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title: 数学分析笔记
date: 2025-01-20 14:00:00
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# 数学分析笔记


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## 完整笔记

**Copyright © 2024 Simon**

## 第一章 序章

* 暂无

## 第二章 函数

* 反函数

### 三角函数和反函数

**倒数关系：**

$$
\cos\theta \cdot \sec\theta = 1
$$

$$
\sin\theta \cdot \csc\theta = 1
$$

$$
\tan\theta \cdot \cot\theta = 1
$$

**商数关系：**

$$
\tan\theta = \frac{\sin\theta}{\cos\theta}
$$

$$
\cot\theta = \frac{\cos\theta}{\sin\theta}
$$

**平方关系：**

$$
\sin^{2}\theta + \cos^{2}\theta = 1
$$

$$
1 + \tan^{2}\theta = \sec^{2}\theta
$$

$$
1 + \cot^{2}\theta = \csc^{2}\theta
$$

**积化和差公式：**

$$
sin\alpha\cos\beta=\frac{1}{2}[\ \sin(\alpha + \beta)+\sin(\alpha-\beta)]
$$

$$
cos\alpha\sin\beta=\frac{1}{2}[\ \sin(\alpha + \beta)-\sin(\alpha-\beta)]
$$

$$
cos\alpha\cos\beta=\frac{1}{2}[\ \cos(\alpha + \beta)+\cos(\alpha-\beta)]
$$

$$
sin\alpha\sin\beta=-\frac{1}{2}[\ \cos(\alpha + \beta)-\cos(\alpha-\beta)]
$$

**和差化积：**

1. **正弦函数的和差化积公式：**
   
   $$
   sin\alpha+\sin\beta = 2\sin\frac{\alpha + \beta}{2}\cos\frac{\alpha-\beta}{2}
   $$
   
   $$
   sin\alpha-\sin\beta = 2\cos\frac{\alpha + \beta}{2}\sin\frac{\alpha-\beta}{2}
   $$
2. **余弦函数的和差化积公式：**
   
   $$
   cos\alpha+\cos\beta = 2\cos\frac{\alpha + \beta}{2}\cos\frac{\alpha-\beta}{2}
   $$
   
   $$
   cos\alpha-\cos\beta=2\sin\frac{\alpha + \beta}{2}\sin\frac{\alpha-\beta}{2}
   $$

#### 三角函数

* **余切函数**：
  定义：
  
  $$
  \cot\theta = \frac{\cos\theta}{\sin\theta}
  $$
  
  在直角三角形中
  
  $$
  \cot\theta = \frac{邻边}{对边}
  $$
  
  值域：$R$，定义域：$\theta \neq k\pi, k \in Z$
* **正割函数**：
  定义：
  
  $$
  \sec\theta = \frac{1}{\cos\theta}
  $$
  
  值域：$(-\infty, 1]\cup[1,\infty)$，定义域：$\displaystyle \theta \neq k\pi + \frac{\pi}{2}, k \in Z$。
* **余割函数**：
  定义：
  
  $$
  \csc\theta = \frac{1}{\sin\theta}
  $$
  
  值域：$(-\infty, 1]\cup[1,\infty)$，定义域：$\theta \neq k\pi, k \in Z$。

#### 反三角函数

1. **反正弦函数**：
   符号：
   
   $$
   y = \arcsin x
   $$
   
   定义域：$[-1,1]$，值域：$\displaystyle\left[-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right]$
   性质：
   
   $$
   \sin(\arcsin x) = x, x \in [1,1]
   $$
   
   $$
   \arcsin(\sin y) = y, y \in \left[-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right]
   $$
2. **反余弦函数**：
   符号：
   
   $$
   y = \arccos x
   $$
   
   定义域：$[-1,1]$，值域：$[0,\pi]$
   性质：
   
   $$
   \cos(\arccos x) = x, x \in [-1,1]
   $$
   
   $$
   \arccos(\cos y) = y, y \in [0,\pi]
   $$
3. **反正切函数**：
   符号：
   
   $$
   y = \arctan x
   $$
   
   定义域：$R$，值域：$\left(-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right)$
   性质：
   
   $$
   \tan(\arctan x) = x, x \in R
   $$
   
   $$
   \arctan(\tan y) = y, y \in \left(-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right)
   $$
4. **反余切函数**：
   符号：
   
   $$
   y = \text{arccot} x
   $$
   
   定义域：$R$，值域：$(0,\pi)$
   性质：
   
   $$
   \cot(\text{arccot} x) = x, x \in R
   $$
   
   $$
   \text{arccot}(\cot y) = y, y \in (0,\pi)
   $$

## 第三章 极限

### 数列的极限

#### 数列极限的$\varepsilon - N$语言证明

1. **定义**
   数列$\{a_{n}\}$极限是$A$（记为$\lim_{n\rightarrow\infty}a_{n}=A$）的$\varepsilon - N$定义：对于任意给定的正数$\varepsilon\gt0$，存在正整数$N$，使得当$n > N$时，$\vert a_{n}-A\vert\lt\varepsilon$成立。
2. **证明步骤**
   - **步骤一：给定$\varepsilon\gt0$**
   - **步骤二：寻找$N$**
     
     - 通过分析$\vert a_{n}-A\vert\lt\varepsilon$，对$a_{n}$表达式变形来确定与$\varepsilon$有关的正整数$N$。
     - 例如，对于数列$\displaystyle a_{n}=\frac{1}{n}$证明$\displaystyle\lim_{n\rightarrow\infty}a_{n}=0$，由$\displaystyle\vert a_{n}-0\vert=\vert\frac{1}{n}-0\vert=\frac{1}{n}$，要使$\displaystyle \frac{1}{n}\lt\varepsilon$，得$\displaystyle n>\frac{1}{\varepsilon}$，可取$\displaystyle N = [\frac{1}{\varepsilon}]+1$（$[x]$表示不超过 $x$ 的最大整数）。
   - **步骤三：验证$n > N$时$\vert a_{n}-A\vert\lt\varepsilon$成立**
     
     - 仍以上例说明，当$\displaystyle n > N = [\frac{1}{\varepsilon}]+1$时，$n>\frac{1}{\varepsilon}$，则$\displaystyle \frac{1}{n}\lt\varepsilon$，即$\displaystyle \vert a_{n}-0\vert\lt\varepsilon$，证得$\displaystyle \lim_{n\rightarrow\infty}\frac{1}{n}=0$。

#### 利用夹迫性证明数列极限

1. **夹迫性定理**
   若存在三个数列$\{a_{n}\}$，$\{b_{n}\}$，$\{c_{n}\}$，满足当$n$足够大（比如$n > N_{0}$，$N_{0}$为某个正整数）时，$a_{n}\leq b_{n}\leq c_{n}$，且$\lim_{n\rightarrow\infty}a_{n}=\lim_{n\rightarrow\infty}c_{n}=A$，那么$\lim_{n\rightarrow\infty}b_{n}=A$。

### 函数的极限

1. **当$x\to0$时**
   - **$x$与$\sin x$是等价无穷小**：
     - 根据等价无穷小的定义，
       $$
       \lim_{x \to 0}\frac{\sin x}{x}=1
       $$
   - **$x$与$\tan x$是等价无穷小**：
     - 同样有
       $$
       \lim_{x \to 0}\frac{\tan x}{x}=1
       $$
   - **$1 - \cos x$与$\frac{1}{2}x^{2}$是高阶等价无穷小**：
     - 由
       $$
       \lim_{x \to 0}\frac{1 - \cos x}{\frac{1}{2}x^{2}} = 1
       $$

