值空间。 +* **`max_num_seqs`**：提升解码并发。 +* **`max_num_batched_tokens`**：限制长 prompt。 +* **`swap_space_bytes`**：CPU 交换空间，优先考虑 Recompute。 +* **采样参数**：top-k/top-p/温度/惩罚影响解码步数。 +* **CUDA Graph**：捕获稳定批，降低开销。 + +--- + +## 9. 可讲的亮点/考点总结 + +1. **PagedAttention**：block 化 + 块表管理，解决碎片问题。 +2. **continuous batching**：每 token 重调度，提升吞吐。 +3. **Recompute vs Swap**：计算 vs 带宽权衡。 +4. **TP 优先，PP 备选**。 +5. **Prefill vs Decode**：不同执行路径与瓶颈决定不同调优抓手。 diff --git a/docs/sop/tutorial/how-to-use-cherry-studio.md b/docs/sop/tutorial/how-to-use-cherry-studio.md index e034297..a0f222d 100644 --- a/docs/sop/tutorial/how-to-use-cherry-studio.md +++ b/docs/sop/tutorial/how-to-use-cherry-studio.md @@ -1,117 +1,117 @@ ---- -title: 如何使用 Cherry Studio # 文章标题，支持副标题格式（用 - 分隔） -top: 0 # 置顶级别：1-3，数字越大越靠前，0表示不置顶 -date: 2025-08-24 20:30:00 # 发布日期和时间，格式：YYYY-MM-DD HH:MM:SS -descriptionHTML: ' -Cherry Studio的入门指南 -' -tags: # 文章标签列表，用于分类和搜索 - - Cherry Studio - - 教程 - - AI -sidebar: true # 是否显示侧边栏：true显示，false隐藏 -readingTime: true # 是否显示阅读时间：true显示，false隐藏 -sticky: 2 # 精选文章设置：值越大在首页展示越靠前，0表示不精选 -hidden: false # 是否隐藏文章：true隐藏（模板用），false显示（正式文章用） -recommend: true ---- - -# 如何使用 Cherry Studio - -## 什么是 Cherry Studio？ - -Cherry Studio 是一个功能强大的 AI 聚合工具，它集成了多模型对话、知识库管理、AI 绘画等多种功能。由于所有内容都存储在本地，因此它提供了出色的隐私保护。 - -## 下载与安装 - -1. **下载**: - 访问 [CherryStudio 官网](https://cherry-ai.com/download) 下载适用于您操作系统的客户端。（以下以Windows系统为例） - -2. **安装**: - 双击下载的 `.exe` 文件，然后按照安装向导的指示进行操作。建议将软件安装在C盘以外的驱动器。 - -
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- -## 核心功能 - -CherryStudio 提供了多种强大的功能，以下是一些核心功能介绍： - -### 添加模型 - -![添加模型](/1/添加模型.png) - -您可以在 CherryStudio 中添加和管理来自不同提供商的 AI 模型，支持 API 调用和本地调用两种方式。 - -#### API 调用 - -1. 在模型服务提供商（例如，[硅基流动](https://cloud.siliconflow.cn/i/sbwOb5XI)）的网站上注册账户并创建一个 API 密钥。 - - ![1-硅基1](/1/硅基1.png) - - - ![1-硅基2](/1/硅基2.png) - - - ![1-硅基3](/1/硅基3.png) - - - ![1-硅基4](/1/硅基4.png) - - -2. 在 CherryStudio 的设置中，选择“模型服务”，然后添加 API 密钥。 -3. 点击下方管理可获取模型列表。 - - ![1-管理模型](/1/管理模型.png) - -4. 选择模型添加。 - - ![添加单个模型](/1/添加单个模型.png) - -5. 添加成功后，您可以选择相应的模型进行对话。 - - ![对话](/1/对话.png) - -#### 本地调用 - -1. 如果您在本地部署了模型（例如，使用 Ollama），您也可以将其添加到 CherryStudio。 -2. 在模型服务设置中，选择本地调用，并填写正确的 API 地址（通常是 `localhost`）和模型名称。 - -### 联网功能 - -为了让模型能够获取最新信息，您可以为其启用联网功能。 - -1. **添加网络搜索服务**: 在设置->工具设置中选择“网络搜索”，然后添加一个搜索服务（如 百度搜索）。 - - ![设置搜索](/1/设置搜索.png) - -2. **使用网络搜索**: 在聊天界面，点击输入框下方的网络图标（🌐）即可启用联网功能。 - - ![使用搜索](/1/使用搜索.png) - - ![搜索结果](/1/搜索结果.png) - - - -### 知识库 - -CherryStudio 允许您创建自己的本地知识库，让 AI 根据您的文档回答问题。 - -1. **创建知识库**: 在侧边栏选择“知识库”并创建一个新的知识库（选择一个语义向量模型）。 - - ![知识库1](/1/知识库1.png) - -2. **添加文档**: 将您的文档（请确保为 UTF-8 编码）拖入知识库中，系统会自动进行向量化处理。 - - ![知识库2](/1/知识库2.png) - -3. **使用知识库**: 在聊天时，您可以选择加载特定的知识库，AI 将会基于库中的内容进行回答，并能标注引用来源。 - -### 配置迁移 - -如果您需要在多台设备上使用 CherryStudio，可以使用配置迁移功能来同步您的设置。 - -1. **备份**: 在“数据设置”中，您可以将当前的所有配置（包括模型、知识库等）备份为一个 ZIP 文件。 -2. **恢复**: 在另一台设备上，通过“恢复”功能选择之前备份的 ZIP 文件，即可快速恢复您的所有配置。 - -![备份](/1/备份.png) - +--- +title: 如何使用 Cherry Studio # 文章标题，支持副标题格式（用 - 分隔） +top: 0 # 置顶级别：1-3，数字越大越靠前，0表示不置顶 +date: 2025-08-24 20:30:00 # 发布日期和时间，格式：YYYY-MM-DD HH:MM:SS +descriptionHTML: ' +Cherry Studio的入门指南 +' +tags: # 文章标签列表，用于分类和搜索 + - Cherry Studio + - 教程 + - AI +sidebar: true # 是否显示侧边栏：true显示，false隐藏 +readingTime: true # 是否显示阅读时间：true显示，false隐藏 +sticky: 2 # 精选文章设置：值越大在首页展示越靠前，0表示不精选 +hidden: false # 是否隐藏文章：true隐藏（模板用），false显示（正式文章用） +recommend: true +--- + +# 如何使用 Cherry Studio + +## 什么是 Cherry Studio？ + +Cherry Studio 是一个功能强大的 AI 聚合工具，它集成了多模型对话、知识库管理、AI 绘画等多种功能。由于所有内容都存储在本地，因此它提供了出色的隐私保护。 + +## 下载与安装 + +1. **下载**: + 访问 [CherryStudio 官网](https://cherry-ai.com/download) 下载适用于您操作系统的客户端。（以下以Windows系统为例） + +2. **安装**: + 双击下载的 `.exe` 文件，然后按照安装向导的指示进行操作。建议将软件安装在C盘以外的驱动器。 + +
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+ +## 核心功能 + +CherryStudio 提供了多种强大的功能，以下是一些核心功能介绍： + +### 添加模型 + +![添加模型](/1/添加模型.png) + +您可以在 CherryStudio 中添加和管理来自不同提供商的 AI 模型，支持 API 调用和本地调用两种方式。 + +#### API 调用 + +1. 在模型服务提供商（例如，[硅基流动](https://cloud.siliconflow.cn/i/sbwOb5XI)）的网站上注册账户并创建一个 API 密钥。 + + ![1-硅基1](/1/硅基1.png) + + + ![1-硅基2](/1/硅基2.png) + + + ![1-硅基3](/1/硅基3.png) + + + ![1-硅基4](/1/硅基4.png) + + +2. 在 CherryStudio 的设置中，选择“模型服务”，然后添加 API 密钥。 +3. 点击下方管理可获取模型列表。 + + ![1-管理模型](/1/管理模型.png) + +4. 选择模型添加。 + + ![添加单个模型](/1/添加单个模型.png) + +5. 添加成功后，您可以选择相应的模型进行对话。 + + ![对话](/1/对话.png) + +#### 本地调用 + +1. 如果您在本地部署了模型（例如，使用 Ollama），您也可以将其添加到 CherryStudio。 +2. 在模型服务设置中，选择本地调用，并填写正确的 API 地址（通常是 `localhost`）和模型名称。 + +### 联网功能 + +为了让模型能够获取最新信息，您可以为其启用联网功能。 + +1. **添加网络搜索服务**: 在设置->工具设置中选择“网络搜索”，然后添加一个搜索服务（如 百度搜索）。 + + ![设置搜索](/1/设置搜索.png) + +2. **使用网络搜索**: 在聊天界面，点击输入框下方的网络图标（🌐）即可启用联网功能。 + + ![使用搜索](/1/使用搜索.png) + + ![搜索结果](/1/搜索结果.png) + + + +### 知识库 + +CherryStudio 允许您创建自己的本地知识库，让 AI 根据您的文档回答问题。 + +1. **创建知识库**: 在侧边栏选择“知识库”并创建一个新的知识库（选择一个语义向量模型）。 + + ![知识库1](/1/知识库1.png) + +2. **添加文档**: 将您的文档（请确保为 UTF-8 编码）拖入知识库中，系统会自动进行向量化处理。 + + ![知识库2](/1/知识库2.png) + +3. **使用知识库**: 在聊天时，您可以选择加载特定的知识库，AI 将会基于库中的内容进行回答，并能标注引用来源。 + +### 配置迁移 + +如果您需要在多台设备上使用 CherryStudio，可以使用配置迁移功能来同步您的设置。 + +1. **备份**: 在“数据设置”中，您可以将当前的所有配置（包括模型、知识库等）备份为一个 ZIP 文件。 +2. **恢复**: 在另一台设备上，通过“恢复”功能选择之前备份的 ZIP 文件，即可快速恢复您的所有配置。 + +![备份](/1/备份.png) + diff --git a/edgeone.json b/edgeone.json index 451cbef..da7c657 100644 --- a/edgeone.json +++ b/edgeone.json @@ -1,6 +1,6 @@ -{ - "installCommand": "npm install", - "buildCommand": "npm run build", - "outputDirectory": "docs/.vitepress/dist", - "nodeVersion": "18.20.4" -} +{ + "installCommand": "npm install", + "buildCommand": "npm run build", + "outputDirectory": "docs/.vitepress/dist", + "nodeVersion": "18.20.4" +} diff --git a/otherdocs/cursor-rain-guide.md b/otherdocs/cursor-rain-guide.md index 6eb81af..0f51702 100644 --- a/otherdocs/cursor-rain-guide.md +++ b/otherdocs/cursor-rain-guide.md @@ -1,195 +1,195 @@ -# 光标雨点效果使用指南 - -## 简介 - -这个博客已经集成了美丽的光标雨点效果！当你移动鼠标时，会在光标位置产生逼真的雨滴落下动画。 - -## 基础配置 - -### 1. 预设主题 - -在 `docs/.vitepress/theme/index.ts` 文件中，你可以选择不同的预设主题： - -```typescript -// 默认蓝色主题（智能配置） -const config = getOptimalConfig() - -// 或者手动选择预设： -const config = rainPresets.default // 默认 -const config = rainPresets.light // 轻量模式（适合低性能设备） -const config = rainPresets.fancy // 华丽模式（更多雨滴） -const config = rainPresets.pink // 粉色主题 -const config = rainPresets.green // 绿色主题 -const config = rainPresets.gold // 金色主题 -const config = rainPresets.mobile // 移动端优化 -``` - -### 2. 自定义配置 - -你也可以完全自定义配置参数： - -```typescript -const customConfig = { - maxDrops: 30, // 最大雨滴数量 - color: 'rgba(255, 182, 193, 0.7)', // 雨滴颜色 - duration: [1.0, 2.0], // 动画持续时间范围（秒） - dropSize: [3, 8], // 雨滴大小范围 - delay: 100, // 鼠标移动到雨滴开始的延迟（毫秒） - zIndex: 1000, // 层级 - enabled: true // 是否启用 -} - -const rainEffect = initCursorRainForVitePress(customConfig) -``` - -## 高级自定义 - -### 1. CSS 样式自定义 - -在 `docs/.vitepress/theme/cursor-rain-styles.css` 中，你可以自定义雨滴的视觉效果： - -```css -/* 自定义雨滴样式 */ -.cursor-rain-container .rain-drop { - /* 添加发光效果 */ - box-shadow: 0 0 10px rgba(173, 216, 230, 0.6); - - /* 添加模糊效果 */ - filter: blur(1px); - - /* 渐变背景 */ - background: radial-gradient(circle, - rgba(173, 216, 230, 0.8) 0%, - rgba(173, 216, 230, 0.3) 70%, - transparent 100%); -} -``` - -### 2. 主题色彩 - -已经预设了多种主题色彩，包括： - -- `blue` - 蓝色 -- `lightBlue` - 浅蓝色 -- `pink` - 粉色 -- `green` - 绿色 -- `gold` - 金色 -- `purple` - 紫色 -- `orange` - 橙色 -- `red` - 红色 -- `rainbow` - 彩虹色（特殊效果） - -### 3. 动态控制 - -雨点效果实例已挂载到全局 `window.rainEffect`，你可以在浏览器控制台中动态控制： - -```javascript -// 暂停效果 -window.rainEffect.disable() - -// 恢复效果 -window.rainEffect.enable() - -// 更新配置 -window.rainEffect.updateOptions({ - maxDrops: 50, - color: 'rgba(255, 99, 99, 0.8)' -}) - -// 切换主题（需要先导入 switchRainTheme 函数） -switchRainTheme(window.rainEffect, 'pink') -``` - -## 性能优化 - -### 1. 