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title: 概率论与数理统计笔记
date: 2026-01-03 12:00:00
descriptionHTML: '<span style="color:var(--description-font-color);">概率论与数理统计学习笔记，涵盖基本概念、随机变量、数字特征、大数定律、数理统计基础等内容。</span>'
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  - 数学
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# 概率论与数理统计笔记

## 一、概率论基本概念

### 1. 基本概念

| 术语 | 定义 |
|------|------|
| **随机现象** | 不能预先确定结果的事件，即随机试验 |
| **基本事件** | 随机试验中的每个单一结果 |
| **随机事件** | 在随机试验中可能出现的各种结果，由若干基本事件组成 |
| **样本空间** | 随机试验中所有基本事件的集合，记为S，其中的元素称为样本点 |
| **概率** | 随机事件发生可能性的数字表征，介于0-1之间 |

**重要关系**：样本空间的子集是随机事件

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### 2. 概率的三个基本性质

1. **非负性**：对任意事件A，$P(A) \geq 0$
2. **规范性**：$P(S) = 1$，样本空间S的概率是1
3. **可列可加性**：设$A_1, A_2, ...$是两两互不相容事件，则
   $$P(A_1 \cup A_2 \cup ...) = P(A_1) + P(A_2) + ...$$

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### 3. 古典概型

**条件**：有限性，等可能性

**排列数**：$A_n^r = \frac{n!}{(n-r)!}$

**组合数**：$C_n^r = \frac{n!}{(n-r)!r!}$

**多组组合模式**：n个不同物体分成k堆，有 $\frac{n!}{r_1!r_2!...r_k!}$ 种分法

**概率的统计定义**：事件发生的频率在试验次数足够大时趋近的值

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### 4. 条件概率

**定义**：A，B是随机试验中两个事件，$P(B) > 0$，称
$$P(A|B) = \frac{P(AB)}{P(B)}$$
为事件B发生条件下A发生的概率

**乘法定理**：$P(AB) = P(A|B) \cdot P(B) = P(B|A) \cdot P(A)$

**推论**：若A，B独立，则 $P(A|B) = P(A)$，$P(AB) = P(A)P(B)$

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### 5. 全概率公式

设试验E的样本空间为S，A为E的事件，$B_1, B_2, ..., B_n$为S的一个**划分**，$P(B_i) > 0$，$i = 1,2,...,n$，则

$$P(A) = \sum_{i=1}^{n} P(A|B_i)P(B_i) = P(A|B_1)P(B_1) + P(A|B_2)P(B_2) + ... + P(A|B_n)P(B_n)$$

**理解**：将复杂事件A分解为多个互不相容的简单事件求和

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### 6. 贝叶斯公式

设试验E的样本空间为S，A为E的事件，$B_1, B_2, ..., B_n$为S的一个划分，$P(A) > 0$，$P(B_i) > 0$，$i = 1,2,...,n$，则

$$P(B_i|A) = \frac{P(A|B_i)P(B_i)}{\sum_{j=1}^{n} P(A|B_j)P(B_j)}$$

**理解**：
- $P(B_i)$：先验概率（原因发生的概率）
- $P(B_i|A)$：后验概率（观测到结果后，原因的概率）
- 贝叶斯公式用于"由果溯因"

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### 7. 典型例题

**例**：有两箱同种类的零件，第一箱装50只，其中10只一等品。第二箱装30只，其中18只一等品。今从两箱中任挑出一箱，然后从该箱中取零件两次，每次任取一只，作不放回抽样。求：
(1) 第一次取到的零件是一等品的概率
(2) 第一次取到的零件是一等品的条件下，第二次取到的也是一等品的概率

**解**：记$A_i$="在第i次中取到一等品"，$B_i$="挑到第i箱"，$i=1,2$

(1) 由全概率公式：
$$P(A_1) = P(A_1|B_1) \cdot P(B_1) + P(A_1|B_2) \cdot P(B_2) = \frac{10}{50} \times \frac{1}{2} + \frac{18}{30} \times \frac{1}{2} = 0.4$$

(2) $P(A_1A_2) = P(A_1A_2|B_1) \cdot P(B_1) + P(A_1A_2|B_2) \cdot P(B_2)$
   $= \frac{1}{2} \times \frac{10}{50} \times \frac{9}{49} + \frac{1}{2} \times \frac{18}{30} \times \frac{17}{29} = 0.19423$

   $P(A_2|A_1) = \frac{P(A_1A_2)}{P(A_1)} = \frac{0.19423}{0.4} = 0.4856$

## 二、随机变量及其分布

### 1. 分布函数

**定义**：设X是一个随机变量，对任意实数x，称 $F(x) = P(X \leq x)$ 为X的**分布函数**，记为 $X \sim F(x)$

**分布函数的三条基本性质**：

1. **单调非减性**：对任意的$x_1 < x_2$，有$F(x_1) \leq F(x_2)$
2. **有界性**：对任意的x，有$0 \leq F(x) \leq 1$，且
   - $F(-\infty) = \lim_{x \to -\infty} F(x) = 0$
   - $F(+\infty) = \lim_{x \to +\infty} F(x) = 1$
3. **右连续性**：对任意的$x_0$，有 $\lim_{x \to x_0^+} F(x) = F(x_0)$

**重要**：具有上述三条性质的函数F(x)一定是某个随机变量的分布函数

**关于F(x)的常识结论**：设F(x), G(x)为分布函数，a,b为实数，则
1. $aF(x) + bG(x)$ 为分布函数 $\Leftrightarrow a+b=1, a \ge 0, b \ge 0$
2. $F(ax+b)$ 为分布函数 $\Leftrightarrow a>0$，b为任意常数
3. $F(x)G(x)$ 必为分布函数

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### 2. 离散型随机变量的分布律

设离散型随机变量X所有可能取值为$x_k$（$k = 1,2,...$），X取各个可能值的概率为
$$P\{X = x_k\} = p_k, \quad k = 1,2,...$$

**分布律满足的条件**：
1. 非负性：$p_k \geq 0$
2. 正则性：$\sum_{k=1}^{\infty} p_k = 1$

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### 3. 连续型随机变量的概率密度

如果对于随机变量X的分布函数$F(x)$，存在非负可积函数$f(x)$，使对于任意实数x有
$$F(x) = \int_{-\infty}^{x} f(t)dt$$

则称$f(x)$为X的**概率密度函数**

**概率密度的性质**：
1. $f(x) \geq 0$
2. $\int_{-\infty}^{+\infty} f(x)dx = 1$
3. 对于任意实数$x_1, x_2$（$x_1 \leq x_2$），$P\{x_1 < X \leq x_2\} = F(x_2) - F(x_1) = \int_{x_1}^{x_2} f(x)dx$
4. 若$f(x)$在点x处连续，则有$F'(x) = f(x)$

**小常识**：
1. 不改变$f(x)$在有限点的值，不影响分布
2. $f(x)$不必连续，只需可积
3. 连续型X的分布函数$F(x)$是连续函数，且对任意$a$有$P\{X=a\}=0$
4. 若$f(x)$在点x处连续，则$F'(x)=f(x)$

**区间范围小结**：若X可能取值范围为$a \le X \le b$，则
1. 当$x<a$时，$F(x)=0$
2. 当$x\ge b$时，$F(x)=1$

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### 4. 随机变量函数的分布

**定理**：设随机变量X具有概率密度$f_X(x)$，$-\infty < x < +\infty$，又设函数g(x)处处可导且恒有$g'(x) > 0$（或$g'(x) < 0$），则$Y = g(X)$是连续型随机变量，其概率密度为

$$f_Y(y) = \begin{cases} f_X[h(y)]|h'(y)|, & \alpha < y < \beta \\ 0, & \text{其他} \end{cases}$$

其中$\alpha = \min\{g(-\infty), g(+\infty)\}$，$\beta = \max\{g(-\infty), g(+\infty)\}$，$h(y)$是$g(x)$的反函数

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### 5. 典型例题

**例**：设随机变量X的概率密度为$f(x) = \begin{cases} e^{-x}, & x > 0 \\ 0, & \text{其他} \end{cases}$，求$Y = X^2$的概率密度

**解**：当$y \leq 0$时，$f_Y(y) = 0$

当$y > 0$时，$F_Y(y) = P\{Y \leq y\} = P\{X^2 \leq y\} = P\{0 < X \leq \sqrt{y}\} = \int_0^{\sqrt{y}} e^{-x}dx$

$f_Y(y) = F'_Y(y) = e^{-\sqrt{y}} \cdot \frac{1}{2\sqrt{y}}$

所以 $f_Y(y) = \begin{cases} \frac{1}{2\sqrt{y}}e^{-\sqrt{y}}, & y > 0 \\ 0, & y \leq 0 \end{cases}$

