From c2523f5d54106761ade28726fd3d0bcc2475f635 Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: handsomezhuzhu <2658601135@qq.com> Date: Sun, 7 Sep 2025 21:33:34 +0800 Subject: [PATCH] =?UTF-8?q?=E5=85=BC=E5=AE=B9=E6=95=B0=E5=AD=A6=E5=85=AC?= =?UTF-8?q?=E5=BC=8F?= MIME-Version: 1.0 Content-Type: text/plain; charset=UTF-8 Content-Transfer-Encoding: 8bit --- docs/.vitepress/config.mts | 6 + docs/sop/digital-circuit-notes.md | 428 ++++++++- docs/sop/fishing-nothing-2.md | 2 - docs/sop/linear-algebra-notes.md | 627 +++++++++++- docs/sop/math-analysis-notes.md | 1467 ++++++++++++++++++++++++++++- package-lock.json | 528 ++++++++++- package.json | 1 + 7 files changed, 2942 insertions(+), 117 deletions(-) diff --git a/docs/.vitepress/config.mts b/docs/.vitepress/config.mts index 988fc34..99b6e1f 100644 --- a/docs/.vitepress/config.mts +++ b/docs/.vitepress/config.mts @@ -20,6 +20,9 @@ export default defineConfig({ title: 'SIMON BLOG', description: 'Simon的博客，基于 vitepress 实现', lastUpdated: true, + markdown: { + math: true + }, // 详见：https://vitepress.dev/zh/reference/site-config#head head: [ // 配置网站的图标（显示在浏览器的 tab 上） @@ -37,6 +40,8 @@ export default defineConfig({ sidebarMenuLabel: '相关文章', lastUpdatedText: '上次更新于', + + // 设置logo logo: '/logo.jpg', // editLink: { @@ -59,3 +64,4 @@ export default defineConfig({ ] } }) + diff --git a/docs/sop/digital-circuit-notes.md b/docs/sop/digital-circuit-notes.md index 0f38a49..a496c15 100644 --- a/docs/sop/digital-circuit-notes.md +++ b/docs/sop/digital-circuit-notes.md @@ -27,50 +27,404 @@ hidden: false -## 内容概览 +## 完整笔记 + + +## 一、逻辑代数定律和计算规则 + +| 定律/规则名称 | 表达式 | 解释 | +| --------- | ----------------------------------------------------------------------------------- | ------------------- | +| 恒等律 | $A + 0 = A$
$A \cdot 1 = A$ | 任何变量与0相加或与1相乘等于自身 | +| 零律 | $A + 1 = 1$
$A \cdot 0 = 0$ | 任何变量与1相加或与0相乘等于1或0 | +| 幂等律 | $A + A = A$
$A \cdot A = A$ | 任何变量与自身相加或相乘等于自身 | +| 互补律 | $A + \overline{A} = 1$
$A \cdot \overline{A} = 0$ | 任何变量与其补码相加等于1，相乘等于0 | +| **交换律** | | | +| 加法交换律 | $A + B = B + A$ | 加法运算的交换律 | +| 乘法交换律 | $A \cdot B = B \cdot A$ | 乘法运算的交换律 | +| **结合律** | | | +| 加法结合律 | $(A + B) + C = A + (B + C)$ | 加法运算的结合律 | +| 乘法结合律 | $(A \cdot B) \cdot C = A \cdot (B \cdot C)$ | 乘法运算的结合律 | +| **分配律** | | | +| 乘法分配律 | $A \cdot (B + C) = A \cdot B + A \cdot C$ | 乘法对加法的分配律 | +| 加法分配律 | $A + (B \cdot C) = (A + B) \cdot (A + C)$ | 加法对乘法的分配律 | +| **吸收律** | | | +| 吸收律1 | $A + A \cdot B = A$ | 吸收律的第一种形式 | +| 吸收律2 | $A \cdot (A + B) = A$ | 吸收律的第二种形式 | +| **德摩根定律** | | | +| 德摩根定律1 | $\overline{A + B} = \overline{A} \cdot \overline{B}$ | 逻辑加法的德摩根定律 | +| 德摩根定律2 | $\overline{A \cdot B} = \overline{A} + \overline{B}$ | 逻辑乘法的德摩根定律 | +| **简化定律** | | | +| 简化定律1 | $A + \overline{A} \cdot B = A + B$ | 简化逻辑表达式 | +| 简化定律2 | $A \cdot (\overline{A} + B) = A \cdot B$ | 简化逻辑表达式 | +| **共识定律** | | | +| 共识定律 (积之和形式) | $AB + \overline{A}C + BC = AB + \overline{A}C$ | 较难，常用于逻辑化简。项 `BC` 是 `AB` 和 `A`C 的共识项，是冗余的。 | +| 共识定律 (和之积形式) | $(A+B)(\overline{A}+C)(B+C) = (A+B)(\overline{A}+C)$ | 较难，常用于逻辑化简。项 `(B+C)` 是 `(A+B)` 和 `(A`+C) 的共识项，是冗余的。| +| **反演定律** | | | +| 反演定律 | $A = \overline{\overline{A}}$ | 变量的双重否定等于自身 | + +### 推导过程 + +1. **基本定律** + - **恒等律**：$A + 0 = A$ 和 $A \cdot 1 = A$ 是逻辑代数的基本定义。 + - **零律**：$A + 1 = 1$ 和 $A \cdot 0 = 0$ 也是逻辑代数的基本定义。 + - **幂等律**：$A + A = A$ 和 $A \cdot A = A$ 是因为逻辑加法和乘法运算的特性。 + - **互补律**：$A + \overline{A} = 1$ 和 $A \cdot \overline{A} = 0$ 是逻辑变量和其补码的定义。 + +2. **交换律** + - **加法交换律**：$A + B = B + A$ 是逻辑加法的交换特性。 + - **乘法交换律**：$A \cdot B = B \cdot A$ 是逻辑乘法的交换特性。 + +3. **结合律** + - **加法结合律**：$(A + B) + C = A + (B + C)$ 是逻辑加法的结合特性。 + - **乘法结合律**：$(A \cdot B) \cdot C = A \cdot (B \cdot C)$ 是逻辑乘法的结合特性。 + +4. **分配律** + - **乘法分配律**：$A \cdot (B + C) = A \cdot B + A \cdot C$ 是逻辑乘法对加法的分配特性。 + - **加法分配律**：$A + (B \cdot C) = (A + B) \cdot (A + C)$ 是逻辑加法对乘法的分配特性。 + +5. **吸收律** + - **吸收律1**：$A + A \cdot B = A$ 可以从 $A + A \cdot B = A \cdot (1 + B) = A \cdot 1 = A$ 推导得出。 + - **吸收律2**：$A \cdot (A + B) = A$ 可以从 $A \cdot (A + B) = A \cdot A + A \cdot B = A + A \cdot B = A$ 推导得出。 + +6. **德摩根定律** + - **德摩根定律1**：$\overline{A + B} = \overline{A} \cdot \overline{B}$ 是逻辑加法的德摩根定律。 + - **德摩根定律2**：$\overline{A \cdot B} = \overline{A} + \overline{B}$ 是逻辑乘法的德摩根定律。 + +7. **简化定律** + - **简化定律1**：$A + \overline{A} \cdot B = A + B$ 可以从 $A + \overline{A} \cdot B = (A + \overline{A}) \cdot (A + B) = 1 \cdot (A + B) = A + B$ 推导得出。 + - **简化定律2**：$A \cdot (\overline{A} + B) = A \cdot B$ 可以从 $A \cdot (\overline{A} + B) = A \cdot \overline{A} + A \cdot B = 0 + A \cdot B = A \cdot B$ 推导得出。 + +8. **共识定律** + - **共识定律**：$(A + B) \cdot (\overline{A} + C) = (A + B) \cdot (\overline{A} + C) \cdot (B + C)$ 可以从 $(A + B) \cdot (\overline{A} + C) = (A + B) \cdot (\overline{A} + C) \cdot (B + C)$ 推导得出，因为 $(A + B) \cdot (\overline{A} + C) \leq (B + C)$。 + +9. **反演定律** + - **反演定律**：$A = \overline{\overline{A}}$ 是逻辑变量的双重否定特性。 + +--- +## 二、基本门电路 + +### 1. 非门 + +$$ +Y = \overline{A} +$$ -#### 第一部分：数字逻辑基础 -- **数制与编码** - - 二进制、八进制、十六进制 - - BCD码、格雷码 - - 数制转换方法 +### 2. 与门 -- **逻辑代数基础** - - 布尔代数基本定律 - - 逻辑函数的表示方法 - - 逻辑函数的化简 +$$ +Y = A \cdot B +$$ -#### 第二部分：组合逻辑电路 -- **基本逻辑门** - - 与门、或门、非门 - - 与非门、或非门、异或门 - - 逻辑门的电气特性 +**真值表:** -- **组合逻辑电路分析与设计** - - 组合电路的分析方法 - - 组合电路的设计流程 - - 典型组合电路应用 +| 输入 A | 输入 B | 输出 Y | +| --- | --- | --- | +| 0 | 0 | 0 | +| 0 | 1 | 0 | +| 1 | 0 | 0 | +| 1 | 1 | 1 | -#### 第三部分：时序逻辑电路 -- **触发器** - - RS触发器、JK触发器 - - D触发器、T触发器 - - 触发器的应用 -- **时序电路分析与设计** - - 时序电路的基本概念 - - 状态图与状态表 - - 时序电路的设计方法 -#### 第四部分：数字系统设计 -- **计数器与寄存器** - - 二进制计数器 - - 十进制计数器 - - 移位寄存器 +### 3. 或门 -- **数字系统综合设计** - - 数字系统设计方法 - - 可编程逻辑器件 - - 数字系统的测试与调试 +$$ +Y = A + B +$$ + +**真值表:** + +| 输入 A | 输入 B | 输出 Y | +| --- | --- | --- | +| 0 | 0 | 0 | +| 0 | 1 | 1 | +| 1 | 0 | 1 | +| 1 | 1 | 1 | + + + +### 4. 与非门 +与非门是“与门”和“非门”的结合。 +$$ +Y = \overline{A \cdot B} +$$ + +**真值表:** + +| 输入 A | 输入 B | 输出 Y | +|:---:|:---:|:---:| +| 0 | 0 | 1 | +| 0 | 1 | 1 | +| 1 | 0 | 1 | +| 1 | 1 | 0 | + + + +### 5. 或非门 +或非门是“或门”和“非门”的结合。 +$$ +Y = \overline{A + B} +$$ + +**真值表:** + +| 输入 A | 输入 B | 输出 Y | +|:---:|:---:|:---:| +| 0 | 0 | 1 | +| 0 | 1 | 0 | +| 1 | 0 | 0 | +| 1 | 1 | 0 | + + + +### 6. 异或门 +当两个输入不相同时，输出为高电平（1）；当两个输入相同时，输出为低电平（0）。这也被称为“半加器”的求和逻辑。 + +**逻辑表达式:** +$$ +Y = A \oplus B +$$ + +**真值表:** + +| 输入 A | 输入 B | 输出 Y | +|:---:|:---:|:---:| +| 0 | 0 | 0 | +| 0 | 1 | 1 | +| 1 | 0 | 1 | +| 1 | 1 | 0 | + +--- +## 三、编码 + +### 1. 原码、反码和补码 +为了在二进制系统中表示正负数，我们通常会使用最高位作为**符号位**。 +* 符号位为 **0** 代表**正数**。 +* 符号位为 **1** 代表**负数**。 + + + +#### **原码** + + +* **规则**: 符号位 + 数值的绝对值的二进制表示。 +* **正数**: 符号位为0，其余位表示数值。 + * 例如，$+12$ 的原码是 **00001100**。 +* **负数**: 符号位为1，其余位表示数值。 + * 例如，$-12$ 的原码是 **10001100**。 +* **缺点**: + 1. 零的表示不唯一：$+0$ 是 **00000000**，$-0$ 是 **10000000**。 + 2. 进行加减法运算时，需要单独处理符号位，硬件实现复杂。 + +#### **反码** + +反码的出现是为了简化减法运算。 + +* **规则**: + * **正数**的反码与其原码**相同**。 + * **负数**的反码是在其**原码**的基础上，**符号位不变**，其余各位**按位取反**。 +* **示例**: + * $+12$ 的原码是 `00001100`，其反码也是 **00001100**。 + * $-12$ 的原码是 `10001100`，其反码是 **11110011** (符号位1不变，后面7位 `0001100` 按位取反得到 `1110011`)。 +* **缺点**: + * 仍然存在“双零”问题：$+0$ 的反码是 **00000000**，$-0$ 的反码是 **11111111**。 + * 跨零运算会产生循环进位问题。 + +#### **补码** + +补码是现代计算机系统中最常用的有符号数表示法，它解决了原码和反码的缺点。 + +* **规则**: + * **正数**的补码与其原码**相同**。 + * **负数**的补码是其**反码加 1**。 +* **求负数补码的方式**: + * 从其原码的**最低位（最右边）**向左找，找到的**第一个 1** 保持不变，这个 1 **左边**的所有位（不含符号位）按位取反，符号位仍为1。 +* **示例**: + * $+12$ 的补码是 **00001100**。 + * $-12$ 的补码求法： + 1. 原码: `10001100` + 2. 反码: `11110011` + 3. 加 1: `11110011 + 1` = **11110100**。 +* **优点**: + 1. **零的表示唯一**: **00000000**。 + 2. **简化运算**: 可以将减法运算转换为加法运算。例如，计算 $A - B$ 等同于计算 $A + (-B)$ 的补码。 + 3. 对于一个 $n$ 位的补码系统，其表示范围为 $[-2^{n-1}, 2^{n-1}-1]$。例如，8位补码的范围是 $[-128, 127]$。 + +**总结表格 (以 ±12 为例)** + +| 值 | 原码 | 反码 | 补码 | +|:---:|:---:|:---:|:---:| +| +12 | 00001100 | 00001100 | 00001100 | +| -12 | 10001100 | 11110011 | 11110100 | + + + +### 2. BCD 码 + +BCD码是用**二进制**来表示**十进制**数的一种编码方式。它与直接将十进制数转换为二进制数不同。 + +* **规则**: 用 **4 位二进制数**来表示一位十进制数（0-9）。最常用的是 **8421 BCD 码**，其中各位的权值从高到低分别是 8、4、2、1。 +* **特点**: + * 它介于二进制和十进制之间，便于人机交互（如数码管显示、计算器）。 + * 运算比纯二进制复杂，但比直接处理十进制字符简单。 + * 由于用4位二进制表示一位十进制数，所以 `1010` 到 `1111` 这 6 个码是无效或非法的。 + +**BCD 码对照表** + +| 十进制 | BCD 码 | +|:---:|:---:| +| 0 | 0000 | +| 1 | 0001 | +| 2 | 0010 | +| 3 | 0011 | +| 4 | 0100 | +| 5 | 0101 | +| 6 | 0110 | +| 7 | 0111 | +| 8 | 1000 | +| 9 | 1001 | + +**示例**: +将十进制数 **129** 转换为 BCD 码。 + +1. 将每一位十进制数分开：`1`、`2`、`9`。 +2. 将每一位分别转换为对应的4位BCD码： + * $1 \rightarrow 0001$ + * $2 \rightarrow 0010$ + * $9 \rightarrow 1001$ +3. 将它们组合起来： + $$ + (129)_{10} = (0001 \ 0010 \ 1001)_{\text{BCD}} + $$ +**对比**: 如果将 (129)₁₀ 直接转换为纯二进制，结果是 **10000001**。这与它的 BCD 码是完全不同的。 +--- +## 四、加法器、编码器、译码器、选择器、比较器 +--- +## 五、触发器 + +### 1. RS 触发器 + +最基本的触发器，但存在一个不确定状态，在实际应用中较少直接使用。 + +* **输入**: $S$ (Set, 置位), $R$ (Reset, 复位) +* **输出**: $Q$ (状态输出), $\overline{Q}$ (反向输出) + +#### **功能表** +这张表描述了在不同输入下，下一个状态 $Q_{n+1}$ 是什么。 + +| $S$ | $R$ | $Q_{n+1}$ | 功能 | +|:---:|:---:|:---:|:---| +| 0 | 0 | $Q_n$ | 保持 | +| 0 | 1 | 0 | 复位/置0 | +| 1 | 0 | 1 | 置位/置1| +| 1 | 1 | **?** | **禁止/不定** | + +#### **特性方程** +$$ +Q_{n+1} = S + \overline{R}Q_n \quad (\text{约束条件: } S \cdot R = 0) +$$ + +#### **激励表** +这张表在电路设计时非常有用，它回答了“为了让状态从 $Q_n$ 变为 $Q_{n+1}$，输入 $S$ 和 $R$ 应该是什么？”。（X表示Don't Care，即0或1均可） + +| $Q_n$ | $Q_{n+1}$ | $S$ | $R$ | +|:---:|:---:|:---:|:---:| +| 0 | 0 | 0 | X | +| 0 | 1 | 1 | 0 | +| 1 | 0 | 0 | 1 | +| 1 | 1 | X | 0 | + + +### 2. JK 触发器 + +JK 触发器是 RS 触发器的改进版，它解决了 RS 触发器的“禁止”状态问题，是最通用的触发器。 + +* **输入**: $J$ (功能类似 $S$), $K$ (功能类似 $R$) +* **输出**: $Q$, $\overline{Q}$ + +#### **功能表** + +| $J$ | $K$ | $Q_{n+1}$ | 功能 | +|:---:|:---:|:---:|:---| +| 0 | 0 | $Q_n$ | 保持 | +| 0 | 1 | 0 | 复0 | +| 1 | 0 | 1 | 置1 | +| 1 | 1 | $\overline{Q_n}$ | **翻转 ** | + +*JK触发器将RS触发器的禁止状态（1,1输入）变成了一个非常有用的**翻转**功能。* + +#### **特性方程** +$$ +Q_{n+1} = J\overline{Q_n} + \overline{K}Q_n +$$ + +#### **激励表** + +| $Q_n$ | $Q_{n+1}$ | $J$ | $K$ | +|:---:|:---:|:---:|:---:| +| 0 | 0 | 0 | X | +| 0 | 1 | 1 | X | +| 1 | 0 | X | 1 | +| 1 | 1 | X | 0 | + + +### 3. D 触发器 +D 触发器的功能非常直接：在时钟脉冲到来时，将输入 $D$ 的值传递给输出 $Q$。它常被用作数据锁存器或移位寄存器的基本单元。 + +* **输入**: $D$ (Data) +* **输出**: $Q$, $\overline{Q}$ + +#### **功能表** + +| $D$ | $Q_{n+1}$ | 功能 | +|:---:|:---:|:---| +| 0 | 0 | 置0 | +| 1 | 1 | 置1 | + +*无论当前状态 $Q_n$ 是什么，下一个状态 $Q_{n+1}$ 都等于时钟边沿到来时的 $D$ 输入值。* + +#### **特性方程 ** +$$ +Q_{n+1} = D +$$ + +#### **激励表 ** + +| $Q_n$ | $Q_{n+1}$ | $D$ | +|:---:|:---:|:---:| +| 0 | 0 | 0 | +| 0 | 1 | 1 | +| 1 | 0 | 0 | +| 1 | 1 | 1 | + + + +### 4. T 触发器 + +T 触发器是一个翻转触发器。当输入 $T=1$ 时，状态翻转；当 $T=0$ 时，状态保持不变。它常用于构建计数器。 + +* **输入**: $T$ +* **输出**: $Q$, $\overline{Q}$ + +#### **功能表** + +| $T$ | $Q_{n+1}$ | 功能 | +|:---:|:---:|:---| +| 0 | $Q_n$ | 保持 | +| 1 | $\overline{Q_n}$ | 翻转 | + +#### **特性方程** +$$ +Q_{n+1} = T \oplus Q_n = T\overline{Q_n} + \overline{T}Q_n +$$ + +#### **激励表** + +| $Q_n$ | $Q_{n+1}$ | $T$ | +|:---:|:---:|:---:| +| 0 | 0 | 0 | +| 0 | 1 | 1 | +| 1 | 0 | 1 | +| 1 | 1 | 0 | diff --git a/docs/sop/fishing-nothing-2.md b/docs/sop/fishing-nothing-2.md index b6f61b9..f4a374c 100644 --- a/docs/sop/fishing-nothing-2.md +++ b/docs/sop/fishing-nothing-2.md @@ -34,5 +34,3 @@ hidden: false # 是否隐藏文章：true隐藏（模板用），fals 但是总想着要黑漂才拉上来 等着寒假再回来钓 - - diff --git a/docs/sop/linear-algebra-notes.md b/docs/sop/linear-algebra-notes.md index a47c1cd..55aebe2 100644 --- a/docs/sop/linear-algebra-notes.md +++ b/docs/sop/linear-algebra-notes.md @@ -46,58 +46,609 @@ hidden: false +## 第一章 -## 笔记章节概览 +### 1.1 线性方程组 +#### (1) 矩阵与增广矩阵 + $$ + 2x_1 - x_2 + 1.5x_3 = 8 + $$ + $$ + x_1 - 4x_3 = -7 + $$ + +* 矩阵 (Matrix) + +$$ +\begin{bmatrix} +2 & -1 & 1.5\\ +1 & 0 & -4 +\end{bmatrix} +$$ + +* 增广矩阵 (Augmented Matrix) + +$$ +\begin{bmatrix} +2 & -1 & 1.5 & 8\\ +1 & 0 & -4 & -7 +\end{bmatrix} +$$ + +* 线性方程组解的三种情况： +1. 无解 (不相容) (incompatibility) +2. 有唯一解 (相容) (compatibility) +3. 有无穷多解 (相容) (compatibility) -本高等代数笔记共分为七个章节，每章都有独立的Markdown源码和PDF文件： +#### (2) 矩阵变换 -### 📖 章节目录 +* 倍加 +* 对换 +* 倍乘 + + +### 1.2 行化简与阶梯形矩阵 + +>**先导元素 (Leading element)** +**定义** +一个矩阵称为阶梯形(或行阶梯形),若它有以下三个性质: +l.每一非零行都在每一零行之上. +2.某一行的先导元素所在的列位于前一行先导元素的右边 +3.某一先导元素所在列下方元素都是零. +若一个阶梯形矩阵还满足以下性质,贝则称它为简化阶梯形(或简化行阶梯形) . +4.每一非零行的先导元素是 1. +5.每一先导元素 1 是该元素所在列的唯一非零元素 -#### 第一章：线性方程组 -- 线性方程组的基本概念 -- 高斯消元法 -- 矩阵的初等变换 -- 线性方程组解的结构 +>**定理1** (简化阶梯形矩阵的唯一性) +每个矩阵行等价于唯一的简化阶梯形矩阵. -#### 第二章：矩阵 -- 矩阵的基本运算 -- 矩阵的逆 -- 分块矩阵 -- 矩阵的秩 -#### 第三章：向量空间 -- 向量空间的定义 -- 线性相关与线性无关 -- 基与维数 -- 坐标变换 +>**主元位置 (Pivot position)** +**定义** +矩阵中的主元位置是A中对应于它的阶梯形中先导元素 1 的位直.主元列是$A$的含有主元往直的列 -#### 第四章：线性变换 -- 线性变换的定义与性质 -- 线性变换的矩阵表示 -- 特征值与特征向量 -- 对角化理论 +>**定理2** (存在与唯一性定理) +线性方程组相容的充要条件是增广矩阵的最右列不是主元列.也就是说增广矩阵的阶梯形没有形如 +$[0 \ \ \cdots \ \ 0 \ \ b] \ \ ,\ \ b\neq0$ -#### 第五章：多项式 -- 多项式的基本理论 -- 最大公因式 -- 因式分解 -- 有理函数 +>的行若线性方程组相容,则它的解集可能有两种情形: +( i )当没有自由变量时,有唯一解; +( ii )若至少有一个自由变量,则有无穷多解. -#### 第六章：矩阵的标准形 -- 相似矩阵 -- Jordan标准形 -- 最小多项式 -- 矩阵函数 +### 1.3 向量方程 -#### 第七章：二次型 -- 二次型的基本概念 -- 二次型的标准形 -- 正定二次型 -- 二次型的应用 +$$u= +\begin{bmatrix} +\ 2 \ \\ +\ 1 \ +\end{bmatrix} +$$ + +>满足加法乘法的性质 + +* 线性组合 + $y=x_1c_1+\cdots+x_ic_i$ 中 $c_i$ 为权 + +* 向量张成 (生成) + + $span\{x_1,x_2,\cdots,x_i\}$ + 即判断 + $y=x_1c_1+\cdots+x_ic_i$ + 是否有解；或 + $\begin{bmatrix} + \ x_1\ x_2\ \cdots \ x_3 \ y\\ + \end{bmatrix}$ + 是否有解 + +### 1.4 矩阵方程 Ax=b + +>**定义** +若$A$是$m \times n$矩阵,它的各列为 $a$ +若 $x$ 是$R$n中的向量,则 $A$ 与 $x$ 的积(记为$Ax$) 就是 $A$ 的各列以 $x$ 中对应元素为权的线性组合 + +>**定理3** +$Ax=b$ +等价于 +$\begin{bmatrix} + \ a_1\ a_2\ \cdots \ a_3 \ \ b\\ + \end{bmatrix}$ + + +* 解的存在性 + +>**方程Ax = b 有解当且仅当 b 是 A 的各列的线性组合.** + + + +>**定理4** +设 $A$ 是 $m \times n$ 矩阵,则下列命题是逻辑上等价的. +也就是说,对某个 $Ax = b$ 它们都成立或者都不成立. +a. 对$R$m中每个 $b$ ,方程 $Ax=b$ 有解. +b. $R$m中的每个 $b$ 都是 $A$ 的列的一个线性组合. +c. $A$ 的各列生成$R$m. +d. $A$ 在每一行都有一个主元位置. + +>**计算** +计算 $Ax$ 的行-向量规则 +若乘积 $Ax$ 有定义,则 $Ax$ 中的第 $i$ 个元素是 $A$ 的第 $i$ 行元素与 $x$ 的相应元素乘积之和. + +>**定理5** +若 $A$ 是 $m\times n$ 矩阵,$u$ 和 $v$ 是$R$n中向量, $c$ 是标量,如: +a. $A(u+v) = Au+Av.$ +b. $A(cu) = c(Au).$ + +### 1.5 线性方程组的解集 +* 齐次线性方程组 + +>齐次方程 $Ax=0$ 有非平凡解当且仅当方程至少有一个自由变量. + +>**定理6** +设方程 $Ax=b$ 对某个 $b$ 是相容的, $p$ 为一个特解,则 $Ax=b$ 的解集是所有形如 +$w = p+v_h$ +>的向量的集, 其中 $v$h 是齐次方程 $Ax=0$ 的任意一个解. + +### 1.7 线性无关 + +>**定义** +向量方程 $0=x_1c_1+\cdots+x_ic_i$ 仅有平凡解(trivial solution) 向量组 (集) 称为线性无关的 (linearly independent) +若存在不全为零的权 +$c_i$ +使 +$x_1c_1+\cdots+x_ic_i+0$ +则向量组 (集) 称为线性相关的 (linearly dependent) + +>**矩阵 $A$ 的各列线性无关,当且仅当方程 $Ax=0$ 仅有平凡** + +>**定理7** (线性相关集的特征) +两个或更多个向量的集合 +$S=\{v_1,v_2,\cdots,v_p\}$ +>线性相关,当且仅当 $S$ 中至少有一个向量是其他向量的线性组合. + +>**定理8** +若一个向量组的向量个数超过每个向量的元素个数,那么这个向量组线性相关.