自动优化 - -系统会根据设备性能自动选择最佳配置： - -- **移动设备**：自动使用移动端优化配置（更少雨滴，更长动画时间） -- **低性能设备**：自动使用轻量模式 -- **高性能设备**：使用默认或华丽模式 - -### 2. 手动优化 - -如果遇到性能问题，可以手动调整： - -```typescript -// 性能友好的配置 -const performanceConfig = { - maxDrops: 10, // 减少雨滴数量 - duration: [2.0, 3.0], // 增加动画时间 - delay: 200, // 增加延迟 - dropSize: [2, 4] // 减小雨滴尺寸 -} -``` - -### 3. 移动端适配 - -CSS 中已包含移动端优化： - -```css -@media (max-width: 768px) { - .cursor-rain-container .rain-drop { - /* 移动端减少视觉效果以提高性能 */ - filter: none; - box-shadow: 0 0 4px rgba(173, 216, 230, 0.3); - } -} -``` - -## 常见问题 - -### Q: 如何完全禁用雨点效果？ - -A: 在配置中设置 `enabled: false`： - -```typescript -const config = { - ...getOptimalConfig(), - enabled: false -} -``` - -### Q: 雨点效果影响性能怎么办？ - -A: 使用轻量模式： - -```typescript -const config = rainPresets.light -``` - -或者手动减少雨滴数量： - -```typescript -const config = { - ...getOptimalConfig(), - maxDrops: 5 -} -``` - -### Q: 如何在特定页面禁用效果？ - -A: 可以在页面的 frontmatter 中添加标识，然后在主题中根据路由判断是否启用。 - -### Q: 深色模式下雨点不明显怎么办？ - -A: CSS 中已包含深色模式适配，或者手动调整颜色： - -```typescript -const config = { - ...getOptimalConfig(), - color: 'rgba(173, 216, 230, 0.9)' // 增加透明度 -} -``` - -## 开发调试 - -在开发过程中，你可以： - -1. 打开浏览器控制台 -2. 使用 `window.rainEffect` 实时调试 -3. 修改配置后刷新页面查看效果 -4. 使用 `window.rainEffect.updateOptions()` 实时更新配置 - -享受你的个性化光标雨点效果吧！🌧️✨ +# 光标雨点效果使用指南 + +## 简介 + +这个博客已经集成了美丽的光标雨点效果！当你移动鼠标时，会在光标位置产生逼真的雨滴落下动画。 + +## 基础配置 + +### 1. 预设主题 + +在 `docs/.vitepress/theme/index.ts` 文件中，你可以选择不同的预设主题： + +```typescript +// 默认蓝色主题（智能配置） +const config = getOptimalConfig() + +// 或者手动选择预设： +const config = rainPresets.default // 默认 +const config = rainPresets.light // 轻量模式（适合低性能设备） +const config = rainPresets.fancy // 华丽模式（更多雨滴） +const config = rainPresets.pink // 粉色主题 +const config = rainPresets.green // 绿色主题 +const config = rainPresets.gold // 金色主题 +const config = rainPresets.mobile // 移动端优化 +``` + +### 2. 自定义配置 + +你也可以完全自定义配置参数： + +```typescript +const customConfig = { + maxDrops: 30, // 最大雨滴数量 + color: 'rgba(255, 182, 193, 0.7)', // 雨滴颜色 + duration: [1.0, 2.0], // 动画持续时间范围（秒） + dropSize: [3, 8], // 雨滴大小范围 + delay: 100, // 鼠标移动到雨滴开始的延迟（毫秒） + zIndex: 1000, // 层级 + enabled: true // 是否启用 +} + +const rainEffect = initCursorRainForVitePress(customConfig) +``` + +## 高级自定义 + +### 1. CSS 样式自定义 + +在 `docs/.vitepress/theme/cursor-rain-styles.css` 中，你可以自定义雨滴的视觉效果： + +```css +/* 自定义雨滴样式 */ +.cursor-rain-container .rain-drop { + /* 添加发光效果 */ + box-shadow: 0 0 10px rgba(173, 216, 230, 0.6); + + /* 添加模糊效果 */ + filter: blur(1px); + + /* 渐变背景 */ + background: radial-gradient(circle, + rgba(173, 216, 230, 0.8) 0%, + rgba(173, 216, 230, 0.3) 70%, + transparent 100%); +} +``` + +### 2. 