- 补充：
- $$
  x-\sin x\sim\frac{1}{6}x^{3}
  $$

1. **当$x\to+\infty$时**
   - **$\ln x$与$\sqrt{x}$的关系**：
     - 对于任意正整数$n$，
       $$
       \lim_{x \to +\infty}\frac{\ln x}{x^{n}} = 0
       $$
   - **$x^{n}$与$e^{x}$（$n$为常数）**：
     - 对于任意常数$n$，
       $$
       \lim_{x \to +\infty}\frac{x^{n}}{e^{x}} = 0
       $$

* 当$x\to0$时

$$
\arctan{x}\to\sin{x}\to x\to \arcsin{x}\to \tan{x} \ \ \ \ \ \  {他们相差}\ \  \frac{x^3}{6}
$$

***重点：！！！！！（如果考试要用的话就要用泰勒展开写出来）***

### 函数连续性

暂无

### 无限小量和无限大量

暂无

## 第四章 微分和微商

### 各种函数的导数

1. $(kx)' = k$
2. $(x^n)' = nx^{n - 1}$
3. $(a^x)' = a^x \ln a$
4. $(e^x)' = e^x$
5. $(\log_a x)' = \frac{1}{x \ln a}$
6. $(\ln x)' = \frac{1}{x}$
7. $(\sin x)' = \cos x$
8. $(\cos x)' = - \sin x$

*以下是重点*

**9. $(\tan x)' = \sec^2 x$**

**10. $(\cot x)' = - \csc^2 x$**

**11. $(\sec x)' = \sec x \tan x$**

**12. $(\csc x)' = - \csc x \cot x$**

**13. $\displaystyle( \arcsin x)' = \frac{1}{\sqrt{1 - x^2}}$**

**14. $\displaystyle( \arccos x)' = - \frac{1}{\sqrt{1 - x^2}}$**

**15. $\displaystyle( \arctan x)' = \frac{1}{1 + x^2}$**

**16. $\displaystyle( \text{arccot} x)' = - \frac{1}{1 + x^2}$**

1. **双曲正弦函数（sinh x）**
   - 定义：$\displaystyle\sinh x=\frac{e^{x}-e^{-x}}{2}$
   - 导数：$\displaystyle(\sinh x)'=\cosh x$
2. **双曲余弦函数（cosh x）**
   - 定义：$\displaystyle\cosh x=\frac{e^{x}+e^{-x}}{2}$
   - 导数：$\displaystyle(\cosh x)'=\sinh x$

### 莱布尼兹公式

#### 公式表述

若函数$u(x)$和$v(x)$都有$n$阶导数，则

$$
(uv)^{(n)}=\sum_{k = 0}^{n}C_{n}^{k}u^{(n - k)}v^{(k)}
$$

其中：

- $\displaystyle C_{n}^{k}=\frac{n!}{k!(n - k)!}$是二项式系数
- $\displaystyle u^{(n-k)}$表示$u$的$(n - k)$阶导数，当$n-k = 0$时，$u^{(0)}=u$
- $\displaystyle v^{(k)}$表示$v$的$k$阶导数，当$k = 0$时，$v^{(0)}=v$

> **应用举例**
> 求$y=x^{2}e^{x}$的$n$阶导数。
> 令$u = x^{2}$，$v=e^{x}$
> $u' = 2x$，$u''=2$，$u^{(k)}=0$ for $k>2$
> $v^{(k)}=e^{x}$ for all $k\geqslant0$
> 根据莱布尼兹公式$(x^{2}e^{x})^{(n)}=C_{n}^{0}x^{2}e^{x}+C_{n}^{1}(2x)e^{x}+C_{n}^{2}(2)e^{x}$
> 即$(x^{2}e^{x})^{(n)}=(x^{2}+2nx + n(n - 1))e^{x}$

## 第五章 中值定理

### 拉格朗日中值定理

**定理内容**

- 若函数$y = f(x)$满足：
  - 在闭区间$[a,b]$上连续；
  - 在开区间$(a,b)$内可导。
- 那么在$(a,b)$内至少存在一点$\xi$，使得
- $$
  f(b)-f(a)=f^{\prime}(\xi)(b - a)
  $$

> **应用举例**
> 例如，证明不等式$\displaystyle \frac{b - a}{1 + b^{2}}<\arctan b-\arctan a<\frac{b - a}{1 + a^{2}}$，其中$a < b$。
> 设$f(x)=\arctan x$，$f(x)$在$[a,b]$上连续，在$(a,b)$内可导，且$\displaystyle f^{\prime}(x)=\frac{1}{1 + x^{2}}$。
> 根据拉格朗日中值定理，存在$\xi\in(a,b)$，使得$\displaystyle \arctan b-\arctan a=\frac{1}{1+\xi^{2}}(b - a)$。
> 因为$\displaystyle \frac{1}{1 + b^{2}}<\frac{1}{1+\xi^{2}}<\frac{1}{1 + a^{2}}$
> 所以$\displaystyle \frac{b - a}{1 + b^{2}}<\arctan b-\arctan a<\frac{b - a}{1 + a^{2}}$。

### 洛必达

没什么好说的

### 函数的极限

1. **函数极限存在的第一充分条件**
   
   - **内容**：设函数$f(x)$在$x_0$的某去心邻域$\dot{U}(x_0,\delta)$内有定义。
     - 若当$x \in (x_0 - \delta,x_0)$时，$f(x)$单调递增且有上界，当$x\in(x_0,x_0+\delta)$时，$f(x)$单调递减且有下界，则$\lim_{x \to x_0}f(x)$存在。
     - 反之，若当$x\in(x_0 - \delta,x_0)$时，$f(x)$单调递减且有下界，当$x\in(x_0,x_0+\delta)$时，$f(x)$单调递增且有上界，则$\lim_{x \to x_0}f(x)$存在。
2. **函数极限存在的第二充分条件（重点看这个）**
   
   - **内容**：设函数$y = f(x)$在点$x_0$处具有二阶导数且$f^{\prime}(x_0)=0$，$f^{\prime\prime}(x_0)\neq0$。
     - 若$f^{\prime\prime}(x_0)>0$，则函数$y = f(x)$在$x = x_0$处取得极小值；
     - 若$f^{\prime\prime}(x_0)<0$，则函数$y = f(x$在$x = x_0$处取得极大值。

### 函数凹凸性

**利用二阶导数判定**
设函数$y = f(x)$在区间$I$内具有二阶导数。
如果$f^{\prime\prime}(x)>0$，$x\in I$，那么函数$y = f(x)$在区间$I$上是凹的。
如果$f^{\prime\prime}(x)<0$，$x\in I$，那么函数$y = f(x)$在区间$I$上是凸的。

**定义5.2**
设$f(x)$在$(a,b)$有定义。若对任意$x_1$，$x_2\in(a,b)$和任意$\lambda\in(0,1)$，有

$$
f(\lambda x_1+(1 - \lambda)x_2)\leq\lambda f(x_1)+(1 - \lambda)f(x_2)
$$

则称$f(x)$在$(a,b)$为下凸函数；若对任意$x_1$，$x_2\in(a,b)$和任意$\lambda\in(0,1)$，有

$$
f(\lambda x_1+(1 - \lambda)x_2)\geq\lambda f(x_1)+(1 - \lambda)f(x_2)
$$

则称$f(x)$在$(a,b)$为上凸函数。

### 函数拐点

**判定方法**

- **二阶导数法**
  - 一般地，若函数$y = f(x)$在点$x_0$处二阶可导，且在$x_0$的某邻域内二阶导数$f^{\prime\prime}(x)$变号（即函数的凹凸性发生改变），同时$f^{\prime\prime}(x_0) = 0$，那么点$(x_0,f(x_0))$是函数$y = f(x)$的一个拐点。