## 三、离散型随机变量分布

### 1. 0-1分布（伯努利分布）b(1, p)

**定义**：随机变量X只取0和1两个值

**分布律**：
$$P(X=k) = p^k(1-p)^{1-k}, \quad k=0,1$$

| X | 0 | 1 |
|---|---|---|
| P | 1-p | p |

**期望与方差**：
- $E(X) = p$
- $D(X) = p(1-p)$

**适用场景**：单次试验的成功/失败

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### 2. 二项分布 B(n, p)

**定义**：n次独立重复试验中，事件A发生的次数X

**概率公式**：
$$P(X=k) = C_n^k p^k (1-p)^{n-k}, \quad k=0,1,2,...,n$$

**期望与方差**：
- $E(X) = np$
- $D(X) = np(1-p)$

**正态近似（德莫弗-拉普拉斯）**：当n充分大时，
$$X \sim B(n,p) \approx N(np, np(1-p))$$

**适用场景关键词**：
- "n次独立试验"
- "成功/失败"、"合格/不合格"、"命中/未命中"
- "每次成功概率为p"
- "求恰好k次成功的概率"

**例题特征**：
> 某射击运动员命中率为0.8，独立射击10次，求恰好命中8次的概率。
> → X ~ B(10, 0.8)

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### 3. 泊松分布 P(λ) 或 π(λ)

**定义**：单位时间/空间内随机事件发生的次数

**概率公式**：
$$P(X=k) = \frac{\lambda^k e^{-\lambda}}{k!}, \quad k=0,1,2,...$$

**期望与方差**：
- $E(X) = \lambda$
- $D(X) = \lambda$

**特点**：期望=方差=λ

**适用场景关键词**：
- "单位时间内"、"每天"、"每小时"
- "平均发生λ次"
- "稀有事件"（n大p小，np适中）
- 电话呼叫次数、到达人数、故障次数、放射性衰变

**泊松定理（二项分布的近似）**：
当 $n \geq 20, p \leq 0.05$ 时，$B(n,p) \approx P(np)$

**例题特征**：
> 某服务台平均每小时接到5个电话，求1小时内接到3个电话的概率。
> → X ~ P(5)

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### 4. 几何分布 G(p)

**定义**：独立重复试验中，首次成功时的试验次数X

**概率公式**：
$$P(X=k) = (1-p)^{k-1}p, \quad k=1,2,3,...$$

**期望与方差**：
- $E(X) = \frac{1}{p}$
- $D(X) = \frac{1-p}{p^2}$

**无记忆性**：$P(X > m+n | X > m) = P(X > n)$

**适用场景关键词**：
- "首次成功"、"第一次出现"
- "直到...为止"
- "需要多少次才能成功"

**例题特征**：
> 抛硬币直到第一次出现正面，求所需次数的期望。
> → X ~ G(0.5), E(X) = 2

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### 5. 超几何分布 H(n, M, N)

**定义**：N件产品中有M件次品，从中不放回抽取n件，次品数X

**概率公式**：
$$P(X=k) = \frac{C_M^k C_{N-M}^{n-k}}{C_N^n}$$

**期望与方差**：
- $E(X) = \frac{nM}{N}$
- $D(X) = \frac{nM(N-M)(N-n)}{N^2(N-1)}$

**适用场景关键词**：
- "不放回抽样"
- "N件中有M件..."
- 抽奖问题、质检问题（小批量）

**与二项分布的区别**：
- 超几何：不放回抽样
- 二项分布：放回抽样（或总体很大时的不放回）

**例题特征**：
> 10件产品中有3件次品，不放回抽取4件，求恰好有2件次品的概率。
> → X ~ H(4, 3, 10)

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### 6. 负二项分布（帕斯卡分布）NB(r, p)

**定义**：独立重复试验中，第r次成功时的试验次数X

**概率公式**：
$$P(X=k) = C_{k-1}^{r-1} p^r (1-p)^{k-r}, \quad k=r,r+1,...$$

**期望与方差**：
- $E(X) = \frac{r}{p}$
- $D(X) = \frac{r(1-p)}{p^2}$

**适用场景关键词**：
- "第r次成功"
- 几何分布是r=1的特例

## 四、连续型随机变量分布

### 1. 均匀分布 U(a, b)

**概率密度函数**：
$$f(x) = \begin{cases} \frac{1}{b-a}, & a \leq x \leq b \\ 0, & 其他 \end{cases}$$

**分布函数**：
$$F(x) = \begin{cases} 0, & x < a \\ \frac{x-a}{b-a}, & a \leq x \leq b \\ 1, & x > b \end{cases}$$

**期望与方差**：
- $E(X) = \frac{a+b}{2}$
- $D(X) = \frac{(b-a)^2}{12}$

**适用场景关键词**：
- "等可能"、"随机取一点"
- "在[a,b]上均匀分布"
- 舍入误差、随机数生成

**例题特征**：
> 公交车每10分钟一班，乘客随机到达，求等待时间不超过3分钟的概率。
> → X ~ U(0, 10), P(X ≤ 3) = 0.3

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### 2. 指数分布 Exp(λ)

**概率密度函数**：
$$f(x) = \begin{cases} \lambda e^{-\lambda x}, & x \geq 0 \\ 0, & x < 0 \end{cases}$$

**分布函数**：
$$F(x) = \begin{cases} 1 - e^{-\lambda x}, & x \geq 0 \\ 0, & x < 0 \end{cases}$$

**期望与方差**：
- $E(X) = \frac{1}{\lambda}$
- $D(X) = \frac{1}{\lambda^2}$

**无记忆性**：$P(X > s+t | X > s) = P(X > t)$

**重要结论**：$P(X > a) = e^{-\lambda a}$（$a>0$）

**适用场景关键词**：
- "寿命"、"等待时间"、"服务时间"
- "无记忆性"
- 电子元件寿命、顾客到达间隔、放射性衰变间隔
- 与泊松过程相关（泊松过程的时间间隔服从指数分布）

**重要关系**：若单位时间内事件发生次数 ~ P(λ)，则相邻事件的时间间隔 ~ Exp(λ)

**例题特征**：
> 某元件寿命服从参数λ=0.01的指数分布，求使用超过100小时的概率。
> → P(X > 100) = e^(-0.01×100) = e^(-1)

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### 3. 正态分布 N(μ, σ²)

**概率密度函数**：
$$f(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma} e^{-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}}, \quad -\infty < x < +\infty$$

**期望与方差**：
- $E(X) = \mu$
- $D(X) = \sigma^2$

**标准化**：若 $X \sim N(\mu, \sigma^2)$，则 $Z = \frac{X-\mu}{\sigma} \sim N(0,1)$

**标准正态分布**：$Z \sim N(0,1)$
- 密度函数：$\varphi(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-x^2/2}$
- 分布函数：$\Phi(x) = P(Z \le x)$

**区间概率**：若 $X \sim N(\mu, \sigma^2)$，则
$$P(a < X \le b) = \Phi\left(\frac{b-\mu}{\sigma}\right) - \Phi\left(\frac{a-\mu}{\sigma}\right)$$

**标准正态性质**：
- $\Phi(-x) = 1 - \Phi(x)$
- $\Phi(0) = \frac{1}{2}$
- $P(|Z| \le a) = 2\Phi(a) - 1$（$a>0$）

**密度识别**：若 $f(x) = A e^{ax^2+bx+c}$，$a<0$，$-\infty < x < +\infty$，则X为正态分布

**重要性质**：
- 对称性：$\Phi(-x) = 1 - \Phi(x)$
- $P(|X-\mu| < \sigma) \approx 68.27\%$
- $P(|X-\mu| < 2\sigma) \approx 95.45\%$
- $P(|X-\mu| < 3\sigma) \approx 99.73\%$ (3σ原则)

**适用场景关键词**：
- 测量误差、身高体重、考试成绩
- "正态分布"、"高斯分布"
- 大量独立随机因素叠加的结果

**例题特征**：
> X ~ N(100, 16)，求P(92 < X < 108)。
> → 标准化：P(-2 < Z < 2) = 2Φ(2) - 1

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### 4. 伽马分布 Γ(α, λ)

**概率密度函数**：
$$f(x) = \begin{cases} \frac{\lambda^\alpha}{\Gamma(\alpha)} x^{\alpha-1} e^{-\lambda x}, & x > 0 \\ 0, & x \leq 0 \end{cases}$$

**期望与方差**：
- $E(X) = \frac{\alpha}{\lambda}$
- $D(X) = \frac{\alpha}{\lambda^2}$

**特殊情况**：
- α=1 时为指数分布 Exp(λ)
- α=n/2, λ=1/2 时为 χ²(n) 分布

## 五、多维随机变量及其分布

### 1. 二维分布函数

**定义**：$F(x,y) = P\{X \leq x, Y \leq y\}$

**四条基本性质**：

1. **单调不减性**：F(x,y)是变量x和y的不减函数
   - 对于任意固定的y，当$x_2 > x_1$时，$F(x_2,y) \geq F(x_1,y)$
   - 对于任意固定的x，当$y_2 > y_1$时，$F(x,y_2) \geq F(x,y_1)$