主题色彩 + +已经预设了多种主题色彩，包括： + +- `blue` - 蓝色 +- `lightBlue` - 浅蓝色 +- `pink` - 粉色 +- `green` - 绿色 +- `gold` - 金色 +- `purple` - 紫色 +- `orange` - 橙色 +- `red` - 红色 +- `rainbow` - 彩虹色（特殊效果） + +### 3. 动态控制 + +雨点效果实例已挂载到全局 `window.rainEffect`，你可以在浏览器控制台中动态控制： + +```javascript +// 暂停效果 +window.rainEffect.disable() + +// 恢复效果 +window.rainEffect.enable() + +// 更新配置 +window.rainEffect.updateOptions({ + maxDrops: 50, + color: 'rgba(255, 99, 99, 0.8)' +}) + +// 切换主题（需要先导入 switchRainTheme 函数） +switchRainTheme(window.rainEffect, 'pink') +``` + +## 性能优化 + +### 1. 自动优化 + +系统会根据设备性能自动选择最佳配置： + +- **移动设备**：自动使用移动端优化配置（更少雨滴，更长动画时间） +- **低性能设备**：自动使用轻量模式 +- **高性能设备**：使用默认或华丽模式 + +### 2. 手动优化 + +如果遇到性能问题，可以手动调整： + +```typescript +// 性能友好的配置 +const performanceConfig = { + maxDrops: 10, // 减少雨滴数量 + duration: [2.0, 3.0], // 增加动画时间 + delay: 200, // 增加延迟 + dropSize: [2, 4] // 减小雨滴尺寸 +} +``` + +### 3. 移动端适配 + +CSS 中已包含移动端优化： + +```css +@media (max-width: 768px) { + .cursor-rain-container .rain-drop { + /* 移动端减少视觉效果以提高性能 */ + filter: none; + box-shadow: 0 0 4px rgba(173, 216, 230, 0.3); + } +} +``` + +## 常见问题 + +### Q: 如何完全禁用雨点效果？ + +A: 在配置中设置 `enabled: false`： + +```typescript +const config = { + ...getOptimalConfig(), + enabled: false +} +``` + +### Q: 雨点效果影响性能怎么办？ + +A: 使用轻量模式： + +```typescript +const config = rainPresets.light +``` + +或者手动减少雨滴数量： + +```typescript +const config = { + ...getOptimalConfig(), + maxDrops: 5 +} +``` + +### Q: 如何在特定页面禁用效果？ + +A: 可以在页面的 frontmatter 中添加标识，然后在主题中根据路由判断是否启用。 + +### Q: 深色模式下雨点不明显怎么办？ + +A: CSS 中已包含深色模式适配，或者手动调整颜色： + +```typescript +const config = { + ...getOptimalConfig(), + color: 'rgba(173, 216, 230, 0.9)' // 增加透明度 +} +``` + +## 开发调试 + +在开发过程中，你可以： + +1. 打开浏览器控制台 +2. 使用 `window.rainEffect` 实时调试 +3. 修改配置后刷新页面查看效果 +4. 使用 `window.rainEffect.updateOptions()` 实时更新配置 + +享受你的个性化光标雨点效果吧！🌧️✨ diff --git a/otherdocs/cursor-rain-parameter-guide.md b/otherdocs/cursor-rain-parameter-guide.md index cdd0986..c9c4c91 100644 --- a/otherdocs/cursor-rain-parameter-guide.md +++ b/otherdocs/cursor-rain-parameter-guide.md @@ -1,204 +1,204 @@ -# 🎛️ 光标雨点效果参数控制指南 - -## 📍 参数控制位置 - -### 1. **快速修改** - `docs/.vitepress/theme/index.ts` - -直接在主题文件中自定义参数： - -```typescript -// 完全自定义配置 -const customConfig = { - maxDrops: 30, // 🌧️ 雨滴数量 (建议: 