> **二阶导数不存在的点也可能是拐点**

## 第六章&第七章&第八章 积分

* 常见积分公式

## 不定积分基本公式

$$
\int kdx = kx + c
$$

$$
\int x^{n}dx = \frac{x^{n + 1}}{n + 1}+c
$$

$$
\int e^{x}dx = e^{x}+c
$$

$$
\int a^{x}dx = \frac{a^{x}}{\ln a}+c
$$

$$
\int \frac{1}{x}dx = \ln |x|+c
$$

$$
\int \sin xdx = -\cos x + c
$$

$$
\int \cos xdx = \sin x + c
$$

$$
\int \tan xdx = -\ln |\cos x|+c
$$

$$
\int \cot xdx = \ln |\sin x|+c
$$

$$
\int \csc xdx = \ln |\csc x - \cot x|+c
$$

$$
\int \sec xdx = \ln |\sec x + \tan x|+c
$$

$$
\int x^{2}dx = \frac{1}{3}x^{3}+c
$$

$$
\int \frac{1}{x^{2}}dx = -\frac{1}{x}+c
$$

$$
\int \frac{1}{\sin x}dx = \int \csc^{2}xdx = -\cot x + c
$$

$$
\int \frac{1}{\cos^{2}x}dx = \int \sec^{2}xdx = \tan x + c
$$

$$
\int \frac{1}{1 + x^{2}}dx = \arctan x + c
$$

$$
\int \frac{1}{\sqrt{1 - x^{2}}}dx = \arcsin x + c
$$

$$
\int \sec x\tan xdx = \sec x + c
$$

$$
\int \csc x\cot xdx = -\csc x + c
$$

$$
\int \frac{dx}{a^{2}+x^{2}}=\frac{1}{a}\arctan\frac{x}{a}+c
$$

$$
\int \frac{dx}{x^{2}-a^{2}}=\frac{1}{2a}\ln|\frac{x - a}{x + a}|+c
$$

$$
\int \frac{dx}{\sqrt{a^{2}-x^{2}}}=\arcsin\frac{x}{a}+c
$$

$$
\int \frac{dx}{\sqrt{x^{2}+a^{2}}}=\ln|x+\sqrt{x^{2}+a^{2}}|+c
$$

$$
\int \frac{dx}{\sqrt{x^{2}-a^{2}}}=\ln|x+\sqrt{x^{2}-a^{2}}|+c
$$

$$
\int \frac{x^{2}}{1 + x^{2}}dx=\frac{1}{2}\ln(1 + x^{2})+c
$$

$$
\int \frac{1}{1 + x^{2}}dx=\arctan x + c
$$

#### 补充

$$
\int \frac{x^2}{1 + x^{2}}dx = x - \arctan x + C
$$

过程如下（懂了吧）

$$
\begin{align*}
\frac{x^2}{1 + x^{2}}&=\frac{x^2 + 1 - 1}{1 + x^{2}}\\
&=\frac{x^2 + 1}{1 + x^{2}} - \frac{1}{1 + x^{2}}\\
&= 1 - \frac{1}{1 + x^{2}}
\end{align*}
$$

$$
\int\ln xdx=x\ln x - x + C
$$

### 换元积分

1. **第一类换元法（凑微分法）**
   
   - **示例**：计算$\displaystyle \int 2x\cos(x^{2})dx$。
     
     - 令$u = x^{2}$，则$du=2xdx$。
     - 原积分$\displaystyle \int 2x\cos(x^{2})dx=\int\cos udu=\sin u + C$。
     - 再把$u = x^{2}$代回，得到$\sin(x^{2})+C$。
   - **常见的凑微分形式**：
     
     - $\displaystyle \int f(ax + b)dx=\frac{1}{a}\int f(ax + b)d(ax + b)(a\neq0)$
     - $\displaystyle \int f(x^{n})x^{n - 1}dx=\frac{1}{n}\int f(x^{n})d(x^{n})$。
     - $\displaystyle \int f(\sin x)\cos xdx=\int f(\sin x)d(\sin x)$。
2. **第二类换元法**
   
   - **根式代换**
     - 当被积函数中含有$\displaystyle \sqrt{a^{2}-x^{2}}(a>0)$时，可令$x = a\sin t$，$t\displaystyle \in\left(-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right)$。
       - 示例：计算$\displaystyle \int\frac{1}{\sqrt{1 - x^{2}}}dx$。
         - 令$x=\sin t$，$\displaystyle t\in\left(-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right)$，则$dx=\cos tdt$。
         - 原积分
         - $$
           \displaystyle \int\frac{1}{\sqrt{1 - x^{2}}}dx=\int\frac{1}{\sqrt{1-\sin^{2}t}}\cos tdt=\int 1dt=t + C
           $$
         - 因为$\displaystyle x = \sin t$，所以$t=\arcsin x$，最终结果为$\arcsin x + C$
     - 当被积函数中含有$\displaystyle \sqrt{x^{2}+a^{2}}(a>0)$时，可令$x = a\tan t$，$\displaystyle t\in\left(-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right)$。
     - 当被积函数中含有$\displaystyle \sqrt{x^{2}-a^{2}}(a>0)$时，可令$x = a\sec t$，$\displaystyle t\in\left(0,\frac{\pi}{2}\right)\cup\left(\frac{\pi}{2},\pi\right)$。
   - **倒代换**
     - 当分母的次数比分子的次数高很多时，可考虑倒代换，即令$\displaystyle x=\frac{1}{t}$。
     - 示例：计算$\displaystyle \int\frac{1}{x^{4}(1 + x^{2})}dx$。
       
       - 令$\displaystyle x=\frac{1}{t}$，则$\displaystyle dx=-\frac{1}{t^{2}}dt$。
       - 原积分
       
       $$
       \displaystyle \int\frac{1}{x^{4}(1 + x^{2})}dx=\int\frac{t^{4}}{1 + t^{2}}\left(-\frac{1}{t^{2}}\right)dt=-\int\frac{t^{2}}{1 + t^{2}}dt
       $$
       
       - 进一步化简
         $$
         \displaystyle =-\int\left(1-\frac{1}{1 + t^{2}}\right)dt=-t+\arctan t + C
         $$
       - 再把$\displaystyle t=\frac{1}{x}$代回，得到$\displaystyle -\frac{1}{x}+\arctan\frac{1}{x}+C$。
3. **三角代换与双曲代换（补充方法）**
   
   - **三角代换**：三角代换主要是利用三角函数之间的关系
     $\sin^{2}t+\cos^{2}t = 1$，$\sec^{2}t-\tan^{2}t = 1$等来化简根式。
   - **双曲代换(暂时没遇过)**：
     - 双曲函数定义为$\displaystyle \sinh x=\frac{e^{x}-e^{-x}}{2}$，$\displaystyle \cosh x=\frac{e^{x}+e^{-x}}{2}$，且$\cosh^{2}x-\sinh^{2}x = 1$。
     - 当被积函数含有$\displaystyle \sqrt{x^{2}+a^{2}}$时，也可令$x = a\sinh t$，因为$\displaystyle \sqrt{x^{2}+a^{2}}=\sqrt{a^{2}\sinh^{2}t+a^{2}}=a\cosh t$，这样代换后可以简化积分运算。