就 +是说, $R$n 中任意向量组 +$\{v_1,v_2,\cdots,v_p\}$ +>当 $p>n$ 时线性相关. + +>**定理9** +若 $R$n 中向量组 +$S=\{v_1,v_2,\cdots,v_p\}$ +>包含零向量,则它线性相关 + +### 1.8 线性变换介绍 +* 变换(transformation)(或称函数、映射(map)) $T$ 是一个规则 +* $T$ : $R$n → $R$m + $R$n称为 $T$ 的定义域 (domain) + $R$m称为 $T$ 的余定义域 (codomain) (或取值空间) + +* 线性变换 +$$T(0) = 0$$ +$$T(cu+ dv) = cT(u) + dT(v)$$ + +### 1.9 线性变换的矩阵 + +>**定理10** +设 $T$ : $R$n → $R$m 为线性变换,则存在唯一的矩阵 $A$ ,使得对 $R$n中一切 $x$ 满足 $T(x)=Ax$ + +* 满射 + >映射 $T$ : $R$n → $R$m 称为到 $R$m 上的映射,若 $R$m 中每个 $b$ 是 $R$n 中至少一个 $x$ 的像. + + >“满射” 的英文是 “surjective” 或 “surjection” 或 “onto mapping” 或 “onto function” + + +* 单射 + >映射 $T$ : $R$n → $R$m 称为一对一映射(或1:1),若 $R$m 中每个 $b$ 是 $R$m 中至多一个 $x$ 的像. + + >“单射” 的英文是 “injective” 或 “injection” 或 “one-to-one mapping” 或 “one-to-one function” + + +>**定理11** +设 $T$ : $R$n → $R$m 为线性变换,则 $T$ 是一对一的当且仅当方程 $Ax=0$ 仅有平凡解. + +>**定理12** +设 $T$ : $R$n → $R$m 为线性变换,设 $A$ 为 $T$ 的标准矩阵，则： +a. $T$ 把 $R$n 映上到 $R$m ，当且仅当 $A$ 的列生成 $R$m. +b. $T$ 是一对一的，当且仅当 $A$ 的列线性无关. + +## 第二章 + +### 2.1 矩阵运算 +加减乘 +### 2.2 矩阵的逆 +>不可逆矩阵有时称为**奇异矩阵**，而可逆矩阵也称为**非奇异矩阵**. +$$A^{-1}A=I$$ +$$A^{-1}=\frac{1}{det A} \times A_{adj}$$ +$A_{adj}$是伴随矩阵（adjugate matrix） +$$(A^{-1})^{-1}=A$$ +$$(AB)^{-1}=A^{-1}B^{-1}$$ + +>若干个$n \times n$ 可逆矩阵的积也是可逆的，其逆等于这些矩阵的逆按相反顺序的乘积 +>~~看不懂，不爱用这种方法~~ + +求法（我常用）： +$$[\ A\ \ \ I\ ]=[\ I\ \ \ A^{-1}\ ] $$ + +### 2.3 矩阵的特征 + +* 挺多的 + + +### 2.4 分块矩阵 +* 没什么特别的 + +### 2.5 LU分解 +>L 是 $m \times m$ 下三角矩阵， 主对角线元素全是1， +>$A=LU$ +>AI写的： + +* Doolittle分解（LU分解的一种常见形式） +* 原理 对于一个$n \times n$矩阵 $A$，将其分解为一个下三角矩阵$L$,主对角线元素为1和一个上三角矩阵$U$的乘积，即$A = LU$。 +> 计算步骤 +> 1. **设定矩阵形式** 设 +$$A=\left[\begin{array}{cccc}a_{11}&a_{12}&\cdots&a_{1n}\\a_{21}&a_{22}&\cdots&a_{2n}\\\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\a_{n1}&a_{n2}&\cdots&a_{nn}\end{array}\right]$$ +$$L=\left[\begin{array}{cccc}1&0&\cdots&0\\l_{21}&1&\cdots&0\\\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\l_{n1}&l_{n2}&\cdots&1\end{array}\right]$$ +$$U=\left[\begin{array}{cccc}u_{11}&u_{12}&\cdots&u_{1n}\\0&u_{22}&\cdots&u_{2n}\\\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\0&0&\cdots&u_{nn}\end{array}\right]$$ +> 2. **计算$U$的第一行和$L$的第一列** +$$u_{1j}=a_{1j}(j = 1,2,\cdots,n)$$ +$$l_{i1}=\frac{a_{i1}}{u_{11}}(i = 2,3,\cdots,n)$$ +> 3. **对于$k = 2,3,\cdots,n$，分别计算$U$的第$k$行和$L$的第$k$列计算$U$的第$k$行**： +$$u_{kj}=a_{kj}-\sum_{m = 1}^{k - 1}l_{km}u_{mj}(j = k,k + 1,\cdots,n)$$ +>**计算$L$的第$k$列**： +$$l_{ik}=\frac{1}{u_{kk}}(a_{ik}-\sum_{m = 1}^{k - 1}l_{im}u_{mk})(i = k + 1,k + 2,\cdots,n)$$ + +>*示例* +>对于矩阵 +$$A=\left[\begin{array}{ccc}2&1&1\\4&3&3\\8&7&9\end{array}\right]$$ +>1. **第一步计算** +>首先$u_{11}=2$， $u_{12}=1$，$u_{13}=1$，$l_{21}=\frac{4}{2}=2$，$l_{31}=\frac{8}{2}=4$ +>2. **第二步计算** 然后计算 +> $u_{22}=a_{22}-l_{21}u_{12}=3 - 2×1 = 1$， +> $u_{23}=a_{23}-l_{21}u_{13}=3 - 2×1 = 1$ +>4. **第三步计算** +$$l_{32}=\frac{1}{u_{22}}(a_{32}-l_{31}u_{12})=\frac{1}{1}(7 - 4×1)=3$$ +>5. **第四步计算** 最后 +$$u_{33}=a_{33}-l_{31}u_{13}-l_{32}u_{23}=9 - 4×1 - 3×1 = 2$$ +>6. **得出结果** 得到 +$$L=\left[\begin{array}{ccc}1&0&0\\2&1&0\\4&3&1\end{array}\right]$$ +$$U=\left[\begin{array}{ccc}2&1&1\\0&1&1\\0&0&2\end{array}\right]$$ + +## 第三章 + +### 3.1 行列式介绍 +* 人话版本： +>我的方法： +>1、选择一行零最多的， +>2、他的位置是第（$i$，$j$）,那就删去第$i$行，第$j$列，剩下的就是（余因子） +>3、这一行每个数都这样算$a_{ij} \times |C_{ij}| \times (-1)^{i+j}$，最后求和 + +>**定理 2** +>若 $A$ 为三角阵，则 det$A$ 等于 $A$ 的主对角线上元素的乘积 + +### 3.2 行列式的性质 +>**定理3 (行变换)** +>令 $A$ 是一个方阵. +>a. 若 $A$ 的某一行的倍数加到另一行得矩阵B ， 则det $B$ = det $A$ . +>b 若 $A$ 的两行互换得矩阵 $B$ ， 则 det $B$ = - det $A$. +>c. 若 $A$ 的某行来以 $k$ 倍得到矩阵 $B$ ， 则det $B$ = $k$ det $A$ . +>** 补充 +>$$\vert A^T\vert=\vert A\vert$$ +>$$\vert A^{-1}\vert=\frac{1}{\vert A\vert}$$ +> +>$$|A^{*}|=|A|^{n - 1}$$ +>$$\vert kA\vert=k^{n}\vert A\vert$$ + +>**定理4** +> 方阵 $A$ 是可逆的当且仅当 det $A \neq 0$ + +>**定理5** +> 若 $A$ 为一个 $n \times n$ 矩阵，则det $A^T$ = det $A$. + +>**定理6 (乘法的性质)** +若 $A$ 和 $B$ 均为 $n \times n$ 矩阵，则 det $AB$ = (det $A$)( det $B$) . + +* 行列式与秩的关系 +>$\text{det}(A)\neq0$那么矩阵$A$是满秩的，秩$\text{rank}(A) = n$。这是因为行列式不为零意味着矩阵的列（行）向量组是线性无关的 +>也就是齐次线性方程组$Ax=0$的充要条件是系数矩阵秩$\text{rank}(A) = n$ + +* **$r(A) = n$** $\Leftrightarrow$ **$|A| \neq 0$** $\Leftrightarrow$ **齐次线性方程组 $Ax = 0$ 只有零解 $\Leftrightarrow$ 可逆** + +### 3.3 克拉默法则 +>**定理7 (克拉默法则)** +设 $A$ 是一个可逆的 $n \times n$ 矩阵，对 $R$m 中任意向量 $b$ ， 方程 $Ax =b$ 的唯一解可由下式给出: +$$\displaystyle x_i=\frac{det \ \ A_i(b)}{det \ \ A},i=1,2,\cdots,,n$$ + +~~不太能解释~~ +## 第四章 + + +### 4.1 向量空间(vector space)与子空间(subspace) +>向量空间和向量计算法则一样 + +* 子空间 + >定义向量空间 $V$ 的一个子空间是 $V$ 的一个满足以下三个性质的子集 $H$: + a. $V$ 中的零向量在 $H$ 中 + b. $H$ 对向量加法封闭，即对 $H$ 中任意向量 $U$，$V$ ， 和 $u + v$ 仍在 $H$ 中. + c. $H$ 对标量乘法封闭， 即对 $H$ 中任意向量 $u$ 和任意标量 $C$ ，向量 $cu$ 仍在 $H$ 中. + + +>**定理1** 若 $v_1,v_2,\cdots,v_p$ 在向量空间 $V$ 中，则$span\{x_1,x_2,\cdots,x_i\}$是 $V$ 的一个子空间. + +### 4.2 零空间、列空间和线性变换 +* 矩阵的零空间(null space) + + >**定义** + 矩阵 $A$ 的零空间写成 $NulA$ ， 是齐次方程 $Ax = 0$ 的全体解的集合. + +>**定理2** $m \times n$ 矩阵 $A$ 的零空间是$R$m的一个子空间.等价地, $m$ 个方程、$n$ 个未知数的齐次线性方程组 $Ax = 0$ 的全体解的集合是$R$m的一个子空间 + +* 矩阵的列空间(column space) + >**定义** + $m \times n$矩阵 $A$ 的列空间(记为 $ColA$ ) 是由 $A$ 的列的所有线性组合组成的集合.若 $A=\begin{bmatrix} + \ x_1\ x_2\ \cdots \ x_3 \ \\ + \end{bmatrix}$，则 $ColA = span\{x_1,x_2,\cdots,x_i\}$. + +>**定理3** $m \times n$ 矩阵 $A$ 的列空间是 $R$m 的一个子空间. + +* 线性变换的核与值域 + >线性变换 见1.8 + * 核(零空间 $Nul A$) + >线性变换 $T$ 的核(或零空间)是 $V$ 中所有满足 $T(u) = 0$ 的向量 $u$ 的集合 + +### 4.3 线性无关集(linearly independent set)和基(basis) +* 线性无关 见1.7 + +>**定理5 (生成集定理)** +令$S = \{v_1,v_2,\cdots,v_p\}$是$V$中的向量集，$H = span\{v_1,v_2,\cdots,v_p\}$. +a.若 $S$ 中某一个向量(比如说 $v_k$ ) 是 $S$ 中其余向量的线性组合，则 $S$ 中去掉$v_k$ 后形成的集合仍然可以生成 $H$. +b. 若$H \neq \{0\}$ ，则 $S$ 的某一子集是 $H$ 的一个基. + +* NulA 和ColA 的基 + >**定理6** + 矩阵 $A$ 的主元列构成 $ColA$ 的一个基. + + +### 4.5 向量空间的维数(dimension) +>**定理9** +若向量空间 $V$ 具有一组基(n个基向量)， 则 $V$ 中任意包含多于 $n$ 个向量的集合一 +定线性相关. + +~~这是期中考证明题，没做出来~~ + +>**定理10** 若向量空间 $V$ 有一组基含有 $n$ 个向量，则 $V$ 的每一组基一定恰好含有 $n$ 个向量. + +* $NulA$ 的维数是方程 $Ax=0$ 中自由变量的个数，$ColA$ 的维数是 $A$ 中主元列的个数. + +### 4.6 秩(rank) + +* $ColA^T = Row A$. +>**定理13** 若两个矩阵 $A$ 和 $B$ 行等价，则它们的行空间相同.若 $B$ 是阶梯形矩阵，则 $B$ 的非零行构成 $A$ 的行空间的一个基同时也是 $B$ 的行空间的一个基 + +~~?看不太懂~~ + +*以下比较重要* + +>**定义** +$A$ 的秩即 $A$ 的列空间的维数 + +>**定理14 (秩定理)** +$m \times n$ 矩阵 $A$ 的列空间和行空间的维数相等，这个公共的维数(即 $A$ 的秩)还等于 $A$ 的主元位置的个数且,满足方程 +$$rank\ A+dim\ \ Nul \ A = n$$ + +>**定理 (可逆矩阵定理(续))** +令 $A$ 是一个 $n \times n$ 矩阵，则下列命题中的每一个均等价于 $A$ 是可逆矩阵: +a. $A$ 的列构成$R$n的一个基. +b. $ColA=$$R$n. +c. $dim \ ColA = n$. +d. $rank A = n$. +e. $Nul A = \{0\}$. +f. $dim \ NulA=0$. + + +### 4.7 基的变换 +~~先欠着~~ + +## 第五章 + + +### 5.1 特征向量(eigenvector)与特征值(eigenvalue) + >定义 $A$ 为 $n \times n$ 矩阵，$x$ 为非零向量， 若存在数 $λ$ 使 $Ax=λx$ 有非平凡解 $x$， 则称 $λ$ 为 $A$的特征值,$x$ 称为对应于 $λ$ 的特征向量 +也可写作$(A-λI)x=0$ + +>**定理1** +三角矩阵的主对角线的元素是其特征值. + +>**定理2** +$λ_1,\cdots,λ_r$ 是 $n \times n$ 矩阵 $A$ 相异的特征值，$v_1,\cdots,v_r$是与$λ_1,\cdots,λ_r$对应的特征向量，那么向量集合{$v_1,\cdots,v_r$}线性无关. + + + +* 一、逆矩阵的特征值 +若矩阵$A$可逆，$\lambda$是$A$的特征值，则$A^{-1}$的特征值是$\displaystyle \frac{1}{\lambda}$，特征向量不变。 + +* 二、转置矩阵的特征值 +矩阵$A$与其转置矩阵$A^T$具有相同的特征值。 + +* 三、伴随矩阵的特征值 +若$A$可逆，$A$的特征值为$\lambda_i$（$i = 1,2,\cdots,n$，$\lambda_i\neq0$），则伴随矩阵$A^*$的特征值为$\displaystyle \frac{\vert A\vert}{\lambda_i}$，特征向量不变。 + +### 5.2 特征方程(eigen equation) +>**定理(可逆矩阵定理(续))** +设 $A$ 是 $n \times n$ 矩阵，则 $A$ 是可逆的当且仅当 +a.0不是 $A$ 的特征值. +b.$A$ 的行列式不等于零. + + + +>**定理3 (行列式的性质)** +设 $A$ 和 $B$ 是 $n \times n$ 矩阵. +a. $A$ 可逆的元要条件是 det$A \neq 0$. +b. det $AB =$ (det $A$) (det$B$). +c. det $A^T$ = det $A$. +d. 若 $A$ 是三角形矩阵，那么det $A$ 是 $A$ 主对角线元素的乘积. +e. 对 $A$ 作行替换不改变其行列式值.作一次行交换，行列式值符号改变一次数来一行后， +行列式值等于用此数来原来的行列式值. + +>**定理4** +若 $n \times n$ 矩阵 $A$ 和 $B$ 是相似的，那么它们有相同的特征多项式，从而有相同的特征值(和相同的重数). + +### 5.3 对角化(diagonalize) +>**定理5 (对角化定理)** +$n \times n$ 矩阵 $A$ 可对角化的充分必要条件是 $A$ 有 $n$ 个线性无关的特征向量. +事实上， $A=PDP^{-1}$ , $D$ 为对角矩阵的充分必要条件是 $P$ 的列向量是 $A$ 的 $n$ 个线性无关的特征向量.此时，$D$ 的主对角线上的元素分别是 $A$ 的对应于 $P$ 中特征向量的特征值. + +>**定理6** +有 $n$ 个相异特征值的$n \times n$ 矩阵可对角化. + +>**定理7** +~~似乎不重要，因为我也读不懂~~ + +>**定理8 (对角矩阵表示)** +设 $A=PDP^{-1}$ ， 其中 $D$ 为 $n \times n$ 对角矩阵，若 $R$n 的基$\beta$由 $P$ 的列向量组成，那么 $D$ 是变换 $x$ → $Ax$的$\beta$-矩阵. + +## 第六章 + +### 6.1 内积、长度和正交性 + +* 内积 + 内积的英文是 “inner product” 或 “dot product” +> **定理1** +> 设 $v$，$u$ 和 $w$ 是 $R$n 中的向量, $c$ 是一个数,那么 + + +$a. \ \ \ u \cdot v = v \cdot u$ + +$b.