2. **有界性**：$0 \leq F(x,y) \leq 1$，且
   - $F(-\infty, y) = F(x, -\infty) = 0$
   - $F(-\infty, -\infty) = 0$，$F(+\infty, +\infty) = 1$

3. **右连续性**：$F(x+0, y) = F(x, y)$，$F(x, y+0) = F(x, y)$

4. **非负性**：对于任意$(x_1, y_1), (x_2, y_2)$，$x_1 < x_2$, $y_1 < y_2$，有
   $$F(x_2, y_2) - F(x_2, y_1) + F(x_1, y_1) - F(x_1, y_2) \geq 0$$

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### 2. 联合分布

#### 离散型：联合分布律
$$p_{ij} = P\{X = x_i, Y = y_j\}, \quad i,j = 1,2,...$$

**性质**：
- 非负性：$p_{ij} \geq 0$
- 规范性：$\sum_{i=1}^{\infty}\sum_{j=1}^{\infty} p_{ij} = 1$

#### 连续型：联合概率密度
$f(x,y)$，$(x,y) \in \mathbb{R}^2$

**性质**：
- 非负性：$f(x,y) \geq 0$
- 规范性：$\int_{-\infty}^{\infty}\int_{-\infty}^{\infty} f(x,y)dxdy = F(\infty, \infty) = 1$
- 若$f(x,y)$在点$(x,y)$连续，则有$\frac{\partial^2 F(x,y)}{\partial x \partial y} = f(x,y)$

**区域概率**：点$(X,Y)$落在平面区域$G$内的概率
$$P\{(X,Y) \in G\} = \iint_G f(x,y)dxdy$$

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### 3. 边缘分布

**边缘分布函数**：
- $F_X(x) = F(x, \infty)$
- $F_Y(y) = F(\infty, y)$

#### 离散型边缘分布律

$$p_{i\cdot} = \sum_{j=1}^{\infty} p_{ij} = P\{X = x_i\}, \quad i = 1,2,...$$

$$p_{\cdot j} = \sum_{i=1}^{\infty} p_{ij} = P\{Y = y_j\}, \quad j = 1,2,...$$

#### 连续型边缘概率密度

$$f_X(x) = \int_{-\infty}^{\infty} f(x,y)dy$$

$$f_Y(y) = \int_{-\infty}^{\infty} f(x,y)dx$$

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### 3.1 二维均匀分布

**定义**：若$(X,Y)$在区域$D$上均匀分布，则
$$f(x,y) = \begin{cases} \frac{1}{S_D}, & (x,y) \in D \\ 0, & \text{其他} \end{cases}$$
其中$S_D$为区域D的面积。

**结论1**：$P\{(X,Y) \in G\} = \frac{S_G}{S_D}$（面积之比）

**结论2**：若$D=\{(x,y)\mid a \le x \le b, c \le y \le d\}$，则
$X \sim U(a,b)$，$Y \sim U(c,d)$，且X与Y相互独立。

**结论3**：X、Y的边缘分布不一定是均匀分布。

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### 4. 条件分布与条件密度

#### 离散型

在$Y = y_j$条件下X的条件分布律：
$$P\{X = x_i | Y = y_j\} = \frac{P\{X = x_i, Y = y_j\}}{P\{Y = y_j\}} = \frac{p_{ij}}{p_{\cdot j}}$$

在$X = x_i$条件下Y的条件分布律：
$$P\{Y = y_j | X = x_i\} = \frac{P\{X = x_i, Y = y_j\}}{P\{X = x_i\}} = \frac{p_{ij}}{p_{i\cdot}}$$

#### 连续型

在$Y = y$条件下X的条件概率密度：
$$f_{X|Y}(x|y) = \frac{f(x,y)}{f_Y(y)}$$

在$Y = y$条件下X的条件分布函数：
$$F_{X|Y}(x|y) = P\{X \leq x | Y = y\} = \int_{-\infty}^{x} \frac{f(x,y)}{f_Y(y)}dx$$

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### 5. 相互独立的随机变量

**定义**：设$F(x,y)$及$F_X(x), F_Y(y)$分别是二维随机变量$(X,Y)$的分布函数及边缘分布函数，若对于所有$x,y$有
$$P\{X \leq x, Y \leq y\} = P\{X \leq x\}P\{Y \leq y\}$$
即
$$F(x,y) = F_X(x)F_Y(y)$$
则称随机变量X和Y是**相互独立**的。

**独立性判定**：
- **连续型**：X和Y相互独立 $\Leftrightarrow$ $f(x,y) = f_X(x)f_Y(y)$ 在平面上几乎处处成立
- **离散型**：X和Y相互独立 $\Leftrightarrow$ 对于所有可能取值$(x_i, y_j)$有 $P\{X = x_i, Y = y_j\} = P\{X = x_i\}P\{Y = y_j\}$

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### 6. 二维正态分布（重点性质）

设$(X,Y) \sim N(\mu_1,\mu_2;\sigma_1^2,\sigma_2^2;\rho)$，则
1. $X \sim N(\mu_1,\sigma_1^2)$，$Y \sim N(\mu_2,\sigma_2^2)$
2. $X$与$Y$相互独立 $\Leftrightarrow \rho=0$
3. 任意非零线性组合$aX+bY$仍服从正态分布

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### 7. 两个随机变量函数的分布

#### (1) Z = X + Y 的分布（卷积公式）

设$(X,Y)$是二维连续型随机变量，具有概率密度$f(x,y)$，则$Z = X + Y$的概率密度为
$$f_{X+Y}(z) = \int_{-\infty}^{+\infty} f(z-y, y)dy = \int_{-\infty}^{+\infty} f(x, z-x)dx$$

若X和Y相互独立，边缘概率密度为$f_X(x), f_Y(y)$，则有**卷积公式**：
$$f_{X+Y}(z) = f_X * f_Y = \int_{-\infty}^{+\infty} f_X(z-y)f_Y(y)dy = \int_{-\infty}^{+\infty} f_X(x)f_Y(z-x)dx$$

#### (2) Z = Y/X 的分布、Z = XY 的分布

设$(X,Y)$是二维连续型随机变量，概率密度为$f(x,y)$

$$f_{Y/X}(z) = \int_{-\infty}^{\infty} |x|f(x, xz)dx$$

$$f_{XY}(z) = \int_{-\infty}^{\infty} \frac{1}{|x|}f(x, \frac{z}{x})dx$$

若X和Y相互独立，边缘概率密度为$f_X(x), f_Y(y)$，则有：
$$f_{Y/X}(z) = \int_{-\infty}^{\infty} |x|f_X(x)f_Y(xz)dx$$

$$f_{XY}(z) = \int_{-\infty}^{\infty} \frac{1}{|x|}f_X(x)f_Y\left(\frac{z}{x}\right)dx$$

#### (3) M = max{X,Y} 及 N = min{X,Y} 的分布

设X,Y是两个相互独立的随机变量，分布函数分别为$F_X(x), F_Y(y)$

**最大值的分布**：
$$F_{\max}(z) = P\{M \leq z\} = P\{X \leq z, Y \leq z\} = F_X(z)F_Y(z)$$

**最小值的分布**：
$$F_{\min}(z) = P\{N \leq z\} = 1 - P\{N > z\} = 1 - P\{X > z, Y > z\}$$
$$= 1 - [1-F_X(z)][1-F_Y(z)]$$

**推广**：若$X_1, X_2, ..., X_n$独立同分布，分布函数为$F(x)$，则
- $F_{\max}(z) = [F(z)]^n$
- $F_{\min}(z) = 1 - [1-F(z)]^n$

---

### 8. 多维随机变量典型例题

**例**：设随机变量(X,Y)的概率密度为
$$f(x,y) = \begin{cases} \frac{1}{2}(x+y)e^{-(x+y)}, & x > 0, y > 0 \\ 0, & \text{其他} \end{cases}$$

(1) 问：X和Y是否相互独立？(2) 求Z = X + Y的概率密度。

**解**：

(1) (X,Y)关于X的边缘概率密度为
$$f_X(x) = \int_{-\infty}^{+\infty} f(x,y)dy = \begin{cases} \int_0^{+\infty} \frac{1}{2}(x+y)e^{-(x+y)}dy, & x > 0 \\ 0, & x \leq 0 \end{cases} = \begin{cases} \frac{1}{2}(x+1)e^{-x}, & x > 0 \\ 0, & x \leq 0 \end{cases}$$

同理，$f_Y(y) = \begin{cases} \frac{1}{2}(y+1)e^{-y}, & y > 0 \\ 0, & y \leq 0 \end{cases}$

而 $f_X(x) \cdot f_Y(y) = \begin{cases} \frac{1}{4}(x+1)(y+1)e^{-(x+y)}, & x > 0, y > 0 \\ 0, & \text{其他} \end{cases}$