### 分部积分法

**分部积分公式**

- 设函数$u = u(x)$及$v = v(x)$具有连续导数，那么
  
  $$
  \int u(x)v^{\prime}(x)dx = u(x)v(x)-\int v(x)u^{\prime}(x)dx
  $$
  
  也可以写成
  
  $$
  \int udv = uv-\int vdu
  $$

### 有理函数的积分

就是拆开

### 定积分

暂无

### 积分中值定理

**积分第一中值定理**

- 若函数$f(x)$在闭区间$[a,b]$上连续，则在$[a,b]$上至少存在一点$\xi$，使得
  $$
  \displaystyle \int_{a}^{b}f(x)dx = f(\xi)(b - a)
  $$

> 这个定理的几何意义是：对于在区间$[a,b]$上连续的函数$y = f(x)$，由曲线$y = f(x)$、$x=a$、$x = b$以及$x$轴所围成的曲边梯形的面积等于以区间$[a,b]$为底，以这个区间内某一点$\xi$处的函数值$f(\xi)$为高的矩形的面积。

**积分第二中值定理**

- 第一形式：设$f(x)$在$[a,b]$上可积，$g(x)$在$[a,b]$上单调递减且$g(x)\geq0$，则存在$\xi\in[a,b]$，使得

$$
\int_{a}^{b}f(x)g(x)dx = g(a)\int_{a}^{\xi}f(x)dx
$$

- 第二形式：设$f(x)$在$[a,b]$上可积，$g(x)$在$[a,b]$上单调，那么存在$\xi\in[a,b]$，使得

$$
\int_{a}^{b}f(x)g(x)dx = g(a)\int_{a}^{\xi}f(x)dx+g(b)\int_{\xi}^{b}f(x)dx
$$

### 泰勒公式

#### 带佩亚诺余项

若函数$f(x)$在点$x_0$存在直至$n$阶导数，则

$$
\displaystyle f(x)=f(x_0)+f'(x_0)(x - x_0)+\frac{f''(x_0)}{2!}(x - x_0)^2+\cdots+\frac{f^{(n)}(x_0)}{n!}(x - x_0)^n+o((x - x_0)^n)
$$

其中$o((x - x_0)^n)$为佩亚诺余项，表示当$x\to x_0$时，余项是比$(x - x_0)^n$高阶的无穷小.

#### 带拉格朗日余项

若函数$f(x)$在含有$x_0$的某个开区间$(a,b)$内具有$n + 1$阶导数，则对于$\forall x\in(a,b)$，有

$$
f(x)=f(x_0)+f'(x_0)(x - x_0)+\frac{f''(x_0)}{2!}(x - x_0)^2+\cdots+\frac{f^{(n)}(x_0)}{n!}(x - x_0)^n+R_n(x)
$$

其中$\displaystyle R_n(x)=\frac{f^{(n + 1)}(\xi)}{(n + 1)!}(x - x_0)^{n + 1}$，$\xi$是介于$x_0$与$x$之间的某个值.

### 常见泰勒公式

#### 指数函数

$$
e^x = 1 + x +\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!}+\cdots+\frac{x^n}{n!}+\cdots
$$

#### 对数函数

$$
\ln(1 + x)=x-\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{3}-\cdots+(-1)^{n - 1}\frac{x^n}{n}+\cdots
$$

#### 三角函数

- **正弦函数**：

$$
\sin x = x -\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}-\cdots+(-1)^{n - 1}\frac{x^{2n - 1}}{(2n - 1)!}+\cdots
$$

- **余弦函数**：

$$
\cos x = 1 -\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}-\cdots+(-1)^{n}\frac{x^{2n}}{(2n)!}+\cdots
$$

- **正切函数**：

$$
\tan x = x +\frac{x^3}{3}+\frac{2x^5}{15}+\cdots
$$

#### 反三角函数

- **反正弦函数**：

$$
\arcsin x = x +\frac{1}{2}\cdot\frac{x^3}{3}+\frac{1\cdot3}{2\cdot4}\cdot\frac{x^5}{5}+\cdots
$$

- **反正切函数**：

$$
\arctan x = x -\frac{x^3}{3}+\frac{x^5}{5}-\cdots+(-1)^{k - 1}\frac{x^{2k - 1}}{2k - 1}+\cdots
$$

#### 双曲函数

- **双曲正弦函数**：

$$
\sinh x = x +\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}+\cdots+(-1)^{k - 1}\frac{x^{2k - 1}}{(2k - 1)!}+\cdots
$$

- **双曲余弦函数**：

$$
\cosh x = 1 +\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}+\cdots+(-1)^{k}\frac{x^{2k}}{(2k)!}+\cdots
$$

#### 幂函数

$$
(1 + x)^{\alpha}=1+\alpha x+\frac{\alpha(\alpha - 1)}{2!}x^{2}+\cdots+\frac{\alpha(\alpha - 1)\cdots(\alpha - n + 1)}{n!}x^{n}+\cdots
$$

#### 自己推到:

麦克劳林展开式为：

$$
f(x)=f(0)+f'(0)x+\frac{f''(0)}{2!}x^{2}+\frac{f'''(0)}{3!}x^{3}+\cdots+\frac{f^{(n)}(0)}{n!}x^{n}+r_{n}(x)
$$

其中$r_{n}(x)$为余项

### 体积

暂无

### 弧长

##### （1）直角坐标形式

若曲线的方程为$y = f(x)$，$a\leq x\leq b$，且$f(x)$在区间$[a,b]$上具有连续导数，则曲线弧长$s$的计算公式为：

$$
s=\int_{a}^{b}\sqrt{1 + [f'(x)]^{2}}dx
$$

##### （2）参数方程形式

若曲线由参数方程$\left\{\begin{array}{l}x = x(t)\\y = y(t)\end{array}\right.$给出，$\alpha\leq t\leq\beta$，其中$x(t)$、$y(t)$在区间$[\alpha,\beta]$上具有连续导数，则曲线弧长$s$的计算公式为：

$$
s=\int_{\alpha}^{\beta}\sqrt{[x'(t)]^{2}+[y'(t)]^{2}}dt
$$

##### （3）极坐标形式

若曲线的极坐标方程为$\rho = \rho(\theta)$，$\alpha\leq\theta\leq\beta$，且$\rho(\theta)$在区间$[\alpha,\beta]$上具有连续导数，则曲线弧长$s$的计算公式为：

$$
s=\int_{\alpha}^{\beta}\sqrt{\rho^{2}(\theta)+[\rho'(\theta)]^{2}}d\theta
$$

### 曲率

**直角坐标系的曲率**

$$
\left|\frac{y^{\prime\prime}}{\left[1+(y^{\prime})^{2}\right]^{\frac{3}{2}}}\right|
$$

**参数方程的曲率**

- 若曲线由参数方程$\left\{\begin{array}{l}x = x(t)\\y = y(t)\end{array}\right.$给出，$t$为参数。则$x^{\prime}=x^{\prime}(t)$，$y^{\prime}=y^{\prime}(t)$，$x^{\prime\prime}=x^{\prime\prime}(t)$，$y^{\prime\prime}=y^{\prime\prime}(t)$。
- 曲率公式为
  $$
  \left|\frac{x^{\prime}(t)y^{\prime\prime}(t)-x^{\prime\prime}(t)y^{\prime}(t)}{\left[(x^{\prime}(t))^{2}+(y^{\prime}(t))^{2}\right]^{\frac{3}{2}}}\right|
  $$