\ \ \ (u +v) \cdot w = u \cdot w +v \cdot w$ + +$c. \ \ \ (cu) \cdot v=c(u \cdot v)=u \cdot (cv)$ + +$d. \ \ \ u \cdot u \geq 0，并且u \cdot u=0 成立的充分必要条件是u=0$ + + +* 向量的长度 + + $$||v|| ^2 = v \cdot v$$ + +$$dist(u,v)=||u-v||$$ + +* 正交向量 + 正交向量的英文是 “orthogonal vectors” 或 “perpendicular vectors” + +>定义如果 $u \cdot v = 0$ ，如 $R$n 中的两个向量 $u$ 和 $v$ 是(相互) 正交的. + +>对于一个方阵$A$，Col$A$中的向量与Nul$A$中的向量正交。 + +>**定理2 (毕达哥拉斯(勾股)定理)** + +$$||u+v||^2=||u||^2+||v||^2$$ + +* 正交补 + 正交补的英文是 “orthogonal complement” + +>1.向量 $x$ 属于 $W$⊥ 的充分必要条件是向量 $x$ 与生成空间 $W$ 的任一向量都正交. +>2. $W$⊥ 止是 $R$n 的一个子空间. + +>**定理3** +$( Row A )$⊥ = $Nul A$ 且 $( ColA )$⊥ = $Nul A$T + +### 6.2 正交集 + * 正交集的英文是 “orthogonal set” 或 “orthonormal set” +>**定理4** +如果 $S=\{x_1,x_2,\cdots,x_i\}$ 是由 $R$n 中非零向量构成的正交集，那么 $S$ 是线性无关集，因此构成 $S$ 所生成的子空间的一组基. + +>**定理5** +假设$\{x_1,x_2,\cdots,x_i\}$是 $R$n 中于空间 $W$ 的正文基,对 $W$ 中的每个向量y,线性组合 $y=x_1c_1+\cdots+x_ic_i$ 中的权可以由 $c_j=(y \cdot u_j)/(u_j \cdot u_j)$计算 + +#### 正交投影 **先欠着** ~~懒得写~~ + + +>**定理6** +一个 $m \times n$ 矩阵 U 具有单位正交列向量的充分必要条件是 $U$T $U$ = $I$. + +>**定理7** +假设 $U$ 是一个具有单位正交列的 $m \times n$ 矩阵，且 $x$ 和 $y$ 是 $R$n 中的向量，那么 +a. $||Ux|| = ||x|| .$ +b. $(Ux) \cdot (Uy) =x \cdot y$ +c. $(Ux) \cdot (Uy) = 0$ 的充分必要条件是 $x \cdot y = 0$ + +>**定理9 (最佳逼近定理)** +假设 $W$ 是 $R$n 的一个子空间，$y$ 是 $R$n 中的任意向量， $\widehat{y}$ 是 $y$ 在 $W$ 上的正支投影，那么 $\widehat{y}$ 是 $W$ 中最接近 $y$ 的点，也就是 +$$||y-\widehat{y}||<||y-v||$$ +>对所有属于 $W$ 又异于 $\widehat{y}$ 的 $v$ 成立. + +### 6.4 格拉姆-施密特方法 + +#### 格拉姆 - 施密特方法 + +设$\left\{\boldsymbol{v}_{1},\boldsymbol{v}_{2},\cdots,\boldsymbol{v}_{n}\right\}$是内积空间$V$中的一组线性无关向量。 +首先$\boldsymbol{u}_{1}=\boldsymbol{v}_{1}$；对于$k = 2,3,\cdots,n$， +$$\boldsymbol{u}_{k}=\boldsymbol{v}_{k}-\sum_{j = 1}^{k - 1}\frac{\left\langle\boldsymbol{v}_{k},\boldsymbol{u}_{j}\right\rangle}{\left\langle\boldsymbol{u}_{j},\boldsymbol{u}_{j}\right\rangle}\boldsymbol{u}_{j}$$ +即从$\boldsymbol{v}_{k}$中减去它在已构造正交向量$\boldsymbol{u}_{1},\boldsymbol{u}_{2},\cdots,\boldsymbol{u}_{k - 1}$上的投影，得到新正交向量$\boldsymbol{u}_{k}$。 + + +### 6.5 最小二乘问题 +* 最小二乘的英文是 “least squares” 或 “least square method”； +最小二乘解的英文是 “least squares solution”。 + +* **定义** + $$||b-A\widehat{x}||\leq||b-Ax||$$ + +>**定理13** +方程 $Ax=b$ 的最小二乘解集和法方程 $A$T $Ax = A$T $b$ 的非空解集一致. + +>**定理14** +设 $A$ 是 $m \times n$ 矩阵. 下面的条件是逻辑等价的: +a.对于 $R$n 中的每个 $b$ ， 方程 $Ax =b$ 有唯一最小二乘解. +b.$A$ 的列是线性无关的. +c.矩阵 $A$T $A$是可逆的. +当这些条件成立时，最小二乘解￡有下面的表示: +$$\widehat{x}=( A^T A)^{-1}A^Tb$$ + + +### 6.7 内积空间 + +>**定义** +向量空间 $V$ 上的内积是一个函数，对每一对属于$V$的向量 $u$ 和 $v$，存在一个实数$\langle u,v \rangle$满足下面公理，其中 $u$，$v$，$w$ 属于$V$，$C$ 为所有数. +1.$\langle u,v\rangle= \langle v,u \rangle$ +2.$\langle u +v, w\rangle =\langle u, w\rangle +\langle v,w\rangle$ +3.$\langle$c$u,v\rangle=$c$\langle u, v\rangle$ +4.$\langle u,u\rangle \geq 0$且$\langle u,u\rangle =0$ 的充分必要条件是 $u=0$ +一个赋予上面内积的向量空间称为**内积空间** + +* 内积空间的英文是 “inner product space” 或 “pre-Hilbert space” + + +>**定理16 (柯西-施瓦茨不等式)** +对 $V$ 中任意向量 $u$ 和 $v$，有 +$$|\langle u,v \rangle| \leq ||u||\ \ ||v||$$ + + +>**定理17 (三角不等式)** +对属于$V$ 的所有向量$u$,$v$，有 +$$||u-v||\leq||u||+||v||$$ + + +## 第七章 + +### 7.1 对称矩阵的对角化 + +就是$A^T=A$ + +>**定理1** 如果 $A$ 是对称矩阵，那么不同特征空间的任意两个特征向量是正交的. + +>**定理2** 一个$n \times n$ 矩阵 $A$ 可正交对角化的充分必要条件是 $A$ 是对称矩阵. + +### 7.2 二次型 +* 二次型是一个定义在 $R$n 上的函数， 它在向量 $x$ 处的值可由表达式$Q(x) = x^T Ax$ 计算，其中 $A$ 是一个 $n \times n$ 对称矩阵.矩阵 $A$ 称为关于二次型的矩阵. +### 7.4 SVD +SVD是奇异值分解（Singular Value Decomposition）的英文缩写。它是一种重要的矩阵分解方法。对于任意一个实矩阵$A_{m\times n}$（$m$行$n$列），都可以分解为 +$$A = U\Sigma V^{T}$$ +的形式。其中$U$是$m\times m$的正交矩阵，$V$是$n\times n$的正交矩阵，$\Sigma$是$m\times n$的对角矩阵，其对角线上的元素$\sigma_{ii}$（$i = 1,2,\cdots,\min(m,n)$）称为奇异值，并且$\sigma_{ii}\geq0$，这些奇异值按照从大到小的顺序排列在$\Sigma$的对角线上。 + + diff --git a/docs/sop/math-analysis-notes.md b/docs/sop/math-analysis-notes.md index 2bad3ef..87bb34d 100644 --- a/docs/sop/math-analysis-notes.md +++ b/docs/sop/math-analysis-notes.md @@ -13,8 +13,6 @@ hidden: false # 数学分析笔记 - - ## 资料下载 #### Markdown源码版本 @@ -26,38 +24,1453 @@ hidden: false - **下载链接**：[点击下载PDF版本](https://github.com/handsomezhuzhu/other_note/raw/main/数学分析/数学分析完整笔记.pdf) -## 笔记内容概览 +## 完整笔记 +**Copyright © 2024 Simon** -- **第一章：实数理论与数列极限** - - 实数的完备性 - - 数列极限的定义与性质 - - 单调有界定理 +## 第一章 序章 -- **第二章：函数极限与连续性** - - 函数极限的定义 - - 连续函数的性质 - - 一致连续性 +* 暂无 -- **第三章：导数与微分** - - 导数的定义与几何意义 - - 求导法则 - - 微分中值定理 +## 第二章 函数 -- **第四章：积分理论** - - 定积分的定义 - - 牛顿-莱布尼茨公式 - - 积分技巧与应用 +* 反函数 -- **第五章：级数理论** - - 数项级数 - - 幂级数 - - 傅里叶级数 +### 三角函数和反函数 -- **第六章：多元函数微积分** - - 偏导数与全微分 - - 多重积分 - - 向量分析 +**倒数关系：** +$$ +\cos\theta \cdot \sec\theta = 1 +$$ +$$ +\sin\theta \cdot \csc\theta = 1 +$$ +$$ +\tan\theta \cdot \cot\theta = 1 +$$ + +**商数关系：** + +$$ +\tan\theta = \frac{\sin\theta}{\cos\theta} +$$ + +$$ +\cot\theta = \frac{\cos\theta}{\sin\theta} +$$ + +**平方关系：** + +$$ +\sin^{2}\theta + \cos^{2}\theta = 1 +$$ + +$$ +1 + \tan^{2}\theta = \sec^{2}\theta +$$ + +$$ +1 + \cot^{2}\theta = \csc^{2}\theta +$$ + +**积化和差公式：** + +$$ +sin\alpha\cos\beta=\frac{1}{2}[\ \sin(\alpha + \beta)+\sin(\alpha-\beta)] +$$ + +$$ +cos\alpha\sin\beta=\frac{1}{2}[\ \sin(\alpha + \beta)-\sin(\alpha-\beta)] +$$ + +$$ +cos\alpha\cos\beta=\frac{1}{2}[\ \cos(\alpha + \beta)+\cos(\alpha-\beta)] +$$ + +$$ +sin\alpha\sin\beta=-\frac{1}{2}[\ \cos(\alpha + \beta)-\cos(\alpha-\beta)] +$$ + +**和差化积：** + +1. **正弦函数的和差化积公式：** + + $$ + sin\alpha+\sin\beta = 2\sin\frac{\alpha + \beta}{2}\cos\frac{\alpha-\beta}{2} + $$ + + $$ + sin\alpha-\sin\beta = 2\cos\frac{\alpha + \beta}{2}\sin\frac{\alpha-\beta}{2} + $$ +2. **余弦函数的和差化积公式：** + + $$ + cos\alpha+\cos\beta = 2\cos\frac{\alpha + \beta}{2}\cos\frac{\alpha-\beta}{2} + $$ + + $$ + cos\alpha-\cos\beta=2\sin\frac{\alpha + \beta}{2}\sin\frac{\alpha-\beta}{2} + $$ + +#### 三角函数 + +* **余切函数**： + 定义： + + $$ + \cot\theta = \frac{\cos\theta}{\sin\theta} + $$ + + 在直角三角形中 + + $$ + \cot\theta = \frac{邻边}{对边} + $$ + + 值域：$R$，定义域：$\theta \neq k\pi, k \in Z$ +* **正割函数**： + 定义： + + $$ + \sec\theta = \frac{1}{\cos\theta} + $$ + + 值域：$(-\infty, 1]\cup[1,\infty)$，定义域：$\displaystyle \theta \neq k\pi + \frac{\pi}{2}, k \in Z$。 +* **余割函数**： + 定义： + + $$ + \csc\theta = \frac{1}{\sin\theta} + $$ + + 值域：$(-\infty, 1]\cup[1,\infty)$，定义域：$\theta \neq k\pi, k \in Z$。 + +#### 反三角函数 + +1. **反正弦函数**： + 符号： + + $$ + y = \arcsin x + $$ + + 定义域：$[-1,1]$，值域：$\displaystyle\left[-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right]$ + 性质： + + $$ + \sin(\arcsin x) = x, x \in [1,1] + $$ + + $$ + \arcsin(\sin y) = y, y \in \left[-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right] + $$ +2. **反余弦函数**： + 符号： + + $$ + y = \arccos x + $$ + + 定义域：$[-1,1]$，值域：$[0,\pi]$ + 性质： + + $$ + \cos(\arccos x) = x, x \in [-1,1] + $$ + + $$ + \arccos(\cos y) = y, y \in [0,\pi] + $$ +3. **反正切函数**： + 符号： + + $$ + y = \arctan x + $$ + + 定义域：$R$，值域：$\left(-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right)$ + 性质： + + $$ + \tan(\arctan x) = x, x \in R + $$ + + $$ + \arctan(\tan y) = y, y \in \left(-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right) + $$ +4. **反余切函数**： + 符号： + + $$ + y = \text{arccot} x + $$ + + 定义域：$R$，值域：$(0,\pi)$ + 性质： + + $$ + \cot(\text{arccot} x) = x, x \in R + $$ + + $$ + \text{arccot}(\cot y) = y, y \in (0,\pi) + $$ + +## 第三章 极限 + +### 数列的极限 + +#### 数列极限的$\varepsilon - N$语言证明 + +1. **定义** + 数列$\{a_{n}\}$极限是$A$（记为$\lim_{n\rightarrow\infty}a_{n}=A$）的$\varepsilon - N$定义：对于任意给定的正数$\varepsilon\gt0$，存在正整数$N$，使得当$n > N$时，$\vert a_{n}-A\vert\lt\varepsilon$成立。 +2. **证明步骤** + - **步骤一：给定$\varepsilon\gt0$** + - **步骤二：寻找$N$** + + - 通过分析$\vert a_{n}-A\vert\lt\varepsilon$，对$a_{n}$表达式变形来确定与$\varepsilon$有关的正整数$N$。 + - 例如，对于数列$\displaystyle a_{n}=\frac{1}{n}$证明$\displaystyle\lim_{n\rightarrow\infty}a_{n}=0$，由$\displaystyle\vert a_{n}-0\vert=\vert\frac{1}{n}-0\vert=\frac{1}{n}$，要使$\displaystyle \frac{1}{n}\lt\varepsilon$，得$\displaystyle n>\frac{1}{\varepsilon}$，可取$\displaystyle N = [\frac{1}{\varepsilon}]+1$（$[x]$表示不超过 $x$ 的最大整数）。 + - **步骤三：验证$n > N$时$\vert a_{n}-A\vert\lt\varepsilon$成立** + + - 仍以上例说明，当$\displaystyle n > N = [\frac{1}{\varepsilon}]+1$时，$n>\frac{1}{\varepsilon}$，则$\displaystyle \frac{1}{n}\lt\varepsilon$，即$\displaystyle \vert a_{n}-0\vert\lt\varepsilon$，证得$\displaystyle \lim_{n\rightarrow\infty}\frac{1}{n}=0$。 + +#### 利用夹迫性证明数列极限 + +1. **夹迫性定理** + 若存在三个数列$\{a_{n}\}$，$\{b_{n}\}$，$\{c_{n}\}$，满足当$n$足够大（比如$n > N_{0}$，$N_{0}$为某个正整数）时，$a_{n}\leq b_{n}\leq c_{n}$，且$\lim_{n\rightarrow\infty}a_{n}=\lim_{n\rightarrow\infty}c_{n}=A$，那么$\lim_{n\rightarrow\infty}b_{n}=A$。 + +### 函数的极限 + +1. **当$x\to0$时** + - **$x$与$\sin x$是等价无穷小**： + - 根据等价无穷小的定义， + $$ + \lim_{x \to 0}\frac{\sin x}{x}=1 + $$ + - **$x$与$\tan x$是等价无穷小**： + - 同样有 + $$ + \lim_{x \to 0}\frac{\tan x}{x}=1 + $$ + - **$1 - \cos x$与$\frac{1}{2}x^{2}$是高阶等价无穷小**： + - 由 + $$ + \lim_{x \to 0}\frac{1 - \cos x}{\frac{1}{2}x^{2}} = 1 + $$ + +- 补充： +- $$ + x-\sin x\sim\frac{1}{6}x^{3} + $$ + +1. **当$x\to+\infty$时** + - **$\ln x$与$\sqrt{x}$的关系**： + - 对于任意正整数$n$， + $$ + \lim_{x \to +\infty}\frac{\ln x}{x^{n}} = 0 + $$ + - **$x^{n}$与$e^{x}$（$n$为常数）**： + - 对于任意常数$n$， + $$ + \lim_{x \to +\infty}\frac{x^{n}}{e^{x}} = 0 + $$ + +* 当$x\to0$时 + +$$ +\arctan{x}\to\sin{x}\to x\to \arcsin{x}\to \tan{x} \ \ \ \ \ \ {他们相差}\ \ \frac{x^3}{6} +$$ + +***重点：！！！！！（如果考试要用的话就要用泰勒展开写出来）*** + +### 函数连续性 + +暂无 + +### 无限小量和无限大量 + +暂无 + +## 第四章 微分和微商 + +### 各种函数的导数 + +1. $(kx)' = k$ +2. $(x^n)' = nx^{n - 1}$ +3. $(a^x)' = a^x \ln a$ +4. $(e^x)' = e^x$ +5. $(\log_a x)' = \frac{1}{x \ln a}$ +6. $(\ln x)' = \frac{1}{x}$ +7. $(\sin x)' = \cos x$ +8. $(\cos x)' = - \sin x$ + +*以下是重点* + +**9. $(\tan x)' = \sec^2 x$** + +**10. $(\cot x)' = - \csc^2 x$** + +**11. $(\sec x)' = \sec x \tan x$** + +**12. $(\csc x)' = - \csc x \cot x$** + +**13. $\displaystyle( \arcsin x)' = \frac{1}{\sqrt{1 - x^2}}$** + +**14. $\displaystyle( \arccos x)' = - \frac{1}{\sqrt{1 - x^2}}$** + +**15. $\displaystyle( \arctan x)' = \frac{1}{1 + x^2}$** + +**16. $\displaystyle( \text{arccot} x)' = - \frac{1}{1 + x^2}$** + +1. **双曲正弦函数（sinh x）** + - 定义：$\displaystyle\sinh x=\frac{e^{x}-e^{-x}}{2}$ + - 导数：$\displaystyle(\sinh x)'=\cosh x$ +2. **双曲余弦函数（cosh x）** + - 定义：$\displaystyle\cosh x=\frac{e^{x}+e^{-x}}{2}$ + - 导数：$\displaystyle(\cosh x)'=\sinh x$ + +### 莱布尼兹公式 + +#### 公式表述 + +若函数$u(x)$和$v(x)$都有$n$阶导数，则 + +$$ +(uv)^{(n)}=\sum_{k = 0}^{n}C_{n}^{k}u^{(n - k)}v^{(k)} +$$ + +其中： + +- $\displaystyle C_{n}^{k}=\frac{n!}{k!(n - k)!}$是二项式系数 +- $\displaystyle u^{(n-k)}$表示$u$的$(n - k)$阶导数，当$n-k = 0$时，$u^{(0)}=u$ +- $\displaystyle v^{(k)}$表示$v$的$k$阶导数，当$k = 0$时，$v^{(0)}=v$ + +> **应用举例** +> 求$y=x^{2}e^{x}$的$n$阶导数。 +> 令$u = x^{2}$，$v=e^{x}$ +> $u' = 2x$，$u''=2$，$u^{(k)}=0$ for $k>2$ +> $v^{(k)}=e^{x}$ for all $k\geqslant0$ +> 根据莱布尼兹公式$(x^{2}e^{x})^{(n)}=C_{n}^{0}x^{2}e^{x}+C_{n}^{1}(2x)e^{x}+C_{n}^{2}(2)e^{x}$ +> 即$(x^{2}e^{x})^{(n)}=(x^{2}+2nx + n(n - 1))e^{x}$ + +## 第五章 中值定理 + +### 拉格朗日中值定理 + +**定理内容** + +- 若函数$y = f(x)$满足： + - 在闭区间$[a,b]$上连续； + - 在开区间$(a,b)$内可导。 +- 那么在$(a,b)$内至少存在一点$\xi$，使得 +- $$ + f(b)-f(a)=f^{\prime}(\xi)(b - a) + $$ + +> **应用举例** +> 例如，证明不等式$\displaystyle \frac{b - a}{1 + b^{2}}<\arctan b-\arctan a<\frac{b - a}{1 + a^{2}}$，其中$a < b$。 +> 设$f(x)=\arctan x$，$f(x)$在$[a,b]$上连续，在$(a,b)$内可导，且$\displaystyle f^{\prime}(x)=\frac{1}{1 + x^{2}}$。 +> 根据拉格朗日中值定理，存在$\xi\in(a,b)$，使得$\displaystyle \arctan b-\arctan a=\frac{1}{1+\xi^{2}}(b - a)$。 +> 因为$\displaystyle \frac{1}{1 + b^{2}}<\frac{1}{1+\xi^{2}}<\frac{1}{1 + a^{2}}$ +> 所以$\displaystyle \frac{b - a}{1 + b^{2}}<\arctan b-\arctan a<\frac{b - a}{1 + a^{2}}$。 + +### 洛必达 + +没什么好说的 + +### 函数的极限 + +1. **函数极限存在的第一充分条件** + + - **内容**：设函数$f(x)$在$x_0$的某去心邻域$\dot{U}(x_0,\delta)$内有定义。 + - 若当$x \in (x_0 - \delta,x_0)$时，$f(x)$单调递增且有上界，当$x\in(x_0,x_0+\delta)$时，$f(x)$单调递减且有下界，则$\lim_{x \to x_0}f(x)$存在。 + - 反之，若当$x\in(x_0 - \delta,x_0)$时，$f(x)$单调递减且有下界，当$x\in(x_0,x_0+\delta)$时，$f(x)$单调递增且有上界，则$\lim_{x \to x_0}f(x)$存在。 +2. **函数极限存在的第二充分条件（重点看这个）** + + - **内容**：设函数$y = f(x)$在点$x_0$处具有二阶导数且$f^{\prime}(x_0)=0$，$f^{\prime\prime}(x_0)\neq0$。 + - 若$f^{\prime\prime}(x_0)>0$，则函数$y = f(x)$在$x = x_0$处取得极小值； + - 若$f^{\prime\prime}(x_0)<0$，则函数$y = f(x$在$x = x_0$处取得极大值。 + +### 函数凹凸性 + +**利用二阶导数判定** +设函数$y = f(x)$在区间$I$内具有二阶导数。 +如果$f^{\prime\prime}(x)>0$，$x\in I$，那么函数$y = f(x)$在区间$I$上是凹的。 +如果$f^{\prime\prime}(x)<0$，$x\in I$，那么函数$y = f(x)$在区间$I$上是凸的。 + +**定义5.2** +设$f(x)$在$(a,b)$有定义。若对任意$x_1$，$x_2\in(a,b)$和任意$\lambda\in(0,1)$，有 + +$$ +f(\lambda x_1+(1 - \lambda)x_2)\leq\lambda f(x_1)+(1 - \lambda)f(x_2) +$$ + +则称$f(x)$在$(a,b)$为下凸函数；若对任意$x_1$，$x_2\in(a,b)$和任意$\lambda\in(0,1)$，有 + +$$ +f(\lambda x_1+(1 - \lambda)x_2)\geq\lambda f(x_1)+(1 - \lambda)f(x_2) +$$ + +则称$f(x)$在$(a,b)$为上凸函数。 + +### 函数拐点 + +**判定方法** + +- **二阶导数法** + - 一般地，若函数$y = f(x)$在点$x_0$处二阶可导，且在$x_0$的某邻域内二阶导数$f^{\prime\prime}(x)$变号（即函数的凹凸性发生改变），同时$f^{\prime\prime}(x_0) = 0$，那么点$(x_0,f(x_0))$是函数$y = f(x)$的一个拐点。 + +> **二阶导数不存在的点也可能是拐点** + +## 第六章&第七章&第八章 积分 + +* 常见积分公式 + +## 不定积分基本公式 + +$$ +\int kdx = kx + c +$$ + +$$ +\int x^{n}dx = \frac{x^{n + 1}}{n + 1}+c +$$ + +$$ +\int e^{x}dx = e^{x}+c +$$ + +$$ +\int a^{x}dx = \frac{a^{x}}{\ln a}+c +$$ + +$$ +\int \frac{1}{x}dx = \ln |x|+c +$$ + +$$ +\int \sin xdx = -\cos x + c +$$ + +$$ +\int \cos xdx = \sin x + c +$$ + +$$ +\int \tan xdx = -\ln |\cos x|+c +$$ + +$$ +\int \cot xdx = \ln |\sin x|+c +$$ + +$$ +\int \csc xdx = \ln |\csc x - \cot x|+c +$$ + +$$ +\int \sec xdx = \ln |\sec x + \tan x|+c +$$ + +$$ +\int x^{2}dx = \frac{1}{3}x^{3}+c +$$ + +$$ +\int \frac{1}{x^{2}}dx = -\frac{1}{x}+c +$$ + +$$ +\int \frac{1}{\sin x}dx = \int \csc^{2}xdx = -\cot x + c +$$ + +$$ +\int \frac{1}{\cos^{2}x}dx = \int \sec^{2}xdx = \tan x + c +$$ + +$$ +\int \frac{1}{1 + x^{2}}dx = \arctan x + c +$$ + +$$ +\int \frac{1}{\sqrt{1 - x^{2}}}dx = \arcsin x + c +$$ + +$$ +\int \sec x\tan xdx = \sec x + c +$$ + +$$ +\int \csc x\cot xdx = -\csc x + c +$$ + +$$ +\int \frac{dx}{a^{2}+x^{2}}=\frac{1}{a}\arctan\frac{x}{a}+c +$$ + +$$ +\int \frac{dx}{x^{2}-a^{2}}=\frac{1}{2a}\ln|\frac{x - a}{x + a}|+c +$$ + +$$ +\int \frac{dx}{\sqrt{a^{2}-x^{2}}}=\arcsin\frac{x}{a}+c +$$ + +$$ +\int \frac{dx}{\sqrt{x^{2}+a^{2}}}=\ln|x+\sqrt{x^{2}+a^{2}}|+c +$$ + +$$ +\int \frac{dx}{\sqrt{x^{2}-a^{2}}}=\ln|x+\sqrt{x^{2}-a^{2}}|+c +$$ + +$$ +\int \frac{x^{2}}{1 + x^{2}}dx=\frac{1}{2}\ln(1 + x^{2})+c +$$ + +$$ +\int \frac{1}{1 + x^{2}}dx=\arctan x + c +$$ + +#### 补充 + +$$ +\int \frac{x^2}{1 + x^{2}}dx = x - \arctan x + C +$$ + +过程如下（懂了吧） + +$$ +\begin{align*} +\frac{x^2}{1 + x^{2}}&=\frac{x^2 + 1 - 1}{1 + x^{2}}\\ +&=\frac{x^2 + 1}{1 + x^{2}} - \frac{1}{1 + x^{2}}\\ +&= 1 - \frac{1}{1 + x^{2}} +\end{align*} +$$ + +$$ +\int\ln xdx=x\ln x - x + C +$$ + +### 换元积分 + +1. **第一类换元法（凑微分法）** + + - **示例**：计算$\displaystyle \int 2x\cos(x^{2})dx$。 + + - 令$u = x^{2}$，则$du=2xdx$。 + - 原积分$\displaystyle \int 2x\cos(x^{2})dx=\int\cos udu=\sin u + C$。 + - 再把$u = x^{2}$代回，得到$\sin(x^{2})+C$。 + - **常见的凑微分形式**： + + - $\displaystyle \int f(ax + b)dx=\frac{1}{a}\int f(ax + b)d(ax + b)(a\neq0)$ + - $\displaystyle \int f(x^{n})x^{n - 1}dx=\frac{1}{n}\int f(x^{n})d(x^{n})$。 + - $\displaystyle \int f(\sin x)\cos xdx=\int f(\sin x)d(\sin x)$。 +2. **第二类换元法** + + - **根式代换** + - 当被积函数中含有$\displaystyle \sqrt{a^{2}-x^{2}}(a>0)$时，可令$x = a\sin t$，$t\displaystyle \in\left(-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right)$。 + - 示例：计算$\displaystyle \int\frac{1}{\sqrt{1 - x^{2}}}dx$。 + - 令$x=\sin t$，$\displaystyle t\in\left(-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right)$，则$dx=\cos tdt$。 + - 原积分 + - $$ + \displaystyle \int\frac{1}{\sqrt{1 - x^{2}}}dx=\int\frac{1}{\sqrt{1-\sin^{2}t}}\cos tdt=\int 1dt=t + C + $$ + - 因为$\displaystyle x = \sin t$，所以$t=\arcsin x$，最终结果为$\arcsin x + C$ + - 当被积函数中含有$\displaystyle \sqrt{x^{2}+a^{2}}(a>0)$时，可令$x = a\tan t$，$\displaystyle t\in\left(-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right)$。 + - 当被积函数中含有$\displaystyle \sqrt{x^{2}-a^{2}}(a>0)$时，可令$x = a\sec t$，$\displaystyle t\in\left(0,\frac{\pi}{2}\right)\cup\left(\frac{\pi}{2},\pi\right)$。 + - **倒代换** + - 当分母的次数比分子的次数高很多时，可考虑倒代换，即令$\displaystyle x=\frac{1}{t}$。 + - 示例：计算$\displaystyle \int\frac{1}{x^{4}(1 + x^{2})}dx$。 + + - 令$\displaystyle x=\frac{1}{t}$，则$\displaystyle dx=-\frac{1}{t^{2}}dt$。 + - 原积分 + + $$ + \displaystyle \int\frac{1}{x^{4}(1 + x^{2})}dx=\int\frac{t^{4}}{1 + t^{2}}\left(-\frac{1}{t^{2}}\right)dt=-\int\frac{t^{2}}{1 + t^{2}}dt + $$ + + - 进一步化简 + $$ + \displaystyle =-\int\left(1-\frac{1}{1 + t^{2}}\right)dt=-t+\arctan t + C + $$ + - 再把$\displaystyle t=\frac{1}{x}$代回，得到$\displaystyle -\frac{1}{x}+\arctan\frac{1}{x}+C$。 +3. **三角代换与双曲代换（补充方法）** + + - **三角代换**：三角代换主要是利用三角函数之间的关系 + $\sin^{2}t+\cos^{2}t = 1$，$\sec^{2}t-\tan^{2}t = 1$等来化简根式。 + - **双曲代换(暂时没遇过)**： + - 双曲函数定义为$\displaystyle \sinh x=\frac{e^{x}-e^{-x}}{2}$，$\displaystyle \cosh x=\frac{e^{x}+e^{-x}}{2}$，且$\cosh^{2}x-\sinh^{2}x = 1$。 + - 当被积函数含有$\displaystyle \sqrt{x^{2}+a^{2}}$时，也可令$x = a\sinh t$，因为$\displaystyle \sqrt{x^{2}+a^{2}}=\sqrt{a^{2}\sinh^{2}t+a^{2}}=a\cosh t$，这样代换后可以简化积分运算。 + +### 分部积分法 + +**分部积分公式** + +- 设函数$u = u(x)$及$v = v(x)$具有连续导数，那么 + + $$ + \int u(x)v^{\prime}(x)dx = u(x)v(x)-\int v(x)u^{\prime}(x)dx + $$ + + 也可以写成 + + $$ + \int udv = uv-\int vdu + $$ + +### 有理函数的积分 + +就是拆开 + +### 定积分 + +暂无 + +### 积分中值定理 + +**积分第一中值定理** + +- 若函数$f(x)$在闭区间$[a,b]$上连续，则在$[a,b]$上至少存在一点$\xi$，使得 + $$ + \displaystyle \int_{a}^{b}f(x)dx = f(\xi)(b - a) + $$ + +> 这个定理的几何意义是：对于在区间$[a,b]$上连续的函数$y = f(x)$，由曲线$y = f(x)$、$x=a$、$x = b$以及$x$轴所围成的曲边梯形的面积等于以区间$[a,b]$为底，以这个区间内某一点$\xi$处的函数值$f(\xi)$为高的矩形的面积。 + +**积分第二中值定理** + +- 第一形式：设$f(x)$在$[a,b]$上可积，$g(x)$在$[a,b]$上单调递减且$g(x)\geq0$，则存在$\xi\in[a,b]$，使得 + +$$ +\int_{a}^{b}f(x)g(x)dx = g(a)\int_{a}^{\xi}f(x)dx +$$ + +- 第二形式：设$f(x)$在$[a,b]$上可积，$g(x)$在$[a,b]$上单调，那么存在$\xi\in[a,b]$，使得 + +$$ +\int_{a}^{b}f(x)g(x)dx = g(a)\int_{a}^{\xi}f(x)dx+g(b)\int_{\xi}^{b}f(x)dx +$$ + +### 泰勒公式 + +#### 带佩亚诺余项 + +若函数$f(x)$在点$x_0$存在直至$n$阶导数，则 + +$$ +\displaystyle f(x)=f(x_0)+f'(x_0)(x - x_0)+\frac{f''(x_0)}{2!}(x - x_0)^2+\cdots+\frac{f^{(n)}(x_0)}{n!}(x - x_0)^n+o((x - x_0)^n) +$$ + +其中$o((x - x_0)^n)$为佩亚诺余项，表示当$x\to x_0$时，余项是比$(x - x_0)^n$高阶的无穷小. + +#### 带拉格朗日余项 + +若函数$f(x)$在含有$x_0$的某个开区间$(a,b)$内具有$n + 1$阶导数，则对于$\forall x\in(a,b)$，有 + +$$ +f(x)=f(x_0)+f'(x_0)(x - x_0)+\frac{f''(x_0)}{2!}(x - x_0)^2+\cdots+\frac{f^{(n)}(x_0)}{n!}(x - x_0)^n+R_n(x) +$$ + +其中$\displaystyle R_n(x)=\frac{f^{(n + 1)}(\xi)}{(n + 1)!}(x - x_0)^{n + 1}$，$\xi$是介于$x_0$与$x$之间的某个值. + +### 常见泰勒公式 + +#### 指数函数 + +$$ +e^x = 1 + x +\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!}+\cdots+\frac{x^n}{n!}+\cdots +$$ + +#### 对数函数 + +$$ +\ln(1 + x)=x-\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{3}-\cdots+(-1)^{n - 1}\frac{x^n}{n}+\cdots +$$ + +#### 三角函数 + +- **正弦函数**： + +$$ +\sin x = x -\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}-\cdots+(-1)^{n - 1}\frac{x^{2n - 1}}{(2n - 1)!}+\cdots +$$ + +- **余弦函数**： + +$$ +\cos x = 1 -\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}-\cdots+(-1)^{n}\frac{x^{2n}}{(2n)!}+\cdots +$$ + +- **正切函数**： + +$$ +\tan x = x +\frac{x^3}{3}+\frac{2x^5}{15}+\cdots +$$ + +#### 反三角函数 + +- **反正弦函数**： + +$$ +\arcsin x = x +\frac{1}{2}\cdot\frac{x^3}{3}+\frac{1\cdot3}{2\cdot4}\cdot\frac{x^5}{5}+\cdots +$$ + +- **反正切函数**： + +$$ +\arctan x = x -\frac{x^3}{3}+\frac{x^5}{5}-\cdots+(-1)^{k - 1}\frac{x^{2k - 1}}{2k - 1}+\cdots +$$ + +#### 双曲函数 + +- **双曲正弦函数**： + +$$ +\sinh x = x +\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}+\cdots+(-1)^{k - 1}\frac{x^{2k - 1}}{(2k - 1)!}+\cdots +$$ + +- **双曲余弦函数**： + +$$ +\cosh x = 1 +\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}+\cdots+(-1)^{k}\frac{x^{2k}}{(2k)!}+\cdots +$$ + +#### 幂函数 + +$$ +(1 + x)^{\alpha}=1+\alpha x+\frac{\alpha(\alpha - 1)}{2!}x^{2}+\cdots+\frac{\alpha(\alpha - 1)\cdots(\alpha - n + 1)}{n!}x^{n}+\cdots +$$ + +#### 自己推到: + +麦克劳林展开式为： + +$$ +f(x)=f(0)+f'(0)x+\frac{f''(0)}{2!}x^{2}+\frac{f'''(0)}{3!}x^{3}+\cdots+\frac{f^{(n)}(0)}{n!}x^{n}+r_{n}(x) +$$ + +其中$r_{n}(x)$为余项 + +### 体积 + +暂无 + +### 弧长 + +##### （1）直角坐标形式 + +若曲线的方程为$y = f(x)$，$a\leq x\leq b$，且$f(x)$在区间$[a,b]$上具有连续导数，则曲线弧长$s$的计算公式为： + +$$ +s=\int_{a}^{b}\sqrt{1 + [f'(x)]^{2}}dx +$$ + +##### （2）参数方程形式 + +若曲线由参数方程$\left\{\begin{array}{l}x = x(t)\\y = y(t)\end{array}\right.$给出，$\alpha\leq t\leq\beta$，其中$x(t)$、$y(t)$在区间$[\alpha,\beta]$上具有连续导数，则曲线弧长$s$的计算公式为： + +$$ +s=\int_{\alpha}^{\beta}\sqrt{[x'(t)]^{2}+[y'(t)]^{2}}dt +$$ + +##### （3）极坐标形式 + +若曲线的极坐标方程为$\rho = \rho(\theta)$，$\alpha\leq\theta\leq\beta$，且$\rho(\theta)$在区间$[\alpha,\beta]$上具有连续导数，则曲线弧长$s$的计算公式为： + +$$ +s=\int_{\alpha}^{\beta}\sqrt{\rho^{2}(\theta)+[\rho'(\theta)]^{2}}d\theta +$$ + +### 曲率 + +**直角坐标系的曲率** + +$$ +\left|\frac{y^{\prime\prime}}{\left[1+(y^{\prime})^{2}\right]^{\frac{3}{2}}}\right| +$$ + +**参数方程的曲率** + +- 若曲线由参数方程$\left\{\begin{array}{l}x = x(t)\\y = y(t)\end{array}\right.$给出，$t$为参数。则$x^{\prime}=x^{\prime}(t)$，$y^{\prime}=y^{\prime}(t)$，$x^{\prime\prime}=x^{\prime\prime}(t)$，$y^{\prime\prime}=y^{\prime\prime}(t)$。 +- 曲率公式为 + $$ + \left|\frac{x^{\prime}(t)y^{\prime\prime}(t)-x^{\prime\prime}(t)y^{\prime}(t)}{\left[(x^{\prime}(t))^{2}+(y^{\prime}(t))^{2}\right]^{\frac{3}{2}}}\right| + $$ + +### 面积 + +1. **直角坐标下求面积** + + - 设函数$y = f(x)$在区间$[a,b]$上连续且$f(x)\geqslant0$，那么由曲线$y = f(x)$，直线$x = a$，$x = b$以及$x$轴所围成的曲边梯形的面积 + + $$ + \int_{a}^{b}f(x)dx + $$ + +2. **极坐标下求面积** + + - 由极坐标方程$\rho=\rho(\theta)$，$\alpha\leqslant\theta\leqslant\beta$所围成的图形的面积 + $$ + S=\frac{1}{2}\int_{\alpha}^{\beta}\rho^{2}(\theta)d\theta + $$ +3. **参数方程下求面积** + + - 若曲线$C$的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}x = x(t)\\y = y(t)\end{array}\right.$，$\alpha\leqslant t\leqslant\beta$，且$x(t)$，$y(t)$具有连续的一阶导数，$x^{\prime}(t)$不变号。 + - 当$x^{\prime}(t)>0$时，曲线$C$与直线$x = a,x = b,y = 0$所围成的图形的面积 + + $$ + A=\int_{\alpha}^{\beta}y(t)x^{\prime}(t)dt + $$ + +#### **直角坐标与极坐标的转换关系** + +- 直角坐标用$(x,y)$表示，极坐标用$(\rho,\theta)$表示，它们之间的转换公式为$x = \rho\cos\theta$，$y=\rho\sin\theta$，且$\rho^{2}=x^{2} + y^{2}$ + +## 一些例题 + +* 求极限 + +$$ +\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n \frac{\ln (1+1 / i)}{\sin 1 / i} +$$ + +* 解答： + +$$ +\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n \frac{\ln (1+1 / i)}{\sin 1 / i}=\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{\ln (1+1 / n)}{\sin 1 / n}=\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\ln (1+x)}{\sin x}=1 +$$ + +## 黎曼和 + +当分割子区间的最大长度$\lambda \to 0$（$n\to+\infty$且分割越来越细）时，黎曼和的极限若存在，就是函数$f(x)$在区间$[a,b]$上的定积分，即 + +$$ +\int_{a}^{b}f(x)dx=\lim\limits_{\lambda\to0}\sum_{i = 1}^{n}f(\xi_{i})\Delta x_{i} +$$ + +## 第十章 数项级数 + +### 一、正项级数敛散性判别法 + +#### （一）比较判别法 + +1. **原理**：设$\displaystyle\sum_{n = 1}^{\infty}a_{n}$和$\displaystyle\sum_{n = 1}^{\infty}b_{n}$是两个正项级数，且$a_{n}\leq b_{n}(n = 1,2,\cdots)$。