显然 $f_X(x) \cdot f_Y(y) \neq f(x,y)$，故X和Y**不独立**。

(2) Z = X + Y的概率密度为
$$f_Z(z) = \int_{-\infty}^{+\infty} f(x, z-x)dx$$

只有当$x > 0$且$z - x > 0$，即$0 < x < z$时，被积函数不为零。

当$z \leq 0$时，$f_Z(z) = 0$

当$z > 0$时，
$$f_Z(z) = \int_0^z \frac{1}{2}(x + z - x) \cdot e^{-(x+z-x)}dx = \int_0^z \frac{1}{2}ze^{-z}dx = \frac{1}{2}z^2e^{-z}$$

所以 $f_Z(z) = \begin{cases} \frac{1}{2}z^2e^{-z}, & z > 0 \\ 0, & z \leq 0 \end{cases}$

## 六、随机变量的数字特征

### 1. 数学期望

**定义**：

离散型：设$P\{X = x_k\} = p_k$，若$\sum_{k=1}^{\infty} x_k p_k$绝对收敛，则
$$E(X) = \sum_{k=1}^{\infty} x_k p_k$$

连续型：若$\int_{-\infty}^{\infty} xf(x)dx$绝对收敛，则
$$E(X) = \int_{-\infty}^{\infty} xf(x)dx$$

**随机变量函数的期望**：

设$Y = g(X)$，g是连续函数
- 离散型：$E(Y) = E[g(X)] = \sum_{k=1}^{\infty} g(x_k)p_k$
- 连续型：$E(Y) = E[g(X)] = \int_{-\infty}^{\infty} g(x)f(x)dx$

**数学期望性质**：
1. 设C是常数，则$E(C) = C$
2. 设X是随机变量，C是常数，则$E(X + C) = E(X) + C$
3. 设X是随机变量，C是常数，则$E(CX) = CE(X)$
4. 设X,Y是两个随机变量，则$E(X \pm Y) = E(X) \pm E(Y)$（可推广到任意有限个）
5. 设X,Y是相互独立的随机变量，则$E(XY) = E(X)E(Y)$（可推广到任意有限个）

---

### 2. 方差与标准差

**定义**：$D(X) = E\{[X - E(X)]^2\}$

**计算公式**：$D(X) = E(X^2) - [E(X)]^2$

**标准差**：$\sigma(X) = \sqrt{D(X)}$

**方差的计算**：

离散型：$D(X) = \sum_{k=1}^{\infty} [x_k - E(X)]^2 p_k$

连续型：$D(X) = \int_{-\infty}^{\infty} [x - E(X)]^2 f(x)dx$

**方差性质**：
1. 设C是常数，则$D(C) = 0$
2. 设X是随机变量，C是常数，则$D(CX) = C^2D(X)$，$D(X + C) = D(X)$
3. 设X,Y是两个随机变量，则
   $$D(X \pm Y) = D(X) + D(Y) \pm 2Cov(X,Y)$$
   特别地，若X,Y相互独立，则$D(X \pm Y) = D(X) + D(Y)$
4. $D(X) = 0$的充要条件是X以概率1取常数$E(X)$，即$P\{X = E(X)\} = 1$

---

### 3. 协方差

**定义**：$Cov(X,Y) = E\{[X - E(X)][Y - E(Y)]\}$

**计算公式**：$Cov(X,Y) = E(XY) - E(X)E(Y)$

**性质**：
1. $Cov(X,Y) = Cov(Y,X)$（对称性）
2. $Cov(X,C) = 0$（C为常数）
3. $Cov(X,X) = D(X)$
4. $Cov(aX, bY) = ab \cdot Cov(X,Y)$，a,b是常数
5. $Cov(X_1 + X_2, Y) = Cov(X_1, Y) + Cov(X_2, Y)$（双线性）
6. 若X,Y相互独立，则$Cov(X,Y)=0$

**与方差的关系**：
$$D(X + Y) = D(X) + D(Y) + 2Cov(X,Y)$$

---

### 4. 相关系数

**定义**：
$$\rho_{XY} = \frac{Cov(X,Y)}{\sqrt{D(X)}\sqrt{D(Y)}}$$

**性质**：
1. $|\rho_{XY}| \leq 1$
2. $|\rho_{XY}| = 1$的充要条件是，存在常数a,b使$P\{Y = a + bX\} = 1$（线性关系）
3. 若X,Y相互独立，则$\rho_{XY} = 0$（不相关）
4. **不相关 ≠ 独立**：$\rho_{XY} = 0$只说明X,Y没有线性关系，可能有非线性关系

**不相关的等价条件**（以下四条等价）：
- $\rho_{XY} = 0$
- $Cov(X,Y) = 0$
- $E(XY) = E(X)E(Y)$
- $D(X + Y) = D(X) + D(Y)$

---

### 5. 矩

**定义**：设X和Y是随机变量

| 矩的类型 | 定义 | 说明 |
|---------|------|------|
| **k阶原点矩** | $E(X^k)$，$k = 1,2,...$ | 一阶原点矩就是期望E(X) |
| **k阶中心矩** | $E\{[X - E(X)]^k\}$，$k = 2,3,...$ | 二阶中心矩就是方差D(X) |
| **k+l阶混合矩** | $E(X^k Y^l)$，$k,l = 1,2,...$ | |
| **k+l阶混合中心矩** | $E\{[X-E(X)]^k[Y-E(Y)]^l\}$ | 二阶混合中心矩就是协方差Cov(X,Y) |

---

### 6. 切比雪夫不等式

设$E(X)=\mu$，$D(X)=\sigma^2$存在，则对任意$\varepsilon>0$，
$$P\{|X-\mu| \ge \varepsilon\} \le \frac{\sigma^2}{\varepsilon^2}$$
等价地，
$$P\{|X-\mu| < \varepsilon\} \ge 1 - \frac{\sigma^2}{\varepsilon^2}$$

---

### 7. 数字特征典型例题

**例**：设随机变量$X \sim N(\mu, \sigma^2)$，$Y \sim N(\mu, \sigma^2)$，且设X,Y相互独立，求$Z_1 = \alpha X + \beta Y$和$Z_2 = \alpha X - \beta Y$的相关系数（其中$\alpha, \beta$是不为零的常数）。

**解**：由于$X, Y \sim N(\mu, \sigma^2)$，可得
$$E(X) = E(Y) = \mu, \quad D(X) = D(Y) = \sigma^2$$

$Z_1$和$Z_2$的相关系数：
$$\rho_{Z_1Z_2} = \frac{E(Z_1Z_2) - E(Z_1) \cdot E(Z_2)}{\sqrt{D(Z_1)} \cdot \sqrt{D(Z_2)}}$$

由$E(Z_1) = E(\alpha X + \beta Y) = \alpha E(X) + \beta E(Y) = (\alpha + \beta)\mu$

$E(Z_2) = E(\alpha X - \beta Y) = \alpha E(X) - \beta E(Y) = (\alpha - \beta)\mu$

又$E(Z_1Z_2) = E[(\alpha X + \beta Y)(\alpha X - \beta Y)] = E(\alpha^2 X^2 - \beta^2 Y^2) = \alpha^2 E(X^2) - \beta^2 E(Y^2)$
$= (\alpha^2 - \beta^2)(\sigma^2 + \mu^2)$

$D(Z_1) = D(\alpha X + \beta Y) = \alpha^2 D(X) + \beta^2 D(Y) = (\alpha^2 + \beta^2)\sigma^2$

$D(Z_2) = D(\alpha X - \beta Y) = \alpha^2 D(X) + \beta^2 D(Y) = (\alpha^2 + \beta^2)\sigma^2$

于是
$$\rho_{Z_1Z_2} = \frac{(\alpha^2 - \beta^2)(\sigma^2 + \mu^2) - (\alpha + \beta)\mu(\alpha - \beta)\mu}{\sqrt{(\alpha^2 + \beta^2)\sigma^2} \cdot \sqrt{(\alpha^2 + \beta^2)\sigma^2}} = \frac{(\alpha^2 - \beta^2)\sigma^2}{(\alpha^2 + \beta^2)\sigma^2} = \frac{\alpha^2 - \beta^2}{\alpha^2 + \beta^2}$$

## 七、抽样分布

设 $X_1, X_2, ..., X_n$ 是来自总体的简单随机样本

样本均值：$\bar{X} = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}X_i$

样本方差：$S^2 = \frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^{n}(X_i - \bar{X})^2$

样本标准差：$S = \sqrt{S^2}$

常用结论（设总体$E(X)=\mu$，$D(X)=\sigma^2$）：
1. $E(X_i) = \mu$，$D(X_i) = \sigma^2$
2. $E(\bar{X}) = \mu$，$D(\bar{X}) = \frac{\sigma^2}{n}$
3. $E\left(\sum_{i=1}^{n}X_i\right) = n\mu$，$D\left(\sum_{i=1}^{n}X_i\right) = n\sigma^2$
4. $E(S^2) = \sigma^2$