### 面积

1. **直角坐标下求面积**
   
   - 设函数$y = f(x)$在区间$[a,b]$上连续且$f(x)\geqslant0$，那么由曲线$y = f(x)$，直线$x = a$，$x = b$以及$x$轴所围成的曲边梯形的面积
   
   $$
   \int_{a}^{b}f(x)dx
   $$

2. **极坐标下求面积**
   
   - 由极坐标方程$\rho=\rho(\theta)$，$\alpha\leqslant\theta\leqslant\beta$所围成的图形的面积
     $$
     S=\frac{1}{2}\int_{\alpha}^{\beta}\rho^{2}(\theta)d\theta
     $$
3. **参数方程下求面积**
   
   - 若曲线$C$的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}x = x(t)\\y = y(t)\end{array}\right.$，$\alpha\leqslant t\leqslant\beta$，且$x(t)$，$y(t)$具有连续的一阶导数，$x^{\prime}(t)$不变号。
   - 当$x^{\prime}(t)>0$时，曲线$C$与直线$x = a,x = b,y = 0$所围成的图形的面积
   
   $$
   A=\int_{\alpha}^{\beta}y(t)x^{\prime}(t)dt
   $$

#### **直角坐标与极坐标的转换关系**

- 直角坐标用$(x,y)$表示，极坐标用$(\rho,\theta)$表示，它们之间的转换公式为$x = \rho\cos\theta$，$y=\rho\sin\theta$，且$\rho^{2}=x^{2} + y^{2}$

## 一些例题

* 求极限

$$
\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n \frac{\ln (1+1 / i)}{\sin 1 / i}
$$

* 解答：

$$
\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n \frac{\ln (1+1 / i)}{\sin 1 / i}=\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{\ln (1+1 / n)}{\sin 1 / n}=\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\ln (1+x)}{\sin x}=1
$$

## 黎曼和

当分割子区间的最大长度$\lambda \to 0$（$n\to+\infty$且分割越来越细）时，黎曼和的极限若存在，就是函数$f(x)$在区间$[a,b]$上的定积分，即

$$
\int_{a}^{b}f(x)dx=\lim\limits_{\lambda\to0}\sum_{i = 1}^{n}f(\xi_{i})\Delta x_{i}
$$

## 第十章 数项级数

### 一、正项级数敛散性判别法

#### （一）比较判别法

1. **原理**：设$\displaystyle\sum_{n = 1}^{\infty}a_{n}$和$\displaystyle\sum_{n = 1}^{\infty}b_{n}$是两个正项级数，且$a_{n}\leq b_{n}(n = 1,2,\cdots)$。若$\displaystyle\sum_{n = 1}^{\infty}b_{n}$收敛，则$\displaystyle\sum_{n = 1}^{\infty}a_{n}$也收敛；若$\displaystyle\sum_{n = 1}^{\infty}a_{n}$发散，则$\displaystyle\sum_{n = 1}^{\infty}b_{n}$也发散。
2. **例如**：判断$\displaystyle\sum_{n = 1}^{\infty}\frac{1}{n^{2}+ 1}$的敛散性。因为$\displaystyle\frac{1}{n^{2}+1}<\frac{1}{n^{2}}$，而$\displaystyle\sum_{n = 1}^{\infty}\frac{1}{n^{2}}$是收敛的$p$级数（$p = 2>1$），所以$\displaystyle\sum_{n = 1}^{\infty}\frac{1}{n^{2}+1}$收敛。

#### （二）比较判别法的极限形式

1. **原理**：设$\displaystyle\sum_{n = 1}^{\infty}a_{n}$和$\displaystyle\sum_{n = 1}^{\infty}b_{n}$是两个正项级数，且$\displaystyle\lim_{n \rightarrow \infty}\frac{a_{n}}{b_{n}} = l$（ $ 0 < l <+\infty$），则$\displaystyle\sum_{n = 1}^{\infty}a_{n}$与$\displaystyle\sum_{n = 1}^{\infty}b_{n}$敛散性相同。
2. **例如**：判断$\displaystyle\sum_{n = 1}^{\infty}\sin\frac{1}{n}$的敛散性。因为$\displaystyle\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{\sin\frac{1}{n}}{\frac{1}{n}} = 1$，而$\displaystyle\sum_{n = 1}^{\infty}\frac{1}{n}$发散，所以$\displaystyle\sum_{n = 1}^{\infty}\sin\frac{1}{n}$发散。

#### （三）比值判别法（达朗贝尔判别法）

1. **原理**：设$\displaystyle\sum_{n = 1}^{\infty}a_{n}$是正项级数，且$\displaystyle\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{a_{n + 1}}{a_{n}}=\rho$。当$\displaystyle\rho<1$时，级数$\displaystyle\sum_{n = 1}^{\infty}a_{n}$收敛；当$\displaystyle\rho>1$（包括$\displaystyle\rho = +\infty$）时，级数$\displaystyle\sum_{n = 1}^{\infty}a_{n}$发散；当$\displaystyle\rho = 1$时，判别法失效。
2. **例如**：判断$\displaystyle\sum_{n = 1}^{\infty}\frac{n!}{n^{n}}$的敛散性。计算$\displaystyle\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{a_{n+1}}{a_{n}}=\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{(n + 1)!}{(n+1)^{n+1}}\cdot\frac{n^{n}}{n!}=\lim_{n\rightarrow\infty}\left(\frac{n}{n + 1}\right)^{n}=\frac{1}{e}<1$，所以级数收敛。

#### （四）根值判别法（柯西判别法）

1. **原理**：设$\displaystyle\sum_{n = 1}^{\infty}a_{n}$是正项级数，且$\displaystyle\lim_{n\rightarrow\infty}\sqrt[n]{a_{n}}=\rho$。当$\displaystyle\rho<1$时，级数$\displaystyle\sum_{n = 1}^{\infty}a_{n}$收敛；当$\displaystyle\rho>1$（包括$\displaystyle\rho = +\infty$）时，级数$\displaystyle\sum_{n = 1}^{\infty}a_{n}$发散；当$\displaystyle\rho = 1$时，判别法失效。
2. **例如**：判断$\displaystyle\sum_{n = 1}^{\infty}\left(\frac{n}{2n+1}\right)^{n}$的敛散性。$\displaystyle\lim_{n\rightarrow\infty}\sqrt[n]{a_{n}}=\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{n}{2n + 1}=\frac{1}{2}<1$，所以该级数收敛。

#### （五）积分判别法

1. **原理**：设$f(x)$是$[1,+\infty)$上非负、单调递减的连续函数，令$a_{n}=f(n)$，则级数$\displaystyle\sum_{n = 1}^{\infty}a_{n}$与反常积分$\displaystyle\int_{1}^{+\infty}f(x)dx$同敛散。
2. **例如**：判断$\displaystyle\sum_{n = 2}^{\infty}\frac{1}{n\ln n}$的敛散性。考虑函数$f(x)=\frac{1}{x\ln x}$，$\displaystyle\int_{2}^{+\infty}\frac{1}{x\ln x}dx=\lim_{t\rightarrow+\infty}\int_{2}^{t}\frac{1}{x\ln x}dx=\lim_{t\rightarrow+\infty}[\ln(\ln x)]_{2}^{t}=+\infty$，所以级数$\displaystyle\sum_{n = 2}^{\infty}\frac{1}{n\ln n}$发散。

