# 二、随机变量及其分布

## 1. 分布函数

**定义**：设X是一个随机变量，对任意实数x，称 $F(x) = P(X \leq x)$ 为X的**分布函数**，记为 $X \sim F(x)$

**分布函数的三条基本性质**：

1. **单调非减性**：对任意的$x_1 < x_2$，有$F(x_1) \leq F(x_2)$
2. **有界性**：对任意的x，有$0 \leq F(x) \leq 1$，且
   - $F(-\infty) = \lim_{x \to -\infty} F(x) = 0$
   - $F(+\infty) = \lim_{x \to +\infty} F(x) = 1$
3. **右连续性**：对任意的$x_0$，有 $\lim_{x \to x_0^+} F(x) = F(x_0)$

**重要**：具有上述三条性质的函数F(x)一定是某个随机变量的分布函数

**关于F(x)的常识结论**：设F(x), G(x)为分布函数，a,b为实数，则
1. $aF(x) + bG(x)$ 为分布函数 $\Leftrightarrow a+b=1, a \ge 0, b \ge 0$
2. $F(ax+b)$ 为分布函数 $\Leftrightarrow a>0$，b为任意常数
3. $F(x)G(x)$ 必为分布函数

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## 2. 离散型随机变量的分布律

设离散型随机变量X所有可能取值为$x_k$（$k = 1,2,...$），X取各个可能值的概率为
$$P\{X = x_k\} = p_k, \quad k = 1,2,...$$

**分布律满足的条件**：
1. 非负性：$p_k \geq 0$
2. 正则性：$\sum_{k=1}^{\infty} p_k = 1$

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## 3. 连续型随机变量的概率密度

如果对于随机变量X的分布函数$F(x)$，存在非负可积函数$f(x)$，使对于任意实数x有
$$F(x) = \int_{-\infty}^{x} f(t)dt$$

则称$f(x)$为X的**概率密度函数**

**概率密度的性质**：
1. $f(x) \geq 0$
2. $\int_{-\infty}^{+\infty} f(x)dx = 1$
3. 对于任意实数$x_1, x_2$（$x_1 \leq x_2$），$P\{x_1 < X \leq x_2\} = F(x_2) - F(x_1) = \int_{x_1}^{x_2} f(x)dx$
4. 若$f(x)$在点x处连续，则有$F'(x) = f(x)$

**小常识**：
1. 不改变$f(x)$在有限点的值，不影响分布
2. $f(x)$不必连续，只需可积
3. 连续型X的分布函数$F(x)$是连续函数，且对任意$a$有$P\{X=a\}=0$
4. 若$f(x)$在点x处连续，则$F'(x)=f(x)$

**区间范围小结**：若X可能取值范围为$a \le X \le b$，则
1. 当$x<a$时，$F(x)=0$
2. 当$x\ge b$时，$F(x)=1$

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## 4. 随机变量函数的分布

**定理**：设随机变量X具有概率密度$f_X(x)$，$-\infty < x < +\infty$，又设函数g(x)处处可导且恒有$g'(x) > 0$（或$g'(x) < 0$），则$Y = g(X)$是连续型随机变量，其概率密度为

$$f_Y(y) = \begin{cases} f_X[h(y)]|h'(y)|, & \alpha < y < \beta \\ 0, & \text{其他} \end{cases}$$

其中$\alpha = \min\{g(-\infty), g(+\infty)\}$，$\beta = \max\{g(-\infty), g(+\infty)\}$，$h(y)$是$g(x)$的反函数

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## 5. 典型例题

**例**：设随机变量X的概率密度为$f(x) = \begin{cases} e^{-x}, & x > 0 \\ 0, & \text{其他} \end{cases}$，求$Y = X^2$的概率密度

**解**：当$y \leq 0$时，$f_Y(y) = 0$

当$y > 0$时，$F_Y(y) = P\{Y \leq y\} = P\{X^2 \leq y\} = P\{0 < X \leq \sqrt{y}\} = \int_0^{\sqrt{y}} e^{-x}dx$

$f_Y(y) = F'_Y(y) = e^{-\sqrt{y}} \cdot \frac{1}{2\sqrt{y}}$

所以 $f_Y(y) = \begin{cases} \frac{1}{2\sqrt{y}}e^{-\sqrt{y}}, & y > 0 \\ 0, & y \leq 0 \end{cases}$