若$\displaystyle\sum_{n = 1}^{\infty}b_{n}$收敛，则$\displaystyle\sum_{n = 1}^{\infty}a_{n}$也收敛；若$\displaystyle\sum_{n = 1}^{\infty}a_{n}$发散，则$\displaystyle\sum_{n = 1}^{\infty}b_{n}$也发散。 +2. **例如**：判断$\displaystyle\sum_{n = 1}^{\infty}\frac{1}{n^{2}+ 1}$的敛散性。因为$\displaystyle\frac{1}{n^{2}+1}<\frac{1}{n^{2}}$，而$\displaystyle\sum_{n = 1}^{\infty}\frac{1}{n^{2}}$是收敛的$p$级数（$p = 2>1$），所以$\displaystyle\sum_{n = 1}^{\infty}\frac{1}{n^{2}+1}$收敛。 + +#### （二）比较判别法的极限形式 + +1. **原理**：设$\displaystyle\sum_{n = 1}^{\infty}a_{n}$和$\displaystyle\sum_{n = 1}^{\infty}b_{n}$是两个正项级数，且$\displaystyle\lim_{n \rightarrow \infty}\frac{a_{n}}{b_{n}} = l$（ $ 0 < l <+\infty$），则$\displaystyle\sum_{n = 1}^{\infty}a_{n}$与$\displaystyle\sum_{n = 1}^{\infty}b_{n}$敛散性相同。 +2. **例如**：判断$\displaystyle\sum_{n = 1}^{\infty}\sin\frac{1}{n}$的敛散性。因为$\displaystyle\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{\sin\frac{1}{n}}{\frac{1}{n}} = 1$，而$\displaystyle\sum_{n = 1}^{\infty}\frac{1}{n}$发散，所以$\displaystyle\sum_{n = 1}^{\infty}\sin\frac{1}{n}$发散。 + +#### （三）比值判别法（达朗贝尔判别法） + +1. **原理**：设$\displaystyle\sum_{n = 1}^{\infty}a_{n}$是正项级数，且$\displaystyle\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{a_{n + 1}}{a_{n}}=\rho$。当$\displaystyle\rho<1$时，级数$\displaystyle\sum_{n = 1}^{\infty}a_{n}$收敛；当$\displaystyle\rho>1$（包括$\displaystyle\rho = +\infty$）时，级数$\displaystyle\sum_{n = 1}^{\infty}a_{n}$发散；当$\displaystyle\rho = 1$时，判别法失效。 +2. **例如**：判断$\displaystyle\sum_{n = 1}^{\infty}\frac{n!}{n^{n}}$的敛散性。计算$\displaystyle\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{a_{n+1}}{a_{n}}=\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{(n + 1)!}{(n+1)^{n+1}}\cdot\frac{n^{n}}{n!}=\lim_{n\rightarrow\infty}\left(\frac{n}{n + 1}\right)^{n}=\frac{1}{e}<1$，所以级数收敛。 + +#### （四）根值判别法（柯西判别法） + +1. **原理**：设$\displaystyle\sum_{n = 1}^{\infty}a_{n}$是正项级数，且$\displaystyle\lim_{n\rightarrow\infty}\sqrt[n]{a_{n}}=\rho$。当$\displaystyle\rho<1$时，级数$\displaystyle\sum_{n = 1}^{\infty}a_{n}$收敛；当$\displaystyle\rho>1$（包括$\displaystyle\rho = +\infty$）时，级数$\displaystyle\sum_{n = 1}^{\infty}a_{n}$发散；当$\displaystyle\rho = 1$时，判别法失效。 +2. **例如**：判断$\displaystyle\sum_{n = 1}^{\infty}\left(\frac{n}{2n+1}\right)^{n}$的敛散性。$\displaystyle\lim_{n\rightarrow\infty}\sqrt[n]{a_{n}}=\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{n}{2n + 1}=\frac{1}{2}<1$，所以该级数收敛。 + +#### （五）积分判别法 + +1. **原理**：设$f(x)$是$[1,+\infty)$上非负、单调递减的连续函数，令$a_{n}=f(n)$，则级数$\displaystyle\sum_{n = 1}^{\infty}a_{n}$与反常积分$\displaystyle\int_{1}^{+\infty}f(x)dx$同敛散。 +2. **例如**：判断$\displaystyle\sum_{n = 2}^{\infty}\frac{1}{n\ln n}$的敛散性。考虑函数$f(x)=\frac{1}{x\ln x}$，$\displaystyle\int_{2}^{+\infty}\frac{1}{x\ln x}dx=\lim_{t\rightarrow+\infty}\int_{2}^{t}\frac{1}{x\ln x}dx=\lim_{t\rightarrow+\infty}[\ln(\ln x)]_{2}^{t}=+\infty$，所以级数$\displaystyle\sum_{n = 2}^{\infty}\frac{1}{n\ln n}$发散。 + +#### （六）拉阿比判别法 + +1. **原理**：设$\displaystyle\sum_{n = 1}^{\infty}a_{n}$是正项级数，且$\displaystyle\lim_{n \to \infty} n\left(\frac{a_{n}}{a_{n + 1}} - 1\right)=R$。 + - 当$R > 1$时，级数$\displaystyle\sum_{n = 1}^{\infty}a_{n}$收敛； + - 当$R < 1$时，级数$\displaystyle\sum_{n = 1}^{\infty}a_{n}$发散； + - 当$R = 1$时，判别法失效。 +2. **例如**：判断级数$\displaystyle\sum_{n = 1}^{\infty}\frac{(2n)!}{(n!)^{2}}\cdot\frac{1}{2^{n}}$的敛散性。 + 计算$\displaystyle\lim_{n \to \infty} n\left(\frac{a_{n}}{a_{n + 1}} - 1\right)$： + +$$ +\begin{align*} +a_{n}&=\frac{(2n)!}{(n!)^{2}}\cdot\frac{1}{2^{n}}\\ +a_{n + 1}&=\frac{(2(n + 1))!}{((n + 1)!)^{2}}\cdot\frac{1}{2^{n + 1}}\\ +\frac{a_{n}}{a_{n + 1}}&=\frac{(2n)!}{(n!)^{2}}\cdot\frac{1}{2^{n}}\cdot\frac{((n + 1)!)^{2}}{(2(n + 1))!}\cdot 2^{n + 1}\\ +&=\frac{(2n)!}{(n!)^{2}}\cdot\frac{((n + 1)!)^{2}}{(2n + 2)!}\cdot 2\\ +&=\frac{(2n)!}{(n!)^{2}}\cdot\frac{(n + 1)^{2}\cdot (n!)^{2}}{(2n + 2)\cdot(2n + 1)\cdot(2n)!}\cdot 2\\ +&=\frac{(n + 1)^{2}}{(2n + 2)\cdot(2n + 1)}\cdot 2\\ +&=\frac{(n + 1)^{2}}{(n + 1)(2n + 1)}\cdot 2\\ +&=\frac{n + 1}{2n + 1}\cdot 2 +\end{align*} +$$ + +$$ +\begin{align*} +\lim_{n \to \infty} n\left(\frac{a_{n}}{a_{n + 1}} - 1\right)&=\lim_{n \to \infty} n\left(\frac{n + 1}{2n + 1}\cdot 2 - 1\right)\\ +&=\lim_{n \to \infty} n\left(\frac{2n + 2 - (2n + 1)}{2n + 1}\right)\\ +&=\lim_{n \to \infty} n\cdot\frac{1}{2n + 1}\\ +&=\lim_{n \to \infty}\frac{n}{2n + 1}\\ +&=\frac{1}{2} < 1 +\end{align*} +$$ + +所以级数$\displaystyle\sum_{n = 1}^{\infty}\frac{(2n)!}{(n!)^{2}}\cdot\frac{1}{2^{n}}$发散。 + +### 二、交错级数敛散性判别法 + +#### （一）莱布尼茨判别法 + +1. **原理**：对于交错级数$\displaystyle\sum_{n = 1}^{\infty}(- 1)^{n - 1}a_{n}(a_{n}>0)$，如果$a_{n}\geq a_{n + 1}(n = 1,2,\cdots)$，且$\displaystyle\lim_{n\rightarrow\infty}a_{n}=0$，那么交错级数$\displaystyle\sum_{n = 1}^{\infty}(-1)^{n-1}a_{n}$收敛。 +2. **例如**：判断$\displaystyle\sum_{n = 1}^{\infty}(-1)^{n - 1}\frac{1}{n}$的敛散性。$a_{n}=\frac{1}{n}$，显然$\displaystyle\frac{1}{n}\geq\frac{1}{n + 1}$，且$\displaystyle\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{1}{n}=0$，所以该交错级数收敛。 + +### 三、任意项级数敛散性判别法 + +#### （一）绝对收敛判别法 + +1. **原理**：若$\displaystyle\sum_{n = 1}^{\infty}\vert a_{n}\vert$收敛，则$\displaystyle\sum_{n = 1}^{\infty}a_{n}$绝对收敛，且$\displaystyle\sum_{n = 1}^{\infty}a_{n}$收敛。 +2. **例如**：判断$\displaystyle\sum_{n = 1}^{\infty}\frac{\sin n}{n^{2}}$的敛散性。因为$\displaystyle\left|\frac{\sin n}{n^{2}}\right|\leq\frac{1}{n^{2}}$，而$\displaystyle\sum_{n = 1}^{\infty}\frac{1}{n^{2}}$收敛，所以$\displaystyle\sum_{n = 1}^{\infty}\frac{\sin n}{n^{2}}$绝对收敛，从而该级数收敛。 + +#### （二）条件收敛判别法 + +如果$\displaystyle\sum_{n = 1}^{\infty}a_{n}$收敛，但$\displaystyle\sum_{n = 1}^{\infty}\vert a_{n}\vert$发散，则$\displaystyle\sum_{n = 1}^{\infty}a_{n}$条件收敛。例如$\displaystyle\sum_{n = 1}^{\infty}(-1)^{n - 1}\frac{1}{n}$收敛，但$\displaystyle\sum_{n = 1}^{\infty}\left|(-1)^{n - 1}\frac{1}{n}\right|=\sum_{n = 1}^{\infty}\frac{1}{n}$发散，所以$\displaystyle\sum_{n = 1}^{\infty}(-1)^{n - 1}\frac{1}{n}$条件收敛。 + +## 第十一章到第十三章 + +## 狄利克雷判别法： + +### 一、数项级数的狄利克雷判别法 + +设级数$\sum_{n=1}^{\infty}a_n b_n$，如果满足： + +1. 部分和序列$A_n = \sum_{k=1}^{n}a_k$有界，即存在常数$M$，使得对所有$n$，都有： +$$ +|A_n| = \left|\sum_{k=1}^{n}a_k\right| \leq M +$$ + +2. 数列$\{b_n\}$单调趋于零，即： + - 单调递减或单调递增； + $\lim_{n \to \infty} b_n = 0$。 + +则级数$\sum_{n=1}^{\infty} a_n b_n$收敛。 + +### 二、函数项级数的狄利克雷判别法 + +设函数项级数： + +$$ +\sum_{n=1}^{\infty} a_n(x)b_n(x) +$$ + +如果满足： + +1. 对每个固定的$x$，部分和序列 + +$$ +A_n(x) = \sum_{k=1}^{n} a_k(x) +$$ + +有界，即存在常数$M(x)$，使得： + +$$ +|A_n(x)|\leq M(x) +$$ + +2. 函数序列$\{b_n(x)\}$对$n$单调趋于零，即满足： + - 单调性：对于每个固定的$x$，$b_n(x)$关于$n$单调递减或递增； + - 极限性：对每个固定的$x$，有$\lim_{n \to \infty} b_n(x) = 0$。 + +则函数项级数$\sum_{n=1}^{\infty} a_n(x)b_n(x)$收敛。 + +### 三、广义积分的狄利克雷判别法 + +设积分： + +$$ +\int_{a}^{+\infty} f(x)g(x)\,\mathrm{d}x +$$ + +如果满足： + +1. 积分的原函数 + +$$ +F(x)=\int_{a}^{x}f(t)\,\mathrm{d}t +$$ + +有界，即存在常数$M$，使得： + +$$ +|F(x)|\leq M, \quad x \ge a +$$ + +2. 函数$g(x)$满足： + - 在区间$[a,+\infty)$上单调趋于零； + $\lim_{x \to +\infty} g(x)=0$。 + +则广义积分$\int_{a}^{+\infty} f(x)g(x)\,\mathrm{d}x$收敛。 + +### 四、瑕积分的狄利克雷判别法 + +设积分存在瑕点$x = a$（假设瑕点为积分下限，其他点类似），考虑积分： + +$$ +\int_{a}^{b}f(x)g(x)\,\mathrm{d}x +$$ + +如果满足： + +1. 积分的原函数： + +$$ +F(x)=\int_{a}^{x}f(t)\,\mathrm{d}t +$$ + +在靠近瑕点$x=a$时有界。 + +2. 函数$g(x)$满足： + - 在$(a,b]$上单调趋于零（当$x \to a^+$时）； + -$\lim_{x \to a^+}g(x)=0$。 + +则瑕积分$\int_{a}^{b}f(x)g(x)\,\mathrm{d}x$收敛。 + +## 阿贝尔判别法： + +### 一、数项级数的阿贝尔判别法 + +考虑级数： + +$$ +\sum_{n=1}^{\infty} a_n b_n +$$ + +如果满足以下两个条件： + +1. 