#### （六）拉阿比判别法

1. **原理**：设$\displaystyle\sum_{n = 1}^{\infty}a_{n}$是正项级数，且$\displaystyle\lim_{n \to \infty} n\left(\frac{a_{n}}{a_{n + 1}} - 1\right)=R$。
   - 当$R > 1$时，级数$\displaystyle\sum_{n = 1}^{\infty}a_{n}$收敛；
   - 当$R < 1$时，级数$\displaystyle\sum_{n = 1}^{\infty}a_{n}$发散；
   - 当$R = 1$时，判别法失效。
2. **例如**：判断级数$\displaystyle\sum_{n = 1}^{\infty}\frac{(2n)!}{(n!)^{2}}\cdot\frac{1}{2^{n}}$的敛散性。
   计算$\displaystyle\lim_{n \to \infty} n\left(\frac{a_{n}}{a_{n + 1}} - 1\right)$：

$$
\begin{align*}
a_{n}&=\frac{(2n)!}{(n!)^{2}}\cdot\frac{1}{2^{n}}\\
a_{n + 1}&=\frac{(2(n + 1))!}{((n + 1)!)^{2}}\cdot\frac{1}{2^{n + 1}}\\
\frac{a_{n}}{a_{n + 1}}&=\frac{(2n)!}{(n!)^{2}}\cdot\frac{1}{2^{n}}\cdot\frac{((n + 1)!)^{2}}{(2(n + 1))!}\cdot 2^{n + 1}\\
&=\frac{(2n)!}{(n!)^{2}}\cdot\frac{((n + 1)!)^{2}}{(2n + 2)!}\cdot 2\\
&=\frac{(2n)!}{(n!)^{2}}\cdot\frac{(n + 1)^{2}\cdot (n!)^{2}}{(2n + 2)\cdot(2n + 1)\cdot(2n)!}\cdot 2\\
&=\frac{(n + 1)^{2}}{(2n + 2)\cdot(2n + 1)}\cdot 2\\
&=\frac{(n + 1)^{2}}{(n + 1)(2n + 1)}\cdot 2\\
&=\frac{n + 1}{2n + 1}\cdot 2
\end{align*}
$$

$$
\begin{align*}
\lim_{n \to \infty} n\left(\frac{a_{n}}{a_{n + 1}} - 1\right)&=\lim_{n \to \infty} n\left(\frac{n + 1}{2n + 1}\cdot 2 - 1\right)\\
&=\lim_{n \to \infty} n\left(\frac{2n + 2 - (2n + 1)}{2n + 1}\right)\\
&=\lim_{n \to \infty} n\cdot\frac{1}{2n + 1}\\
&=\lim_{n \to \infty}\frac{n}{2n + 1}\\
&=\frac{1}{2} < 1
\end{align*}
$$

所以级数$\displaystyle\sum_{n = 1}^{\infty}\frac{(2n)!}{(n!)^{2}}\cdot\frac{1}{2^{n}}$发散。

### 二、交错级数敛散性判别法

#### （一）莱布尼茨判别法

1. **原理**：对于交错级数$\displaystyle\sum_{n = 1}^{\infty}(- 1)^{n - 1}a_{n}(a_{n}>0)$，如果$a_{n}\geq a_{n + 1}(n = 1,2,\cdots)$，且$\displaystyle\lim_{n\rightarrow\infty}a_{n}=0$，那么交错级数$\displaystyle\sum_{n = 1}^{\infty}(-1)^{n-1}a_{n}$收敛。
2. **例如**：判断$\displaystyle\sum_{n = 1}^{\infty}(-1)^{n - 1}\frac{1}{n}$的敛散性。$a_{n}=\frac{1}{n}$，显然$\displaystyle\frac{1}{n}\geq\frac{1}{n + 1}$，且$\displaystyle\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{1}{n}=0$，所以该交错级数收敛。

### 三、任意项级数敛散性判别法

#### （一）绝对收敛判别法

1. **原理**：若$\displaystyle\sum_{n = 1}^{\infty}\vert a_{n}\vert$收敛，则$\displaystyle\sum_{n = 1}^{\infty}a_{n}$绝对收敛，且$\displaystyle\sum_{n = 1}^{\infty}a_{n}$收敛。
2. **例如**：判断$\displaystyle\sum_{n = 1}^{\infty}\frac{\sin n}{n^{2}}$的敛散性。因为$\displaystyle\left|\frac{\sin n}{n^{2}}\right|\leq\frac{1}{n^{2}}$，而$\displaystyle\sum_{n = 1}^{\infty}\frac{1}{n^{2}}$收敛，所以$\displaystyle\sum_{n = 1}^{\infty}\frac{\sin n}{n^{2}}$绝对收敛，从而该级数收敛。

#### （二）条件收敛判别法

如果$\displaystyle\sum_{n = 1}^{\infty}a_{n}$收敛，但$\displaystyle\sum_{n = 1}^{\infty}\vert a_{n}\vert$发散，则$\displaystyle\sum_{n = 1}^{\infty}a_{n}$条件收敛。例如$\displaystyle\sum_{n = 1}^{\infty}(-1)^{n - 1}\frac{1}{n}$收敛，但$\displaystyle\sum_{n = 1}^{\infty}\left|(-1)^{n - 1}\frac{1}{n}\right|=\sum_{n = 1}^{\infty}\frac{1}{n}$发散，所以$\displaystyle\sum_{n = 1}^{\infty}(-1)^{n - 1}\frac{1}{n}$条件收敛。

## 第十一章到第十三章

## 狄利克雷判别法：

### 一、数项级数的狄利克雷判别法

设级数$\sum_{n=1}^{\infty}a_n b_n$，如果满足：

1. 部分和序列$A_n = \sum_{k=1}^{n}a_k$有界，即存在常数$M$，使得对所有$n$，都有：
$$
|A_n| = \left|\sum_{k=1}^{n}a_k\right| \leq M
$$

2. 数列$\{b_n\}$单调趋于零，即：
   - 单调递减或单调递增；
     $\lim_{n \to \infty} b_n = 0$。

则级数$\sum_{n=1}^{\infty} a_n b_n$收敛。

### 二、函数项级数的狄利克雷判别法

设函数项级数：

$$
\sum_{n=1}^{\infty} a_n(x)b_n(x)
$$

如果满足：

1. 对每个固定的$x$，部分和序列

$$
A_n(x) = \sum_{k=1}^{n} a_k(x)
$$

有界，即存在常数$M(x)$，使得：

$$
|A_n(x)|\leq M(x)
$$

2. 函数序列$\{b_n(x)\}$对$n$单调趋于零，即满足：
   - 单调性：对于每个固定的$x$，$b_n(x)$关于$n$单调递减或递增；
   - 极限性：对每个固定的$x$，有$\lim_{n \to \infty} b_n(x) = 0$。