10-50) - color: 'rgba(173, 216, 230, 0.7)', // 🎨 颜色 - duration: [1.0, 2.0], // ⏱️ 下落时间范围(秒) - dropSize: [3, 8], // 📏 雨滴大小范围(像素) - delay: 100, // ⏰ 鼠标移动延迟(毫秒) - zIndex: 1000, // 📐 层级 - enabled: true // 🔄 是否启用 -} - -const rainEffect = initCursorRainForVitePress(customConfig) -``` - -### 2. **预设选择** - 使用现有预设 - -```typescript -// 选择预设 -const config = rainPresets.fancy // 华丽模式 -const config = rainPresets.light // 轻量模式 -const config = rainPresets.pink // 粉色主题 -const config = rainPresets.green // 绿色主题 -const config = rainPresets.gold // 金色主题 -``` - -### 3. **预设修改** - `docs/.vitepress/theme/cursor-rain-config.ts` - -创建新预设或修改现有预设： - -```typescript -export const rainPresets = { - // 添加你的自定义预设 - myCustom: { - maxDrops: 35, - color: 'rgba(255, 100, 100, 0.8)', - duration: [0.8, 1.5], - dropSize: [2, 10], - delay: 80, - zIndex: 1000 - } as RainDropOptions, - - // 修改现有预设 - default: { - maxDrops: 20, // 从25改为20 - // ... 其他参数 - } -} -``` - -## 🎯 详细参数说明 - -### 核心参数 - -| 参数 | 类型 | 默认值 | 说明 | 推荐范围 | -|------|------|--------|------|----------| -| `maxDrops` | number | 25 | 同时显示的最大雨滴数量 | 5-50 | -| `color` | string | 'rgba(173,216,230,0.6)' | 雨滴颜色(支持任何CSS颜色) | - | -| `duration` | [min,max] | [1.0, 2.0] | 下落时间范围(秒) | [0.5, 3.0] | -| `dropSize` | [min,max] | [3, 8] | 雨滴大小范围(像素) | [1, 15] | -| `delay` | number | 100 | 鼠标移动到雨滴出现的延迟(毫秒) | 50-300 | - -### 高级参数 - -| 参数 | 说明 | 默认值 | -|------|------|--------| -| `zIndex` | 雨滴容器的层级 | 1000 | -| `enabled` | 是否启用效果 | true | -| `container` | 效果容器元素 | document.body | - -## 🎨 视觉效果参数 - -### 雨滴形状控制 (CSS) - -在 `docs/.vitepress/theme/cursor-rain-styles.css` 中： - -```css -.cursor-rain-container .rain-drop { - /* 🔸 雨滴形状 - 数值越大越尖锐 */ - border-radius: 50% 50% 50% 50% / 90% 90% 10% 10% !important; - - /* 🌟 发光效果 */ - box-shadow: 0 0 6px rgba(173, 216, 230, 0.4); - - /* 🌫️ 模糊效果 */ - filter: blur(0.5px); -} -``` - -### 雨滴尺寸控制 (JavaScript源码) - -在 `cursor-rain/src/CursorRainEffect.ts` 中： - -```javascript -// 第177-178行 -width: size * 0.3, // 🔸 宽度倍数 (越小越细) -height: size * 4, // 🔸 高度倍数 (越大越长) -``` - -## 🚀 实时调试 - -### 浏览器控制台调试 - -```javascript -// 🔄 更新配置 -window.rainEffect.updateOptions({ - maxDrops: 50, - color: 'rgba(255, 99, 99, 0.8)', - duration: [0.5, 1.0] -}) - -// ⏸️ 暂停效果 -window.rainEffect.disable() - -// ▶️ 恢复效果 -window.rainEffect.enable() -``` - -### 动态切换主题 - -```javascript -// 需要先导入switchRainTheme函数 -import { switchRainTheme } from './cursor-rain-config' - -// 🎨 切换颜色主题 -switchRainTheme(window.rainEffect, 'pink') -switchRainTheme(window.rainEffect, 