---

### 0. 中心极限定理

设$X_1, X_2, ..., X_n$独立同分布，且$E(X_i)=\mu$，$D(X_i)=\sigma^2$，则当n充分大时，
$$\sum_{i=1}^{n}X_i \approx N(n\mu, n\sigma^2), \quad \bar{X} \approx N\left(\mu, \frac{\sigma^2}{n}\right)$$

**二项分布特例**：若$X \sim B(n,p)$且n充分大，则$X \approx N(np, np(1-p))$

---

### 1. χ²分布 (卡方分布)

**定义**：设 $X_1, X_2, ..., X_n$ 独立同分布于 N(0,1)，则
$$\chi^2 = \sum_{i=1}^{n}X_i^2 \sim \chi^2(n)$$

**期望与方差**：
- $E(\chi^2) = n$
- $D(\chi^2) = 2n$

**可加性**：$\chi_1^2(n_1) + \chi_2^2(n_2) \sim \chi^2(n_1+n_2)$（独立时）

**重要定理**：设总体 $X \sim N(\mu, \sigma^2)$
$$\frac{(n-1)S^2}{\sigma^2} = \frac{\sum_{i=1}^{n}(X_i-\bar{X})^2}{\sigma^2} \sim \chi^2(n-1)$$

---

### 2. t分布（学生t分布）

**定义**：设 $X \sim N(0,1)$，$Y \sim \chi^2(n)$，X与Y独立，则
$$t = \frac{X}{\sqrt{Y/n}} \sim t(n)$$

**性质**：
- 关于0对称
- n→∞ 时趋近于 N(0,1)
- 比正态分布"矮胖"（尾部更厚）

**重要定理**：设总体 $X \sim N(\mu, \sigma^2)$
$$\frac{\bar{X} - \mu}{S/\sqrt{n}} \sim t(n-1)$$

**应用**：总体方差未知时，对均值的推断

---

### 3. F分布

**定义**：设 $X \sim \chi^2(n_1)$，$Y \sim \chi^2(n_2)$，X与Y独立，则
$$F = \frac{X/n_1}{Y/n_2} \sim F(n_1, n_2)$$

**性质**：
- $\frac{1}{F(n_1,n_2)} \sim F(n_2, n_1)$
- $F_{1-\alpha}(n_1, n_2) = \frac{1}{F_\alpha(n_2, n_1)}$

**重要定理**：设两个正态总体 $X \sim N(\mu_1, \sigma_1^2)$，$Y \sim N(\mu_2, \sigma_2^2)$
$$\frac{S_1^2/\sigma_1^2}{S_2^2/\sigma_2^2} \sim F(n_1-1, n_2-1)$$

**应用**：两总体方差比的推断

---

### 4. 正态总体的抽样分布总结

设 $X \sim N(\mu, \sigma^2)$，$X_1, ..., X_n$ 为样本

| 条件 | 统计量 | 分布 |
|------|--------|------|
| σ²已知 | $\frac{\bar{X}-\mu}{\sigma/\sqrt{n}}$ | N(0,1) |
| σ²未知 | $\frac{\bar{X}-\mu}{S/\sqrt{n}}$ | t(n-1) |
| μ已知 | $\frac{\sum(X_i-\mu)^2}{\sigma^2}$ | χ²(n) |
| μ未知 | $\frac{(n-1)S^2}{\sigma^2}$ | χ²(n-1) |

---

### 5. **重点：单正态抽样分布（整体背熟）**

设 $X_1, X_2, \ldots, X_n$ 来自正态总体 $X \sim N(\mu, \sigma^2)$，则
1. $\bar{X} \sim N\left(\mu, \frac{\sigma^2}{n}\right)$
2. $\bar{X}$ 与 $S^2$ 相互独立
3. $\frac{(n-1)S^2}{\sigma^2} = \frac{\sum_{i=1}^{n}(X_i-\bar{X})^2}{\sigma^2} \sim \chi^2(n-1)$
4. $\frac{\sum_{i=1}^{n}(X_i-\mu)^2}{\sigma^2} \sim \chi^2(n)$
5. $\frac{\bar{X}-\mu}{S/\sqrt{n}} \sim t(n-1)$

## 八、题型判断指南：如何选择分布

### 第一步：判断离散还是连续

| 类型 | 特征 | 常见分布 |
|------|------|----------|
| **离散型** | 取值可列举（0,1,2,...） | 二项、泊松、几何、超几何 |
| **连续型** | 取值为区间 | 均匀、指数、正态 |

---

### 第二步：根据关键词选择分布

#### 离散型分布选择

```
问题类型判断流程：

1. 是否涉及"不放回抽样"且总体较小？
   → 是：超几何分布

2. 是否是"n次独立试验，成功k次"？
   → 是：二项分布 B(n,p)

3. 是否是"单位时间/空间内发生次数"或"稀有事件"？
   → 是：泊松分布 P(λ)

4. 是否是"首次成功所需次数"？
   → 是：几何分布 G(p)

5. 是否是"第r次成功所需次数"？
   → 是：负二项分布 NB(r,p)
```

#### 连续型分布选择

```
问题类型判断流程：

1. 是否"等可能"在某区间取值？
   → 是：均匀分布 U(a,b)

2. 是否涉及"寿命"、"等待时间"、"无记忆性"？
   → 是：指数分布 Exp(λ)

3. 是否涉及测量误差、大量因素叠加？
   → 是：正态分布 N(μ,σ²)
```

---

### 常见题型与对应分布

| 题型 | 分布 | 示例 |
|------|------|------|
| 投掷硬币/骰子n次 | 二项分布 | 掷10次骰子，6点出现3次 |
| 射击命中次数 | 二项分布 | 射击10次，命中8次 |
| 产品抽检（放回/大批量） | 二项分布 | 100件抽10件，次品数 |
| 产品抽检（不放回/小批量） | 超几何分布 | 10件抽4件，次品数 |
| 电话/顾客到达 | 泊松分布 | 每小时平均5个电话 |
| 事故/故障次数 | 泊松分布 | 每天平均2起事故 |
| 直到首次成功 | 几何分布 | 首次抽到红球 |
| 随机选点/等车 | 均匀分布 | 公交车每10分钟一班 |
| 元件寿命 | 指数分布 | 灯泡寿命 |
| 服务时间 | 指数分布 | 银行服务时间 |
| 身高体重成绩 | 正态分布 | 学生成绩分布 |
| 测量误差 | 正态分布 | 仪器测量误差 |

## 九、假设检验

### 1. 基本概念

原假设 $H_0$：需要检验的假设（通常是"无差异"、"等于"）

备择假设 $H_1$：与原假设对立的假设

两类错误：

| 错误类型 | 定义 | 概率 |
|----------|------|------|
| **第一类错误（弃真）** | H₀为真却拒绝H₀ | α（显著性水平） |
| **第二类错误（取伪）** | H₀为假却接受H₀ | β |

显著性水平 α：犯第一类错误的概率上限，常取 0.05 或 0.01

检验的基本思想：小概率事件原理——小概率事件在一次试验中几乎不会发生

显著性检验：给定样本量n，控制第一类错误的概率不大于α（称为显著性水平）。

---

### 2. 假设检验的步骤（五步法）

```
Step 1: 建立假设
        根据问题建立 H₀ 和 H₁

Step 2: 选择检验统计量
        根据问题类型和已知条件选择

Step 3: 确定拒绝域
        根据 α 和 H₁ 的形式确定临界值

Step 4: 计算统计量的值
        用样本数据计算检验统计量

Step 5: 做出判断
        统计量落入拒绝域 → 拒绝 H₀
        统计量不在拒绝域 → 不拒绝 H₀
```

---

### 3. 单个正态总体的检验

#### (1) 均值μ的检验（σ²已知）—— Z检验

**假设形式**：
- 双侧：$H_0: \mu = \mu_0$ vs $H_1: \mu \neq \mu_0$
- 左侧：$H_0: \mu \geq \mu_0$ vs $H_1: \mu < \mu_0$
- 右侧：$H_0: \mu \leq \mu_0$ vs $H_1: \mu > \mu_0$

**检验统计量**：
$$Z = \frac{\bar{X} - \mu_0}{\sigma/\sqrt{n}} \sim N(0,1)$$

**拒绝域**：

| 备择假设 | 拒绝域 |
|----------|--------|
| $\mu \neq \mu_0$ | $\|Z\| > z_{\alpha/2}$ |
| $\mu < \mu_0$ | $Z < -z_\alpha$ |
| $\mu > \mu_0$ | $Z > z_\alpha$ |