则函数项级数$\sum_{n=1}^{\infty} a_n(x)b_n(x)$收敛。

### 三、广义积分的狄利克雷判别法

设积分：

$$
\int_{a}^{+\infty} f(x)g(x)\,\mathrm{d}x
$$

如果满足：

1. 积分的原函数

$$
F(x)=\int_{a}^{x}f(t)\,\mathrm{d}t
$$

有界，即存在常数$M$，使得：

$$
|F(x)|\leq M, \quad x \ge a
$$

2. 函数$g(x)$满足：
   - 在区间$[a,+\infty)$上单调趋于零；
     $\lim_{x \to +\infty} g(x)=0$。

则广义积分$\int_{a}^{+\infty} f(x)g(x)\,\mathrm{d}x$收敛。

### 四、瑕积分的狄利克雷判别法

设积分存在瑕点$x = a$（假设瑕点为积分下限，其他点类似），考虑积分：

$$
\int_{a}^{b}f(x)g(x)\,\mathrm{d}x
$$

如果满足：

1. 积分的原函数：

$$
F(x)=\int_{a}^{x}f(t)\,\mathrm{d}t
$$

在靠近瑕点$x=a$时有界。

2. 函数$g(x)$满足：
   - 在$(a,b]$上单调趋于零（当$x \to a^+$时）；
     -$\lim_{x \to a^+}g(x)=0$。

则瑕积分$\int_{a}^{b}f(x)g(x)\,\mathrm{d}x$收敛。

## 阿贝尔判别法：

### 一、数项级数的阿贝尔判别法

考虑级数：

$$
\sum_{n=1}^{\infty} a_n b_n
$$

如果满足以下两个条件：

1. 级数$\sum_{n=1}^{\infty} a_n$**收敛**（而非仅仅有界）；
2. 数列$\{b_n\}$为**单调有界数列**，即：
   - 存在有限的常数$M$，使得$|b_n|\leq M$，且单调（递增或递减）。

则级数$\sum_{n=1}^{\infty} a_n b_n$**收敛**。

### 二、函数项级数的阿贝尔判别法

#### 判别法描述：

考虑函数项级数：

$$
\sum_{n=1}^{\infty} a_n(x) b_n(x)
$$

如果满足：

1. 对每个固定的$x$，级数

$$
\sum_{n=1}^{\infty} a_n(x)
$$

收敛；

2. 对每个固定的$x$，函数序列$\{b_n(x)\}$单调有界，即：
   - 存在常数$M(x)$，使得对所有$n$，$|b_n(x)|\leq M(x)$；
   - 对于固定的$x$，关于$n$单调递增或递减。

则函数项级数$\sum_{n=1}^{\infty}a_n(x)b_n(x)$收敛。

### 三、广义积分的阿贝尔判别法

#### 判别法描述：

考虑广义积分：

$$
\int_{a}^{+\infty} f(x)g(x)\,\mathrm{d}x
$$

如果满足：

1. 积分$\int_{a}^{+\infty} f(x)\,\mathrm{d}x$**收敛**；
2. 函数$g(x)$在区间$[a,+\infty)$上**单调有界**，即：
   - 存在常数$M$，使得$|g(x)|\leq M$，且$g(x)$在$[a,+\infty)$上单调。

则广义积分$\int_{a}^{+\infty} f(x)g(x)\,\mathrm{d}x$**收敛**。

### 四、瑕积分的阿贝尔判别法

#### 判别法描述：

考虑具有瑕点的积分（例如积分下限有瑕点$a$）：

$$
\int_{a}^{b} f(x)g(x)\,\mathrm{d}x
$$

如果满足：

1. 瑕积分$\int_{a}^{b} f(x)\,\mathrm{d}x$**收敛**；
2. 函数$g(x)$在$(a,b]$上**单调有界**，即：
   - 存在常数$M$，使得对所有$x\in(a,b]$，有$|g(x)|\leq M$；
   - 在区间靠近瑕点$a$时，函数$g(x)$是单调的。

则瑕积分$\int_{a}^{b} f(x)g(x)\,\mathrm{d}x$**收敛**。

## 总结成一句话：

- **狄利克雷** 判别法：部分和有界 (震荡) × 单调趋零 = 收敛。
- **阿贝尔** 判别法：已知收敛 (收敛×单调有界) = 收敛。

## 第十四章 傅里叶级数

### 一、傅里叶级数的基本概念与公式

一个定义在区间$[-l, l]$上周期为$2l$的函数$f(x)$，可表示成傅里叶级数：

$$
f(x) = \frac{a_0}{2} + \sum_{n=1}^{\infty} \left[a_n\cos\frac{n\pi x}{l} + b_n\sin\frac{n\pi x}{l}\right]
$$

#### 系数计算公式：

- **常数项$a_0$**：

$$
a_0 = \frac{1}{l}\int_{-l}^{l}f(x)\,dx
$$

- **余弦项系数$a_n$**（$n\geq 1$）：

$$
a_n = \frac{1}{l}\int_{-l}^{l}f(x)\cos\frac{n\pi x}{l}\,dx
$$

- **正弦项系数$b_n$**（$n\geq 1$）：

$$
b_n = \frac{1}{l}\int_{-l}^{l}f(x)\sin\frac{n\pi x}{l}\,dx
$$

### 二、傅里叶级数的特殊区间（常见）:

#### （一）区间$[-\pi,\pi]$（标准区间）

若函数定义在$[- \pi,\pi]$，周期为$2\pi$，傅里叶级数为：

$$
f(x)=\frac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^{\infty}(a_n\cos nx+b_n\sin nx)
$$

- 系数公式：

$$
a_0=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(x)\,dx,\quad
a_n=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(x)\cos nx\,dx,\quad
b_n=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(x)\sin nx\,dx
$$

#### （二）区间$[0,2\pi]$

若函数定义在区间$[0,2\pi]$，周期为$2\pi$，傅里叶级数展开为：

$$
f(x)=\frac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^{\infty}(a_n\cos nx+b_n\sin nx)
$$

- 系数计算：

$$
a_0=\frac{1}{\pi}\int_{0}^{2\pi}f(x)\,dx,\quad
a_n=\frac{1}{\pi}\int_{0}^{2\pi}f(x)\cos nx\,dx,\quad
b_n=\frac{1}{\pi}\int_{0}^{2\pi}f(x)\sin nx\,dx
$$

#### （三）区间$[-l,l]$（一般区间）

一般区间的情况（区间长度为$2l$），傅里叶级数通式为：

$$
f(x)=\frac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^{\infty}\left(a_n\cos\frac{n\pi x}{l}+b_n\sin\frac{n\pi x}{l}\right)
$$

- 系数计算：

$$
a_0=\frac{1}{l}\int_{-l}^{l}f(x)\,dx,\quad
a_n=\frac{1}{l}\int_{-l}^{l}f(x)\cos\frac{n\pi x}{l}\,dx,\quad
b_n=\frac{1}{l}\int_{-l}^{l}f(x)\sin\frac{n\pi x}{l}\,dx
$$

### 三、小结（核心公式记忆）：

- 通式记忆：

$$
f(x)=\frac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^{\infty}(a_n\cos\frac{n\pi x}{l}+b_n\sin\frac{n\pi x}{l})
$$

- 一般系数公式：

$$
a_0=\frac{1}{l}\int_{-l}^{l}f(x)dx,\quad
a_n=\frac{1}{l}\int_{-l}^{l}f(x)\cos\frac{n\pi x}{l}dx,\quad
b_n=\frac{1}{l}\int_{-l}^{l}f(x)\sin\frac{n\pi x}{l}dx
$$