'green') -switchRainTheme(window.rainEffect, 'gold') -``` - -## 🎛️ 常用调整场景 - -### 🐌 性能优化 (减少卡顿) - -```typescript -const performanceConfig = { - maxDrops: 10, // 减少数量 - duration: [2.0, 3.0], // 增加时间 - delay: 200, // 增加延迟 - dropSize: [2, 4] // 减小尺寸 -} -``` - -### 🌪️ 华丽效果 (更多雨滴) - -```typescript -const fancyConfig = { - maxDrops: 50, // 增加数量 - duration: [0.5, 1.2], // 减少时间 - delay: 30, // 减少延迟 - dropSize: [4, 12] // 增大尺寸 -} -``` - -### 📱 移动端优化 - -```typescript -const mobileConfig = { - maxDrops: 8, // 大幅减少 - duration: [2.5, 4.0], // 增加时间 - delay: 300, // 增加延迟 - dropSize: [2, 5] // 减小尺寸 -} -``` - -### 🌈 彩色雨滴 - -```typescript -// 多种颜色随机 -const colors = [ - 'rgba(255, 99, 99, 0.7)', // 红 - 'rgba(99, 255, 99, 0.7)', // 绿 - 'rgba(99, 99, 255, 0.7)', // 蓝 - 'rgba(255, 255, 99, 0.7)' // 黄 -] - -// 在JavaScript中需要修改源码来支持随机颜色 -``` - -## 🔧 修改步骤 - -1. **选择修改方式**： - - 简单调整 → 修改 `index.ts` - - 创建预设 → 修改 `cursor-rain-config.ts` - - 视觉效果 → 修改 `cursor-rain-styles.css` - - 深度定制 → 修改源码 `CursorRainEffect.ts` - -2. **测试效果**： - - 保存文件后VitePress会自动热重载 - - 或在浏览器控制台实时调试 - -3. **优化性能**： - - 移动端减少 `maxDrops` - - 低性能设备增加 `delay` 和 `duration` - -享受你的个性化雨滴效果！🌧️✨ +# 🎛️ 光标雨点效果参数控制指南 + +## 📍 参数控制位置 + +### 1. **快速修改** - `docs/.vitepress/theme/index.ts` + +直接在主题文件中自定义参数： + +```typescript +// 完全自定义配置 +const customConfig = { + maxDrops: 30, // 🌧️ 雨滴数量 (建议: 10-50) + color: 'rgba(173, 216, 230, 0.7)', // 🎨 颜色 + duration: [1.0, 2.0], // ⏱️ 下落时间范围(秒) + dropSize: [3, 8], // 📏 雨滴大小范围(像素) + delay: 100, // ⏰ 鼠标移动延迟(毫秒) + zIndex: 1000, // 📐 层级 + enabled: true // 🔄 是否启用 +} + +const rainEffect = initCursorRainForVitePress(customConfig) +``` + +### 2. **预设选择** - 使用现有预设 + +```typescript +// 选择预设 +const config = rainPresets.fancy // 华丽模式 +const config = rainPresets.light // 轻量模式 +const config = rainPresets.pink // 粉色主题 +const config = rainPresets.green // 绿色主题 +const config = rainPresets.gold // 金色主题 +``` + +### 3. **预设修改** - `docs/.vitepress/theme/cursor-rain-config.ts` + +创建新预设或修改现有预设： + +```typescript +export const rainPresets = { + // 添加你的自定义预设 + myCustom: { + maxDrops: 35, + color: 'rgba(255, 100, 100, 0.8)', + duration: [0.8, 1.5], + dropSize: [2, 10], + delay: 80, + zIndex: 1000 + } as RainDropOptions, + + // 修改现有预设 + default: { + maxDrops: 20, // 从25改为20 + // ... 