---

#### (2) 均值μ的检验（σ²未知）—— t检验

**检验统计量**：
$$t = \frac{\bar{X} - \mu_0}{S/\sqrt{n}} \sim t(n-1)$$

**拒绝域**：

| 备择假设 | 拒绝域 |
|----------|--------|
| $\mu \neq \mu_0$ | $\|t\| > t_{\alpha/2}(n-1)$ |
| $\mu < \mu_0$ | $t < -t_\alpha(n-1)$ |
| $\mu > \mu_0$ | $t > t_\alpha(n-1)$ |

均值检验分类速记（总体$X \sim N(\mu,\sigma^2)$）：
1. 双侧：$H_0:\mu=\mu_0$，拒绝域 $|U|>u_{\alpha/2}$（$\sigma^2$已知），或 $|T|>t_{\alpha/2}(n-1)$（$\sigma^2$未知）
2. 右侧：$H_0:\mu\le\mu_0$，拒绝域 $U>u_{\alpha}$ 或 $T>t_{\alpha}(n-1)$
3. 左侧：$H_0:\mu\ge\mu_0$，拒绝域 $U<-u_{\alpha}$ 或 $T<-t_{\alpha}(n-1)$

---

#### (3) 方差σ²的检验（μ未知）—— χ²检验

**假设**：$H_0: \sigma^2 = \sigma_0^2$ vs $H_1: \sigma^2 \neq \sigma_0^2$

**检验统计量**：
$$\chi^2 = \frac{(n-1)S^2}{\sigma_0^2} \sim \chi^2(n-1)$$

**拒绝域**：

| 备择假设 | 拒绝域 |
|----------|--------|
| $\sigma^2 \neq \sigma_0^2$ | $\chi^2 < \chi^2_{1-\alpha/2}(n-1)$ 或 $\chi^2 > \chi^2_{\alpha/2}(n-1)$ |
| $\sigma^2 < \sigma_0^2$ | $\chi^2 < \chi^2_{1-\alpha}(n-1)$ |
| $\sigma^2 > \sigma_0^2$ | $\chi^2 > \chi^2_\alpha(n-1)$ |

#### (4) 方差σ²的检验（μ已知/未知）—— χ²检验汇总

**假设**：
1. $H_0:\sigma^2=\sigma_0^2$，$H_1:\sigma^2\neq\sigma_0^2$
2. $H_0:\sigma^2\le\sigma_0^2$，$H_1:\sigma^2>\sigma_0^2$
3. $H_0:\sigma^2\ge\sigma_0^2$，$H_1:\sigma^2<\sigma_0^2$

**检验统计量**：
- μ已知：$\chi^2=\frac{\sum_{i=1}^{n}(X_i-\mu)^2}{\sigma_0^2} \sim \chi^2(n)$
- μ未知：$\chi^2=\frac{(n-1)S^2}{\sigma_0^2} \sim \chi^2(n-1)$

**拒绝域**：
- 双侧：$\chi^2>\chi^2_{\alpha/2}(\nu)$ 或 $\chi^2<\chi^2_{1-\alpha/2}(\nu)$
- 右侧：$\chi^2>\chi^2_{\alpha}(\nu)$
- 左侧：$\chi^2<\chi^2_{1-\alpha}(\nu)$
其中$\nu=n$（μ已知）或$\nu=n-1$（μ未知）。

---

### 4. 两个正态总体的检验

#### (1) 均值差的检验（σ₁², σ₂²已知）—— Z检验

**检验统计量**：
$$Z = \frac{\bar{X} - \bar{Y} - (\mu_1 - \mu_2)_0}{\sqrt{\frac{\sigma_1^2}{n_1} + \frac{\sigma_2^2}{n_2}}} \sim N(0,1)$$

---

#### (2) 均值差的检验（σ₁² = σ₂² = σ²未知）—— t检验

**检验统计量**：
$$t = \frac{\bar{X} - \bar{Y} - (\mu_1 - \mu_2)_0}{S_w\sqrt{\frac{1}{n_1} + \frac{1}{n_2}}} \sim t(n_1+n_2-2)$$

其中 $S_w^2 = \frac{(n_1-1)S_1^2 + (n_2-1)S_2^2}{n_1+n_2-2}$（合并方差）

---

#### (3) 方差比的检验 —— F检验

**假设**：$H_0: \sigma_1^2 = \sigma_2^2$ vs $H_1: \sigma_1^2 \neq \sigma_2^2$

**检验统计量**：
$$F = \frac{S_1^2}{S_2^2} \sim F(n_1-1, n_2-1)$$

**拒绝域**（双侧）：
$$F < F_{1-\alpha/2}(n_1-1, n_2-1) \quad 或 \quad F > F_{\alpha/2}(n_1-1, n_2-1)$$

---

### 5. 检验方法选择指南

```
检验方法选择流程图：

检验什么？
│
├─ 均值μ
│   ├─ σ²已知 → Z检验
│   └─ σ²未知 → t检验
│
├─ 方差σ²
│   └─ μ未知 → χ²检验
│
└─ 两总体比较
    ├─ 比较μ₁和μ₂
    │   ├─ σ₁², σ₂²已知 → Z检验
    │   └─ σ₁² = σ₂²未知 → t检验
    │
    └─ 比较σ₁²和σ₂² → F检验
```

---

### 6. 检验中的常见错误与注意事项

1. 假设的写法：
   - H₀ 通常包含等号
   - 题目问"是否显著大于"→ 右侧检验，H₁: μ > μ₀

2. 单侧 vs 双侧：
   - "是否等于"、"有无差异" → 双侧
   - "是否大于"、"是否提高" → 右侧
   - "是否小于"、"是否降低" → 左侧

3. 结论的表述：
   - 拒绝H₀：有充分理由认为...
   - 不拒绝H₀：没有充分理由认为...（不是"接受H₀"）

4. α的选择：
   - 没有特别说明通常取 α = 0.05
   - 若弃真错误后果严重，取较小的α（如0.01）

## 十、公式速查表

### 离散型分布速查表

| 分布 | 记号 | P(X=k) | E(X) | D(X) |
|------|------|--------|------|------|
| 0-1分布 | b(1,p) | $p^k(1-p)^{1-k}$ | p | p(1-p) |
| 二项分布 | B(n,p) | $C_n^k p^k(1-p)^{n-k}$ | np | np(1-p) |
| 泊松分布 | P(λ) | $\frac{\lambda^k e^{-\lambda}}{k!}$ | λ | λ |
| 几何分布 | G(p) | $(1-p)^{k-1}p$ | $\frac{1}{p}$ | $\frac{1-p}{p^2}$ |
| 超几何分布 | H(n,M,N) | $\frac{C_M^k C_{N-M}^{n-k}}{C_N^n}$ | $\frac{nM}{N}$ | 复杂 |

---

### 连续型分布速查表

| 分布 | 记号 | f(x) | E(X) | D(X) |
|------|------|------|------|------|
| 均匀分布 | U(a,b) | $\frac{1}{b-a}$ | $\frac{a+b}{2}$ | $\frac{(b-a)^2}{12}$ |
| 指数分布 | Exp(λ) | $\lambda e^{-\lambda x}$ | $\frac{1}{\lambda}$ | $\frac{1}{\lambda^2}$ |
| 正态分布 | N(μ,σ²) | $\frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma}e^{-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}}$ | μ | σ² |

---

### 抽样分布速查表

| 分布 | 定义 | E | D |
|------|------|---|---|
| χ²(n) | $\sum_{i=1}^n Z_i^2$ | n | 2n |
| t(n) | $\frac{Z}{\sqrt{\chi^2(n)/n}}$ | 0 (n>1) | $\frac{n}{n-2}$ (n>2) |
| F(m,n) | $\frac{\chi^2(m)/m}{\chi^2(n)/n}$ | $\frac{n}{n-2}$ (n>2) | 复杂 |

---

### 检验统计量速查表

| 检验内容 | 条件 | 统计量 | 分布 |
|----------|------|--------|------|
| 均值μ | σ²已知 | $Z=\frac{\bar{X}-\mu_0}{\sigma/\sqrt{n}}$ | N(0,1) |
| 均值μ | σ²未知 | $t=\frac{\bar{X}-\mu_0}{S/\sqrt{n}}$ | t(n-1) |
| 方差σ² | μ未知 | $\chi^2=\frac{(n-1)S^2}{\sigma_0^2}$ | χ²(n-1) |
| 两均值差 | σ₁²=σ₂²未知 | $t=\frac{\bar{X}-\bar{Y}}{S_w\sqrt{1/n_1+1/n_2}}$ | t(n₁+n₂-2) |
| 两方差比 | - | $F=\frac{S_1^2}{S_2^2}$ | F(n₁-1,n₂-1) |