- 区间特化记忆：
  - 标准区间$[-\pi,\pi]$时，公式中$l=\pi$；
  - 区间$[0,2\pi]$时，积分区间改为$[0,2\pi]$。

## 第十五章——第二十章

### 一、二元函数的极限与连续性

#### 1. 函数极限定义

假设函数$f(x,y)$定义在点$(x_0,y_0)$的去心领域内，若对任意路径$(x,y)\rightarrow(x_0,y_0)$，极限值均存在且相等，则记为极限：

$$
\lim_{(x,y)\to(x_0,y_0)} f(x,y)=L
$$

#### 2. 二元函数极限存在判定

- 当沿不同路径趋于同一点的极限值不同时，则该二元函数极限不存在。

常用方法：

- 沿特殊路径（如$x = x_0$,$y = y_0$,$y = k(x - x_0)$等）求极限并比较。
- 极坐标法：将$(x, y)$替换为$(r\cos\theta, r\sin\theta)$，考察当$r \to 0$时的极限。

#### 3. 二元函数的连续性

若二元函数满足：

$$
\lim_{(x,y)\to(x_0,y_0)}f(x,y)=f(x_0,y_0)
$$

则称函数在点$(x_0,y_0)$连续。

连续函数的性质：

- 基本运算法则（加、减、乘、除、复合运算）在连续点均保持连续。
- 多项式函数、指数函数、三角函数在定义域内连续。

### 二、二元函数的偏导数与高阶偏导

#### 1. 偏导数定义

给定二元函数$z = f(x, y)$，偏导数表示函数沿坐标轴方向的变化率：

$$
f_x(x,y)=\frac{\partial f}{\partial x}=\lim_{\Delta x \to 0}\frac{f(x+\Delta x,y)-f(x,y)}{\Delta x}
$$

$$
f_y(x,y)=\frac{\partial f}{\partial y}=\lim_{\Delta y \to 0}\frac{f(x,y+\Delta y)-f(x,y)}{\Delta y}
$$

#### 2. 高阶偏导

常见的二阶偏导：

$$
f_{xx}(x,y)=\frac{\partial^2 f}{\partial x^2}, \quad f_{yy}(x,y)=\frac{\partial^2 f}{\partial y^2},\quad f_{xy}(x,y)=\frac{\partial^2 f}{\partial y \partial x},\quad f_{yx}(x,y)=\frac{\partial^2 f}{\partial x \partial y}
$$

偏导连续、光滑函数具有性质：

$$
f_{xy}(x,y)=f_{yx}(x,y)
$$

（克莱罗定理）

### 三、二元函数的可微性与全微分

#### 1. 二元函数的可微定义

设二元函数$z=f(x,y)$，若其变化量可表示为线性主部与高阶无穷小之和：

$$
\Delta z = f(x+\Delta x,y+\Delta y)-f(x,y)=f_x(x,y)\Delta x+f_y(x,y)\Delta y+o(\rho),\quad(\rho=\sqrt{\Delta x^2+\Delta y^2})
$$

且满足：

$$
\lim_{\rho\to 0}\frac{o(\rho)}{\rho}=0
$$

则称函数在该点可微。其中：

-$f_x(x,y), f_y(x,y)$为函数在$(x,y)$点的偏导数。
-$o(\rho)$为高阶无穷小量，其在点邻域内趋于零的速度快于线性小量$\rho$。

几何意义：
可微函数在该点局部表现如同一个线性函数，且误差项相对于线性近似部分极小，保证函数在该点附近可用线性函数很好地逼近。

#### 2. 全微分形式

若函数在点$(x,y)$可微，则全微分为：

$$
dz = f_x(x,y)dx + f_y(x,y)dy
$$

作为函数在该点的线性近似。

#### 3. 可微性与连续性、偏导关系：

函数可微 ⇒ 函数必定连续，且偏导数存在。但偏导数存在不能保证函数一定可微。充分条件（常见判定定理）：

- 若函数两个偏导数在点附近连续，则该函数在该点一定可微。

### 四、二元函数的极值与最小二乘法

#### 1. 极值

若点$(x_0, y_0)$为极值点（可能极大或极小），则有：

$$
f_x(x_0,y_0)=0,\quad f_y(x_0,y_0)=0
$$

##### 二阶导数判别法

定义 Hessian 判别式：

$$
H =
\begin{vmatrix}
f_{xx}(x_0,y_0) & f_{xy}(x_0,y_0) \\
f_{yx}(x_0,y_0) & f_{yy}(x_0,y_0)
\end{vmatrix}
$$

- 若$H>0, f_{xx}(x_0,y_0)>0$，点为极小；
- 若$H>0, f_{xx}(x_0,y_0)<0$，点为极大；
- 若$H<0$，则为鞍点，不为极值点。

#### 2. 最小二乘法（Least Squares Method）

拟合数据曲线，用以确定线性模型参数：

对于拟合函数$y = ax + b$，最小化平方误差之和：

$$
S(a,b) = \sum_{i=1}^{n}(y_i - ax_i - b)^2
$$

通过偏导求驻点建立法方程：

$$
\frac{\partial S}{\partial a}=0,\quad \frac{\partial S}{\partial b}=0
$$

由此解出最优参数$a, b$。

### 五、条件极值与拉格朗日乘数法

求函数$f(x,y)$在约束条件$g(x,y)=0$下的极值。

构建拉格朗日函数：

$$
L(x,y,\lambda)=f(x,y)-\lambda g(x,y)
$$

其中$g(x,y)=h(x,y)-c$为约束函数。

由方程组：

$$
\nabla L = 0 \Rightarrow
\begin{cases}
f_x(x,y)-\lambda g_x(x,y)=0 \\
f_y(x,y)-\lambda g_y(x,y)=0 \\
g(x,y)=0
\end{cases}
$$

求解确定极值点。

### 六、含参变量的积分、广义积分与欧拉积分

#### 1. 含参变量积分

积分形式：

$$
F(a)=\int_{u(a)}^{v(a)} f(x,a)\,dx
$$

求导法则（Leibniz公式）：

$$
F'(a)=f[v(a),a]\cdot v'(a)-f[u(a),a]\cdot u'(a)+\int_{u(a)}^{v(a)} \frac{\partial f}{\partial a}(x,a)\,dx
$$

#### 2. 广义积分

例如：

$$
\int_{0}^{+\infty} f(x,a)\,dx
$$

判断广义积分收敛的常用方法：

- 比较判别法
- 极限判别法

#### 3. 欧拉积分

- 第一类欧拉积分（Beta函数）：

$$
B(x,y)=\int_0^1 t^{x-1}(1-t)^{y-1}\,dt,\quad x>0,y>0
$$

- 第二类欧拉积分（Gamma函数）：

$$
\Gamma(x)=\int_0^{+\infty} t^{x-1}e^{-t}\,dt,\quad x>0
$$

- 两者关系：

$$
B(x,y)=\frac{\Gamma(x)\Gamma(y)}{\Gamma(x+y)}
$$

### 七、重积分

#### 二重积分定义

设区域$D$为闭区域，则二重积分表示为：

$$
\iint_{D} f(x,y)\,dxdy
$$

#### 计算方法

- 直角坐标系下的积分：

$$
\iint_{D} f(x,y)\,dxdy=\int_{x=a}^{x=b}\int_{y=g_1(x)}^{y=g_2(x)} f(x,y)\,dydx
$$

- 极坐标变换：

$$
x=r\cos\theta,\quad y=r\sin\theta,\quad dxdy=r\,drd\theta
$$

#### 应用

- 求面积、体积、质量、重心等
- 交换积分次序 (Fubini定理)：

$$
\int_{x=a}^{x=b}\int_{y=c}^{y=d}f(x,y)\,dydx=\int_{y=c}^{y=d}\int_{x=a}^{x=b}f(x,y)\,dxdy
$$