级数$\sum_{n=1}^{\infty} a_n$**收敛**（而非仅仅有界）； +2. 数列$\{b_n\}$为**单调有界数列**，即： + - 存在有限的常数$M$，使得$|b_n|\leq M$，且单调（递增或递减）。 + +则级数$\sum_{n=1}^{\infty} a_n b_n$**收敛**。 + +### 二、函数项级数的阿贝尔判别法 + +#### 判别法描述： + +考虑函数项级数： + +$$ +\sum_{n=1}^{\infty} a_n(x) b_n(x) +$$ + +如果满足： + +1. 对每个固定的$x$，级数 + +$$ +\sum_{n=1}^{\infty} a_n(x) +$$ + +收敛； + +2. 对每个固定的$x$，函数序列$\{b_n(x)\}$单调有界，即： + - 存在常数$M(x)$，使得对所有$n$，$|b_n(x)|\leq M(x)$； + - 对于固定的$x$，关于$n$单调递增或递减。 + +则函数项级数$\sum_{n=1}^{\infty}a_n(x)b_n(x)$收敛。 + +### 三、广义积分的阿贝尔判别法 + +#### 判别法描述： + +考虑广义积分： + +$$ +\int_{a}^{+\infty} f(x)g(x)\,\mathrm{d}x +$$ + +如果满足： + +1. 积分$\int_{a}^{+\infty} f(x)\,\mathrm{d}x$**收敛**； +2. 函数$g(x)$在区间$[a,+\infty)$上**单调有界**，即： + - 存在常数$M$，使得$|g(x)|\leq M$，且$g(x)$在$[a,+\infty)$上单调。 + +则广义积分$\int_{a}^{+\infty} f(x)g(x)\,\mathrm{d}x$**收敛**。 + +### 四、瑕积分的阿贝尔判别法 + +#### 判别法描述： + +考虑具有瑕点的积分（例如积分下限有瑕点$a$）： + +$$ +\int_{a}^{b} f(x)g(x)\,\mathrm{d}x +$$ + +如果满足： + +1. 瑕积分$\int_{a}^{b} f(x)\,\mathrm{d}x$**收敛**； +2. 函数$g(x)$在$(a,b]$上**单调有界**，即： + - 存在常数$M$，使得对所有$x\in(a,b]$，有$|g(x)|\leq M$； + - 在区间靠近瑕点$a$时，函数$g(x)$是单调的。 + +则瑕积分$\int_{a}^{b} f(x)g(x)\,\mathrm{d}x$**收敛**。 + +## 总结成一句话： + +- **狄利克雷** 判别法：部分和有界 (震荡) × 单调趋零 = 收敛。 +- **阿贝尔** 判别法：已知收敛 (收敛×单调有界) = 收敛。 + +## 第十四章 傅里叶级数 + +### 一、傅里叶级数的基本概念与公式 + +一个定义在区间$[-l, l]$上周期为$2l$的函数$f(x)$，可表示成傅里叶级数： + +$$ +f(x) = \frac{a_0}{2} + \sum_{n=1}^{\infty} \left[a_n\cos\frac{n\pi x}{l} + b_n\sin\frac{n\pi x}{l}\right] +$$ + +#### 系数计算公式： + +- **常数项$a_0$**： + +$$ +a_0 = \frac{1}{l}\int_{-l}^{l}f(x)\,dx +$$ + +- **余弦项系数$a_n$**（$n\geq 1$）： + +$$ +a_n = \frac{1}{l}\int_{-l}^{l}f(x)\cos\frac{n\pi x}{l}\,dx +$$ + +- **正弦项系数$b_n$**（$n\geq 1$）： + +$$ +b_n = \frac{1}{l}\int_{-l}^{l}f(x)\sin\frac{n\pi x}{l}\,dx +$$ + +### 二、傅里叶级数的特殊区间（常见）: + +#### （一）区间$[-\pi,\pi]$（标准区间） + +若函数定义在$[- \pi,\pi]$，周期为$2\pi$，傅里叶级数为： + +$$ +f(x)=\frac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^{\infty}(a_n\cos nx+b_n\sin nx) +$$ + +- 系数公式： + +$$ +a_0=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(x)\,dx,\quad +a_n=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(x)\cos nx\,dx,\quad +b_n=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(x)\sin nx\,dx +$$ + +#### （二）区间$[0,2\pi]$ + +若函数定义在区间$[0,2\pi]$，周期为$2\pi$，傅里叶级数展开为： + +$$ +f(x)=\frac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^{\infty}(a_n\cos nx+b_n\sin nx) +$$ + +- 系数计算： + +$$ +a_0=\frac{1}{\pi}\int_{0}^{2\pi}f(x)\,dx,\quad +a_n=\frac{1}{\pi}\int_{0}^{2\pi}f(x)\cos nx\,dx,\quad +b_n=\frac{1}{\pi}\int_{0}^{2\pi}f(x)\sin nx\,dx +$$ + +#### （三）区间$[-l,l]$（一般区间） + +一般区间的情况（区间长度为$2l$），傅里叶级数通式为： + +$$ +f(x)=\frac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^{\infty}\left(a_n\cos\frac{n\pi x}{l}+b_n\sin\frac{n\pi x}{l}\right) +$$ + +- 系数计算： + +$$ +a_0=\frac{1}{l}\int_{-l}^{l}f(x)\,dx,\quad +a_n=\frac{1}{l}\int_{-l}^{l}f(x)\cos\frac{n\pi x}{l}\,dx,\quad +b_n=\frac{1}{l}\int_{-l}^{l}f(x)\sin\frac{n\pi x}{l}\,dx +$$ + +### 三、小结（核心公式记忆）： + +- 通式记忆： + +$$ +f(x)=\frac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^{\infty}(a_n\cos\frac{n\pi x}{l}+b_n\sin\frac{n\pi x}{l}) +$$ + +- 一般系数公式： + +$$ +a_0=\frac{1}{l}\int_{-l}^{l}f(x)dx,\quad +a_n=\frac{1}{l}\int_{-l}^{l}f(x)\cos\frac{n\pi x}{l}dx,\quad +b_n=\frac{1}{l}\int_{-l}^{l}f(x)\sin\frac{n\pi x}{l}dx +$$ + +- 区间特化记忆： + - 标准区间$[-\pi,\pi]$时，公式中$l=\pi$； + - 区间$[0,2\pi]$时，积分区间改为$[0,2\pi]$。 + +## 第十五章——第二十章 + +### 一、二元函数的极限与连续性 + +#### 1. 函数极限定义 + +假设函数$f(x,y)$定义在点$(x_0,y_0)$的去心领域内，若对任意路径$(x,y)\rightarrow(x_0,y_0)$，极限值均存在且相等，则记为极限： + +$$ +\lim_{(x,y)\to(x_0,y_0)} f(x,y)=L +$$ + +#### 2. 二元函数极限存在判定 + +- 当沿不同路径趋于同一点的极限值不同时，则该二元函数极限不存在。 + +常用方法： + +- 沿特殊路径（如$x = x_0$,$y = y_0$,$y = k(x - x_0)$等）求极限并比较。 +- 极坐标法：将$(x, y)$替换为$(r\cos\theta, r\sin\theta)$，考察当$r \to 0$时的极限。 + +#### 3. 二元函数的连续性 + +若二元函数满足： + +$$ +\lim_{(x,y)\to(x_0,y_0)}f(x,y)=f(x_0,y_0) +$$ + +则称函数在点$(x_0,y_0)$连续。 + +连续函数的性质： + +- 基本运算法则（加、减、乘、除、复合运算）在连续点均保持连续。 +- 多项式函数、指数函数、三角函数在定义域内连续。 + +### 二、二元函数的偏导数与高阶偏导 + +#### 1. 偏导数定义 + +给定二元函数$z = f(x, y)$，偏导数表示函数沿坐标轴方向的变化率： + +$$ +f_x(x,y)=\frac{\partial f}{\partial x}=\lim_{\Delta x \to 0}\frac{f(x+\Delta x,y)-f(x,y)}{\Delta x} +$$ + +$$ +f_y(x,y)=\frac{\partial f}{\partial y}=\lim_{\Delta y \to 0}\frac{f(x,y+\Delta y)-f(x,y)}{\Delta y} +$$ + +#### 2. 高阶偏导 + +常见的二阶偏导： + +$$ +f_{xx}(x,y)=\frac{\partial^2 f}{\partial x^2}, \quad f_{yy}(x,y)=\frac{\partial^2 f}{\partial y^2},\quad f_{xy}(x,y)=\frac{\partial^2 f}{\partial y \partial x},\quad f_{yx}(x,y)=\frac{\partial^2 f}{\partial x \partial y} +$$ + +偏导连续、光滑函数具有性质： + +$$ +f_{xy}(x,y)=f_{yx}(x,y) +$$ + +（克莱罗定理） + +### 三、二元函数的可微性与全微分 + +#### 1. 二元函数的可微定义 + +设二元函数$z=f(x,y)$，若其变化量可表示为线性主部与高阶无穷小之和： + +$$ +\Delta z = f(x+\Delta x,y+\Delta y)-f(x,y)=f_x(x,y)\Delta x+f_y(x,y)\Delta y+o(\rho),\quad(\rho=\sqrt{\Delta x^2+\Delta y^2}) +$$ + +且满足： + +$$ +\lim_{\rho\to 0}\frac{o(\rho)}{\rho}=0 +$$ + +则称函数在该点可微。其中： + +-$f_x(x,y), f_y(x,y)$为函数在$(x,y)$点的偏导数。 +-$o(\rho)$为高阶无穷小量，其在点邻域内趋于零的速度快于线性小量$\rho$。 + +几何意义： +可微函数在该点局部表现如同一个线性函数，且误差项相对于线性近似部分极小，保证函数在该点附近可用线性函数很好地逼近。 + +#### 2. 全微分形式 + +若函数在点$(x,y)$可微，则全微分为： + +$$ +dz = f_x(x,y)dx + f_y(x,y)dy +$$ + +作为函数在该点的线性近似。 + +#### 3. 可微性与连续性、偏导关系： + +函数可微 ⇒ 函数必定连续，且偏导数存在。但偏导数存在不能保证函数一定可微。充分条件（常见判定定理）： + +- 若函数两个偏导数在点附近连续，则该函数在该点一定可微。 + +### 四、二元函数的极值与最小二乘法 + +#### 1. 极值 + +若点$(x_0, y_0)$为极值点（可能极大或极小），则有： + +$$ +f_x(x_0,y_0)=0,\quad f_y(x_0,y_0)=0 +$$ + +##### 二阶导数判别法 + +定义 Hessian 判别式： + +$$ +H = +\begin{vmatrix} +f_{xx}(x_0,y_0) & f_{xy}(x_0,y_0) \\ +f_{yx}(x_0,y_0) & f_{yy}(x_0,y_0) +\end{vmatrix} +$$ + +- 若$H>0, f_{xx}(x_0,y_0)>0$，点为极小； +- 若$H>0, f_{xx}(x_0,y_0)<0$，点为极大； +- 若$H<0$，则为鞍点，不为极值点。 + +#### 2. 最小二乘法（Least Squares Method） + +拟合数据曲线，用以确定线性模型参数： + +对于拟合函数$y = ax + b$，最小化平方误差之和： + +$$ +S(a,b) = \sum_{i=1}^{n}(y_i - ax_i - b)^2 +$$ + +通过偏导求驻点建立法方程： + +$$ +\frac{\partial S}{\partial a}=0,\quad \frac{\partial S}{\partial b}=0 +$$ + +由此解出最优参数$a, b$。 + +### 五、条件极值与拉格朗日乘数法 + +求函数$f(x,y)$在约束条件$g(x,y)=0$下的极值。 + +构建拉格朗日函数： + +$$ +L(x,y,\lambda)=f(x,y)-\lambda g(x,y) +$$ + +其中$g(x,y)=h(x,y)-c$为约束函数。 + +由方程组： + +$$ +\nabla L = 0 \Rightarrow +\begin{cases} +f_x(x,y)-\lambda g_x(x,y)=0 \\ +f_y(x,y)-\lambda g_y(x,y)=0 \\ +g(x,y)=0 +\end{cases} +$$ + +求解确定极值点。 + +### 六、含参变量的积分、广义积分与欧拉积分 + +#### 1. 含参变量积分 + +积分形式： + +$$ +F(a)=\int_{u(a)}^{v(a)} f(x,a)\,dx +$$ + +求导法则（Leibniz公式）： + +$$ +F'(a)=f[v(a),a]\cdot v'(a)-f[u(a),a]\cdot u'(a)+\int_{u(a)}^{v(a)} \frac{\partial f}{\partial a}(x,a)\,dx +$$ + +#### 2. 广义积分 + +例如： + +$$ +\int_{0}^{+\infty} f(x,a)\,dx +$$ + +判断广义积分收敛的常用方法： + +- 比较判别法 +- 极限判别法 + +#### 3. 欧拉积分 + +- 第一类欧拉积分（Beta函数）： + +$$ +B(x,y)=\int_0^1 t^{x-1}(1-t)^{y-1}\,dt,\quad x>0,y>0 +$$ + +- 第二类欧拉积分（Gamma函数）： + +$$ +\Gamma(x)=\int_0^{+\infty} t^{x-1}e^{-t}\,dt,\quad x>0 +$$ + +- 两者关系： + +$$ +B(x,y)=\frac{\Gamma(x)\Gamma(y)}{\Gamma(x+y)} +$$ + +### 七、重积分 + +#### 二重积分定义 + +设区域$D$为闭区域，则二重积分表示为： + +$$ +\iint_{D} f(x,y)\,dxdy +$$ + +#### 计算方法 + +- 直角坐标系下的积分： + +$$ +\iint_{D} f(x,y)\,dxdy=\int_{x=a}^{x=b}\int_{y=g_1(x)}^{y=g_2(x)} f(x,y)\,dydx +$$ + +- 极坐标变换： + +$$ +x=r\cos\theta,\quad y=r\sin\theta,\quad dxdy=r\,drd\theta +$$ + +#### 应用 + +- 求面积、体积、质量、重心等 +- 交换积分次序 (Fubini定理)： + +$$ +\int_{x=a}^{x=b}\int_{y=c}^{y=d}f(x,y)\,dydx=\int_{y=c}^{y=d}\int_{x=a}^{x=b}f(x,y)\,dxdy +$$ \ No newline at end of file diff --git a/package-lock.json b/package-lock.json index acba304..3a7992d 100644 --- a/package-lock.json +++ b/package-lock.json @@ -15,10 +15,11 @@ "vue": "3.5.12" }, 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