其他参数 + } +} +``` + +## 🎯 详细参数说明 + +### 核心参数 + +| 参数 | 类型 | 默认值 | 说明 | 推荐范围 | +|------|------|--------|------|----------| +| `maxDrops` | number | 25 | 同时显示的最大雨滴数量 | 5-50 | +| `color` | string | 'rgba(173,216,230,0.6)' | 雨滴颜色(支持任何CSS颜色) | - | +| `duration` | [min,max] | [1.0, 2.0] | 下落时间范围(秒) | [0.5, 3.0] | +| `dropSize` | [min,max] | [3, 8] | 雨滴大小范围(像素) | [1, 15] | +| `delay` | number | 100 | 鼠标移动到雨滴出现的延迟(毫秒) | 50-300 | + +### 高级参数 + +| 参数 | 说明 | 默认值 | +|------|------|--------| +| `zIndex` | 雨滴容器的层级 | 1000 | +| `enabled` | 是否启用效果 | true | +| `container` | 效果容器元素 | document.body | + +## 🎨 视觉效果参数 + +### 雨滴形状控制 (CSS) + +在 `docs/.vitepress/theme/cursor-rain-styles.css` 中： + +```css +.cursor-rain-container .rain-drop { + /* 🔸 雨滴形状 - 数值越大越尖锐 */ + border-radius: 50% 50% 50% 50% / 90% 90% 10% 10% !important; + + /* 🌟 发光效果 */ + box-shadow: 0 0 6px rgba(173, 216, 230, 0.4); + + /* 🌫️ 模糊效果 */ + filter: blur(0.5px); +} +``` + +### 雨滴尺寸控制 (JavaScript源码) + +在 `cursor-rain/src/CursorRainEffect.ts` 中： + +```javascript +// 第177-178行 +width: size * 0.3, // 🔸 宽度倍数 (越小越细) +height: size * 4, // 🔸 高度倍数 (越大越长) +``` + +## 🚀 实时调试 + +### 浏览器控制台调试 + +```javascript +// 🔄 更新配置 +window.rainEffect.updateOptions({ + maxDrops: 50, + color: 'rgba(255, 99, 99, 0.8)', + duration: [0.5, 1.0] +}) + +// ⏸️ 暂停效果 +window.rainEffect.disable() + +// ▶️ 恢复效果 +window.rainEffect.enable() +``` + +### 动态切换主题 + +```javascript +// 需要先导入switchRainTheme函数 +import { switchRainTheme } from './cursor-rain-config' + +// 🎨 切换颜色主题 +switchRainTheme(window.rainEffect, 'pink') +switchRainTheme(window.rainEffect, 'green') +switchRainTheme(window.rainEffect, 'gold') +``` + +## 🎛️ 常用调整场景 + +### 🐌 性能优化 (减少卡顿) + +```typescript +const performanceConfig = { + maxDrops: 10, // 减少数量 + duration: [2.0, 3.0], // 增加时间 + delay: 200, // 增加延迟 + dropSize: [2, 4] // 减小尺寸 +} +``` + +### 🌪️ 华丽效果 (更多雨滴) + +```typescript +const fancyConfig = { + maxDrops: 50, // 增加数量 + duration: [0.5, 1.2], // 减少时间 + delay: 30, // 减少延迟 + dropSize: [4, 12] // 增大尺寸 +} +``` + +### 📱 移动端优化 + +```typescript +const mobileConfig = { + maxDrops: 8, // 大幅减少 + duration: [2.5, 4.0], // 增加时间 + delay: 300, // 增加延迟 + dropSize: [2, 5] // 减小尺寸 +} +``` + +### 🌈 彩色雨滴 + +```typescript +// 多种颜色随机 +const colors = [ + 'rgba(255, 99, 99, 0.7)', // 红 + 'rgba(99, 255, 99, 0.7)', // 绿 + 'rgba(99, 99, 255, 0.7)', // 蓝 + 'rgba(255, 255, 99, 0.7)' // 黄 +] + +// 在JavaScript中需要修改源码来支持随机颜色 +``` + +## 🔧 修改步骤 + +1. **选择修改方式**： + - 简单调整 → 修改 `index.ts` + - 创建预设 → 修改 `cursor-rain-config.ts` + - 视觉效果 → 修改 `cursor-rain-styles.css` + - 深度定制 → 修改源码 `CursorRainEffect.ts` + +2. **测试效果**： + - 保存文件后VitePress会自动热重载 + - 或在浏览器控制台实时调试 + +3. **优化性能**： + - 移动端减少 `maxDrops` + - 低性能设备增加 `delay` 和 `duration` + +享受你的个性化雨滴效果！🌧️✨