---

### 置信区间速查表

| 参数 | 条件 | 置信区间 |
|------|------|----------|
| 均值μ | σ²已知 | $\bar{X} \pm z_{\alpha/2} \cdot \frac{\sigma}{\sqrt{n}}$ |
| 均值μ | σ²未知 | $\bar{X} \pm t_{\alpha/2}(n-1) \cdot \frac{S}{\sqrt{n}}$ |
| 方差σ² | μ未知 | $\left(\frac{(n-1)S^2}{\chi^2_{\alpha/2}(n-1)}, \frac{(n-1)S^2}{\chi^2_{1-\alpha/2}(n-1)}\right)$ |
| 两均值差 | σ₁²,σ₂²已知 | $\bar{X} - \bar{Y} \pm z_{\alpha/2} \sqrt{\frac{\sigma_1^2}{n_1} + \frac{\sigma_2^2}{n_2}}$ |
| 两均值差 | σ₁²=σ₂²未知 | $\bar{X} - \bar{Y} \pm t_{\alpha/2}(n_1+n_2-2) \cdot S_w \sqrt{\frac{1}{n_1} + \frac{1}{n_2}}$ |
| 方差比 | - | $\left(\frac{S_1^2}{S_2^2} \cdot \frac{1}{F_{\alpha/2}(n_1-1,n_2-1)}, \frac{S_1^2}{S_2^2} \cdot \frac{1}{F_{1-\alpha/2}(n_1-1,n_2-1)}\right)$ |
| 比例p | 大样本 | $\hat{p} \pm z_{\alpha/2} \sqrt{\frac{\hat{p}(1-\hat{p})}{n}}$ |

---

### 常用分位点表

#### 标准正态分布分位点 $z_\alpha$

| α | 0.10 | 0.05 | 0.025 | 0.01 | 0.005 |
|---|------|------|-------|------|-------|
| $z_\alpha$ | 1.282 | 1.645 | 1.960 | 2.326 | 2.576 |

#### t分布分位点 $t_\alpha(n)$（部分）

| n | t₀.₀₅ | t₀.₀₂₅ | t₀.₀₁ |
|---|-------|--------|-------|
| 5 | 2.015 | 2.571 | 3.365 |
| 10 | 1.812 | 2.228 | 2.764 |
| 20 | 1.725 | 2.086 | 2.528 |
| 30 | 1.697 | 2.042 | 2.457 |
| ∞ | 1.645 | 1.960 | 2.326 |

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### 复习建议

1. 熟记各分布的期望和方差公式
2. 掌握题型关键词，快速判断使用哪个分布
3. 检验部分重点掌握五步法和统计量选择
4. 多做练习，熟悉计算流程

## 十一、置信区间

### 1. 基本概念

置信区间：是在给定置信水平下，包含未知总体参数的一个区间估计。

置信水平（置信度）：是我们对所构造的置信区间包含总体参数真值的可信程度，常用1-α表示，如95%或99%。

置信上限与置信下限：置信区间的两个端点，分别称为置信下限和置信上限。

### 2. 构造置信区间的基本原理

置信区间的基本思想来源于统计量的抽样分布。对于参数θ的估计，我们找到一个包含θ的随机区间$[\hat{\theta}_L, \hat{\theta}_U]$，使得：

$$P(\hat{\theta}_L \leq \theta \leq \hat{\theta}_U) = 1-\alpha$$

其中1-α为置信水平，α为显著性水平。

### 3. 单个正态总体参数的置信区间

#### (1) 总体均值μ的置信区间（方差σ²已知）

使用标准正态分布：

$$\bar{X} \pm z_{\alpha/2} \cdot \frac{\sigma}{\sqrt{n}}$$

其中：
- $\bar{X}$：样本均值
- $z_{\alpha/2}$：标准正态分布的上α/2分位点
- σ：总体标准差
- n：样本容量

#### (2) 总体均值μ的置信区间（方差σ²未知）

使用t分布：

$$\bar{X} \pm t_{\alpha/2}(n-1) \cdot \frac{S}{\sqrt{n}}$$

其中：
- $t_{\alpha/2}(n-1)$：自由度为n-1的t分布上α/2分位点
- S：样本标准差

#### (3) 总体方差σ²的置信区间

使用χ²分布：

**μ未知**：
$$\left(\frac{(n-1)S^2}{\chi^2_{\alpha/2}(n-1)}, \frac{(n-1)S^2}{\chi^2_{1-\alpha/2}(n-1)}\right)$$

**μ已知**：
$$\left(\frac{\sum_{i=1}^{n}(X_i-\mu)^2}{\chi^2_{\alpha/2}(n)}, \frac{\sum_{i=1}^{n}(X_i-\mu)^2}{\chi^2_{1-\alpha/2}(n)}\right)$$

其中：
- $\chi^2_{\alpha/2}(n-1)$和$\chi^2_{1-\alpha/2}(n-1)$分别是自由度为n-1的χ²分布上α/2和1-α/2分位点

### 4. 两个正态总体参数的置信区间

#### (1) 两个总体均值差μ₁-μ₂的置信区间（方差已知）

$$\bar{X} - \bar{Y} \pm z_{\alpha/2} \sqrt{\frac{\sigma_1^2}{n_1} + \frac{\sigma_2^2}{n_2}}$$

#### (2) 两个总体均值差μ₁-μ₂的置信区间（方差未知但相等）

$$\bar{X} - \bar{Y} \pm t_{\alpha/2}(n_1+n_2-2) \cdot S_w \sqrt{\frac{1}{n_1} + \frac{1}{n_2}}$$

其中合并标准差 $S_w = \sqrt{\frac{(n_1-1)S_1^2 + (n_2-1)S_2^2}{n_1+n_2-2}}$

#### (3) 两个总体方差比σ₁²/σ₂²的置信区间

使用F分布：

$$\left(\frac{S_1^2}{S_2^2} \cdot \frac{1}{F_{\alpha/2}(n_1-1,n_2-1)}, \frac{S_1^2}{S_2^2} \cdot \frac{1}{F_{1-\alpha/2}(n_1-1,n_2-1)}\right)$$

### 5. 总体比例p的置信区间（大样本）

对于大样本，可用正态近似：

$$\hat{p} \pm z_{\alpha/2} \sqrt{\frac{\hat{p}(1-\hat{p})}{n}}$$

其中$\hat{p} = \frac{x}{n}$是样本比例。

### 6. 常用置信水平与分位点对应关系

#### 标准正态分布分位点 $z_{\alpha/2}$
| 置信水平1-α | α | α/2 | $z_{\alpha/2}$ |
|------------|---|-----|----------------|
| 90%       | 0.10 | 0.05 | 1.645         |
| 95%       | 0.05 | 0.025 | 1.960        |
| 99%       | 0.01 | 0.005 | 2.576        |

#### 上分位点记号

- 若$U \sim N(0,1)$，则$P\{U > u_\alpha\}=\alpha$
- 若$T \sim t(n)$，则$P\{T > t_\alpha(n)\}=\alpha$

#### t分布分位点示例 $t_{\alpha/2}(n-1)$
| 自由度 | t₀.₀₂₅ | t₀.₀₀₅ |
|--------|--------|--------|
| 5      | 2.571  | 4.032  |
| 10     | 2.228  | 3.169  |
| 20     | 2.086  | 2.845  |
| 30     | 2.042  | 2.750  |
| ∞      | 1.960  | 2.576  |

### 7. 置信区间的解释

需要注意置信区间的正确解释：
- 置信水平1-α是指构造置信区间的可靠程度
- 不是对参数θ落在具体区间$[a,b]$内的概率
- 对于已经得到的具体区间$[a,b]$，参数要么在这个区间内，要么不在

### 8. 影响置信区间宽度的因素

1. 置信水平1-α：置信水平越高，区间越宽
2. 样本容量n：样本越大，区间越窄
3. 总体变异程度σ：变异越大，区间越宽
4. 数据精度：测量误差会影响区间宽度

### 9. 置信区间与假设检验的关系

置信区间和假设检验是统计推断的两种基本方法，它们之间存在密切联系：

1. 在显著性水平α下，检验假设H₀: θ=θ₀的接受域就是θ₀的1-α置信区间
2. 如果假设检验拒绝原假设，则在相应的置信区间中不包含该假设值

## 十二、最大似然估计

### 1. 基本概念

#### 点估计与矩估计（补充）

点估计：设总体分布$F(x;\theta)$中$\theta$为待估参数，构造统计量$\hat{\theta}(X_1,\ldots,X_n)$，称为$\theta$的估计量；观测值$\hat{\theta}(x_1,\ldots,x_n)$称为$\theta$的估计值。

矩：
- k阶原点矩：$E(X^k)$；样本k阶原点矩：$\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n X_i^k$
- k阶中心矩：$E[(X-EX)^k]$；样本k阶中心矩：$\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n (X_i-\bar{X})^k$

矩估计（方法）：令“样本矩 = 总体矩”，解出参数。
例如：令$\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n X_i = E(X)$，得到$\bar{X} = E(X)$，再解出$\theta = \hat{\theta}(X_1,\ldots,X_n)$。

#### 常见分布的矩估计与最大似然估计（速记）

| 分布 | 矩估计 | 最大似然估计 |
|---|---|---|
| 0-1分布 $b(1,p)$ | $\hat{p}=\bar{X}$ | $\hat{p}=\bar{X}$ |
| 二项分布 $B(n,p)$（n已知） | $\hat{p}=\frac{\bar{X}}{n}$ | $\hat{p}=\frac{\bar{X}}{n}$ |
| 泊松分布 $P(\lambda)$ | $\hat{\lambda}=\bar{X}$ | $\hat{\lambda}=\bar{X}$ |
| 均匀分布 $U(a,b)$ | $\hat{a}=\bar{X}-\sqrt{\frac{3}{n}\sum_{i=1}^{n}(X_i-\bar{X})^2}$，$\hat{b}=\bar{X}+\sqrt{\frac{3}{n}\sum_{i=1}^{n}(X_i-\bar{X})^2}$ | $\hat{a}=\min\{X_1,\ldots,X_n\}$，$\hat{b}=\max\{X_1,\ldots,X_n\}$ |
| 指数分布 $E(\lambda)$ | $\hat{\lambda}=\frac{1}{\bar{X}}$ | $\hat{\lambda}=\frac{1}{\bar{X}}$ |

#### 无偏性（补充）

无偏估计量：若$E(\hat{\theta})=\theta$，则称$\hat{\theta}$为$\theta$的无偏估计量。

常用结论（设总体$E(X)=\mu$，$D(X)=\sigma^2$，$X_1,\ldots,X_n$为样本）：
1. $E(X_i)=\mu$，$D(X_i)=\sigma^2$
2. $E(\bar{X})=\mu$，$D(\bar{X})=\frac{\sigma^2}{n}$
3. $E(S^2)=\sigma^2$

例：若总体$X \sim N(\mu,\sigma^2)$，则$T=\bar{X}^2-\frac{S^2}{n}$为$\mu^2$的无偏估计量。

最大似然估计（Maximum Likelihood Estimation, MLE）：是一种常用的参数估计方法，基于已观测到的数据来估计统计模型中未知参数的值。其基本思想是寻找使观测数据出现概率最大的参数值。

似然函数：设总体X的概率分布（或密度函数）为f(x;θ)，其中θ是未知参数。给定样本观测值x₁,x₂,...,xₙ，视为参数θ的函数：
$$L(\theta) = L(\theta; x_1, x_2, ..., x_n) = \prod_{i=1}^{n} f(x_i; \theta)$$

这就是似然函数。

### 2. 最大似然估计的求解步骤

1. 写出似然函数：
   $$L(\theta) = \prod_{i=1}^{n} f(x_i; \theta)$$

2. 取对数得到对数似然函数（便于计算）：
   $$\ln L(\theta) = \sum_{i=1}^{n} \ln f(x_i; \theta)$$

3. 对参数θ求导并令导数等于零：
   $$\frac{d\ln L(\theta)}{d\theta} = 0$$

4. 解方程得到最大似然估计值 $\hat{\theta}$

注：有时还需验证二阶导数小于零以确认极大值。

### 3. 常见分布的最大似然估计

#### (1) 正态分布 $N(\mu, \sigma^2)$

样本：$X_1, X_2, ..., X_n$ 独立同分布于 $N(\mu, \sigma^2)$

似然函数：
$$L(\mu, \sigma^2) = \prod_{i=1}^{n} \frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma} e^{-\frac{(x_i-\mu)^2}{2\sigma^2}}$$

对数似然函数：
$$\ln L(\mu, \sigma^2) = -\frac{n}{2}\ln(2\pi) - \frac{n}{2}\ln\sigma^2 - \frac{1}{2\sigma^2}\sum_{i=1}^{n}(x_i-\mu)^2$$

解得最大似然估计：
- $\hat{\mu} = \bar{X} = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n} X_i$（样本均值）
- $\hat{\sigma}^2 = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n} (X_i - \bar{X})^2$（样本方差，注意这里是除以n而非n-1）

#### (2) 泊松分布 $P(\lambda)$

样本：$X_1, X_2, ..., X_n$ 独立同分布于 $P(\lambda)$

似然函数：
$$L(\lambda) = \prod_{i=1}^{n} \frac{\lambda^{x_i} e^{-\lambda}}{x_i!}$$

对数似然函数：
$$\ln L(\lambda) = \sum_{i=1}^{n} (x_i \ln\lambda - \lambda - \ln(x_i!))$$

解得最大似然估计：
$$\hat{\lambda} = \bar{X}$$

#### (3) 指数分布 $Exp(\lambda)$

样本：$X_1, X_2, ..., X_n$ 独立同分布于 $Exp(\lambda)$

概率密度函数：$f(x;\lambda) = \lambda e^{-\lambda x}$，x > 0

似然函数：
$$L(\lambda) = \prod_{i=1}^{n} \lambda e^{-\lambda x_i} = \lambda^n e^{-\lambda \sum_{i=1}^{n} x_i}$$

对数似然函数：
$$\ln L(\lambda) = n\ln\lambda - \lambda \sum_{i=1}^{n} x_i$$

解得最大似然估计：
$$\hat{\lambda} = \frac{1}{\bar{X}}$$

#### (4) 伯努利分布 $B(1,p)$

样本：$X_1, X_2, ..., X_n$ 独立同分布于 $B(1,p)$

似然函数：
$$L(p) = \prod_{i=1}^{n} p^{x_i}(1-p)^{1-x_i} = p^{\sum x_i}(1-p)^{n-\sum x_i}$$

对数似然函数：
$$\ln L(p) = \sum x_i \ln p + (n-\sum x_i)\ln(1-p)$$

解得最大似然估计：
$$\hat{p} = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n} x_i = \bar{X}$$

### 4. 最大似然估计的性质

#### (1) 渐近性质（大样本性质）
1. 一致性：当样本容量n→∞时，$\hat{\theta}_{MLE} \xrightarrow{P} \theta_0$（依概率收敛到真值）
2. 渐近正态性：$\sqrt{n}(\hat{\theta}_{MLE} - \theta_0) \xrightarrow{d} N(0, I^{-1}(\theta_0))$
3. 渐近有效性：在一定条件下达到Cramér-Rao下界

#### (2) 不变性
若$\hat{\theta}$是θ的最大似然估计，则对于可逆函数g(θ)，$g(\hat{\theta})$是g(θ)的最大似然估计。

#### (3) 充分性
在一定正则条件下，最大似然估计是充分统计量的函数。

### 5. 最大似然估计的优点

1. 直观性强：原理易于理解和接受
2. 广泛应用：适合各种分布族 and 复杂模型
3. 大样本优良性：具有一致性和渐近正态性
4. 不变性：参数变换下的良好性质
5. 可扩展性强：容易推广到多参数情况

### 6. 最大似然估计的缺点

1. 需要分布假设：必须明确给出总体分布形式
2. 小样本偏差：小样本情况下可能存在偏倚
3. 数值计算复杂：有时需要迭代算法才能求解
4. 可能不存在：某些情况下最大值不存在
5. 可能不唯一：极值点可能不止一个

### 7. 最大似然估计的应用场景

1. 参数估计的一般方法
2. 回归分析中参数估计
3. 时间序列分析中参数估计
4. 机器学习算法中参数优化（如逻辑回归）
5. 生物统计和医学研究
6. 经济和金融数据分析

### 8. 实际应用中的注意事项

1. 检查正则条件：确保能够应用MLE的标准理论结果
2. 处理边界解问题：参数应在参数空间内部取值
3. 考虑数值稳定性：避免计算过程中出现溢出等问题
4. 评估估计精度：计算标准误差和置信区间
5. 进行模型诊断：验证模型假设是否合理

### 9. 与其他估计方法的比较

#### 与矩估计比较：
- 矩估计：简单但效率较低，利用的是样本矩
- 最大似然估计：较复杂但具有更好的大样本性质

#### 与贝叶斯估计比较：
- 频率学派观点：参数是固定的未知数
- 贝叶斯学派观点：参数是随机变量，有先验分布

### 10. 计算示例

#### 示例：正态分布参数的最大似然估计
设样本：5, 7, 9, 3, 6

1. 计算样本均值：$\bar{X} = \frac{5+7+9+3+6}{5} = 6$
2. 计算样本方差：$S^2 = \frac{(5-6)^2+(7-6)^2+(9-6)^2+(3-6)^2+(6-6)^2}{5} = \frac{1+1+9+9+0}{5} = 4$

因此：$\hat{\mu} = 6$，$\hat{\sigma}^2 = 4$

#### 示例：伯努利分布参数的最大似然估计
设10次抛硬币试验中有7次正面：1,1,0,1,1,1,0,1,1,1

$\hat{p} = \frac{7}{10} = 0.7$

## 总结

最大似然估计是一种强大而灵活的参数估计方法，在现代统计学和数据分析中应用极其广泛。掌握其原理和应用，对于深入理解统计推断方法具有重要意义。